2009年全国初中数学联赛试题(修正版)
A
B C
D E 2009年全国初中数学联合数学竞赛试题
第一试
一．选择题
1．设a ＝7－1，则3a 3＋12a 2－6a －12＝( )
(A) 24 (B) 25 (C) 47＋10 (D) 47＋12
2．在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的两倍，且AB ＝7，AC ＝8，则BC ＝( )
(A) 72 (B) 10 (C) 105 (D) 73
3．用[x ]表示不大于x 的最大整数，则方程x 2－2[x ]－3＝0的解的个数为( )
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
4．设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为( )
(A) 3 14 (B) 3 7 (C) 1 2 (D) 4 7
5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，连接BE ，则sin CBE ＝( ) (A)
6 3 (B) 2 3 (C) 1 3 (D) 10 10
6．设n 是大于1909的正整数，使得 n －1909 2009－n
为完全平方数的n 的个数是( ) (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
二．填空题
1．已知t 是实数，若a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋t －1＝0的两个非负实根， 则 (a 2－1) (b 2－1)的最小值是________
2．设D 是△ABC 的边AB 上的一点，作DE ∥BC 交AC 于点E ，作DF ∥AC 交BC 于点F ，已知△ADE 、△DBF 的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为________
3．如果实数a ，b 满足条件a 2＋b 2＝1，│1－2a ＋b │＋2a ＋1＝b 2－a 2，则a ＋b ＝________
4．已知a ，b 是正整数，且满足2(
15a ＋15b
)是整数，则这样的有序数对(a ,b )共有____对
第二试
一、已知二次函数y＝x2＋bx＋c(c＜0)的图象与x轴的交点分别为A、B，与y轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.
（1）证明：⊙P与y轴的另一个交点为定点.
（2）如果AB恰好为⊙P的直径且S
△ABC
＝2，求b和c的值.
二、已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点，PM、QN的中点分别为E、F.
求证：EF∥AB.
三、已知a，b，c为正数，满足如下两个条件：
a＋b＋c＝32 ①
b＋c－a
bc ＋
c＋a－b
ca
＋
a＋b－c
ab
＝
1
4
②
是否存在以a，b，c为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.
参考答案
选择题
1.A
2.C
3.C
4.B
5.D
6.B
填空题
1. -3
2. 2mn
3. -1
4. 7
第二试
一、
解 （1）易求得点C 的坐标为(0,)c ，设1A (,0)x ，2B(,0)x ，
则12x x b +=-，12x x c =. 设⊙P 与y 轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是⊙P 的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以O A ×OB ＝O C ×OD ，则121x x c OA OB OD OC c c
?====. 因为0c <，所以点C 在y 轴的负半轴上，从而点D 在y 轴的正半轴上，所以点D 为定点，它的坐标为(0,1).
（2）因为AB ⊥C D ，如果AB 恰好为⊙P 的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点C 的坐标为(0,1)-，
即1c =-. 又222121212()4()44AB x x x x x x b c b =-=+-=--=+，所以
21141222
ABC S AB OC b =?=+?=△， 解得23b =±.
二、
解 因为BN 是∠ABC 的平分线，所以ABN CBN ∠=∠.
又因为CH ⊥AB ，所以CQN BQH 90ABN 90CBN CNB ∠=∠=?-∠=?-∠=∠， 因此CQ NC =.
又F 是QN 的中点，所以C F ⊥QN ，所以CFB 90CHB ∠=?=∠，因此C 、F 、H 、B 四点共圆.
又FBH =FBC ∠∠，所以FC ＝FH ，故点F 在CH 的中垂线上.
同理可证，点E 在CH 的中垂线上.
因此E F ⊥CH.
又AB ⊥CH ，所以EF ∥AB.
H Q M N P A B
C E F
三、 解法1 将①②两式相乘，得()()8b c a c a b a b c a b c bc ca ab
+-+-+-++++=， 即222222
()()()8b c a c a b a b c bc ca ab
+-+-+-++=， 即222222
()()()440b c a c a b a b c bc ca ab
+-+-+--+-+=， 即222222
()()()0b c a c a b a b c bc ca ab
----+-++=， 即
()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab
-+---+--+++-++=， 即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc
-+----++++=， 即222()[2]0b c a ab a b c abc -+--+=，即22()[()]0b c a c a b abc
-+--=， 即()()()0b c a c a b c a b abc
-++--+=， 所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=. 因此，以,,a b c 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.
解法2 结合①式，由②式可得
32232232214
a b c bc ca ab ---++=， 变形，得222110242()4a b c abc -++= ③ 又由①式得2()1024a b c ++=，即222
10242()a b c ab bc ca ++=-++，
代入③式，得110242[10242()]4
ab bc ca abc --++=
， 即16()4096abc ab bc ca =++-. 3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-
3409625632160=-+?-=，
所以16a =或16b =或16c =.
结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=. 因此，以,,a b c 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.