微积分发展简介

微积分发展简介Newly compiled on November 23, 2020

对微积分理论的简要品论

通常所说的微积分实际上包含了微分和积分两方面的内容。微积分理论是建立在实数、函数、极限的基础上的，是由牛顿和莱布尼茨从不同的研究领域出发独立创立的。经过后来众多的数学家加以完善和补充，成为了数学史上具有划时代意义的理论之一。下面就为积分的理论发展史及其意义加以简要的品论。

早在牛顿和莱布尼茨创立微积分前，极限思想萌芽就已经诞生，如魏晋时期数学家刘徽创立的“割圆术”以及南北朝时期祖冲之祖恒父子继承刘徽思想估算圆周率；古希腊时期也有极限思想，如安提芬的“穷竭法”和阿基米德的“平衡法”。这些都体现了近代积分法的基本思想，是定积分概念的雏形。先前微分学研究的相对少一些，在此不予列举。微积分的思想真正的迅速发展是在16世纪以后，在这一时期，以常量为研究对象的古典数学已经不能满足对运动与变化的研究需求，为了处理17世纪所面临的主要问题；由位移公式求速度和加速度，求曲线的切线，函数的极值，天文学问题；牛顿在接受前人的成果基础上，从研究实际物体的运动出发，创立了微积分理论；莱布尼茨通过对前人科学成的研究，从求曲线的切线问题出发，创立了微积分理论。他们两人虽然独立创造了微积分理论，但都有其各自的不足，对微积分学的基础的解释都含混不清。牛顿和莱布尼茨对创立微积分理论的贡献都是相当的，然而，局外人的争议却带来了严重的后果，造成了支持莱布尼茨的欧陆数学家和支持牛顿的英国数学家的两派的不和，两派的数学家在数学的发展道路上分道扬镳，停止了思想的交换，最终导致英国数学家的落后。为了寻求牛顿和莱布尼茨提出

的微积分理论不足之处的解决方案，后续数学家们又作出了大量的努力。其中有罗尔提出的罗尔定理，罗比达法则的提出，泰勒定理的提出，以及麦克劳级数理论和微积分的另两位重要奠基人伯努利兄弟雅各布和约翰完善了微积分的部分内容。雅各布、法尼亚诺、欧拉、拉格朗日和泰勒等数学家在考虑无理函数的积分时，积累了特殊类型的“椭圆积分”的大量结果。18世纪的数学家尼古拉、伯努利、欧拉和拉格朗日等建立了偏导数理论和多重积分理论，是微积分理论进一步完善。以欧拉为代表的数学家进一步将函数理论深化，并将函数置于中心地位，是18世纪微积分理论发展的一个历史性转折。正当微积分理论成为研究自然的有力工具时，其原有的逻辑缺陷也暴露出来，并引发了第二次数学危机。为解决逻辑上的问题，大朗贝尔、欧拉哦拉朗贝尔作出了极大的努力。经过近一个世纪的严格化工作的尝试，19世纪初见成效。然而，捷克数学家波尔查诺发表的《纯粹分析与证明》没有引起数学家们的注意。此后，法国数学家柯西经过不懈研究，他的工作在一定程度上澄清了微积分的基础问题上长期存在的混乱，迈出了微积分严格化的关键性一步。然而，柯西采用定性的描述，缺乏定量的分析，仍然存在不足。另外，19世纪中期还没有明确实数的概念，微积分的严密工作还需进行。随后德国数学家魏斯特拉斯重新定义了微积分中一系列的重要概念，引进了一致收敛性的概念，消除了以前的争议和混乱，并且他给出了实数的定义使实数系严格化。戴德金和康托尔的实数理论及完备性证明，标志着由魏斯特拉斯倡导的分析算术运动大致宣告完成。到此，微积分的完整理论体系才基本建立。

微积分的发展历史告诉我们：数学的发展道路是崎岖的，微积分是众多科学家智慧的结晶。