高 二 数学排列组合学案

高 二 数 学

1、基本原理；

2、排列、排列数公式。

【教学目标】

使学生理解并掌握分类计数原理与分步计数原理，并能正确地运用两个基本原理解题；使学生了解排列、排列数的概念，理解并掌握排列数公式，并能运用排列数公式解决无限制条件排列与有限制条件的排列问题。

【知识讲解】

1、两个基本原理。

分类计数原理：做一件事，完成它共有n 类不同的办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1+m 2+……+m n 种不同的方法。

分步计数原理：做一件事，完成它共分n 个步骤，在第一步中有m 1种不同的方法，在第二步中有m 2种不同的方法，……，在第n 步中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1·m 2……m n 种不同的方法。

2、分类计数原理和分步计数原理的区别。

区分分类计数原理和分步计数原理是解决排列、组合问题的关键。分类计数原理是计算做一件事有多少种不同的一步到位的办法。也就是说，要完成一件事可以分成若干类办法，只要采用其中一类的某一种方法就能够将这件事情做完，这些完成的方法又是互相独立的，那么计算完成这件事共有多少种不同方法时就使用加法分类计数原理。分步计数原理是计算做一件事有多少种可以分步完成的不同方法。也就是说，要完成一件事可分为若干个互相有联系的步骤，所有这些步骤依次相继完成后这件事才能完成，那么计算完成这件事共有多少种不同的方法时就使用分步计数原理。

3、分类计数原理中的分类很重要。分类时要注意：（1）分类计数原理是计算做一件事有多少种不同的方法，因此要求每一种方法都必须能单独完成这件事；（2）要有正确的分类标准，不可随意化分，使所分的类既不遗漏也不能重复。

分步计数原理中的分步也很重要。分步时要注意：（1）分步计数原理要有正确设计分步的程序，使每一种方法都必须并且只需连续进行互相独立的几步后才能完成这件事；（2）关于每一个独立的步骤都有一种或几种相应的方法完成这一任务。

4、排列的概念。

从n 个不同元素中每次任取m (m ≤n)个元素，把它按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中任取m 个元素的一个排列。

5、排列数的概念

从 n 个不同元素中每次取出m (m ≤n)个元素的所有排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数记作A n m 。

A n m =n (n-1) (n-2)……(n-m+1)=)!

(!m n n -。!(1)21n n n =?-??? ,规定0!1=，要记住1! ,2!,3!,4!,5!,6!的运算结果；要灵活运用（n+1）!= (n+1)·n ！，n ！=(n+1)！-n ·n ！和

一般来说，要计算具体的排列数的时候，常用前一个公式比较简单；要推导或证明等式的时候，常用后一个公式比较简捷。

6、在排列的定义中要搞清楚如下几个内容：

（1）从n个不同元素中取m个元素，所以m不能大于n，即m≤n，当m=n时，这个排列（也就是取出所有元素的排列）叫做全排列。

（2）排列定义中所谓“一定顺序”就是说与位置有关。至于何时有关，何时无关，要由具体的问题决定。

（3）两个排列中只要有不同的元素，它们就是不同的排列；然而，即使它们的所有元素都相同（如两个全排列），只要顺序不同，它们也是不同的排列。因此，要使两个排列相同，一定要所有的元素相同，而且还要顺序相同。

7、要分清元素与位置，要注意科学地分类与合理地分步，要用准两个原理．在处理有特殊要求的元素或有特殊要求的位置的综合应用题时，选择好是用直接计算方法还是间接方法．特别注意不要重复或遗漏，尤其是重复，尽量避免．解较复杂的排列应用题时，一般先考虑某些限制条件。如对“人”或“位置”有限制条件，一般有三种方法来解决：一是先满足某些“人”的特殊要求，称之为特殊元素法；二是先满足某些“位置”的特殊要求，称之为特殊位置法；三是把所有可能中除去不符合限制条件的情况，称之为去杂法。

例1、一座山的南坡有山路三条，北坡有山路三条，均通往山顶，（1）从南坡上山，再由北坡下山；（2）下山时不走原来的上山的路；（3）任意选择上、下山的路线，向从上山到下山，各有几种不同的走法。

解：（1）分步完成：第一步上山有3种走法。

第二步下山有3种走法。

由乘法原理知共有：3×3=9（种）

（2）分步完成：第一步上山有6种走法。

第二步下山有5种走法。

由乘法原理知共有：6×5=30（种）。

（3）分步完成：第一步上山有6种走法。

第二步下山有6种走法。

由乘法原理知共有：6×6=36（种）

评注：在分析问题时，首先要弄清要完成的事是什么？然后要搞清是分类问题还是分步问题，从而正确运用两个基本原理．

例2、将3封不同的信投入4个不同的信箱，有多少种不同的投法？4名学生报名参加数学、物理、化学三个课外兴趣小组，有多少种不同的报名方法？

解：每一封信都有4种不同的投法，所以由乘法原理可知共有4×4×4=43种不同的投法。

每名学生都可以报名参加数学、物理、化学三个兴趣小组中的任一个，所以由乘法原理可知共有：3×3×3×3=34种不同的报名方法。

例3、把七个不同颜色的球，（1）放入两个颜色不同的布袋中；（2）放入两个颜色相同的布袋中，各有多少种不同的放法？

解：（1）由于两个布袋的颜色不同，所以每一个小球都有两个不同的放法，所以由乘法原理可知共有27种不同的放法。

（2）由于两个布袋相同，所以当第一个球放入时只有一种放法，但第二个球放入时，由于前面两个袋子中有一个已经放了球，所以此时两个袋子是不同的，因而每个球又有两种不同的放法，所以由乘法原理可知共有26种不同的方法。

例4、用0，1，2，3，4，5这六个数字，

(1)可以组成多少个数字不重复的三位数？

(2)可以组成多少个数字允许重复的三位数？

(3)可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？

(4)可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？

(5)可以组成多少个大于3000，小于5421的四位数？

解(1)分三步：(i)先选百位数字．由于0不能作百位数，因此有5种选法；(ii)十位数字有5种选法；(iii)个位数字有4种选法．由乘法原理知所求不同三位数共有5×5×4=100个．

(2)分三步：(1)百位数字有5种选法；(ii)十位数字有6位选法；(iii)个位数字有6种选法．所求三位数共有5×6×6=180个．

(3)分三步：(i)先选个位数字，有3种选法；(ii)再选百位数字，有4种选法；(iii)选十位数字也是4种选法．所求三位奇数共有3×4×4=48个．

(4)分三类：(i)一位数，共有5个；(ii)两位数，共有5×5=25个；(iii)三位数共有5×5×4=100个．因此比1000小的自然数共有5+25+100=130个．

(5)分4类：(i)千位数字为3，4之一时，共有2×5×4×3=120个；(ii)千位数字为5，百位数字为0，1，2，3之一时，共有4×4×3=48个；(iii)千位数字是5，百位数字是4，十位数字为0，1之一时，共有2×3=6个；(iv)还有5420也是满条件的1个．故所求自然数共120+48+6+1=175个．

注排数字问题是最常见的排列组合问题，要特别注意首位不能排0．

例5、(1)200的正因数共有______个；

(2)个位数字是3，不超过200的自然数个数为______；

(3)不超过200，个位数字不是3的自然数的个数是______．

解(1)12 因为200=23·52，因此200关于2的方幂为20，21，22，23共4种，200关于5的方幂共有50，51，52三种．由乘法原理共12种．

(2)20 分三类：第一类是一位数，只有1个，即3；第二类，二位自然数，个位数字必须是3，十位数字有9种选法；第三类是三位数，个位数字还是3，百位数字必须是1，十位数字共有10种选法．故所求个数为1+9+10=20．

(3)180 因为不超过200的自然数共有200个，除上面(2)的20种外．其余还有200-20=180个．

注若自然数N=p n q m r k，其中p，q，r都是素数，且p＜q＜r，那么N的正因数共有(n+1)(m+1)(k+1)个．请读者自己证明．

例6、计算：

54

99 65 1010 A A A A

+

-

解法一：应用公式（1）

54444

99999

65444 1010999

563

50104020 A A A A A

A A A A A

++

=== --

解法一：应用公式（2）

54

99

65

1010

9!9!

69!3

4!5!

10!10!410!20

4!5!

A A

A A

+

+?

=== -?

-

例7、(1)求证：

123111;2!3!4!!!

n n n -++++=- (2)

证明：（1）1111(1)!(1)!!(1)!

m m m m m m +-==-+++ 11111111(1)()()()12!2!3!3!4!(1)!!!n n n ∴=-

+-+-++-=-- 右边 （2）

例5、

说明：在解有关排列数的方程或不等式时，必须注意m n A 中的n 必须为自然数，m 为非

负整数，且n ≥m 。因此求出方程或不等式的解后，要进行检验，把不符合的解舍去。

例6、某小组6个人排队照相留念．

(1)若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？

(2)若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种排法？

(3)若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？

(4)若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？

(5)若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？

(6) 若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，男女生交叉排列，问各有多少种不同的排法？

(7)若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？

分析 (1)分两排照相实际上与排成一排照相一样，只不过把第3～6个位子看成是第二排而已，所以实际上是6个元素的全排列问题．

(2)先确定甲的排法，有P 21种；再确定乙的排法，有P 41种；最后确定其他人的排法，有P 4

4种．因为这是分步问题，所以用乘法原理，有P 21·P 41·P 44种不同排法．

(3)采用“捆绑法”，即先把甲、乙两人看成一个人，这样有P 55种不同排法．然后甲、乙两

人之间再排队，有P 22种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以有P 55·P 22种排法．

(4)甲在乙的右边与甲在乙的左边的排法各占一半，有P 66种排法．

(5)采用“插入法”，把3个女生的位子拉开，在两端和她们之间放进4张椅子，如____女____女____女____，再把3个男生放到这4个位子上，就保证任何两个男生都不会相邻了．这样

男生有P 43种排法，女生有P 33种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以共有P 43·P 33种排法．

(6) 先排3名男同学，有33A 种排法，共有4生只能排在1-3或2-4的空档内，故共有233A 33

A =72种不同的排法。 (7)符合条件的排法可分两类：一类是乙站排头，其余5人任意排有P 55

种排法；一类是乙不

站排头；由于甲不能站排头，所以排头只有从除甲、乙以外的4人中任选1人有P 41种排法，

排尾从除乙以外的4人中选一人有P 41种排法，中间4个位置无限制有P 44种排法，因为是分

步问题，应用乘法原理，所以共有P 41P 41P 44

种排法．

解 (1)P 66=720(种)

(2)P 21·P 41·P 44=2×4×24=192(种)

(3)P 55·P 22=120×2=240(种)

(4)P 66=360(种)

(5)P 43·P 33=24×6=144(种)

(6) 233A 33A =72(种) (7)P 55+P 41P 41P 44

=120+4×4×24=504(种)

或法二：(淘汰法)P 66-2P 55+P 44=720-240+24=504(种)

说明 (1)“相邻”问题，n 个元素排成一排，其中有m 个元素相连

(2)“相间”问题中，若两类元素个数相同(都是n 个)，则排列总数为2P n+1n P n n ；若两类元素

个数不同(一类n 个，另一类n+1个)，则排列总数是P n+1n+1P n n ．

(3)“次序”一定问题中，n 个元素排成一行，其中有m 个元素次序一定的排法数是P n n /P m m ．

(4)“不相邻”问题中，n 个元素排成一行，其中有m 个元素两两不

例7、

这两种方法，哪一个比较简便，要根据具体的题目做出选择。

例8、 以2、3、4、5四个数组成没有重复数字的四位数．(1)求所有这样的四位数的数字之和．(2)求所有这些四位数之和．

分析 (1)每一个这样的四位数的数字之和相同，都是2+3+4+5=14．故问题的关键是求有多少个这样的四位数．由排列公式易得四位数的个数为A 44．

(2)解此问必须采用不同于第一问的思维方法．因为任意一个四位数abcd 都可以写成a ×103+b ×102+c ×10+d 形式．在所有这些四位数中，“2”在千位、百位、十位、个位均出现A 33次；而“3”、“4”、“5”亦和“2”的情况相同．

解 (1)所有这些四位数的数字之和为14A 44=336．

(2)所有这些四位数的和为(2+3+4+5)A 33(103+102+10+1)=93324．

答 (1)和为336；(2)和为93324． 【一周一练】

一、选择题：

1、从数集M={1，2，3}到数集N={1，2，3，4}的不同映射的个数是（ ）

A 、81

B 、64

C 、24

D 、12

2、某城市的电话号码，由六位数改为七位数（首位数字均不为零），则该城市可增加的电话门数是（ ）

A 、81×105

B 、9×106

C 、8×96

D 、9×8×7×6×5×4×3

3、(x-m) (x-m-1)……(x-9) （x, m ∈N 且x>m ）用排列数表示是（ ）

A 、19--x m x A

B 、m

m x A --10 C 、m m x A --9 D 、m m x A --8

5、用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于5000的偶数共有（ ）

A 、60个

B 、48个

C 、36个

D 、24个

6、用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的四位数，则在这些四位数中，偶数的个数是（）

A、36个

B、60个

C、96个

D、120个

7、五名男生和两名女生排成一排照相，若男生甲必须站在左端或右端，两名女生必须站在一起，那么可能的各种排法共有（）

A、480种

B、360种

C、240种

D、120种

二、填空题：

8、从a, b, c三个不同元素中，取出两个不同元素的排列有____________。

9、用0，1，2，3这四个数字组成个位数字不为1的没有重复数字的四位数，共有______个。

10、四人跑4×100米接力，其中甲不跑第一棒，乙不跑最后一棒，共有______种不同的组队方法。

11、由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的数共有____个。

12、由1，4，5，x四个数字组成没有重复数字的四位数，若所有这些四位数的各数位上的数字之和288，则数x等于________。

三、解答题：

13、七位同学排队照相留念。

（1）若分成前后两排照相，前排3人，后排4人，有多少中不同的排法？

（2）在题（1）的情况下，甲必须站在前排，乙必须站在后排，又有多少种不同的排法？

14、在3000到9000之间，（1）有多少个没有重复数字且能被5整除的奇数？（2）有多少个没有重复数字的奇数？

【一周一练答案】

一、选择题：

1、B

2、A

3、B

4、C

5、C

6、B

7、A

二、填空题：

8、ab, ac,bc, ba, cb, ca 9、14

10、14 11、300 12、2

三、解答题：

13、（1）77A =5040 （2）13A 14A 55

A =1440 14、（1）15A 28A =280 （2）1512