函数图像及变换解读

函数图像及其变换

上海师范大学附属外国语中学 李庆兵

函数是整个高中数学的重点和难点，高中阶段对函数性质的研究往往是通过研究函数图像及其变换得到的，所以函数图像及其变换也就成为高考的固定考点。历年高考考试大纲中都明确要求，学生要“会运用函数图像理解和研究函数的性质”，并且与前几年比较可以发现，近几年高考对于函数图像方面的考查已经不再局限于对几个常见函数本身的单一的考查，而是结合函数的运算，更为深刻地考查函数与函数、函数与方程、函数与不等式、函数与其他学科或现实生活等方面的联系。这就要求我们不仅要熟练掌握一些基本函数的图像特征及函数图像变换的几种常见方法，而且要会灵活运用。下面笔者就结合近几年的一些高考试题，谈一些函数图像及其变换和应用方面的问题，希望能引起正在忙于备考的高三教师和学子们的重视，并给他们带来一些启发。

（一）平移变换及其应用：

函数00)(y x x f y +-=的图像可以看作是由函数)(x f y =的图像先向左0(x ＞0）或向右（0x ＜0）平移||0x 个单位，再向上0(y ＞0）或向下（0y ＜0）平移||0y 个单位得到。如：

例1、（2008上海理11）方程0122=-+x x 的解可视为函数2+=x y 的图象与函数x

y 1=的图象交点的横坐标。若方程044=-+ax x 的各个实根)4(,,,21≤k k x x x x 所对应的点),,2,1)(4,(k i x x i

i =均在直线x y =的同侧，则实数a 的取值范围是 。

（图一） （图二）

分析：由题意，方程044=-+ax x 的解可视为函数a x y +=3的图象与函数x

y 4=的图象交点的横坐标。这些交点可以看作是由函数3x y =的图象经过上下平移得到，由图（1）

可知，函数3x y =与函数x

y 4=的图象分别交于点P 、Q ，且点P 在直线上方，点Q 在直线x 4=

下方，要使得方程044

=-+ax x 的各个实根)4(,,,21≤k k x x x x 所对应的点),,2,1)(4,(k i x x i

i =均在直线x y =的同侧，只须将函数3x y =图像上下平移，将点Q 移至函数x y 4=

图像与直线x y =交点A )2,2(--左侧或将点P 移至函数x y 4=图像与直线x y =交点B )2,2(右侧即可。将点A 与点B 坐标分别代入方程a x y +=3解得6=a 或6-=a 。从而可得实数a 的取值范围是a ＞6或a ＜－6。

（二）伸缩变换及其应用：

函数)(bx af y =的图像可以看作是由函数)(x f y =的图像先将横坐标伸长|(|b ＜1）或缩短|(|b ＞1）到原来的

|

|1b 倍，再把纵坐标伸长|(|a ＞1）或缩短|(|a ＜1）到原来的||a 倍即可得到。如： 例2、（2008上海文11）在平面直角坐标系中，点C B A ,,的坐标分别为)6,2(),2,4(),1,0(。如果),(y x P 是△ABC 围成的区域（含边界）上的点，那么当xy =ω取得最大值时，点P 的坐标是 。

分析：由xy =ω变形可得x y ω

=，则问题可转化为当函数x y ω

=的图象与△ABC 围成

的区域（含边界）有公共点时求ω的最大值的问题。由函数图像伸缩变换的规律可知，ω的值越大，则函数x y ω

=图象上点的横纵坐标越大，即图像整体越向上移动，由此可以判定，

当ω取得最大值时，函数x y ω=

的图象与△ABC 的边BC 相切或过经点C 。下面求点P 的坐

标。 法一：由线段BC 与函数的解析式联立方程组可得?????≤≤+-==).

42(102,x x y x y ω消去y 得方程01022=+-ωx x ，由判别式△=0解得225=ω，此时25=x ，从而得点)5,2

5(P 。即所求点P 的坐标是)5,2

5(P 。

法二：线段BC 的方程为：)40(102≤≤=+x y x ， 则225)22(212212=+≤??==

=y x y x xy ω，当且仅当52==y x ，即.5,2

5==y x 所以所求点P 的坐标是)5,25(P 。

（三）对称变换：

函数当中，图像关于某点或某条直线对称的情况较多，除函数的奇偶性、互为反函数的两函数与对称性有关之外，还经常会出现其他一些情况，这就需要我们能够掌握“以点代线”的数学方法对具体情况进行分析。常见情况有以下几种。

1、关于特殊直线的轴对称变换：）

（轴x f y x f y y -=?→?=)(； ）

（轴x f y x f y x -=?→?=)( ； ）（y f x x f y x y =??→?==)(（两者互为反函数）； 2、关于特殊点的对称变换：）

（），原点（x f y x f y --=???→?=00)(； 3、局部对称变换：偶函数），

）（(||)(x f y x f y =?→?= ；

）（||)(x f y x f y =?→?= 注：以上为两个函数图像之间的关系。

4、自身对称变换：若函数y=f （x ）满足），（）（或x a f x a f x a f x f +=--=)2()(则函数y=f （x ）的图像关于直线x=a 对称。特别地，当0=a 时，函数)(x f 为偶函数。

若函数y=f （x ）满足)()(x f x f -=-，则函数y=f （x ）的图像关于原点成中心对称。即函数)(x f 为奇函数。

例3、（2005上海理16）设定义域为R 的函数,1,01||,1|lg |)(??

?=≠-=x x x x f 则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是（ ）

A 、b ＜0且c ＞0

B 、b ＞0且c ＜0

C 、b ＜0且0=c

D 、0≥b 且0=c 。

（图三） （图四）

分析：函数)1(||1|lg |≠-=x x y 的图像是由函数||lg x y =的图像先向右平移一个单位，得到函数)1(|1|lg ≠-=x x y 的图像，再将函数)1(|1|lg ≠-=x x y 的图像位于x 轴)1( x ||1|lg |x y -=b -

上方部分保持不变，下方的部分关于x 轴通过局部对称得到。又因为0)1(=f ，所以由（图

三）可知，函数)(x f 图像与x 轴有三个公共点。

方程0)()(2=++c x bf x f 中，若b ＜0且0=c ，则由0)()(2=+x bf x f 可得0)(=x f 或b x f -=)(。结合函数)(x f 图像易知，方程0)(=x f 有三个不同的解，方程

b x f -=)(有四个不同的解，即方程0)()(2=++

c x bf x f 有7个不同实数解。所以选C 。

值得一提的是，在高考当中，对函数图像的考查，并不一定考查某一单一的变换，有时可能是几种变换同时考查。如：

例4、（2003上海理16）)(x f 是定义在区间],[c c -上的奇函数，其图像如图（四），令b x af x g +=)()(，则下列关于函数)(x g 的叙述正确的是（ ）

（A ）若a ＜0，则函数)(x g 的图像关于原点对称；

（B ）若1=a ，0＜b ＜2，则方程0)(=x g 有大于2的实根；

（C ）若2-=a ，b=0，则函数)(x g 的图像关于y 轴对称；

（D ）若0≠a ，b=2，则方程0)(=x g 有3个实根。

分析：由图（2）知)00(=f ，若b ≠0，则0)0(≠=b g ，此时)(x g 的图像不关于原点对称，所以A 选择支不符合题意。当1-=a 时，)(x g 的图像可由)(x f 的图像关于x 轴对称，再向下平移||b 个单位得到。此时b b f g =+-=)2()2(＜0，而b c f c g +-=)()(，∵)()(c f c f -=-＞2，而b ＞－2，∴)(c g ＞0。所以，方程0)(=x g 在（2，c ）内必有实根，所以B 选择支正确，故选B 。

当||a ＜1且b=2时，方程0)(=x g 至多有一个实根，所以C 选择支不符合题意。又当b ≤－2时，方程g （x ）=0的实根少于三个，所以D 选择支也不符合题意。

（四）旋转变换：

图像的旋转变换可借助三角形的全等，找到特殊点经旋转变换后所得点的坐标，进而发现图像变换的规律。如图五（甲）中函数)(x f 图像上点),(b a P 绕原点顺时针方向旋转090后得点1P ，可借助△Q OP 1≌△OPQ 得到点1P 的坐标),(a b -，

从而可知函数)(x f 图像绕原点顺时针方向旋转090后即函数)(1x f y --=的图像。同理可得图（乙）中的情况。

1、）

（绕原点顺时针方向旋转x f y x f y 1900

)(--=???????→?=； 2、）（绕原点逆时针方向旋转x f y x f y -=???????→?=-1900)(；

（甲）

（乙） （

图五）

说明：关于绕原点旋转0180的变换实际上就是关于原点对称的问题。

例5、（04

上海理15）若函数)(x f 的图像可由函数)1lg(+=x y 的图像绕坐标原点逆时针旋转090得到，则)(x f 的解析式是（ ）

（A ）110-x （B ）x 101- （C ）x --101 （D ）110--x 。

分析：由前述概念易知，110)(-=-x x f ，即答案选D 。

（五）复杂函数的图像：

对于一些通过简单函数加减运算得到的较为复杂的函数图像，我们可以借助叠加法作出函数图像。如：

例6、（2002上海15）函数],[|,|sin )(ππ-∈+=x x x x f 的大致图像是（ ）

（B ） （C ） （D ）

（图六）

分析：在同一坐标系中分别作出函数x x g =)(与||sin )(x x h =在区间],[ππ-∈x 上的图像，并进行简单的叠加，即可得到函数],[|,|sin )(ππ-∈+=x x x x f 的图像为D 选择支所示的图像。

对于一些较为复杂的复合函数，有时需要综合考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性，甚至渐进性作出函数图像。如：

)()(x f y b =))(1x f --x )(x f =y (y =),a b

例7、（2004上海市闸北区模拟题）函数)

1)(1()(3

+-=x x x x f 的部分图像大致是（ ）

（A ）

（B ） （C

） （

D ）

（图七

）

分析：①由函数解析式的分母0

)1)(1(≠+-x x 可知，x ≠±1，所以x=±1

是函数)(x f y =图像的两条渐进线；②由)()(x f x f -=-可知函数)(x f y =为奇函数；③当)0,1(-∈x 时，)(x f ＞0。综合上述条件可知，B 选择支满足题意。

（六）关于某一物理或化学变化过程的变化规律或与现实生活相关的函数图像问题： 二期课改提出，要让“人人学有用的数学”，也就是要学以致用。所以与现实生活密切相关的一些数学问题在高考试题中出现也就成为必然。对于这类问题，需要我们仔细研究事物运动变化的过程，进而用图像将这一过程描绘出来即可。如：

例8、（2008全国卷Ⅰ（2））汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是 （ ）

A B C D

（图八）

分析：汽车启动后加速度应是越来越大，即路程变化较快，反映到函数图像上，图像变化率应越来越大，汽车加速后有一段匀速行驶的过程，路程应越来越大，且变化率保持不变，反映到函数图像上，图像应呈上升的线段，而后汽车做减速运动，反映到函数图像上，图像变化率越来越小，但路程继续增大。所以选A 答案。

函数图像及其变换要求了解几种常见函数如反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、对勾函数))0()( ab x b ax x f +

=、双刀函数（))0()( ab x

b ax x f +=等，掌握它们的性质，如定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、渐近性等。在此基础上熟练掌握函数图像的几种变换，如平移变换、伸缩变换、对称变换、旋转变换等。这样我们就可以把握函数函数图像变化规律，研究函数的性质。 t t t