建筑力学大纲 知识点第三章 平面力系得平衡条件

第3章 平面力系的平衡条件

3.1平面汇交力系的合成与平衡条件

力系中各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点，这样的力系称为平面汇交力系。 3.1.1 平面汇交力系合成的解析法

设作用于O 点的平面汇交力系（F 1，F 2，…，F n ），其合力矢量为R F （图3-2）。按合力投影定理求合力R F 在x , y 轴上的投影

∑∑====n

i yi

Ry n

i xi

Rx F F F F 1

1

y

图3-2

R F = cos Rx

R

F F α=

(3-1) cos Ry R

F F β=

式中

α，β------合力矢量F R 与x 和y 轴的正向夹角。

3.1.2 平面汇交力系的平衡方程

平面汇交力系平衡的必要与充分条件是力系的合力F R 等于零。

1

0n

Rx xi i F F ===∑

1

0n

Ry yi

i F F

==

=∑ (3-2)

于是，平面汇交力系平衡的必要与充分条件可解析地表达为：力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别为零。式(3-2)称为平面汇交力系的平衡方程。

3.2平面力偶系的合成与平衡条件

3.2.1 平面力偶系的合成

应用力偶的等效条件，可将n 个力偶合成为一合力偶，合力偶矩记为M 。

∑==n

i i M M 1

(3-3)

3.2.2 平面力偶系的平衡条件

平面力偶系平衡的必要与充分条件：力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零,即 1

0n

i

i M M

==

=∑ (3-4)

3.3平面任意力系的合成与平衡条件

3.3.1工程中的平面任意力系问题

力系中各力的作用线在同一平面内，且任意地分布，这样的力系称为平面任意力系。 3.3.2 平面任意力系向一点的简化 主矢和主矩

如图3-7（a ）所示。在力系作用面内任选一点O ，将力系向O 点简化，并称O 点为简化中心。

i ′

图3-7

由力12,,,n F F F '''L 所组成的平面汇交力系，可简化为作用于简化中心O 的一个力R

F '，该力矢量

∑==

n

i i R

F F 1

'

(3-5)

R F '称作平面任意力系的主矢。

由附加力偶所组成的平面力偶系，可简化为一力偶，此力偶的力偶矩以M O 表示，则有 ∑==

n

i i o

o F M

M 1

)( (3-6)

0M 称为平面任意力系相对于简化中心O 的主矩。

3.3.3平面任意力系简化结果的讨论

平面任意力系简化的最终结果可能有以下三种情况： 1．平衡力系 2．合力偶 3．合力

3.3.4平面任意力系的平衡条件 平衡方程 1.平面任意力系的平衡条件 平衡方程

当平面任意力系的主矢R

F '和主矩O 0M =时，平面任意力系为平衡力系。 平面任意力系的平衡方程

)(001

11===∑∑∑===n i i o

n

i yi

n

i xi

F M

F

F

(3-11)

2.平面任意力系平衡方程的多矩式形式

平面任意力系的平衡方程还可以写成二矩式和三矩式的形式。

二矩式平衡方程的形式是

∑∑∑======n

i xi

n

i i B

n

i i A

F

F M

F M

1

110

0)(0

)( （3-12） 三矩式平衡方程的形式是

∑∑∑======n

i i C

n

i i B

n

i i A

F M

F M

F M

1

110

)(0)(0)( （3-13）

3.4 平面平行力系的平衡方程

平面平行力系的平衡方程。

)(0

1

1==∑∑==n i i o

n

i yi

F M

F

(3-14)

3.5物体系的平衡问题

在工程中常常用若干构件通过某种连接方式组成机构或结构，用以传递运动或承受荷载。这些机构或结构统称为物体系。

小结

1．平面汇交力系合成的结果是一合力，合力作用于力系的汇交点。合力的大小和方向 可用合力投影定理求合力在直角坐标系两个轴上的投影，按式(3-1)决定合力的大小和方向。

2．平面汇交力系的平衡条件是力系的合力为零。平衡的解析条件是合力在两个坐标轴上的投影分别为零，即

∑∑====n

i yi

n

i xi

F

F

1

10

3．应用平衡方程解题，作受力分析时，需假定未知力的指向。通过平衡方程求解未知力值，并由所求值的正负号判定所假定未知力的指向是否符合实际。

4．平面力偶系可以合成为一合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。 平面力偶系的平衡条件（平衡方程）是合力偶矩为零，即

∑==n

i i M M 1

=0

5．平面任意力系向一点简化的实质是：以力的平移定理为工具，将平面任意力系分解为平面汇交力系和平面力偶系，使得平面任意力系的简化问题转化为平面汇交力系和平面力偶系的简化问题。因此，平面任意力系向一点简化的一般结果必然是简化中心上的一力和一个力偶，即平面任意力系一般说等效于一力和一力偶。此力的矢量等于力系中各力的矢量和，

即1

n

R

i i F F ='=∑，称为平面任意力系的主矢；此力偶的矩等于力系中各力对简化中心的矩的代

数和，即O O

1

()n

i i M m

F ==

∑，称为平面任意力系相对简化中心的主矩。

6．主矢与简化中心的位置无关。在主矩等于零的特殊情况下，力R

F '与原力系等效，是原力系的合力。

主矩一般与简化中心的位置有关。在主矢等于零的特殊情况下，原力系与力偶系等效，即与一力偶等效。这时，主矩与简化中心的位置无关，且主矩可以称为原力系的合力偶矩。

完成平面任意力系向一点的简化，归结为求力系的主矢和对简化中心的主矩，对给定的平面任意力系，主矢和主矩可按式(3-5)~(3-8)求得。

7．平面任意力系有三个独立的平衡方程，可用于求解三个未知量。 平面任意力系的平衡方程可写成一矩式，即

)(001

11===∑∑∑===n i i o

n

i yi

n

i xi

F M

F

F

也可写成二矩式、三矩式形式，后两种形式的平衡方程是有附加条件的。

应在掌握好一矩式平衡方程的基础上，掌握二矩式、三矩式平衡方程。

8．物体系的平衡问题是本章中最难掌握的内容，不同的问题解法不一样。解题时分析、思考的基本原则应是：正确地分析物体系整体和各局部的受力情况，在此基础上根据问题的条件和要求，恰当地选取分离体，恰当地选择平衡方程，恰当地选择投影轴和矩心，建立最

优的解题思路。实践这一原则既是求解物体系平衡问题本身的需要，也是培养能力、提高智力的需要。

应在掌握好单个物体平衡问题的基础上，掌握物体系的平衡问题。