【章节教案】第七章平行线的证明全章教案
第七章平行线的证明
1．为什么要证明
一、学生知识状况分析
学生的技能基础：学生经历了很多验证结论合理性的过程，有了初步的逻辑推理思维。
学生活动经验基础：学生已经参与了对几何图形的观察、比较、动手操作、猜测、归纳等活动，对今天本节课的分组讨论、自主探究等活动有很大的帮助．
二、教学任务分析
学生的直观能力是仅有对图形的直观感受而不能进行推理、论证，有时是会产生错误的结论，本课时的教学目标是：
1.运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某些问题的结论正确与否．
2.经历观察、验证、归纳等过程，使学生认识证明的必要性，培养学生的推理意识．
3.了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等．
三、教学过程：
1、验证活动（1）
某学习小组发现，当n=0，1，2，3时，代数式n2-n+11的值都是质数，于是得到结论：对于所有自然数n， n2-n+11的值都是质数．你认为呢？与同伴交流．
注意事项：
学生通过列表归纳，根据自己以往的经验判断，在n=10以前都一直认为n 2-n+11是一个质数，但当n=10时，找到了一个反例，进而发现不能根据少数几个现象轻易肯定某个数学结论的正确性．
2、验证活动（2）
如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多
大（把地球看成球形）？能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？ 参考答案：设赤道周长为c ，铁丝与地球赤道之间的间隙为 ：
)(16.021
221m c c ≈=-+π
ππ 它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头． 注意事项：
要充分让学生发表自己的见解，首先让学生对自己的结论确信无疑，再进一步计算，结果与学生的感觉产生矛盾，切忌直接进行计算，把结论告诉学生。 3、反馈练习
1.如图中两条线段a 与b 的长度相等吗？请你先观察，再度量一下. 答案：a 与b 的长度相等.
第1小题图第2小题图
2.如图中三条线段a、b、c,哪一条线段与线段d在同一直线上？请你先观察，再用三角尺验证一下.
答案：线段b与线段d在同一直线上.
3.当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数吗？
答案：经验证：当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数.
4、课堂小结
5、巩固练习课本第217页习题7.1 第2，3题．
四、教学反思
2．定义与命题（第1课时）
一、学生知识状况分析
学生技能基础：本节课将对学生传授定义与命题的基本含义，学生对此已经有比较多的经验和基础．
活动经验基础：学生对本节课将要采取的讨论、举例说明等学习方式有了比较深刻的认识，为今天的学习作了必要的铺垫．
二、教学目标是：
1.了解定义与命题的含义，会区分某些语句是不是命题．
2.用比较数学化的观点来审视生活中或数学学习中遇到的语句
特征．
三、教学过程
1、情景引入在这个小品中，你得到什么启示？
（人与人之间的交流必须在对某些名称和术语有共同认识的情况下才能进行.为此，我们需要给出它们的定义.）
（很多学生对黑客的概念是很熟悉的，而小品中出现的黑客的定义与自己所熟知的黑客的概念完全不同，由此产生了对定义的兴趣．）
2、命题含义（情景引入）
活动内容：
①师：如果B处水流受到污
染，那么____处水流便受到污染;
如果C处水流受到污染，那么
____处水流便受到污染；
如果D处水流受到污染，那么____处水流便受到污染；
②学生自编自练：如果____处水流受到污染，那么____处水流便
受到污染．
归纳：在假设的前提条件下，对某一处受到污染作出了判断.像这样，对事情作出判断的句子，就叫做命题.
3、反馈练习.举出一些不是命题的语句.
如：①画线段AB=3 cm.
②两条直线相交，有几个交点？
③等于同一个角的两个角相等吗？
④在射线OA上，任取两点B、C.等等.
4、课堂小结
①定义的含义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是它们的定义；
②命题的含义：判断一件事情的句子，叫做命题，如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题．
5、课后练习
搜集八年级数学课本中的新学的部分定义、命题，看谁找得多．6、教学反思
2．定义与命题（第2课时）
一、知识状况
学生技能基础：学生已经学习过一些公理和定理。
活动经验基础：学生对本节课主要采取学生分组交流、讨论、举例说明的学习方式的活动经验．
二、教学任务
本节课的教学目标是：
1.了解命题中的真命题、假命题、定理的含义；
2.解命题的构成，能区分命题中的条件和结论。
三、教学过程
1、回顾引入
①什么叫做定义？举例说明．②什么叫命题？举例说明．
2、探索命题的结构
活动内容：
①探讨命题的结构特征
观察下列命题，发现它们的结构有什么共同特征？
（1）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等．
（2）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等．
②总结命题的结构特征
（1）上述命题都是“如果……，那么……”的形式．
（2）“如果……”是已知的事项，“那么……”是由已知事项推断出的结论．
3、思考探讨
①找出下述命题中的条件和结论，指出它们哪些是正确的命题？
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；
（2）如果a＞b，b＞c，那么a＝c；
②探究真假命题的验证
结论：正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．
4、读一读
①介绍《几何原本》、公理、定理等知识．
②公理、定理、概念和证明的关系．
③介绍本教材的公理．
5、课堂反思与小结
课后练习：课本第227页习题6.3 第 1、2、3题
四、教学反思
3．平行线的判定
一、知识状况
学生技能基础：学生对平行线的判定已经比较熟悉，有初步的逻辑推理能力，对简单的证明步骤有较清楚的认识。
活动经验基础：学生对动手操作、猜想、说理、讨论等活动形式比较熟悉，学生已经具备必要的基础．
二、教学任务
本课时的教学目标是：
1.熟练掌握平行线的判定公理及定理；
2.能对平行线的判定进行灵活运用，并把它们应用于几何证明中．
3.通过学生画图、讨论、推理等活动，给学生渗透化归思想和分
类思想．
三、教学过程 1、情景引入
探索平行线判定方法的证明
① 证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
（在书写的同时说明：符号“∵”读作“因为”，“∴”读作“所以”） 证明：∵∠1与∠2互补（已知） ∴∠1+∠
2=180°（互补定义）
∴∠1=180°－∠2（等式的性质）
∵
∠3+∠2=180°（平角定义）
∴∠3=180°－∠2（等式的性质） ∴∠1=∠3（等量代换）
∴a ∥b （同位角相等，两直线平行）
这一定理可简单地写成：同旁内角互补，两直线平行． ② 证明：内错角相等,两直线平行．
1
2
3
a
b
c
分析：已知，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角，且∠1=∠2．
求证：a∥b
A B
C D E
F
证明：∵∠1=∠2（已知）∠1+∠3=180°（平角定义）∴∠2+∠3=180°（等量代换）∴∠2与∠3互补（互补的定义）
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．
这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理：内错角相等，两直线平行．
③借助“同位角相等，两直线平行”这一公理，你还能证明哪些熟悉的结论呢？
生1：已知，如图，直线a⊥c,b⊥c．求证：a∥b．
证明：∵a⊥c,b⊥c（已知）
∴∠1=90°∠2=90°（垂直的定义）
∴∠1=∠2（等量代换）
∴b∥a（同位角相等，两直线平行）
生2：由此可以得到：“如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这
两条直线平行”的结论．
3、反馈练习
课本第231页的随堂练习第一题
4、课堂小结
①这节课我们主要探讨了平行线的判定定理的证明．同学们来归纳一下完成下表：
②由角的大小关系来证两直线平行的方法，再一次体现了“数”与“形”的关系；而应用这些公理、定理时，必须能在图形中准确地识别出有关的角．
③注意：证明语言的规范化．推理过程要有依据．
课后作业：课本第232页习题6.4第1，2，3题
四、教学反思
4．平行线的性质
一、知识状况
学生技能基础：学生有初步的逻辑推理能力，对简单的证明步骤有了更为清楚的认识．
活动经验基础：学生对动手操作、猜想、说理、讨论等活动形式比较熟悉，本节课主要采取学生分组交流、讨论等学习方式．
二、教学目标是：
1.认识平行线的三条性质。
2.能熟练运用这三条性质证明几何题。
3.进一步理解和总结证明的步骤、格式、方法．
三、教学过程
1、情境引入
一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，
第一次拐的角∠B是130°，第二次拐的角∠C
是多少度？
说明：这是一个实际问题，要求出∠C的度数，需要我们研究与判定相反的问题，即已知两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角有什么关系，也就是平行线的性质．
2、探索与应用
①画出直线AB的平行线CD，结合画图过程思考画出的平行线，被第三条直线所截的同位角的关系是怎样的？
②平行公理：两直线平行同位角相等．
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．
证明：∵a∥b(已知)
∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等)
∵∠1＋∠4=180°(邻补角定义)
∴∠2+∠4＝180°(等量代换)
即：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，简单说成，两直线平行，同旁内角互补
3、课堂练习
①已知平行线AB、CD被直线AE所截
(1)若∠1=110°,可以知道∠2是多少度吗？为什么？
(2)若∠1=110°，可以知道∠3是多少度吗？
为什么？
②变式训练：如图是梯形有上底的一部分，已
知量得∠A=115°，∠D＝100°，梯形另外两个角各是多少度？
4、课堂小结
①归纳两直线平行的判定与性质
②总结证明的一般思路及步骤
课后练习：
四、教学反思
5．三角形内角和定理（第1课时）
一、知识状况
学生技能基础：经过平行线的判定定理与平行线的性质定理以及它们的严格证明，也熟悉三角形内角和定理的内容。
活动经验基础：本节课主要采取的活动形式是学生非常熟悉的自主探究与合作交流的学习方式。
二、教学目标是：
1.掌握三角形内角和定理的证明及简单应用。
2.灵活运用三角形内角和定理解决相关问题。
3.用多种方法证明三角形定理，培养一题多解的能力。
三、教学过程
1、情境引入
活动内容：（1）用折纸的方法验证三角形内角和定理．
实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，
折线与对边平行（图6－38（1））然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果
（1） （2） （3） （4） 试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，还有其它折法吗？
（2）实验2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起。 步过渡到严格的证明． 2、探索新知
① 用严谨的证明来论证三角形内角和定理． ② 看哪个同学想的方法最多？
方法一：过A 点作DE ∥BC ∵DE ∥BC
A
B
C
D
E
A
B
C
E
D
∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C（两直线平行，内错角相等）
∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°
∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换)
方法二：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA．
∵CE∥BA
∴∠B=∠ECD（两直线平行，同位角相等）
∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等）
∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换)
3、反馈练习
（1）△ABC中可以有3个锐角吗？ 3个直角呢？ 2个直角呢？若有1个直角另外两角有什么特点？
（2）△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=？
（3）∠A=50°，∠B=∠C，则△ABC中∠B=？
5、课堂小结
证明三角形内角和定理有哪几种方法？
辅助线的作法技巧.
三角形内角和定理的简单应用.
课后练习：课本随堂练习
四、教学反思
5．三角形内角和定理（第2课时）
一、知识状况
学生技能基础：学习了三角形内角和定理的证明以及相关应用，具有一定的逻辑思维能力和严谨推理习惯．
活动经验基础：学生熟悉的自主探究与合作交流相结合、实践和理性证明相结合的学习方式．
二、教学目标是：
1.掌握三角形外角的两条性质；
2.进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧．
3.灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题。
三、教学过程
1、情境引入
在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？
2、探索新知
①三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角，结合图形指明外角的特征有三：
(1)顶点在三角形的一个顶点上．
(2)一条边是三角形的一边．
(3)另一条边是三角形某条边的延长线．
②两个推论及其应用
由学生探讨三角形外角的性质：
问题1：如图，△ABC 中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD 是△ABC 的一个外角，能由∠A 、∠B 求出∠ACD 吗？如果能，∠ACD 与∠A 、∠B 有什么关系？
问题2：任意一个△ABC 的一个外角∠ACD 与∠A 、∠B 的大小会有什么关系呢？
由学生归纳得出：
推论1： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
推论 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 例1、已知：∠BAF ，∠CBD ，∠ACE 是△ABC 的三个外角．
求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°
分析：把每个外角表示为与之不相邻的两个内角之和即得证．
证明：(略)．
例2、已知：D 是AB 上一点,E 是AC 上一点，BE 、CD 相交于F,∠A=62°，
∠ACD=35°，∠ABE=20°．求：(1)∠BDC 度数；(2)∠BFD 度数． 解：(略)．
3、课堂练习
（1）已知，如图，在三角形ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C．求证：AD∥BC
4、课堂小结
归纳本节课所学知识：
推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．推论 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．课后练习：随堂练习第1题
四、教学反思
回顾与思考
一、学生情况分析
学生的技能基础：学生在已经接触了几何学的许多基本概念，有了一些基本的逻辑思维判断能力，在几何证明的推理上也有了长足的进步．
学生活动经验基础：学生已经经历了观察、动手操作、说理、推理论证等几何活动，获得了解决实际问题所必须的一些数学活动经验基础
二、教学目标是：
（1）了解命题的概念与命题的构成；
（2）熟悉平行线的性质定理与判定定理，三角形内角和定理及三
角形的外角的性质等概念； 数学能力：
（1）培养学生的逻辑思维能力，发展学生的合情推理能力； （2）掌握证明的步骤与格式． 三、教学过程 1、 知识回顾
1.什么是定义？什么是命题？命题由哪两部分组成？举
例说明！
2.平行线的性质定理与判定定理分别是什么？
3.三角形内角和定理是什么？
4.与三角形的外角相关有哪些性质？
5.证明题的基本步骤是什么？
}????????
?????????????????????????????
?????
?
?
??????????????????????结论题设部分条件结构反例假命题公理外角推论内角和定理三角形性质判定平行线应用证明推论定理真命题分类命题证明）（）（
2、 做一做 活动内容：
1.下列语句是命题的有（ ）
（1）两点之间线段最短；（2）向雷锋同志学习；（3）对顶角相等；
（4）花儿在春天开放；（4）对应角相等的两个三角形是全等三角形； 2.下列命题，哪些是真命题？哪些是假命题？如果是真命题，请写出条件与结论，如果是假命题，请举出反例.
（1）同角的补角相等；（2）同位角相等，两直线平行；（3）若|a |=|b |，则a =b .
3. 如图，AD 、BE 、CF 为△ABC 的三条角平分线,则：∠1+∠2+∠3=________.
4. 用两个全等的等腰直角三角尺拼成四边形，则此四边形一定是_____。
5. 如图所示，△ABC 中，∠ACD=115°，∠B=55°, 则∠A= , ∠ACB=
6. △ABC 的三个外角度数比为3∶4∶5，则它的三个外角度数分别为 _____.
7. 已知，如图，AB ∥CD ，若∠ABE =130°, ∠CDE =152°，则∠
BED =__________.
1
A
B
C
D
E
F 2
3