求二面角方法垂面法

二面角——垂面法 垂面法：

作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角.

1.设P 是二面角α－l －β内一点，P 到面α、β的距离PA 、PB 分别为8和5，且AB ＝7，求这个二面角的大小。 解：作AC ⊥l 于c ，连结BC

∵PA ⊥α，l ?α∴PA ⊥l

又AC ⊥l ，AC∩PA ＝A

∴l ⊥平面PAC ∴l ⊥PC

∵PB ⊥β，l ?β∴PB ⊥l

又PB∩PC ＝P ∴l ⊥平面PBC

∴平面PAC 与平面PBC 重合，且l ⊥BC

∴∠ACB 就是所求的二面角

△PAB 中，PA ＝8，PB ＝5，AB ＝7∴∠P ＝600 ∴∠ACB ＝1200

1.如图三棱锥P －ABC

中，PC ⊥平面ABC ，PC ＝32

，

D 是BC 的中点，且△ADC 是 D P C A

B

边长为2的正三角形，求二面角P －AB －C 的大小。 解：由已知条件，D 是BC 的中点

∴CD ＝BD ＝2又△ADC 是正三角形

∴AD ＝CD ＝BD ＝2

∴D 是△ABC 之外心又在BC 上

∴△ABC 是以∠BAC 为直角的三角形，

∴AB ⊥AC ，又PC ⊥面ABC

∴PA ⊥AB(三垂线定理)

∴∠PAC 即为二面角P －AB －C 之平面角， 易求∠PAC ＝30°

2．如图， PA=BC=6，AB=8，PB=AC=10， 234PC =，F 是线段PB 上一点，

17

3415=CF ，点E 在线段AB 上，且EF ⊥PB

（I ）求证：PB ⊥平面CEF

（II ）求二面角B —CE —F 的大小

（I ）证明：∵2221006436PC AC PA ==+=+

∴△PAC 是以∠PAC 为直角的直角三角形，同理可证 △PAB 是以∠PAB 为直角的直角三角形，△PCB 是以∠PCB

为直角的直角三角形。

故PA ⊥平面ABC 又∵3061021

||||21=??==?BC AC S PBC 而PBC S CF PB ?==??=301734

1534221||||21

故CF ⊥PB,又已知EF ⊥PB

∴PB ⊥平面CEF

（II ）由（I ）知PB ⊥CE, PA ⊥平面ABC ∴AB 是PB 在平面ABC 上的射影，故AB ⊥CE

在平面PAB 内，过F 作FF1垂直AB 交AB 于F1，则FF1⊥平面ABC ，

EF1是EF 在平面ABC 上的射影，∴EF ⊥EC 故∠FEB 是二面角B —CE —F 的平面角。 二面角B —CE —F 的大小为35

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