几何画板与分形

几何画板迭代与深度迭代

迭代是几何画板中一个很有趣的功能，它相当于程序设计的递归算法。通俗的讲就是用自身的结构来描述自身。递归算法的特点是书写简单，容易理解，但是运算消耗内存较大。

迭代：按一定的迭代规则，从原象到初象的反复映射过程。 原象：产生迭代序列的初始对象，通常称为“种子”。

初象：原象经过一系列变换操作而得到的象。与原象是相对概念。

更具体一点，在代数学中，如计算数列1，3，5，7，9......的第n 项。我们知道

12n n a a +=+，所以迭代的规则就是后一项等于前一项加2。以1作为原像，3作为

初像，迭代一次后得到5，再迭代一次得到7，以此类推。

在几何学中，迭代使一组对象产生一组新的对象。上图中A 、B 、C 、D 、E 、F ，各点相距1.88cm ，那么怎么由A 点和B 点得到其它各点呢？我们可以发现其中的规律就是从左到右，每一个点相当于前面一个点向右平移了1.88cm 。所以我们以A 点作为原像，B 点作为初像，迭代一次得到B 点，二次为C 点，以此类推。 迭代像就是迭代操作产生的象的序列，而迭代深度是指迭代的次数。

利用几何画板的深度迭代功能可以画出许多美妙的分形图形，并以几何画板为基础来研究分刑图形面积，周长的变化。 一、 谢尔宾斯基三角形

利用几何画板画法流程：

（1）先任意画好一个三角形ABC ，接着构造线段AB ，BC ，CA 的中点D ，E ，F ，选择点D ，E ，F ，再选择菜单“构造”、“三角形内部”。

(2)在“图表”中“新建参数”为n=3．依次选择点A ，8，C 和参数n ，按住shift 键不放后选择“变换”中的“深度迭代”。

(3)在初象中依次选A ，D 和F 点，再添加新的映射(按Ctrl+A)，映像2中依次选D ，B 和E

F

E D C A

点，再按Ctrl+A ，依次选F ，E 和C 点。最后选“迭代”，得到谢尔宾斯基三角形。选择n 按“+”或“一”，三角形就进行了迭代变化。

n=1

n=2

A

A

n=3

n=4

n=5

随着有色三角形越来越多，空白三角形越来越少。 我们若用有色三角形表示去掉的部分,，则剩下的面积可能趋向于0，而剩下部分的周长呢,，设分形级数为n ，初始边长为

A

A

A

1,

①新产生的小三角形数量为3n,

②一个新小三角形边长为1()

2

n,

1③谢尔宾斯基三角形周长为

1

3

2

n

n

+

,

④谢尔宾斯基三角形面积为3

*()

44

n;

⑤当n→∞时,显然其周长趋向于无穷大, 面积趋向于零。

著名的埃菲尔铁塔正是以它作为平面图的. 因为这种三角形结构可以节省材料而且强度大, 虽然铁塔并没有把分形进行到无穷, 但是它已经能在这种条件下完成了重力的转移, 充分体现了这项工程的精彩, 同时也显示了谢尔宾斯基三角形无尽的魅力.

二、分形树

分形树制作流程：

(1)画好线段AB，取中点C，双击B点，以B为旋转中心将C旋转120。得E点，旋转一120。得D点。

(2)新建参数n=3，依次选点A，B和n，用“深度迭代”将，B映射到B，E和B，D就可以了．然后可以改变参数，观看分形树的生长。

n=2

n=3

A

n=10

1.在垂直方向上画线段AB，在AB左上区域任取一点C。

2.度量CB，BA的长度，计算CB/BA；度量CBA的大小。

3.双击C点作为旋转中心，旋转角度为CBA，旋转B得到点E；继续以CB/BA为缩放比例，E点缩为F点；双击线段CB作为标记镜面，得到F点关于线段CB的对称点G。连接GC，FC。

4.双击线段AB作为标记镜面，得到C、F、G关于线段AB的对称点D、H、I，连接BD、HD、ID。

5.新建参数n=3。顺次选择A、B、C三点和参数n，作深度迭代，(A,B,C)

(B,C,G),(B,C,F),(B,D,H),(B,D,I)。

n=2

n=3

n=4

A

n=5

毕达哥拉斯树

【步骤】

1.在屏幕上以任取两点A和B，作正方形ABCD，以CD为直径作圆O，取半圆弧OCD，在该弧上任取一点E，接CE，DE。隐藏不必要的对象。

2．填充四边形ABCD，度量ABCD的面积。选择四边形和度量结果，单击【显示】【颜色】【参数】。则四边形的颜色会随它的面积变化而变化。

3.新建参数n＝4，选择A、B和n，作深度迭代，(A,B)

(D,E),(E,C)。

n=3

n=4

n=5

n=10

n=20

L—分形树

1、构造初始元

作始元竖直线段AB，在AB上作两点A1，A4，以A1为中心分别按角度36度旋转B得到B1，按角度126度旋转A4得到B4，以B为中心分别按角度-171度旋转A1为B2，按角度144度旋转A1为B3，连接A1B1、BB2、BB3、A4B4、得到以下生成元

生成元

2、删除生成元中的四枝杈线段，显示出初始元AB，新建参数n=5，以n为深度，将生成元A—B分别在A1—B1，B—B2，B—B3,A4—B4上执行深度迭代，隐藏各点得到L —分形树。

n=6（L—分形树）

以上方法所作的分形树是线性（自相似）分形树，其变换是相似变换，属于确定型L—分形，不能得到生动逼真的植物拟态图形。要模拟出栩栩如生的植物形态，就要引入随机L—分形。

1、作始元

做初始元竖直线段AB和线段CD，在CD上作点P，度量出点P在线段CD上的值，按下图左侧公式计算度量值。标记m1，以A为缩放中心B得A1，以B为缩放中心A得A4。标记m2，以A1为中心旋转B得B1。标记m3，以B为中心旋转A4得B2。标记m4，以B 为旋转中心旋转A1得B3；标记m5，以A4为标记中心旋转A得B4，连接连接A1B1、BB2、BB3、A4B4、得到以下生成元

生成元：

2、删除生成元中的四枝杈线段，显示出初始元AB，新建参数n=5，以n为深度，将生成元A—B分别在A1—B1，B—B2，B—B3,A4—B4上执行深度迭代，隐藏各点得到随机分形树。

n=6（随机分形下的L分形树）

桧树分形小枝

绘制桧树分形小枝的生成元

同Koch 曲线生成元的构造类似，桧树分形小枝生成元的构造也是通过一定的规则对单位长线段F0 进行修改变换而得到。具体变换规则如下：如下图所示，桧树分形小枝的生成元由五条长度相等的线段组成，设每条线段长度为r，第一条线段AC 和最后一条线段EB 与水平线的夹角相等，都是10°，AC 左端点A 与F0 左端点重合，EB 右端点B

与F0 右端点重合，CD与CE 成 60°角，EF 与EB 成60°角。

具体C++程序设计语言如下：

#include/*添加绘图函数头文件*/

#include/*添加数学函数头文件*/

#include

#include

using namespace std;

#define pi 3.1415926

void huishu(double x0, double y0, double x1, double y1, int k);

int main(void)

{

int n, gdriver = DETECT, gmode;/*定义迭代次数n*/

printf("Please input the value of the positive integer n (n<9):");

cin>>n;

/*输入迭代次数n*/

initgraph(&gdriver, &gmode, "");/*图形系统初始化*/