工资福利论文数学建模

论文题目：职工住房分配问题

摘要

随着社会发展趋势的引领，众多的企业单位在年终之际会对每一位员工分发一些福利，然而房价一直居高不下，单位分房自然而然成为很多企业给职工的重要福利之一。然而,采取何种方法分配才能达到最为合理公正，在分配过程中采用怎样的衡量标准等问题仍然颇具争议。本文即主要探讨如何协调各种影响因素实现合理公正分房排序问题。并试图评价其公平程度及给出可推广的解决方案。本文主要采用了层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP），它是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法，特别适用于一些难于完全定量分析的、复杂模糊的问题。根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构，在确定不同因素之间相互影响程度之时，依据Saaty建议引用数字1-9及其倒数作为标度，将难以定量分析的、复杂模糊的问题，分别以因素为行列做出正互反矩阵，利用matlaB软件处理数据，得到各个因素的权重并作为分房排序指标，进而可以较合理的划分分房人选。

由于本文主要针对于是否分房的福利，性别因素对探讨问题的影响可以不考虑在内，

1．问题的重述

为提高员工的积极性，为公司创造出更大更多的价值，单位一般会给员工发放福利，单位一些大的福利发放，如年终奖特别是住房分配等,一般采用“综合排序法”：按照职工基本情况先把职工自然分档，同档次的再进行综合排名，分档办法一般没有异议，尽管排序方法千差万别，但职工

仍有不少意见，为了寻找更加合理公正的分房办法，试综合分析图表中所给的因素，建立合适的模型，

回答以下问题。

1. 建立一个针对某种福利、适用于任意有限人数的合理排序数学模型；

2. 按照你的模型，针对下表的数据样本，给出该单位职工的排列顺序。

2．问题的分析

首先，针对各个单位企业给出的不同的福利制度，确定本文主要针对的福利是职工住房分配，进而寻找最佳的分房排序方法。其次，根据调查表明影响分房的因素有很多，在此我们主要考虑图表中所给出的因素，并对各因素大致分析可将因素分为：性别、年龄、工龄（工作时间到与今时间2014年的差值）、学位、职称、是否是双职工、带职工作时间（工作时间与毕业时间的差值）、获奖及排名。

经数据分析可发现，职工的性别因素对于是否能分配到房子或分房的概率影响较小，可以模糊化处理，忽略不计。针对表中数据还可以发现编号为1014的职工信息的采集有误差需要特殊化处理，由于数据的特殊性，不能利用整体来估算，且最终设计的模型要适合任意有限人数的排序问题，所以我们将摒弃编号为1014的职工信息。最终数据分析之后，我们确定建立层次分析法模型来合理有效的解决职工住房分配排序问题。

对于问题一：

（1）、根据各有效因素的数据及相关分析，建立正确递阶层次结构模型；

（2）、构造出各层次中的所有判断矩阵；

（3）、对层次单排序及一致性检验，对层次总排序及一致性检验。经过综合分析我们对数据进行了如下处理，单独考虑年龄会有很大的误差，所以在模型中我们用工龄来代替。

对于问题二：

3．模型的假设与符号说明

3．1 模型的假设

（1）假设题中所提的各个因素的数据是真实合理的,有关人员均无异议。

（2）假设每个人的各项条件按统一原则均可量化,而且能够充分反映出每个人力。3．2 符号说明

A——住房分配；

B1——所有职工获奖排名一项的量化分值；

B2——所有职工工龄一项的量化分值；

B3——所有职工是否是双职工的量化分值；

B4——所有职工职称的量化分值；

B5——所有职工带职学习时长的量化分值；

B6——所有职工学位的量化分值；

n ———— 准则层矩阵最大特征值的对应权向量；

i n ———— 所有教师关于第i 项因素的归一化权向量 (i=1,2,3,4)；

4．模型的准备

在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。此外，当影响某因素的因子较多时，直接考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出与他实际认为的

重要性程度不相一致的数据，甚至有可能提出一组隐含矛盾的数据。因此我们选择下列方法进行填写判断矩阵：首先查找有关工龄（工作时间到与今时间2014年的差值）、学位、职称、是否是双职工、带职工作时间（工作时间与毕业时间的差值）、获奖及排名这些因素的资料。然后向专家反复询问：针对判断矩阵的准则，其中两个元素两两比较哪个重要，重要多少，对重要性程度按1-9赋值（重要性标度值见下表）。

5．模型的建立与求解

5．1问题1 模型的建立

依据实际情况的需求往往需要我们考虑因素的分层，一般情况下需要将各个

层次的因素按其上下关系摆放好位置，并将它们之间的关系用连线连接起来。同时，为了方便后面的定量表示，一般从上到下用A 、B 、C 、D ……代表不同层次，同一层次从左到右用1、2、3、4……代表不同因素。

层次结构反映了因素之间的关系，但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心目中，有一定比例的个人倾向因素在其中。Saaty 等人建议可以采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法。即每次取两个因子i x 和j x ，以ij a 表示i x 和j x 对Z 的影响大小之比，全部比较结果用矩阵n n ij a A ?=)(表示，称A 为X Z -之间的成对比较判断矩阵（简称判断矩阵）。容易看出，若i x 与

j x 对Z 的影响之比为ij a ，则j x 与i x 对Z 的影响之比应为ij

ji a a 1

。

关于如何确定ij a 的值，大多采取搜集大量可靠数据进行分析或向填写人（专家）反复询

问，然后针对判断矩阵的准则，其中两个元素两两比较哪个重要，重要多少，对重要性程度按1-9赋值（重要性标度值见下表）。

由于过多的分级会超越人们的判断能力，既增加了作判断的难度，又容易因此而产生较多的误差，所以在此我们将采用1-9的重要性标度，且Saaty 等人还用实验方法比较了在各种不同标度下人们判断结果的正确性。

设填写后的判断矩阵为A=(a ij )n ×n ，判断矩阵具有如下性质： (1) a ij 〉0 (2) a ji =1/ a ji (3) a ii =1

根据上面性质，判断矩阵具有对称性，因此在填写时，通常先填写a ii =1部分，然后再仅需判断及

填写上三角形或下三角形的n(n-1)/2个元素就可以了。

在特殊情况下，判断矩阵可以具有传递性，即满足等式：a ij *a jk =a ik 当上式对判断矩阵所有元素都成立时，则称该判断矩阵为一致性矩阵。

5.1.2依据分层建立判断矩阵

判断矩阵的建立，一般需要从问题具体的分层来考虑，建立如下判断矩阵：

5.1.3

对准则层判断矩阵进行一致性检验并求其权向量对判断矩阵的一致性检验的步骤如下：（i ）计算一致性指标CI 1

max --=

n n

CI λ （max λ为矩阵对应的最大特征根，n 为矩阵维数）

（ii ）查找相应的平均随机一致性指标RI 。对9,,1 =n ，Saaty 给出了RI 的值，如下表3所示。

∑==

i ij

ij a

a a 1

表3.随机一致性指标RI 的数值

（ⅲ）计算一致性比例CR ：

当10.0

运用MATLAB 运算得出准则层判断矩阵（A ）的最大特征向量为max λ，则CI 的计算方式如下：

然后根据n 值查找表3可知RI 值，所以c ==

CR ，若c<=0.10则判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。

算术近似法——和法：以归一化的算术平均列向量来替代特征向量，具体做法如下：

(1)将矩阵A = (ij a ) 的每一个列向量归一化得: (2)对A* = (*ij a ) 按行求和得: (3)将i b 归一化 : ，最后得特征向量()12......T

n a b b b = (4) 计算：

最后，按照上述原理在MATLAB 中编程，运用归一化的方法，得出准则层最大特征值对应的权向量

5.4 量化所有职工在六项因素中的程度并求各项权向量

参考现实中单位企业住房分配所考虑因素的次重点，将各个因素量化建立量化方案

表5职工的量化分值

CI CR =

∑==n

j ij

i a b 1

素的权向量。

并作如下处理B=[n1',n2',n3',n4'，n5’,n6’] （B 为组合权向量） 5.5 层次总排序及一致性检验

总排序权重要自上而下地将单准则下的权重进行合成。设上一层次（A 层）包含

m A A ,,1 共m 个因素，它们的层次总排序权重分别为m a a ,,1 。又设其后的下一层次

（B 层）包含n 个因素n B B ,,1 ，它们关于j A 的层次单排序权重分别为nj j b b ,,1 （当i B 与

j A 无关联时，0=ij b ）。

现求B 层中各因素关于总目标的权重，即求B 层各因素的层次总排序权重

n b b ,,1 ，计算按下表所示方式进行，即

∑==m

j j ij i a b b 1

，n i ,,1 =。

本文中计算总权重的程序见附录，易知，∑∑===

1i i

i i

CR ωω<<0.1，层次总排序具

有一致性。 5.6 结论

最后，按照总权重排序得到结果, 即为所求问题的解决依据。我们初步建立了一个针对某种福利、适用于任意有限人数的相对合理的排序数学模型。 5.2 问题二依据第一问的模型具体问题实际分析

单位住房分配的福利发放，一般采用“综合排序法”，根据职工已有的个人信息，我们主要考虑的因素有：获奖排名、工龄、是否是双职工、职称、是否是带职学习、学位六项，本文以这五项为准则层，构造了如下图的层次分析图（图一）

图一

准则层尺度比较及判断矩阵的建立

本文实例中对准则层的尺度比较如表2所示：

注：经调查研究

由表2我们可以得到判断矩阵A 如下：

获奖排名工龄是否为双职工职称是否代职学习学位

判断矩阵的一致性检验

（i ）准则层判断矩阵（A ）的最大特征向量为max λ=6.2857 （ii ）查找相应的平均随机一致性指标RI =1.24

（ⅲ）计算一致性比例CR ：

由于c=0.04608<=0.10，所以矩阵A 的一致性是可以接受的算术近似法——和法：

按照上述原理在MATLAB 中编程，运用归一化的方法，得出准则层最大特征值对应的权向量如下：

5.4 量化所有教师在4项因素中的程度并求各项权向量

04608.0===

c RI

影响职工福利的量化分值表

5.5 层次总排序及一致性检验

本文中计算总权重的程序见附录，易知，∑∑===

1i i

i i

CR ωω<<0.1，层次总排序具

有一致性。

6．模型结果的分析与检验 7．模型的推广与改进方向

7.1模型的推广

7.1.1 本文只是给所给因素中需要考虑的权重，根据实际需要的住房分配原则, 可以调整它们的次序或相对的比重,还可以扩充、减少考虑的指标。只要衡量判断矩阵时通过一致性检验, 都能说明设定权重的合理性。

7.2模型的改进

7.2.1 层次分析法有其粗略、主观方面的局限性，它的比较、判断都是比较粗略的，不适用于精度要求高的问题；从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人的主观因素作用很大。当然，采取群体判断也是克服这一缺陷的办法。AHP 方法经过几十年的发展，许多学者针对AHP的缺点进行了改进和完善，形成了一些新理论和新方法，像群组决策、模糊决策和反馈系统理论近几年成为该领域的一个新热点。

7.2模型的改进

层次分析法有其粗略、主观方面的局限性，它的比较、判断都是比较粗略的，不适用于精度要求高的问题；从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人的主观因素作用很大。当然，采取群体判断也是克服这一缺陷的办法。AHP 方法经过几十年的发展，许多学者针对AHP的缺点进行了改进和完善，形成了一些新理论和新方法，像群组决策、模糊决策和反馈系统理论近几年成为该领域的一个新热点。

针对以上不足，可以进一步使用模糊层次分析法或主成分分析法，甚至DEDS模型。相对而言能够克服层次分析法上的主观性，突显主要考虑因素。

8．模型的优缺点

8.1模型的优点

8.1.1 本文采用层次分析法结合各方面的因素考虑比较全面合理的制定出职工住房分配问题的方法.

的关注会越来越多。正如兰开斯特(1996)曾指出，对于追求效用最大化的家庭而言，住房应视为诸多属性的集合。因此，模型在对住房属性考虑上还不够完善，在模型中还应考虑区位等其他属性因素的影响。

3、为简化问题，本文中的模型是基于稳定假设条件下的，这种稳定性是指随

着时间的推移城市状况保持不变。从短时间上分析这种假设比较符合实际情况，但从长期来看，这种假设与实际情况存在着一定差距，应考虑变量随时间变化的影响。

参考文献

[1] 姜启源. 数学模型（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，1999.

[2] 韩中庚. 数学建模方法及其应用（第二版）[M]. 北京：高等教育出版社，2009.

[3] 韩中庚. 长江水质综合评价与预测的数学模型[J]. 工程数学学报，2005,22（7）：65-75.

[4] CUMCM组委会．CUMCM问题[EB/OL]．mcm05/Problems2005a.asp

附录

求获奖排名因素影响的最大特征根及所对应的归一化特征向量：

function B1

B1=[ 6 4 1 6 1 2 4 1 1 5 1 3 1 5 1 1 1 5 1 4 1];

for i1=1:1:21;

for i2=i1:1:21;

C1(i1,i2)=B1(i1)/B1(i2);

C1(i2,i1)=1/C1(i1,i2);

i2+1;

end

[v1,d1]=eig(C1);

g1=max(max(d1)');

for i=1:21;

f1(i)=0;

for j=1:21;

f1(i)=C1(i,j)+f1(i);

j+1;

end

m1=0;

for k1=1:21;

m1=f1(k1)+m1;

end

m1;

for i=1:21;

n1(i)=f1(i)/m1;

end

结果：

n1 =

Columns 1 through 14

0.1091 0.0727 0.0182 0.1091 0.0182 0.0364 0.0727 0.0182 0.0182 0.0909 0.0182 0.0545 0.0182 0.0909

Columns 15 through 21

0.0182 0.0182 0.0182 0.0909 0.0182 0.0727 0.0182 %求工龄因素影响的最大特征根及所对应的归一化特征向量：

程序如下：

function B2

B2=[ 5 3 4 5 4 3 2 2 3 1 2 2 2 2 1 1 3 1 2 2 2];

for i1=1:1:21;

for i2=i1:1:21;

C2(i1,i2)=B2(i1)/B2(i2);

C2(i2,i1)=1/C2(i1,i2);

i2+1;

end

[v2,d2]=eig(C2);

g2=max(max(d2)');

for i=1:21;

f2(i)=0;

for j=1:21;

f2(i)=C2(i,j)+f2(i);

j+1;

end

m2=0;

for k2=1:21;

m2=f2(k2)+m2;

end

m2;

for i=1:21;

n2(i)=f2(i)/m2;

end

结果为：

n2 =

Columns 1 through 14

0.0962 0.0577 0.0769 0.0962 0.0769 0.0577 0.0385 0.0385 0.0577 0.0192 0.0385 0.0385 0.0385 0.0385

Columns 15 through 21

0.0192 0.0192 0.0577 0.0192 0.0385 0.0385 0.0385

%求双职工因素影响的最大特征根及所对应的归一化特征向量：

function B3

B3=[ 1 5 1 5 1 1 1 1 1 5 1 1 1 5 1 1 1 5 1 1 1 ];

for i1=1:1:21;

for i2=i1:1:21;

C2(i1,i2)=B3(i1)/B3(i2);

C2(i2,i1)=1/C2(i1,i2);

i2+1;

end

[v2,d2]=eig(C2);

g2=max(max(d2)');

for i=1:21;

f2(i)=0;

for j=1:21;

f2(i)=C2(i,j)+f2(i);

j+1;

end

m2=0;

for k2=1:21;

m2=f2(k2)+m2;

end

m2;

for i=1:21;

n3(i)=f2(i)/m2;

end

Columns 1 through 14

0.0244 0.1220 0.0244 0.1220 0.0244 0.0244 0.0244 0.0244 0.0244 0.1220 0.0244 0.0244 0.0244 0.1220

Columns 15 through 21

0.0244 0.0244 0.0244 0.1220 0.0244 0.0244 0.0244

%求职称因素影响的最大特征根及所对应的归一化特征向量：

function B4

B4=[ 5 5 5 5 5 3 3 3 5 3 3 3 3 1 1 1 3 3 3 1 1 ];

for i1=1:1:21;

for i2=i1:1:21;

C2(i1,i2)=B4(i1)/B4(i2);

C2(i2,i1)=1/C2(i1,i2);

i2+1;

end

[v2,d2]=eig(C2);

g2=max(max(d2)');

for i=1:21;

f2(i)=0;

for j=1:21;

f2(i)=C2(i,j)+f2(i);

j+1;

end

m2=0;

for k2=1:21;

m2=f2(k2)+m2;

end

m2;

for i=1:21;

n4(i)=f2(i)/m2;

end

Columns 1 through 14

0.0769 0.0769 0.0769 0.0769 0.0769 0.0462 0.0462 0.0462 0.0769 0.0462 0.0462 0.0462 0.0462 0.0154

Columns 15 through 21

0.0154 0.0154 0.0462 0.0462 0.0462 0.0154 0.0154

%求带职学习因素影响的最大特征根及所对应的归一化特征向量：

function B5

B5=[ 5 1 1 1 1 3 2 1 4 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 ];

for i1=1:1:21;

for i2=i1:1:21;

C2(i1,i2)=B5(i1)/B5(i2);

C2(i2,i1)=1/C2(i1,i2);

i2+1;

end

[v2,d2]=eig(C2);

g2=max(max(d2)');

for i=1:21;

f2(i)=0;

for j=1:21;

f2(i)=C2(i,j)+f2(i);

j+1;

end

m2=0;

for k2=1:21;

m2=f2(k2)+m2;

end

m2;

for i=1:21;

n5(i)=f2(i)/m2;

end

Columns 1 through 14

0.1471 0.0294 0.0294 0.0294 0.0294 0.0882 0.0588 0.0294 0.1176 0.0294 0.0294 0.0294 0.0294 0.0294 Columns 15 through 21

0.0294 0.0294 0.1176 0.0294 0.0294 0.0294 0.0294 %求学位因素影响的最大特征根及所对应的归一化特征向量：

function B6

B6=[ 5 5 1 1 1 5 3 5 5 5 3 3 5 3 5 5 3 5 3 3 3 ];

for i1=1:1:21;

for i2=i1:1:21;

C2(i1,i2)=B6(i1)/B6(i2);

C2(i2,i1)=1/C2(i1,i2);

i2+1;

end

[v2,d2]=eig(C2);

g2=max(max(d2)');

for i=1:21;

f2(i)=0;

for j=1:21;

f2(i)=C2(i,j)+f2(i);

j+1;

end

m2=0;

for k2=1:21;

m2=f2(k2)+m2;

end

m2;

for i=1:21;

n6(i)=f2(i)/m2;

end

Columns 1 through 14

0.0649 0.0649 0.0130 0.0130 0.0130 0.0649 0.0390 0.0649 0.0649 0.0649 0.0390 0.0390 0.0649 0.0390

Columns 15 through 21

0.0649 0.0649 0.0390 0.0649 0.0390 0.0390 0.0390