离散系统稳定性判据
§ 5.4 离散时间系统状态稳定性及判别法 1. 离散时间系统的平衡状态(点) 设
0(1)(),(0),0,1,2,
,x k Ax k x x k +===(5.17)
称=e Ax 0的e x 为(5.17)的平衡状态(点). 当A 奇异时, 有无数个平衡状态.
2. 平衡状态(点)的稳定性
(1)稳定：?>?>0,0εδ,
使当- -<≥e x k x k (),0ε； (2)渐近稳定：?>0δ, 使当- →∞ -=e k x k x lim ()0； (3)全局渐近稳定：任意∈n x 0R ,都 有 →∞ -=e k x k x lim ()0； (4)不稳定：?>00ε, 无论δ 多小正数, 总有>k 10, 使 ->e x k x 10()ε 对定常系统, 渐近稳定 全局一致渐近稳定. 3.稳定性判别 对定常系统(1)()x k Ax k += 若0e x =稳定(渐近稳定)，则其它e x 也稳定(渐近稳定)； 若0e x =渐近稳定，则e x 必为一致全局渐近稳定； 简单介绍0e x =稳定性条件 设(5.17)的解 ==k x k A x k 0(),0,1, 2, 则渐近稳定 ?→∞ →∞ -==k k k x k A x 0lim ()0lim 0(≠x 00), ?→∞ =k k A lim 0?-→∞ =k k TJ T 1 lim 0?→∞ =k k J lim 0 ?A的所有特征值的模全小于1 ?A的所有特征值都位于复平面上的单位圆内.其中J为A的若当形. 如 11 ...... k k k k r r J J J J J ???? ???? ==?? ?? ???? ???? 且再如 1122 11 1 10 0100 0000 k k k k k k k k k k k C C J C λλλ λ λλλ λλ -- - ?? ?? ?? ?? ==→ ?? ?? ?? ?? ???? ???A的所有特征值的模全小于1 ?A的所有特征值都位于复平面上的单位圆内. 例设A有互不相同特征值 n 12 ,,, λλλ, 则T, 使 ???? ???? ? ?? ?==???? ???? ??? ? k k k k k n n A T T T T 11 2 -1-12 λλλλ λλ 由此可得 →∞<=?==k i i k i n i n ||1,1,2,,lim 0,1,2, ,λλ →∞ ?=k k A lim 0. 定理5.12 系统为(5.17)的稳定性判定如下： (i) 0e x =稳定?A 所有特征值的模全s 小于1或等于1, 且模等于1的特征值对应的约当块是一阶的； (ii) 0e x =渐近稳定?A 的所有特征值模全小于1. 对一般非线性系统 +==x k F x k k (1)(()),0,1,2, (5.18) 在=e x 0(设=F (0)0)的稳定性判定方法有 定理5.13 对(5.18), 若()x k 的标量函数V x k ((()),满足 (i) V x k (())为正定； (ii) ()=+-V x k V x k V x k (())((1))(())?负定； (iii) 当→∞x k ||()||时,有→∞V x k ((()). 则=e x 0全局渐近稳定的. 若无(iii), 则=e x 0是渐近稳定的； 再若(ii)中V x k (())?为半负定, 则=e x 0仅是稳定的. 定理用于定常系统(5.17), 即得 定理5.14 线性定常离散(5.17)的=e x 0为渐近稳定 ?对?Q > 0, 李雅普诺夫方程 -=-T A PA P Q 有唯一正定解P 证只证充分性, 即已有对?Q > 0, -=-T A PA P Q 有唯一解0P >, 令=T k k k V x x Px (), 则有 +++=-=-T T k k k k k k k V x V x V x x Px x Px 111()()()? =-=-T T T k k k k x A PA P x x Qx (), 显见k V x ()?为负定, 故=e x 0渐近稳定. 例5.6 设 ?? +=?? ?? a x k x k b 0(1)()0 试分析稳定的条件. 解 选Q = I , 则有-=-T A PA P I , 即 -?????????? -=??????????-?????? ????p p p p a a p p p p b b 111211 122122212200100001 整理且比较, 得 ,1)1(,0)1(,1)1(2 2212211=-=-=-b p ab p a p 要P 为正定, 需满足