证券投资学教案

概论

一、期权定价公式

马科维茨研究的是这样的一个问题：投资者同时在许多种证券上投资，那

么应该如何选择各种证券的投资比例，使得投资收益最大，风险最小。

对此，马科维茨在观念上的最大贡献在于他把收益与风险这两个原本有点

含糊的概念明确为具体的数学概念。马科维茨首先把证券的收益率看作一个随

机变量，而收益定义为这个随机变量的均值 (数学期望)，风险则定义为这个随机变量的标准差。

如果把各证券的投资比例看作变量，问题就归结为怎样使证券组合的收益

最大、风险最小的数学规划。

证券有很多特性，但我们最为关心的是收益和风险，我们用r和δ表示。我们期望是收益最大风险最小的证券组合。(天下没有免费的午餐) 但现实我们无法得到收益最大风险最小的证券组合，我们只能在一定风险

条件下，使收益最大，或者说在收益一定时风险最小。通过解析一个最优问题

我们得到：

s.t.

min

最后得到最优的组合风险与收益的关系为：

根据平面几何知识，我们以均值为纵轴，以标准差为横轴，建立二维平面，上面的解析式的图形将会是双曲线。而双曲线底点下面的部分明显劣于上半部分。因此我们定义底点上半部分为均值方差效率边界（mean-variance

effcient frontier）。对于有效前沿上的证券组合来说，不存在收益和风险两方面都优于它的证券组合。

MVF是有众多点组成的曲线，每一点都反映在收益一定的条件下，风险最

小的投资组合选择点。

马科维茨理论的基本结论是：在证券允许卖空的条件下，组合前沿是一条

双曲线的一支；在证券不允许卖空的条件下，组合前沿是若干段双曲线段的拼接。

夏普和另一些经济学家，则进一步在一般经济均衡的框架下，假定所有投

资者都以马科维茨的准则来决策，而导出完全市场的证券组合的收益率是有效

的以及所谓资本资产定价模型 (Capital Asset Pricing Model, CAPM)。这一

模型认为，每种证券的收益率都只与市场收益率和它对市场风险的贡献度有关。

米勒与莫迪利阿尼一起在 1958 年以后发表了一系列论文，探讨“公司的

财务政策 (分红、债权/股权比等)是否会影响公司的价值”这一主题。他们的

结论是：在理想的市场条件下，公司的价值与财务政策无关。后来他们的这些

结论就被称为莫迪利阿尼－米勒定理 (Modigliani-Miller Theorem,MMT)。

米勒与莫迪利阿尼运用严格的数学分析来理解公司的资本结构和股利的支

付率是如何影响公司价值的。得出了两个无关性定理。

1、公司的价值与公司的财务杠杆比例无关。

2、股利水平的选择与公司价值无关。

这两个结论是金融学另一个领域公司金融的核心基础理论。

无关性定理与人们的一般直觉是相反的。

他们的研究不但为公司理财这门新学科奠定了基础，并且首次在文献中明

确提出无套利假设。所谓无套利假设是指在一个完善的金融市场中，不存在套

利机会 (即确定的低买高卖之类的机会)。因此，如果两个公司将来的 (不确定的) 价值是一样的，那么它们今天的价值也应该一样，而与它们财务政策无关；否则人们就可通过买卖两个公司的股票来获得套利。

套利的简单说明

假设有两家公司，A和B公司，现代金融学的意义是我们的分析中加入了时间轴，最简单的就是0、1时间轴。

0 1

0代表着现在，1代表未来的任意时间点

A公司的价值是V

A ，

B 公司的价值是V

B

0期我们有V

A 0、V

B

0，1期我们有V

A

1、V

B

1

根据无套利假设：如果V

A 1=V

B

1

那么V

A 0=V

B

如果V

A 0与V

B

0不相等，必然存在套利

如果V

A 1=V

B

1，而V

A

0>V

B

那么我们就可以套利套利策略：

0期：买入V

B 0，卖出V

A

0，我们有个正的现金流

1期：卖出V

B 1，买入V

A

1，我们有个零的现金流

结果：这两期的交易是投资者持有的头寸没有改变，但最终得到了（V

A 0—V

B

0）

（1+r）收入（考虑了货币的时间价值）

逐利的动机使人们愿意从事这样的交易，而这样交易将使得V

A 与V

B

处于均衡的

平价中。套利机会丧失。

达到一般经济均衡的金融市场一定满足无套利假设。因此二者是等价命题。这样，莫迪利阿尼－米勒定理与一般经济均衡框架是相容的。但是直接从无套利

假设出发来对金融产品定价，则使论证大大简化。

这就给人以启发，我们不必一定要背上沉重的一般经济均衡的十字架，从无套

利假设出发就已经可为金融产品的定价得到许多结果。

从此，金融学就开始以无套利假设作为出发点。

以无套利假设作为出发点的一大成就也就是布莱克－肖尔斯期权定价理论。

所谓 (股票买入) 期权是指以某固定的执行价格在一定的期限内买入某种

股票的权利。期权在它被执行时的价格很清楚，即：如果股票的市价高于期权

规定的执行价格，那么期权的价格就是市价与执行价格之差；如果股票的市价

低于期权规定的执行价格，那么期权是无用的，其价格为零。

现在要问期权在其被执行前应该怎样用股票价格来定价？

为解决这一问题，布莱克和肖尔斯先把模型连续动态化。他们假定模型中有两

种证券，一种是债券，它是无风险证券，其收益率是常数；另一种是股票，它

是风险证券，沿用马科维茨的传统，它也可用证券收益率的期望和方差来刻划，但是动态化以后，其价格的变化满足一个随机微分方程，其含义是随时间变化

的随机收益率，其期望值和方差都与时间间隔成正比。这种随机微分方程称为

几何布朗运动。

描述股价的运动，我们一般认为是这样的：

μ我们一般称为漂移，在金融学的意义是股票价格瞬间变化的期望收益率。

σ股票价格的瞬间标准差或者称为扩散系数，在金融学用来测度变量的易

变性，就是我们熟知的波动率。

dW 是白噪声，用它来模拟不可预测的世界状态的变化对金融产品价格的

冲击。它是个随机变量。相当于计量经济学的误差项，但是εdt

σdW 表示了股票收益变化中由不确定性造成的部分，随机冲击通过波动

率的放大或者缩小后传导给股票价格。

然后，利用，每一时刻都可通过股票和期权的适当组合对冲风险，使得该

组合变成无风险证券，从而就可得到期权价格与股票价格之间的一个偏微分方

程，其中的参数是时间、期权的执行价格、债券的利率和股票价格的“波动

率”。出人意料的是这一方程居然还有显式解。于是布莱克－肖尔斯期权定价

公式就这样问世了。

布莱克－肖尔斯期权定价的思路方法简介：

时间轴只有两期，也就是现在和未来，我们用0、1表示。

股票现在的价格S0是已知的，而未来的情形假设只有两种，要么是aS0要

么是bS0。

期权未来也有两种价格情形，Ca 和Cb 。

现在我们建立一个投资组合，卖出股票和买入该股票的买入期权（它们都

由未来股票的价格决定），如果比例适当的话，我们这种组合可以达到套期保

值的目的。也就是股票价格的变动与我们持有组合的价值是无关的，（因为卖

出股票和买入该买入股票的期权是两种风险行为相反的投资行为），未来的收

入是确定的。我们可以认为现在持有的组合是无风险的。

假设现在期权的价格为C0，投资者卖出一份股票，买入x 份期权，x 的数

量保证了组合具有完全的套期保值功能，也就是组合中的两种产品具有完全的

对冲作用。这样不论未来股票的价格如何变动，投资者的组合价值不变(假设不

考虑货币的时间价值)。我们得到两个方程：b

000a 000x -b x -x a x -C S C S C S C S +=++-=+ 得到期权的现在价格：b

-a b a a 0a b b C C C C C -+-= 与市场中投资人行为无关的金融资产的定价公式

十一、 套利定价理论

布莱克－肖尔斯公式的成功也是用无套利假设来为金融资产定价的成功。

这一成功促使 1976 年罗斯(S. A. Ross, 1944～) 的套利定价理论 (APT,

Arbitrage Pricing Theory) 的出现。

APT 是作为 CAPM 的替代物而问世的。CAPM 的验证涉及对市场组合是否有

效的验证，但是这在实证上是不可行的。于是针对 CAPM 的单因素模型，罗斯

提出目前被统称为 APT 的多因素模型来取代它。

我们一般认为CAPM 模型是个单因素模型，用βi 代替 []

[]

f m i m i r -)r ()()(*),()(*r r ov E r r E r r E r r Cov r r E C i f f m m m m i f i m

m βσσσσ）

，（+=-=- 罗斯多因素模型的简单例子：I e r +++=IR GDP IR G D P ββα

第一章 风险与收益

一、风险的认知

风险与不确定性：

弗兰可．奈特（Knight ．F ）爵士在他1921年的名著《风险、不确定和利

润》中提出，世界演进环境有三种形态，即：确定的，存在风险的和不确定的。

风险和不确定的相同之处是我们知道未来世界可能的状态（结果），分歧

是概率分布的准确与否。为了在现有的情况下对世界了解的基础上，很好的阐

释问题、分析问题，我们经常对于一些事物的概率进行主观评价，也就是主观

概率，即人为的为每一种状态分配一个概率。主观概率的引入使得风险与不确

定统一起来了 。

金融学者主要工作就是研究各种金融现象发生的概率，研究得出的概率就

是主观概率。

马科维茨最大的贡献就是把收益与风险这两个原本含糊的概念明确为具体

的数理概念.由于投资收益是不确定, 马科维茨首先把投资收益率看作一个随机

变量,而收益定义为这个随机变量的均值(数学期望),风险则定义为这个随机变

量的标准差.因此我们可以用收益率的标准差这个数理概念来度量风险问题.

收益：E(r)=i n i i r p ∑ 风险：[]∑-=

n

2*)(i i i p r E r σ 二、风险与效用

风险是客观存在，因此我们必须首先研究我们对它的态度——偏好问题，也就

是喜爱与否，以及程度问题，这也是新古典经济学分析问题的出发点。

效用函数的建立是现代经济学中分析人们偏好某种事物程度的工具。

效用函数与期望效用函数：

由于资源的稀缺性，我们将面临很多种选择，经济学家的观点是每一种选择都会

带给我们一定效用，我们可以利用效用函数来为我们的选择提供依据。经济学家又利

用期望效用函数来分析每一种选择的效用平均数，以便我们选择。

1、期望效用的提出

传统的经济学是在确定的条件下分析我们面临的经济环境和经济现象。而现代经

济是把不确定作为分析的前提条件，或者是考虑到了时间因素。但本质上都是各种经

济人追求自身效用最大化的过程。

效用函数U （W ）,期望效用函数E(U)。最简单的分析框架是买彩票。P ，W1，W2，

分别是中奖的概率，中奖和没有中奖后购买者的财富量。购买彩票的期望效用函数为

E[U （p;w1,w2）]=pU(w1)+(1-p)U(w2)

简单表示：E[U（w1,w2）]=pU(w1)+(1-p)U(w2)

2、人们对风险的态度

科学语言描述：假定消费者在无风险条件下（即不买彩票）可以持有的货币财富为：

p (w1)+(1-p) (w2)，相对带来的效用：U[ p (w1)+(1-p) (w2)]

在风险条件下（买彩票）的货币财富期望为： p (w1)+(1-p) (w2)，相对应的期

望效用为：

E[U（p;w1,w2）]=pU(w1)+(1-p)U(w2)

如果你认为U[ p (w1)+(1-p) (w2)] ? pU(w1)+(1-p)U(w2)，你就属于风险规避者图示：用效用函数的特征来判断

风险规避者的图形是严格凹的风险爱好者的图形是严格凸的

其效用函数具有这样的特性：其效用函数具有这样的特性：

F ' (x)?0增函数F ' ' (x) < 0,斜率是递减的 F ' (x)?0增函数F ' ' (x) >0, 斜率是递增的

常见的有：y=x? y=Inx y=Logax 常见的有：y=x2 y=ax

这里有一个金融界广泛运用的一个投资效用计算公式，资产组合的期望收

益为E(r)，其收益方差为σ2，其效用值为：U=E(r)-0.005Aσ2

其中A为投资者的风险厌恶指数，A值越大，即投资者对风险的厌恶程度

越强，这种投资的效用就越小。在风险厌恶指数值不变的情况下，期望收益越高，效用越大；收益的方差越大，效用越小。

例子：如果股票的期望收益率为10%21.21%，国库券的收益

率为4%，尽管股票有6%的风险溢价，一个厌恶风险的投资者会选择全部购买国库券的投资策略。投资者A=300时，股票效用值为：0.1-(0.005×300×

0.21212)=3.25%，比无风险报酬率稍低，在这种情况下，投资者会放弃股票而

选择国库券。

如果投资者的A为30，股票效用值为：10-(0.005×2×0.21212)=9.325%，高于无风险报酬率，投资者就会接受这个期望收益，愿意投资于股票。

所以，投资者对风险的厌恶程度十分关键。

一个核心概念的提出，风险溢价的提出

案例：你初始财富W0有1万，你面临一项投资项目，该项目根据历史经验有如下结果：

形势概率期末总价收益率

繁荣 0.25 13000元 30%

正常增长 0.50 11000元 10

萧条 0.25 9000元 -10

E( r )=∑p(s)r(s)

E( r )=(0.25×0.30)+(0.50×0.10)+[0.25×(-0.10)]=0.075+0.05-.025=0.10=10% δ2 =∑p(s)[r(s)-E(r)]2

δ2=∑0.25×(30％-10 ％)2+0.50×(10 ％ -10 ％)2+0.25(-10 ％ -10 ％)2=0. 2 δ2=14.14%

人们首先就会考虑这项投资是否可行呢，因此存在一个比较问题，比较一

般我们利用的相对数来比较。我们一般用投资的期望收益减去同时期的无风险

利率得到风险溢价,用投资项目的风险溢价进行相互的比较。

我们定义Ri-Rf=Rp(risk premium)，我们一般用每项投资的Rp相互之间进行

比较，来判断各种投资的收益状态。尤其在比较不同时间段的投资收益问题时

使用，因为无风险利率经常变动，如果完全市场化的条件下，无风险利率每时

每刻都在变化中。Rf，简单的说是无风险利率，基准利率。

注意金融学一般把利率和收益率视为等同的，都为货币资金的价格问题。

Rf也是我国中央银行进行货币政策的调整工具，是我们了解投资环境的一

个重要因素，因此是我们关注的一个经济指标。

Rf的取得：切记是没有风险投资的回报率。在一个经济体中，谁的信用最高，谁取得资金的回报率我们可以视为Rf。我国在90年代就建立了同业拆借

市场，这个市场的利率也被看作一种基准利率的参考。

市场化国家：以美国为例：美联储定期都会宣布联邦基金利率，这是美国

的基准利率。在美国一些知名的大公司可以直接发行短期的债务凭证（CP），

由于这些公司一般信用级别要高出银行，因此在复杂的美国金融市场这些CP的回报率也可以作为基准利率的参考，称为优惠利率（prime rate）。美国政府

为了市场的构建以及自己融资的需求，定期的发放各种期限的政府债券，各期

债券的发行就有新的收益率形成，这也可以作为基准利率。

国债的发行有期限性，数轴可知。这为我们预测未来基准利率提供了工具，因此大多研究着把国债利率作为基准利率。

一个更为广阔的空间，国际金融市场，公认的基准利率，L（S、N）IBOR

例子：在国际金融市场上资金的借贷利率确定经常是这样的：

贷款利率＝基准利率＋加息率

贷款利率＝ＬＩＢＯＲ＋margin＼spread

基准利率，资金的机会成本，无风险利率

加息率，风险补偿或风险溢价

附

美国的同业拆借市场就是联邦基金市场（federal fund）。

Ri=+Rp(risk premium)的解析：Rf反映市场的每时资金整体的供求情况。Rp反映投资项目的特质，最明显的就是风险的程度，因此称为风险回报，你投

资于一项项目，必须承担一定的风险，但你的回报是Rp。

资产和资产组合的风险与收益初步：

案例：A公司的股票价值对雨水的多寡是敏感的，雨水多的收益要好于雨

水少的时期。有如下分布：

雨较多的年份少雨年份

股市的牛市股市的熊市需求大减概率 0.4 0.3 0.3

收益率 30% 12% -20%

1、在如何情况下，资产的平均或预期收益就是其收益的概率加权平均数。 E(r) =∑ Pr(s)r(s) s代表某种情况

E(rA)= )=(0.4×30)+(0.3×12)+[0.3×(-20)]=9.6%

2、资产收益的方差是每种情况收益与预期收益的平方差的预期值。

б2=∑Pr(s)[r(s)-E(r)] 2

бA2=0.4(30-9.6)2+0.3(12-9.6)2+0.3(-20-9.6)2=431.04

бA=431.041/2=20.76 或20.76%

a投资者将资金一半投资于A公司，为了降低自身的风险，剩余一半资金

投资于收益率为3%的国库券。

3、资产组合的收益率为构成资产组合的每个资产的收益率的加权平均数，权数为在资产组合的比例。

E（r）=∑wi*E(ri) i为某种资产

E（ra）= 0.5E(rA)+0.5r国库券=(0.5×9.6%)+(0.5×3%)=6.3%

4、当一种风险资产与一种无风险资产相组合，资产组合的标准差为风险

资产的标准差乘以该资产在组合中的比率。

бp=wr*бr бa=wA*бA2 = 0.5×20.76%=10.38% 投资者A的风险减少了一半，但相对应的收益减少了34%，是全投资于A

还是分散的投资取决于风险态度问题。

另一种组合：a投资者将资金一半投资于A公司，剩余一半资金B公司。

B公司的股票价值分布为：

雨较多的年份少雨年份

股市的牛市股市的熊市冷饮需求大增

概率 0.4 0.3 0.3

收益率 4% -10% 30%

新组合的期望收益为8.6%，标准差为7.03%。

资产组合期望收益标准差全部投资于伞公司股票 9.6% 20.76%

一半A股票一半国库券 6.3% 10.38%

一半A股票一半B饮股票 8.6% 7.03%

新组合的效果比与无风险资产构成的组合还好。原因的寻找：协方差问题。

测度两种资产互补程度的指标是协方差(covariance)，它测度的是两个风

险资产收益相互影响的方向与程度。正的意味着资产收益同向变动，有加剧资

产组合波动程度的作用，负的则是反方向变动，有相互抵补波动程度的作用。

协方差的计算公式为

Cov(rA,rB)=∑Pr(s)[rA(s)-E(rA)][rB(s)-E(rB)]

Cov(rA,rB)=0.4(30-9.6)(4-7.6)+0.3(12-9.6)(-10-7.6)+0.3(-20-

9.6)(30-7.6)=-240.96

负的协方差意味着A、B两个公司在收益上具有互补作用，在金融学我们称谓套期保值。

相关系数是比协方差更简便的计算方法。相关系数范围在－1和+1之间，与协

方差的关系为：两变量协方差除以两标准差之积等于它们的相关系数。

ρ(A，B)=[Cov(rA, rB)]/(σAσB)=-240.96/(20.76×15.77)=-0.736

5、另一种计算资产组合方差的公式为

σ

P 2=w

1

2σ

1

2+w

2

2σ

2

2+2w

1

w

2

Cov(r1 ,r2)

σ2=(0.52×20.762)+(0.52×15.772)+[2×0.5×0.5×(-240.96)]=49.43 σ=7.03%

5点强调了协方差对资产组合的影响。正的协方差提高了资产组合的方差而负的降低了资产组合的方差。

套期保值从根本上就是在原有的资产上购买与其负相关的资产。这种负相关使得套期保值资产的波动性具有降低组合风险的特性。然而组合中的负相关的资产也会降低组合的收益。完全的套期保值资产是保险合约，与一个具体的风险具有完全的负相关。

第二章资产配置

问题的出发：无论是个人投资者还是机构投资者，进行投资活动中，一般都进行组合投资。那么我们就要研究在投资组合中的资产配置问题，即资产组合中证券的构成比例问题了。

C是我们持有的资产组合，C里有A、B、C、D...只证券，现在要考虑的问题是每只证券在C中比重。这个问题可以被分解为两个问题：

首先假设在C中的证券我们可以分为两类，一种是无风险资产，一种是风险资产。无风险资产一般就是短期国债，是单一的证券，而风险资产包括很多种证券，因此风险资产我们看作是由多种证券组成的风险资产组合。所以第一个问题是在C中无风险资产和风险组合的最优比重问题。C（P，F），WP、WF

然后我们确定风险资产组合P中每种风险证券的最优比重，最后每种风险证券在C中比重就可以得到。分为两节：1、无风险与风险资产的配置2、最优风险资产组合

一、风险资产与无风险资产的配置

1.无风险资产的确定

我们一般认为短期国债为最典型的无风险资产。注意：它的市场价格对于市场的利率具有高度的敏感性。基于货币市场工具在特性上与短期国债只有细微的差别，对于投资者来说我们一般都可认为是无风险资产。

问题的设定：假设投资者已经决定了风险资产的构成比例,同时对应着知道风险资产组合的收益与和风险值,考虑的问题是在投资预算中投资于风险资产p的比例y，以及余下的比例1-y，即投资于无风险资产的比例。

已知：风险资产P的期望收益率为E(rp),风险为бp,无风险资产的收益率rf，那么整个组合收益为：E（rc）=yE（rp）+(1-y)rf =rf+y[E（rp）-rf]

整个组合风险为：бc=yбp

上图是我们以后经常使用的期望收益-标准差平面，该平面的每一点都是不同收益与标准差的组合，我们可以看作是不同的证券。根据已知我们可以发现

资产组合的一些特征。

无风险资产的期望收益-标准差就是竖轴。风险资产P画在点бp与E(rp)

的相交上。

投资者如果单独投资于风险资产，则y=1,结果就是组合P点，投资者如果单独投

资于无风险资产，则y=0,结果就是rf点，如果y取值在0与1之间，投资者的就会在选择（rf，P）的直线上。为什么投资者的选择在（rf，P）的直线上？

因为：E（rc）=rf+y[E（rp）-rf] бc=yбp, y=бc/бp

我们有：E（rc）=rf+бc/бp [E（rp）-rf]

我们可以看出整个资产组合收益为其标准差的函数是一条直线，并且得到了它的

确切方程，截距是rf，斜率为：S= [E（rp）-rf] /бp

（rf，y）直线就是我们要求解的投资选择，即有不同的y值产生的所有资产组合

的可能期望收益与标准差配对的集合，其图形就是由rf点引出，穿过p点的直线。

这条直线叫做资本配置线（capital allocation line CAL）,它代表投资者的所

有可行的风险收益组合。它的斜率等于选择的资产组合每增加一单位标准差上升的期

望收益。或者说每增加额外风险所对应的额外收益。该斜率又称为回报与波动性比率。（reward-to-variabilitu ratio）

2.资本配置线的意义

假定风险资产组合的期望收益为E(rP) =9% ，标准差为P =21%，无风险资产的收

益率为rf =3% 。（画图）

风险资产的风险溢价为E(rP)–rF=9%-3%=6%

令整个资产组合C的收益率为rC，有：rc=yrp+(1-y)rf = 3%+y(9%-3%) 3+6y P=21%，有：σC=yσp=21y

如果选择将全部投资投向风险资产，期望收益与标准差就是E(rp)=9%P=21%。如果选择将全部投资投向无风险资产，期望收益与标准差就是E(rp)=3%P=0。

从线上可直观地看到，风险增加，收益也增加。由于直线的斜率为6/21=0.29，每增1单位风险，可获0.29单位收益。即每增1单位收益，将增3.5(21/6=3.5)单位风险。

引申：处在资本配置线P点右边的点是什么呢？

若投资者可以以无风险利率rf借入资金，就可构造出资本配置线P点右边的资产

组合。

例子：若rf=7%,E(rp)=15%, бp=22%,投资者投资预算为30万，借入12万，资金全部投入到风险资产的收益与风险如何？

E(rc)=0.07+(1.4*0.08)=18.2% бc=1.4*0.22=30.8% S=(15-7)/22=0.36

引申：CAL在P点右面弯曲的可能？

一般非政府投资者不能以无风险利率借入资金，一般借入资金的利率要高于无风险利率（假设也是无风险的），例如以9%的利率借入资金，斜率将会在P点处弯曲改变。

[E(rc)-rf*]/бp,斜率将会是0.27

例子：投资金额50万，其中15万投资国库券，35万投资股票，15.75万买清华同方，19.25万买清华紫光。若国库券的收益为3%，同方的收益为8%，紫光的收益为12%，股票组合标准差为20%.

同方：w1=15.75/35=0.45 紫光：w2=19.25/35=0.55

风险组合P的权重为y，无风险组合的权重为1-y，

有 y=35/50=0.7(风险资产) 1-y=0.3(无风险资产)

投资者希望将所持有的风险资产组合比重从0.7降为0.55。投资者的投资资金的配置则为: 投资于股票： y=500 000×0.55=275 000(元)

投资于国库券：1-y=500 000×0.45=225 000(元)

投资者在股票投资减7.5万(35-27.5=7.5)，增买7.5万的国库券。由于两种股票的比例不变，因此，有同方：w1=275 000×0.55=151 250 (元) 紫光：w2=275 000×0.45=123 750 (元)

资产结构调整前后的选择如何。

rp=0.45*8+0.55*12=10.2% rc=3+0.7(10.2-3)=8.04% бc=0.7*20=14%

rc=3+0.55(10.2-3)=6.96% бc=0.55*20=11%

Y点的选择问题:在经济学偏好一般用效用函数反映

U=E(r)-0.005Aб2（1） E(rc)=rf +y[E(rp)-rf] （2）σc2=y2σp2 (3)

人们总希望效用最大，数学表达式：maxU

maxU=E(r)-0.005Aб2= rf +y[E(rp)-rf] - 0.005Ay2σp2

利用微积分的知识，最大化的问题就是方程一阶导数为零。对U求y一阶导，令其为零，解出投资者的最优风险头寸: y*=[E(rp)-rf]/0.01Aσp2

例子：若A=3 E(rp)=9% rf=3% σp=21% y*=[9%-3%]/(0.01×3×

0.212)=45.35%

根据结果，应将资金的45.35%投资于风险资产，54.65%投资于无风险资产。整个资产组合的 E(rc)=3%+(45.35%×6%)=5.72% σC=45.35%×21%=9.52% 如果假定投资者的风险厌恶程度A为1.5，其结果为

y*=[9%-3%]/ (0.01×1.5×212)=90.7% E(rc)=3%+(90.7%×6%)=8.44% C=90.7%×21%=19.05% 5.44/19.05=0.29

风险厌恶程度降低一半，投资于风险资产组合的比例上升了一倍，整个资产组合的期望收益也提高到8.44%，风险溢价提高到5.44%，标准差也提高了一倍，达到19.05%。

3.约束与偏好：这是微观经济学乃至微观金融学学研究的主要问题。

人们总是在一定约束条件下使自己的效用（反应偏好）最大化。

约束下的选择

微观经济学研究是个体在约束下的选择。

以消费者的选择为例：个体的约束就是预算线，

个体的选择离不开个体的偏好，偏好的程度我

们一般用一簇无差异曲线来描述，当预算线和

无差异曲线相切时的商品组合是能给我们最大

效用的组合。

微观金融学也是研究是个体在约束下的选择，但这里的选择是金融产品了，效用的大小是我们选择它们的标准，效用也是用无差异曲线来反映。

这里的约束不是个体当前拥有的财富，而是当前市场中的证券组合.。在金融领域个体拥有的财富不是主要约束因素。

资本配置线就是我们在投资选择时的约束。我们只能在资本配置线上选择。资本配置线在期望收益-标准差平面中。

在期望收益-标准差平面平面中的每一点代表不同的期望收益与标准差组合，我们可以看作不同的证券或者证券组合。我们把对于特定投资者效用值相等的所有的证券或者证券组合点由一条曲线连接起来，这条曲线就叫无差异曲线。

假设对于A为400的投资者

差异曲线，不同水平的曲线代表着效用的大小，水

平越高，效用越大。对于特定风险偏好的投资者，

无差异曲线族代表着不同的效用水平。人们总是趋

σ

向于选择最高的效用水平，但这要受到市场中资本

配置线的约束。

不同的投资者对风险的偏好不同，就有不同的无差异曲线族,风险厌恶程度高的投资者的无差异曲线比较陡（意味着风险补偿要高些），而风险厌恶程度低的投资者的

无差异曲线比较平坦（意味着风险补偿要低些） 。这表明不同的投资者有不同的无差

异曲线族 P

（rf ） 风险厌恶程度高者 风险厌恶程度低者

当投资者的资本配置线与他的无差异曲线族像切时，我们认为是投资者的最优选

投资者进行资产配置的步骤：1、确定资产配置线2、确定自己的风险偏好程度

（无差异曲线族）3、二者相切就是最佳投资构成

4.最优风险资产组合

市场风险与非市场风险：分散化的界定

视角的引入：如果你的资产组合中只有A 公司的股票，那么风险来自于：

一、一般经济状况的风险，比如经济周期、通货膨胀、

利率和汇率等。这些风险会对一般的公司都有影响。

二、A 公司特有的风险，比如自身的经营管理、研发、 人员的替换等。这些风险只会影响A 公司。我们把充分分散条件下还保存的风险称为市场风险，它来源于市场有关因素，也称为系统风险或不可分散的风险。相对而言，可以利用分散化消除

的风险被称为独特风险、非市场风险、非系统风险和可分散风险。

组合投资的好处：三个人进行投资，甲与乙的投资额一样，丙的投资额为甲与乙投资额的和．甲投资于

甲的收益为Ｒ＝A R 乙的收益为Ｒ＝B R 丙的收益为Ｒ＝A R +B R

丙与甲和乙的收益相等

甲的风险为A σ 乙的风险为B σ 丙的风险为B A B A B A σρσσσ）

σ（2,2

2++= 丙的风险小于甲和乙

美国股票1960-1970年随机选样的分散化效应表

股数 月均收益率 月均标准差 与市场的相关系数R

1 0.88% 7.0% 0.54

2 0.69% 5.0% 0.63

3 0.74% 4.8% 0.75

4 0.65% 4.6% 0.77

5 0.71% 4.6% 0.79

10 0.68% 4.2% 0.85

15 0.69% 4.0% 0.88

20 0.67% 3.9% 0.89

5.两种风险资产的资产组合

现在要解决的问题是在风险资产组合P中，求解最优的每种证券的比重。

这个问题我们把它简化为两种风险资产构成的风险资产组合。

假定投资两种风险资产构成的风险资产组合P，一是股票，一是债券。投资债券的资金为wd，投资股票的部分为1-wd记作we，rd、σd为债券收益和标准差，re、σe

为股票收益和标准差，二者的相关系数为ρ（A，B）

rp= wdrd+were E(rp)=wdE(rd)+weE(re)

Σp2 =wd2σd2 +we2σe2 +2wdweCOV(rd,re) σd2= Cov(rd ,rd)

求解风险组合的期望收益和标准差:

两个方程有四个未知数,因此无法得到确定的解(在期望收益-标准差平面无法得到

一个点),我们的分析思路:首先考虑不同相关系数情况下(也就是把相关系数确定了)方

程组的解,但还有三个未知数,仍然无法得到确定的解,只能得到解是一个函数关系(风

险组合的期望收益和标准差的范围),而该函数关系在期望收益-标准差平面是一条曲线.

步骤:

1）不同相关系数对风险组合的期望收益和标准差的影响

2）E(rp)=wdE(rd)+weE(re),组合收益是权重的函数直线

3）σp2 =wd2σd2 +we2σe2+2wdweCOV(rd,re)

不同相关系数条件下,组合方差是权重的函数

曲线,应该有最小方差或最大方差

4）把上面两个方程变为一个方程,取掉权重变量,确定相关系数,得到风险组合的

期望收益和标准差之间关系的方程.只有两个未知数,是一条曲线,我们称为资产组合机

会集合线,该线段反映了风险组合的期望收益和标准差所有的可能性.

组合的方差还可以有以下计算公式：

p2

我们用V表示协方差矩阵,那么组合的方

差就等于:σp 2=W*V*WT

我们利用协方差矩阵中的每一个因子与所在行和列的权重相乘，最后加总就可以得到资产组合的方差。 组合的方差写成协方差矩阵的原因： 如果在组合中有多种资产，那么方差

的表示就会很冗长，比如有四种资产，A 、B 、C 、D 。

p 2=wAwACov(rA,rA)+wBwBCov(rB,rB)+wCwCCov(rC,rC)+wDwDCov(rD,rD)+

2wAwBCov(rA,rB)+2wBwCCov(rB,rC)+2wBwDCov(rB,rD) +2wAwDCov(rA,rD)

如果用协方差矩阵表示就很清楚，同时我们得到的方差是为进一步的计算的，利

用了协方差矩阵就便于我们利用矩阵的运算性质进一步运算。

我们利用矩阵中的每一个因子与所在行和列的权重相乘，最后加总就可以得到资

产组合的方差

相关系数的变化对资产组合方差的影响：

有 Cov(rd ，re)=ρ(d,e)σd σe

将此式代入方差计算公式有：P 2=wd 2σd 2+we 2σe 2+2wdwe σd σe ρ(d,e)

ρ=1时，式右可简化为：σP 2=(wd σd+We σe)2 或σP=Wd σd+We σe

组合的标准差恰好等于组合中每一部分证券标准差的加权平均值。

当ρ＜1时，组合标准差会小于各部分证券标准差的加权平均值。

当ρ=-1时，该式可简化为：σP 2=(wd σd-We σe)2

组合的标准差为：σP=| wd σd-We σe|

一个完全的套期头寸（一种资产与另一种资产组合，风险为零）可以通过选择资

产解以下方程得：

由于：σP=| wd σd-We σe| =0,所以有

wd = σe /(σd+σe) we = σd /(σd+σe)=1- wd

以上的公式表明，当ρ=1时，标准差最大，为每一种风险资产标准差的加权平均

值；如果ρ＜1，组合的标准差会减小，风险会降低；如果ρ=-1，标准差最小，在债

券的比重为wd = σe /(σd+σe),股票的比重为1- wd 时，组合的标准差为0，即完

全无风险。

以一个具体例子来看在不同相关系数条件下，资产组合比重的变化对资产组合

收益和风险的关系：股票E(rp)为20%，方差为15%，债券E(rB)为10%，方差为10%。

不同相关系数下的期望与标准差

给定相关性下的资产组合的标准差

投资比重 ρ=-1 ρ=-0.5 ρ=0.5 ρ=1

wd we E （rp ） 方差 方差 方差 方差

1.00 0.00 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0

0.80 0.20 12.0 3.08 5.04 8.96 10.92

0.60 0.40 14.0 0.12 3.06 8.94 11.88

0.40 0.60 16.0 1.12 4.06 9.94 12.88

0.20 0.80 18.0 6.08 8.04 11.96 13.92

0.00 1.00 20.0 15.0 15.0 15.0 15.0

不同相关系数条件下最小方差的资产组合(根据表中的数据)

wd 0.55 0.57 0.70 1.00

we 0.45 0.43 0.30 0.00

E(rP) 14.5 14.3 13.0 10.0

2P 0.00 3.03 8.82 10.0

利用上面的例子进行一些图表分析

（1）、资产组合的期望收益图示

E(rp)= wdE(rd)+weE(re)有：E(rd)=10% E(re)=20%=10+10we

组合收益是投资比重的函数：

we

1.5 1 0 -1 wd

如果wd?1,we?0，意味着投资者在资产组合中的策略是做股票空头（卖出，可以是自己没有的），并把得到的资金投入到债券上。比如：wd=1.5,we=-0.5，资产组合的收益为:

1.5*10%+（-0.5）*20%=5%（是否合理）

如果we?1, wd ?0，意味着投资者在资产组合中的策略是做债券空头，并把得到的资金投入到股票上。比如： we=1.5,wd=-0.5，资产组合的收益为:1.5*20%+（-0.5）*10%=25%

解释了上图中直线为什么会突破[0，1]，也就是在资产组合中资产的比重可以大于1，小于0。

（2）、最小方差资产组合的提出：

人们总是希望在收益一定的条件下，持有资产的风险最低，也就是资产组合的方

差最小。组合的方差我们有这样的数学表达形式：Σp 2 =wd 2σd 2 +we 2σe 2

+2wdwdCOV(rd,re)

wd+we=1，因此有we=1-wd,带入上式，然后上式对wd 求导，另其等于0，我们将得到风险资产组合中最小方差的投资比重：)

,cov(2),cov(222min d e d e d e e r r r r wd -+-=σσσ 得到的结论是：如果我们知道在资产组合中每种资产的期望收益、标准差和相互

之间的相关系数，我们就可以通过调整资产组合的结构达到资产组合的风险最小。

比如，股票与债券的ρ=-0.5, σD 2=10，σE 2=15

由于有：Cov(r D ，r Z )=ρDE σD σE ，有Cov(r D ，r Z )=-0.5(3.162)(3.873)=-6.123

将σD 2=10，σE 2=15最小方差的投资比重的公式

wmin(D)=[15-(-6.123)]/[10+15-2(-6.123)]=(21.123)/(37.246)=0.567

wmin(E)=1-0.679=0.433

该组合为相关系数等于-0.5确定下的最小方差的资产组合。

此时资产组合的方差为：

σ2min=(0.5672×10)+(0.4332×15)+(2×0.567×0.433×-6.123)=3.02

这一组合的期望收益为：E(rp)= 0.567×10%+0.433×20%=14.33%

（3）、考虑不同相关系数的条件下，标准差随着资产结构比率是如何变化的。

σ2

P =wd 2σd 2+we 2σe 2+2wdwe σd σe ρde=10wd 2+15we 2+300wdwe ρde

组合标准差是投资比重的函数：

6.资产组合机会集合线

E(rp)= wdE(rd)+weE(re) σP 2=wd 2σd 2+we 2σe 2+2wdwe σd σe ρde

资产组合机会集合线显示反应了由两种资产构造的所有资产组合构成的期望收

益与标准差点组合。图中是不同相关系数条件下的资产组合机会集合线。

资产组合机会集合线的出现，是我们在已知两种风险资产相关系数的情况下，两

种资产所有可能构成的组合选择。因此，我们在进行风险资产投资选择时，只能选择

在资产组合机会集合线上。

7.两种风险资产和无风险资产的组合

如何建立资产组合结构呢？

首先，我们确立风险资产组合，在资产组合机会集合线上构建我们的风险资产组合。然后，确立无风险资产和风险资产的比重，这个问题的阐述是上节讲的资本配置线了。

两种风险资产和无风险资产的组合

资本配置线与资产组合机会集合线的关系：

假设：两条CAL以rf=6.5%为起点，通过A,B两点。表中的资产组合机会集合线是股票与债券的ρ=-0.5时形成的机会集合线。A点代表了在股票与债券的ρ=-0.5时具有最小方差组合A，该组合债券比例为56.7%，股票比例为43.3%。它的E(r A)为14.33%(风险溢价为7.88%)，σA为1.74%。

由于r f为6.5%，酬报与波动性比率，即资本配置线的斜率为:

S A=[E(ra)-rf]/σa=(14.33-6.5)/1.74=4.5

B点，ρ=-0.5,债券股票各50%，E(r B)=15%(风险溢价为8.5%)，σB=1.79%。斜率为：

S B=[E(rb)-rf]/σb=(15-6.5)/1.79=4.75

由于B的斜率大于A，B更优。单位方差更高收益。

CAL与资产组合机会集合线处于什么位置P点最优呢?我们知道，两条线切点所对应的组合P最优。相切时，资本配置线的斜率最大，也就是意味着组合的单位风险收益最大。

最优组合的几何表达

最优风险资产组合的求解过程：（最优的P点）

资产组合机会集合线的每一点代表着我们风险资产组合的选择，我们现在要找出最优的P点。P点的另一个约束条件是P点在CAL直线上。CAL的斜率是酬报与波动性比率，意味着每单位风险的期望回报是多少，我们认为该比率越高投资越有价值。因此P点在资产组合机会集合线上，同时还要CAL的斜率最大。Max Sp=[E(rp)-rf]/σp

已知：σp2 =wd2σd2 +we2σe2 +2wdwdCOV(rd,re) E(rp)=wdE(rd)+weE(re)

wd+we=1

把已知条件带入Max Sp=[E(rp)-rf]/σp用Sp对wd求导，再令为零，得到：

wd={[E(rd)-rf]σe2-[E(rf)-rf]Cov(rd,re)}/[E(rd)-rf]σe2+

[E(re)-rf]σd2-[E(rd)-rf+E(re)-rf]Cov(rd,re)} We=1-wd

把上例中的数据代入，得到的解为

wD={[10-6.5]15-[20-6.5](-6.123)}/[10-6.5]15+[20-6.5]10-[10-6.5+20-

6.5](-6.123)}= 46.7%

wE =1-0.46.7=53.3%

这一最优风险资产组合P的期望收益与标准差为E(rP)=(0.467×10)+(0.533×

20)=15.33% σ2min=(0.4672×10)+(0.5332×15)+(20.4670.533-6.123)

=3.39%

这个最优资产组合的资本配置线的斜率为S P=[E(r B)-r f]/σB=(15.33-

6.5)/1.84=4.80

这是资产组合P可以得到的最大的斜率，因此也是投资者可以得到的最优资本配

置线的斜率。

风险资产与无风险资产的比率为：y*=[E(rp)-rf]/ 0.01Aσp2，假定A=4，投资者

投资于风险资产组合的投资比例为y=[E(rp)-rp]/0.01Aσp2=(15.33-6.5)/(0.01×4×

3.39)=65.12

假定A=300，有y=(15.33-6.5)/(0.01×300×3.39)=0.8682% 1-y=99.1318%

即投资者只有在如此厌恶风险的情况下，才会将其投资资金的0.8682%投向股票与

债券， 99.1318%投向国库券。由于债券在风险资产中的比例为46.7%，股票在风险资

产中的比例为53.3%，因此，在全部投资资金中应有(46.7%× 0.8682%=)0.4055%投资

于债券，(53.3%×86.82%=)0.4627%投资于股票，剩下的99.1318 %投向国库券。

小结：完成一个完整的资产组合的步骤：

1、确定资产组合中各类证券的回报特征（期望收益、方差、协方差）

2、建造风险资产组合找出风险资产组合机会集合线，即风险资产组合P的选择范

围

σp2 =wd2σd2 +we2σe2 +2wdwdCOV(rd,re) (1)

E(rp)=wdE(rd)+weE(re) (2)

wd+we=1 (3)

根据（2）（3）得到：Wd= [E(re)- E(rp)]/[E(re)-E(rd) ] We= [E(rp)-

E(rd)]/[E(re)-E(rd) ] 代入（1）σp2={[E(re)- E(rp)]/[E(re)-E(rd) ]}2σd2 +

{[E(rp)- E(rd)]/[E(re)-E(rd) ]}2σe2+

2 [E(re)- E(rp)]/[E(re)-E(rd) ] [E(re)- E(rp)]/[E(re)-E(rd) ] COV(rd,re)

A、计算最优风险组合P的构成 wd we

CAL与资产组合机会集合线相切的点为最优的P点。数学的表达，首先P在资产组

合机会集合线，同时也在CAL上，但要求CAL的斜率最大。

σp2 =wd2σd2 +we2σe2 +2wdwdCOV(rd,re) E(rp)=wdE(rd)+weE(re)

wd+we=1

Max Sp=[E(rp)-rf]/p 求解最优的P点（ wd ，we ）

B、根据上步确定的权重来计算最优风险组合的收益和标准差。

3、考虑风险资产和无风险资产的组合

A、计算资产组合P和无风险资产的权重（y），利用公式： y*=[E(rp)-

rf]/0.01Aσp2

B、计算出完整的资产组合中投资于每一种资产的投资比例。

例题：已知两种风险资产，E（rd）=8%，бd= 12%， E（re）=13%,бe=20%，

ρ（d，e）=0.3,无风险资产rf=5%, 投资者的厌恶系数A=4，投资者将在最优的条件

下如何分配自己的投资比率。

wd*={[E(rd)-rf]σe2-[E(rf)-rf]Cov(rd,re)}/[E(rd)-rf]σe2+

[E(re)-rf]σd2-[E(rd)-rf+E(re)-rf]Cov(rd,re)}

wd*={[8-5]400-[13-5](72)}/[8-5]400+[13-5]144-[8-5+13-5](72)}= 40%

We=60%

E(rp)=(0.4×8)+(0.6×13)=11%

σp2=(0.42×144)+(0.62×400)+(2×0.4×0.6×72) =2.01%

SP=[E(rp)-rf]/σp=(11-5)/14.2=0.42

y*=[E(rp)-rp]/0.01Aσp2=(11-5)/(0.01×4×2.01)=74.39%

投资于无风险资产的比例为25.61%，投资于债券的比例为74.39%*40%=29.76%，

投资于债券的比例为74.39%*60%=44.63%

多种风险资产的有效集：假设一般投资者是风险厌恶

者，因此我们看到在期望收益-标准差平面，任何两种

风险资产的机会集，是凸的，同时有最小方差解。

经过严密的证明，资产组合中的资产数目大于2的时

候的资产组合机会集分布于凸线内右面。

资产组合P中有很种证券，根据各个证券的比重

不同，我们有很多种组合方式，p1,…pn,对它们的刻

画我们选择我们最关心的收益和标准差，因此在期望