高中数学必修二学案

高中数学必修二学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

§1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征

一、课前准备

（预习教材P2~ P4，找出疑惑之处）

引入：小学和初中我们学过平面上的一些几何图形如直线、三角形、长方形、圆等等，现实生活中，我们周围还存在着很多不是平面上而是“空间”中的物体，它们占据着空间的一部分，比如粉笔盒、足球、易拉罐等.如果只考虑这些物体的形状和大小，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体.它们具有千姿百态的形状，有着不同的几何特征，现在就让我们来研究它们吧!

二、基础探究

1.观察下面的图片，请将这些图片中的物体分成两类，并说明分类的标准是什么？

图1

2.【研读课本】

（1）多面体的概念：叫多面体，

叫多面体的面，叫多面体的棱，

叫多面体的顶点。

①棱柱:两个面，其余各面都是，并且每相邻两个四

边形的公共边都，这些面围成的几何体叫作棱柱

②棱锥：有一个面是，其余各面都是的三角形，这些面

围成的几何体叫作棱锥

③棱台：用一个棱锥底面的平面去截棱锥，，

叫作棱台。

（2）旋转体的概念：

叫旋转体，叫旋转体的轴。

①圆柱：所围成的

几何体叫做圆柱.

②圆锥：所围成的

几何体叫做圆锥.

③圆台：的部分叫

圆台.

④球的定义

三、能力探究

例1．（1）如图，观察四个几何体，其中判断正确的是（）

A.（1）是棱台

B.（2）是圆台

C.（3）是棱锥

D.（4）不是棱柱

（2）下列说法错误的是（）

A.多面体至少有四个面

B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形

C.长方体、正方体都是棱柱

D.三棱柱的侧面为三角形

（3）下列命题中正确的是（）

A.棱台各侧棱的延长线交于一点

B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台

C.连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线

D.圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径

（4）下列几个命题中，

①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台;

②有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台;

③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体;

④分别以矩形两条不等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转，所得到的两个圆柱是两个不同的圆柱.

其中正确的有__________个.（）

A.1

B.2

C.3

D.4

（5）下列说法中不正确的是（）

A 棱与侧棱是同一概念

B 三棱锥与四面体是同一概念

C四棱柱有4条体对角线 D 存在这样的棱锥，它的各个面都是直角三角形（6）一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为______cm.

例2有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱吗？如果不是，请举例说明。

例3．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？如果不是，请举例说明。

四、课堂练习

1 、下列几何体是棱柱的有（）

A.5个

B.4个

C.3个

D.2个

2、下列几个命题中，

①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台;

②有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台;

③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体;

④分别以矩形两条不等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转，所得到的两

个圆柱是两个不同的圆柱.

其中正确的有__________个.（）

A.1

B.2

C.3

D.4

3、下列命题中正确的是（）

A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

C.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥

D.棱台各侧棱的延长线交于一点

4、下列命题中正确的是（）

A.以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥

B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台

C.圆柱、圆锥、圆台都有两个底面

D.圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径

§1.2.1 中心投影与平行投影

§1.2.2 空间几何体的三视图

一、复习提问

1：圆柱、圆锥、圆台、球分别是_______绕着________、_______绕着

___________、_______绕着__________、_______绕着_______旋转得到的.

2：简单组合体构成的方式：________________和_____________________________________.

二、基础探究

1、如图1所示的五个图片是我国民间艺术皮影戏中的部分片断，请同学们考虑它们是怎样得的

图1

2、通过观察和自己的认识,你是怎样来理解投影的含义的

3、请同学们观察图2的投影过程，它们的投影过程有什么不同？

图2

4、图2（2）（3）都是平行投影，它们有什么区别？

5、阅读课本回答下面问题：

（1）、空间几何体的三视图是指、、。

（2）、正视图、侧视图、俯视图分别是从、、观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。

（3）、正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的和；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的和.

俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的和；（4）、三视图的排列规则是放在正视图的下方，它们的一样；

放在正视图右边，它们的一样；侧视图和俯视图的一样。

三、能力探究

例1画出下列物体的三视图：

例2说出下列三视图表示的几何体：

例3作出下图中两个物体的三视图

四、课堂练习

1. 下列哪种光源的照射是平行投影（）.

A.蜡烛

B.正午太阳

C.路灯

D.电灯泡

2. 右边是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）.

A.四棱锥

B.圆锥

C.三棱锥

D.三棱台

3. 如图是个六棱柱,其三视图为（）.

A. B. C. D.

4、根据下面的三视图, 画出相应空间图形的直观图.

主视图左视图俯视图，

§1.2.3 空间几何体的直观图

一、复习提问

1、中心投影的投影线____ _____；平行投影的投影线__ ___. 平行投影又分_ __投影和_ __投影.

2、物体在正投影下的三视图是__ ___、____ __、__ ___；

3、画三视图的要点是___ __ 、 、__ ____.

二、基础探究

水平放置的平面图形的直观图画法

问题：一个水平放置的正六边形，你看过去视觉效果是什么样子的?每条边还相等吗该怎样把这种效果表示出来呢

斜二测画法的规则及步骤如下：

(1)在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的轴和轴，建立直角坐标系，两轴相交于

.画直观图时,把它们画成对应的

轴与

轴，两轴相交于点

，且使

°(或

°).它们确定的平面表示水平面；

(2) 已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段；

(3)已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段，长度为原来的一半；

(4) 图画好后，要擦去轴、轴及为画图添加的辅助线（虚线）. 三、能力探究

例1．如下说法不正确的有

A ．长度相等的线段，在直观图中长度仍相等

B ．若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直

C ．画与直角坐标系xOy 对应的y O x '''时，y O x '''∠必须是45°

D ．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同 例2．用斜二测画法画出水平放置的正五边形的直观图。

例3．用斜二侧画法画长、宽、高分别是4cm,3cm,2cm 的长方体ABCD A B C D ''''-的直 观图。

四、课堂练习

1. 一个长方体的长、宽、高分别是4、8、4，则画其直观图时对应为（）.

A. 4、8、4

B. 4、4、4

C. 2、4、4

D.2、4、2

2. 利用斜二测画法得到的①三角形的直观图是三角形②平行四边形的直观图是平行四边形③正方形的直观图是正方形④菱形的直观图是菱形，其中正确的是（）.

A.①②

B.①

C.③④

D.①②③④

3. 一个三角形的直观图是腰长为的等腰直角三角形，则它的原面积是

（）.

A. 8

B. 16

C.

D.32

4. 下图是一个几何体的三视图

请画出它的图形为_____________________.

5. 等腰梯形ABCD上底边CD=1，腰AD=CB=，下底AB=3，按平行于上、下底边取x轴，则直观图的面积为________.

§1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

一、复习提问

斜二测画法画的直观图中，轴与轴的夹角为____，在原图中平行于

轴或轴的线段画成与___和___保持平行；其中平行于轴的线段长度保持

_____，平行于轴的线段长度____________.

二、基础探究

（一）柱体，锥体和台体的表面积

问题1：棱柱，棱锥，棱台也是由多个平面图形围成的多面体，它们的展开图是什么如何计算它们的表面积

问题2：如何根据圆柱，圆锥的几何特征，求它们的表面积？

问题3：联系圆柱和圆锥的展开图，你能想象圆台展开图的形状，并画出它吗？如果圆台的上下底面半径分别为r1，r2，母线长为l，你能计算出它的表面积吗？

（二）柱体，锥体，台体的体积

提出问题:在初中，我们学过正方体，长方体和圆柱的体积公式，你还记得吗？

问题1：你能从它们的体积公式出发，猜想出一般柱体的体积公式吗？

问题2：通过多媒体展示，请学生猜测等底，等高的三棱柱与三棱锥的体积之间的关系

问题3：推广到一般的棱锥和圆锥，你能猜想出锥体的体积公式

吗？

问题4：根据棱台和圆台的定义，如何计算台体的体积？

问题5：柱，锥，台三者的体积公式之间有什么关系？

三、能力探究

例 1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S—ABC（图

6），求它的表面积。

例2 如图，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm，盆底直径为15 cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长为15 cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少毫升油漆（

π取3.14，结果精确到1毫升，可用计算器）

例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8 g/cm 3）六角螺帽（如图）共重5.8 kg,已知底面是正六边形，边长为12 mm,内孔直径为10 mm,高为10 mm ，问这堆螺帽大约有多少个（π取3.14）

四、课堂练习

1.正方体的表面积是96，则正方体的体积是（ ） A.648 B.64 C.16 D.96

2.）如图所示，圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为（ ） A.π B.2π C.3π D.4π

3.正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为32，则这个正三棱锥的体积是（ ）

A.

427 B.4

9

C.4327

D.439

4.若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的_________

倍；

§2.1.1 平面

一、复习提问

平面是构成空间几何体的基本要素.那么什么是平面呢平面如何表示呢平面又有哪些性质呢 二、基础探究

1.几何里的平面是无限延展的，我们通常把水平的平面画成一个平行四边形。

2.常用符号的记法：

（1）点A 在平面α内，记作α∈A ；点B 在平面α外，记作α?B 。 （2）点P 在直线上，记作l P ∈；点P 在直线l 外，记作l P ?。

（3）直线l 在平面α内，记作α?l ；直线l 不在平面α内，记作α?l 。

3.公理1:如果_一条直线上的两点在一个平面内__，那么这条直线在此平面内。用符号表示为____________________，图形为________________,其作用是证明直线在平面内。

4.公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。图形为 _________________________，其作用是确定平面。

推论1.经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论2.经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3.经过两条平行直线,有且只有一个平面.

5.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。用符号表示为_________________________，图形为___________________，其作用是做两个平面的交线。

三、能力探究

例1：用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的关系。

变式迁移1：用符号表示下列语句，并画出相应的图形。

（1）点A 在平面α内，但点B 在平面α外； （2）直线a 经过平面α外的一点M ；

（3）直线a 既在平面α内，又在平面β。

α β A B

a

l

P

α β

l a b

例2 下列命题正确的是( )

A ．画一个平面，使它的长为 14 cm ，宽为 5 cm

B ．一个平面的面积可以是 16 2m

C ．平面内的一条直线把这个平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分

D ．10 个平面重叠起来，要比 2 个平面重叠起来厚 例3 下列命题正确的是( ) A ．经过三点确定一个平面

B ．经过一条直线和一个点确定一个平面

C ．四边形确定一个平面

D ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 例4 判断下列命题是否正确

A ．平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点。 ( )

B ．经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面 （ ）

C ．经过两条相交直线，有且只有一个平面 （ ）

D ．如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合 （ ） 四、课堂练习

1．空间中ABCDE 五点中，ABCD 在同一平面内，BCDE 在同一平面内，那么这五点（ ）

A 共面

B 不一定共面

C 不共面

D 以上都不对

2. 分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（ ）

Ａ．异面直线 Ｂ．相交直线

Ｃ．不相交直线

Ｄ．不平行

直线

3. 三条直线相交于一点，可能确定的平面有（ ）

Ａ．1个

Ｂ．2个

Ｃ．3个

Ｄ．1个或3个

4．直线12l l ∥，在1l 上取3点，2l 上取2点，由这5点能确定的平面有（ ） Ａ．9个

Ｂ．6个

Ｃ．3个

Ｄ．1个

5．给出下列命题：

和直线a 都相交的两条直线在同一个平面内； 三条两两相交的直线在同一平面内； 有三个不同公共点的两个平面重合； 两两平行的三条直线确定三个平面． 其中正确命题的个数是（ ） Ａ．0

Ｂ．1

Ｃ．2

Ｄ．3

6．已知下列四个命题： ① 很平的桌面是一个平面； ② 一个平面的面积可以是4m 2； ③ 平面是矩形或平行四边形； ④ 两个平面叠在一起比一个平面厚． 其中正确的命题有（ ） Ａ．0个

Ｂ．1个

Ｃ．2个

Ｄ．3个

7.解答题：

已知正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11D C ，

C B 的中点，

AC

BD P =，11

A C EF Q =．求证：

（１）D ，B ，F ，E 四点共面；

（２）若1A C 交平面DBFE 于R 点，则P ，Q ，R §2.1.2

一、复习提问

1、点与平面的位置关系：点A 在平面α上记作： 点A 在平面α外记作：

2、直线与平面的位置关系：直线l在平面α上（平面α经过直线l）记作：

直线l在平面α外记作：

3、公理1：符号表示为：

公理2：

推论1：符号表示为：

推论2：符号表示为：

推论3：符号表示为：

公理3：符号表示为：

二、基础探究

1.异面直线的概念及作法；

2.公理4；

3.空间角定理；

4.异面直线所成角的定义及取值范围；

5.空间直线平行或垂直的表示方法；

三、能力探究

例1：如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H 分别是AB,BC,CD,DA的中点，

求证：四边形EFGH是平行四边形；

例2：如图，已知正方体ABCD-A`B`C`D`

（1）那些棱所在直线与直线BA`

（2）直线BA`和CC`的夹角是多少？

（3）哪些棱所在的直线与直线AA`垂直？

变式练习2

：如图，已知长方体ABCD-

2 AA'=．（１）

BC和A C''所成的角是多少度？

（２）AA'和BC'所成的角是多少度？

C

四、课堂练习

1.若a，b是异面直线，b，c也是异面直线，则a与c的位置关系是（）Ａ．异面Ｂ．相交或平行Ｃ．平行或异面

Ｄ．相交或平行或异面

如右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中

①BM与ED平行；

②CN与BE是异面直线；

③CN与BM成?

60角；

④DM与BN垂直．

以上四个命题中，正确命题的序号是（）

Ａ．①②③Ｂ．②④Ｃ．③④Ｄ．②③④。

2. a，b是异面直线，A，B是a上两点，C，D是b上的两点，M，N分别是线段AC和BD的中点，则MN和a的位置关系是（）

Ａ．异面直线Ｂ．平行直线Ｃ．相交直线Ｄ．平行、相交或异面

3.在正方体ABCD－A

1

B

1

C

1

D

1

中,求(1)A

1

B与B

1

D

1

所成角;(2)AC与BD

1

所成角.

§2.1.3空间直线与平面之间的位置关系 §2.1.4平面与平面之间的位置关系

一、复习提问

1：空间任意两条直线的位置关系有_______、_______、_______三种.

2：异面直线是指________________________的两条直线,它们的夹角可以通过______________ 的方式作出,其范围是___________.

3：平行公理：__________________________________________；

空间等角定理：__________________ _________________.

二、基础探究

探究1：空间直线与平面的位置关系

观察：如图3-1,直线A B'与长方体的六个面有几种位置关系?

N

D C

E

A B

F

M

图3-1

1：直线与平面位置关系只有三种： ⑴直线在平面内—— ⑵直线与平面相交—— ⑶直线与平面平行——

其中，⑵、⑶两种情况统称为直线在平面外.

探究2：平面与平面的位置关系

观察：还是在长方体中，如图3-2，你看看它的六个面两两之间的位置关系有几种?

图3-2

2：两个平面的位置关系只有两种： ⑴两个平面平行——没有公共点 ⑵两个平面相交——有一条公共直线

三、能力探究

例1 下列命题中正确的个数是（ ）

⑴若直线L 上有无数个点不在平面α内，则L ∥α

(2)若直线L 与平面α平行，则L 与平面α 内的任意一条直线都平行

(3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 (4)若直线L 与平面α平行，则L 与平面α内任意一条直线都没有公共点 （A ）0 (B) 1 (C) 2 (D)3

变式 1. 已知直线a 在平面α外，则 （ ） （A ）a ∥α （B ）直线a 与平面α至少有一个公共点

（C ）a A α?= （D ）直线a 与平面α至多有一个公共点 2. 直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（ ） A ．一条直线不相交 B ．两条直线不相交 C ．任意一条直线都不相交 D ．无数条直线都不相交

例2 求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内.

变式已知平面,αβ，直线,a b，且α∥β,aα

?，则直线a与直线b具有怎样的位置关系?

?，bβ

四、课堂练习

1. 以下命题（其中a，b表示直线，α表示平面）①若a∥b，b?α，则a∥α；②若a∥α，b ∥α，则a∥b；

③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b?α，则a∥b。其中正确命题的个数是（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个

2. 已知a∥α，b∥α，则直线a，b的位置关系：①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交. 其中可能成立的有（）

（A）2个（B）3个（C）4个（D）5个

3. 如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是（）

（A）平行（B）相交（C）平行或相交（D）AB?α

4. 已知m，n为异面直线，m∥平面α，n∥平面β，α∩β=l，则l （）

（A）与m，n都相交（B）与m，n中至少一条相交

（C）与m，n都不相交（D）与m，n中一条相交

5. 下列说法正确的是 ( )

A．直线a平行于平面M，则a平行于M内的任意一条直线

B．直线a与平面M相交，则a不平行于M内的任意一条直线

C．直线a不垂直于平面M，则a不垂直于M内的任意一条直线

D．直线a不垂直于平面M，则过a的平面不垂直于M

α,的公共点多于2个，则（）

6. 平面β

α,可能只有3个公共点

A. β

α,可能有无数个公共点，但这无数个公共点有可能不在一条直线上

B. β

α,一定有无数个公共点

C. β

D. 除选项A，B，C外还有其他可能

7 已知直线,a b及平面α满足: a∥α,b∥α,则直线,a b的位置关系如何?画图表示.

8 两个不重合的平面，可以将空间划为几个部分三个呢试画图加以说明.

§2.2. 2 平面与平面平行的判定

一、复习提问

1：直线与平面平行的判定定理是

______________________________________________.

2：两个平面的位置关系有_ __种，分别为__ _____和____ ___.

二、基础探究

探究1：直线与平面平行的背景分析

实例1：如图，一面墙上有一扇门，门扇的两边是平行的.当门扇绕着墙上的一边转动时，

观察门扇转动的一边l与墙所在的平面位置关系如何？

实例2：如图，将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线l与桌面所

在的平面具有怎样的位置关系？

结论：

探究2：直线与平面平行的判定定理

问题：探究1两个实例中的直线l 为什么会和对应的平面平行呢你能猜想出什么结论吗能作图把这一结论表示出来吗 直线与平面平行的判定定理 定理：

思考下列问题

⑴用符号语言如何表示上述定理； ⑵上述定理的实质是什么

探究3：两个平面平行的判定定理

问题1：平面可以看作是由直线构成的.若一平面内的所有直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行吗由此你可以得到什么结论

问题2：一个平面内所有直线都平行于另外一个平面好证明吗能否只证明一个平面内若干条直线和另外一个平面平行，那么这两个平面就平行呢

在长方体中，回答下列问题

（1）如下图，AA AA B B '''?面,AA '∥面BB C C ''，则面AA B B ''∥面BB C C ''吗？

（2）下图6-2，AA '∥EF ，AA '∥DCC D ''面，EF ∥DCC D ''面，则A ADD ''面∥DCC D ''面吗？

两个平面平行的判定定理 ： 如图所示，α∥β.