费米狄拉克分布函数
费米狄拉克分布函数
费米-狄拉克分布（Fermi-Dirac distribution）全同和独立的费米子系统中粒子的最概然分布。简称费米分布，量子统计中费米子所遵循的统计规律。这个统计规律的命名来源于恩里科·费米和保罗·狄拉克，他们分别独立地发现了这一统计规律。不过费米在数据定义比狄拉克稍早。费米–狄拉克统计的适用对象是，热平衡时自旋量子数为半奇数的粒子。除此之外，应用此统计规律的前提是，系统中各粒子之间的相互作用可以忽略不计。
费米子是自旋为半整数( 即自旋为/2，=h/2π，h是普朗克常量）的粒子，如轻子和重子，全同费米子系统中粒子不可分辨，费米子遵从泡利不相容原理，每一量子态容纳的粒子数不能超过一个。对于粒子数、体积和总能量确定的费米子系统，当温度为T时，处在能量为E的量子态上的平均粒子数为[2]
费米-狄拉克分布公式
式中，k是玻耳兹曼常量，εf是化学势。在高温和低密度条件下，费米-狄拉克分布过渡到经典的麦克斯韦-玻尔兹曼分布。
对费米-狄拉克分布公式的理解：是各能级被电子占据的数目服从的特殊的统计规律。
费米能级：用来描述电子的能级填充水平的假想能级，
E越大，高能级的电子越多，反之
F
E反映整体平均水平）。对于金属，绝对零度下，电子占据的最高能级就是费米能级。费米能则越少（
F
级的物理意义是，该能级上的一个状态被电子占据的几率是1/2。只要知道了它的值，在一定温度下，就能确定电子在各量子态下的统计分布。它和温度，半导体材料的导电类型，杂质的含量以及能量零点的选取有关。n型半导体费米能级靠近导带边，过高掺杂会进入导带。p型半导体费米能级靠近价带边，过高掺杂会进入价带。将半导体中大量电子的集体看成一个热力学系统，可以证明处于热平衡状态下的电子系统有统一的费米能级。
1 、当 为 时,分别用费米分布函数和玻尔兹曼分布函数计算
1、当F E E ?为00015410.k T ,k T ,k T 时，分别用费米分布函数和玻尔兹曼分布函数计算电子占据各 该能级的几率。 2、利用表3-2中的n p m ,m ??数值， 计算Si ，Ge ，GaAs 在室温下的C V N ,N 以及本征载流子浓度。3、①室温下，Ge 的有效态密度19310510C N .cm ?=×；1835710v N .cm ?=×，求Ge 的载流子有效质 量n p m ,m ?? 。计算77k 时的C N 、V N 。已知300K 时，067g E .eV =，77K 时076g E .eV =。求这两个温度下Ge 的本征载流子浓度。②77K 时，Ge 的电子浓度为17310cm ?，假定受主浓度为零，而001C D E E .eV ?=，求Ge 中施主浓度D N 为多少？ 4、计算施主杂质浓度分别为163183193101010cm ,cm ,cm ???的Si 在室温下的费米能级，并假定杂质是全部电离。再用算出的费米能级核对一下上述假定是否在每一种情况下都成立。计算时，取施主能级在导带底下面0.05eV 处。 5、计算含有施主杂质浓度153910D N cm ?=×及受主浓度为1631110A N .cm ?=×的Si 在300T K =时的 电子和空穴浓度以及费米能级的位置。 6、施主浓度为13310D N cm ?=的n 型硅，计算400K 时本征载流子浓度，多子浓度、少子浓度 和费米能级的位置。 7、制造晶体管一般是在高杂质浓度的n 型衬底上外延一层n 型外延层，再在外延层中扩散硼、磷而成。 ①设n 形硅单晶衬底是掺锑的，锑的电离能为0.039eV ，300K 时的F E 位于导带底下面0026.eV 处，计算锑的浓度和导带中电子浓度；（衬底） ②设n 型外延层杂质均匀分布，杂质浓度为1534610.cm ?×，计算300K 时F E 的位置及电子和空 穴浓度；（外延层） ③在外延层中扩散硼后，硼的浓度分布随样品深度变化。设扩散层某一深度处硼浓度为 1535210.cm ?×，计算300K 时F E 的位置及电子和空穴的浓度； （外延层中的扩散区）④如温度升高到500K ，计算③中电子和空穴的浓度（本征载流子浓度数值查图3-7） 8、计算掺磷的硅、锗在室温下开始发生弱简并时的杂质浓度为多少？ 9、利用上题的结果，计算掺磷的硅、锗在室温下开始发生弱简并时有多少施主发生电离？导带中电子浓度为多少？
玻色分布和费米分布
玻色分布和费米分布 现对费米分布推导如下 ： 对 ()∏-=Ωl l l l l D F a a !!! ..ωω 取对数得：()[] ∑---=Ωl l l l l D F a !ln !ln !ln ln ..εωω N>>1 ， 若假设a l >>1 ， ωl >>1可得到： ()()[]∑----=Ωl l l l l l l l l D F a a a a ωωωωln ln ln ln .. 约束条件： ∑=l l N a ； ∑=l l l E a ε 为求在此约束条件下的最大值，使用拉格朗日乘数法，取未定因子为α和β则拉格朗日函数为：l l l l l l D F a a a E N δβεαωβδαδδ∑??? ? ??++-- =--Ωln ln .. 若令上式为零，则有：0ln =++-l l l l a a βεαω ， 即 上式给出了费米系统粒子的最概然分布，称为费米——狄拉克分布。 玻色分布的推导作为练习，请同学们课后自己推导. 6．8 三种分布的关系 1 、由 ∑=l l N a ∑=l l l E a ε确定拉氏乘子a 和β的值. 在许多实际问题中,也往往将β看作由实验确定的已知参量而由∑=l l l a εE 确定系统的内 能.或将a 和β都当作由实验确定的已知参量,而由 ∑=l l N a ∑=l l l E a ε确定系统的平均 总粒子数和内能. 2 、能级的εl 有ωl 个量子态处在其中任何一个量子态上的平均粒子数应该是相同的,因此处在能量为εS 的量子态S 上的平均粒子数为: s s s a f ω= 即: s s s a f ω= 定域系统 ：s e βεα-- 费米系统：11++s e 玻色系统： 1 1 ++s e βεα 总粒子数和能量可分别表示为: N = ∑s s f 定域系统 = ∑--s S e βε α “+”费米系统 “-”玻色系统 = ∑±+s S e 1 1 βεα
费米
费米 费米（Enrico Fermi,1901～1954）美籍意大利物理学家。他在理论和实验方面都有第一流建树，这在现代物理学家中是屈指可数的。 1901年9月29日生于罗马，父亲是铁路职工，母亲是中学教师。中学时是模范学生，各方面名列前茅。从小对机械着迷，曾和哥哥一起设计与制造电动机，设计飞机引擎等。他酷爱数学和物理，10岁时听大人们谈论表示圆，就独自弄懂了这一表示式。独自钻研了大量代数、几何、分析题目。17岁时以第一名考入比萨大学师范学院。他的入学试卷“声音的特性”详细探讨了振动杆的实例，写出了振动杆偏微分方程，求得其本征值与本证函数并对杆的运动作傅里叶展开。主考教授对这一通篇无错的答卷惊讶万分，交口称赞，认为是意大利科学复兴的希望。图书馆里的书籍是他最好的老师。在比萨大学，他被认为是相对论和量子理论的最高权威。大学三年级就发表了两篇研究论文。 1922年获博士学位。1923年去格丁根大学随M.玻恩工作，1924年到荷兰的莱顿大学，随厄任费斯脱（Paul Ehrenfest，1880～1933）工作。同年回意大利，在罗马大学任教，1925年到佛罗伦萨大学任讲师。1926年起任罗马大学教授。此后10年，是他创造的黄金时代，并在他周围形成著名的罗马学派，1928年获诺贝尔物理学奖后移居美国。1939～1942年
任哥伦比亚大学教授。1942～1945年任芝加哥大学教授，1944～1945年任洛斯阿拉莫斯实验室主任。1946年起任芝加哥大学核物理研究所教授。 他主要从事统计物理、原子物理、原子核物理、粒子物理、天体物理和技术物理等方面的研究。1925年12月，与狄拉克各自独立地提出具有半整数自旋粒子的统计法（费米－狄拉克统计法）。1928年给出描述和计算多电子原子基态的近似方案（托马斯－费米原子模型）。 1934年，建立β衰变理论，从而奠定了弱相互作用的理论基础。 在实验物理方面，费米同样作出了重要贡献。1934年用中子代替α粒子对周期表上的元素逐一攻击直到铀，发现了中子引起的人工放射性，还观察了到中子慢化现象，并给出它的理论，为后来重核烈变的理论与实践打下基础，为此，于1938年获诺贝尔物理学奖。 1936年发现中子的选择吸收，他与他的同事们在这方面的工作，奠定了中子物理学的基础。 1939年，费米着手探索核裂变链式反应的可能性，并于1942年12月2日在芝加哥大学建成世界上第一座可控原子核裂变链式反应堆，使它达到临界状态，产生可控的核裂变链式反应。这一成就是原子能时代的一个重要里程碑。其后他参加了原子弹地研制工作。
费米能级的相关知识
费米能级是绝对零度时电子的最高能级. 自由粒子的波函数是平面波,波动方程是f(r)=(1/V^0.5)*Exp(i k*r) k是平面波波矢,电子能量是E=(hk)^2/2m (这个h是除以2PI后的那个普朗克常数,原来表示此量的符号太不好找了) 可以看出,电子对于取不同的k时,可以处在不同能量状态. 下面引入k空间,尽量理解. 一般用周期性边界条件,f(x y z)=f(x+L y z)=f(x y+L z)=f(x y z+L )确定k的取值kx=(2PI/L)Nx ky=(2PI/L)Ny kz=(2PI/L)Nz Nx Ny Nz是整数,因此把k看作空间矢量,在k空间中,k只能取一个个分立的点.你可以想象以kx ky kz3个方向建立坐标系,因为Nx Ny Nz是整数,kx ky kz只能取到一个个点.就比如Nx是整数,永远不会有kx=(2PI/L)*0.4处被取到. 每个点代表一种k的取值,前面有说过,每个k都对应电子的不同能量状 态,E=(hk)^2/2m ,这些能量状态也因为k的分立取值而只能分立出现,就是能级. 把电子放在k空间的各个点上,代表电子处在那个k值的状态,也对应一个能量状态,即处在该能级上. 因为泡利不相容原理,每个态上只可以放2个电子,(自旋相反)不会有第3个跟他们在同一个状态(k空间的各个点)上. 现在有一个总共有N个电子的体系,各个电子都处于什么状态哪?粒子总是先占据能量小的能级,从kx=0ky=0kz=0开始(显然这时候能量最小,不过这个模型有点局限,你不必理了)kx=0ky=0kz=1.....kx=33 ky=34 kz=34.....反正越来越大,越来越往能量更大的高能级上添.最后第N个电子会处在最高能级上(能量最大),这个能级就是费米能级.（我的问题：这个意思也就是说一个原子最外层电子所在的能级就是费米能级？要是能级没有被填满呢？ 注意: 1 不在绝对零度的话,电子填充能级不是仅仅由泡利不相容原理决定,因此费米能级是绝对零度时,电子的最高能级. 2 通常宏观体系的电子数N很大,电子填充能级时,在k空间的占据态,也就是可以处在的那N/2的点,会形成一个球形,称为费米球.这很好想象,粒子总是先占据能量小的能级,离(0 0 0)越近的能级(哪个点)先占据,最后被占据的点肯定不会有"支出去"的,而是程球形.这个球面叫费米面,有时也说费米面上的能级是费米能级.我前面说"第N个电子会处在最高能级上(能量最大),这个能级就是费米能级"是为了理解方便,实际上第N个电子,不见得比N-1的能级高了,简单的看 kx=0ky=0kz=1和kx=0ky=1kz=0和kx=1ky=0kz=0不是能量一样吗?当离(0 0 0)很远后,这种k不同但能量一样或近似一样的点会更多,形成一个近似的球面--费米面.一般就认为费米面上的能级就是最高能级--费米能级. 3 从费米分布函数角度解释也可以,费米分布函数给出了不在绝对0度的情况下各个能级被占据的几率,费米能级是本征态占据几率1/2的态对应能级在绝对0度的极限.你可以看黄昆先生的固体物理. 4 对于f(x y z)=f(x+L y z)=f(x y+L z)=f(x y z+L )确定k的取值,可以自己计算一下.波动方程只是为了得出能级概念,并不需要注意,解法可以去看量子力学.
费米狄拉克分布函数解析、图像和应用
各能级被电子占据的数目服从特定的统计规律这个规律就是费米-狄拉克分布规律。 一般而言，电子占据各个能级的几率是不等的。占据低能级的电子多而占据高能级的电子少。统计物理学指出，电子占据能级的几率遵循费米的统计规律：在热平衡．．．状态下，能量为E 的能级被一个电子占据的几率为： f(E) 称为电子的费米(费米-狄拉克)分布函数，k 、T 分别为波耳兹曼常数和绝对温度。E fermi 称为费米能级，它与物质的特性有关。 只要知道了费米能级E fermi 的数值，在一定温度下，电子在各量子态上的统计分布就完全确定了。 费米分布函数的一些特性: 【根据f(E)公式来理解】 第一， 费米能级E fermi 是一种用来描述电子的能级填充水平的假想能级．．．．， E f 越大，表示处于高能级的电子越多； E f 越小，则表示高能级的电子越少。(E f 反映了整体平均水平) 第二，假定费米能级E f 为已知，则f(E)是能量E 与温度T 的函数。根据f(E)式可画出 f(E) 的曲线如图所示，但要注意 因变量f(E)不像普通习惯画在纵轴，而是破天荒的画在横轴。 第三，费米能级E f 在能级图中的位置与材料掺杂情况有关。对于本征半导体，E f 处于禁带E g 的中央，在绝对零度时，在导带E c 中E ＞E f ，f(E)=0；在价带E v 中E ＜E f ，f(E)= =1，表明电子全部处于价带E v 之中，因而此时 半导体是完全不导电的。 0 1/2 1 f(E) E E f T 0 T 1 T 2 T 3 费米分布函数变化曲线 T 3 >T 2 >T 1 >T 0 在T 不为绝对零度前提下，若E ＜E f ，则 f(E) ＞1/2；若E = E f ，则 f(E)=1/2；若 E ＞E f ，则 f(E) ＜1/2。上述结果文字描述，在系统的温度高于绝对零度前提下，如果某能级的能量比费米能级低E f ，则该能级(范 围)被电子占据的几率大于50%；若能级的能量比费米能级E f 高，则该能级被电子占据的几率小于50%。而当能级的能量恰等于费米能级E f 时，该能级被电子占随着温度的升高，能量略低于E f 的量子态被电子占据的概率降低，而略高于E f 的量子态被电子占据的概率增大。 在一定温度下(温度不变)，费米能级附近的部分能量小于E f 的电子会被激发到E f 以上，温度越高，被激发的概率越大。 费米分布规律不适用于非平衡状态
费米狄拉克统计
费米–狄拉克统计[编辑] 维基百科，自由的百科全书 （重定向自费米-狄拉克统计） 费米–狄拉克统计（英语：Fermi–Dirac statistics），有时也简称费米统计、FD统计，在统计力学中用来描述由大量满足泡利不相容原理的费米子组成的系统中，粒子处在不同量子态上的统计规律。 这个统计规律的命名来源于恩里科·费米和保罗·狄拉克，他们分别独立地发现了这一统计规律。不过费米在数据定义比狄拉克稍早。[1][2] 费米–狄拉克统计的适用对象是，热平衡时自旋量子数为半奇数的粒子。除此之外，应用此统计规律的前提是，系统中各粒子之间的相互作用可以忽略不计。这样，就可以用粒子在不同定态的分布状况来描述大量微观粒子组成的宏观系统。不同的粒子分处于不同的能态上，这一特点对系统许多性质会产生影响。费米–狄拉克统计适用于自旋量子数为半奇数的粒子，这些粒子也被称为费米子。由于电子的自旋量子数为1/2，因此它是费米–狄拉克统计最普遍的应用对象。费米–狄拉克统计是统计力学的重要组成部分，它利用了量子力学的一些原理。 目录 [隐藏] ? 1 概述 ? 2 历史 ? 3 费米–狄拉克分布 o 3.1 粒子的能量分布 ? 4 量子范畴和经典范畴 ? 5 参考文献 ? 6 相关条目 概述[编辑] 函数反对称，在费米子的某一个能级上，最多只能容纳一 个粒子。因而符合费米–狄拉克统计分布的粒子，当他们 处于某一分布（“某一分布”指这样一种状态：即 在能量为的能级上同时有个粒子存在着，不难 想象，当从宏观观察体系能量一定的时候，从微观角度观察体系可能有很多种不同的分布状态，而且在这些不同的分布状态中，总有一些状态出现的几率特别的大，而其中出现几率最大的分布状态被称 为最可几分布）时，体系总状态数为：
《固体物理》期末复习要点
《固体物理》期末复习要点 第一章 1.晶体、非晶体、准晶体定义 晶体：原子排列具有长程有序的特点。 非晶体：原子排列呈现近程有序，长程无序的特点。 准晶体：其特点是介于晶体与非晶体之间。 2.晶体的宏观特征 1）自限性2）解理性3）晶面角守恒4）各向异性 5）均匀性6）对称性7）固定的熔点 3.晶体的表示，什么是晶格，什么是基元，什么是格点 晶格：晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点在空间有规则地做周期性无限分布，这些点的总体称为晶格。 基元：若晶体有多种原子组成，通常把由这几种原子构成晶体的基本结构单元称为基元。 格点：格点代表基元的重心的位置。 4.正格和倒格之间的关系,熟练掌握典型晶体的倒格矢求法 5.典型晶体的结构及基矢表示
6.熟练掌握晶面的求法、晶列的求法，证明面间距公式 7.什么是配位数，典型结构的配位数，如何求解典型如体心、面心的致密度。 一个粒子周围最近邻的粒子数称为配位数。 面心：12 体心：8 氯化铯（CsCl ）：8 金刚石：4 氯化钠（NaCl ）：6 8.什么是对称操作，有多少种独立操作，有几大晶系，有几种布拉维晶格，多少个空间群。 对称操作： 使晶体自身重合的动作。 根据对称性，晶体可分为7大晶系， 14种布拉维晶格，230个空间群。 9.能写出晶体和布拉维晶格 10.了解 X 射线衍射的三种实验方法及其基本特点 1）劳厄法：单晶体不动，入射光方向不变。 2）转动单晶法：X 射线是单色的，晶体转动。 3）粉末法：单色X 射线照射多晶试样。 11.会写布拉格反射公式 12. 什么是几何结构因子。 几何结构因子：原胞内所有原子的散射波，在所考虑方向上的振幅与一个电子的散射波的振幅之比。 第二章 1.什么结合能，其定位公式 晶体的结合能就是将自由的原子(离子或分子) 结合成晶体时所释放的能量。 2.掌握原子间相互作用势能公式，及其曲线画法。
实验十九_金属中电子的费米—狄拉克分布验证22
费米—狄拉克分布实验验证 【实验目的】 1.通过实验验证费米—狄拉克分布。 2.学会一种实验方法及处理实验数据的技巧。 【实验原理】 近代电子理论认为金属中的电子按能量的分布是遵从费米――狄拉克的量子统计规律的，费米分布函数为 （1） 金属中的每个电子都占有一定能量的能级，这些能级分布密集，形成能带。当其温度为绝对零度时，金属中电子的平均能量并不为零。此时金属中的电子将能量从零到能量为εf(εf称费米能级,εf的值随金属的不同而不同)的能级全部占据。而高于费米能级的那些能级全部空着，没有电子去占据。如图（1）中的实线所示，当金属的温度为1500℃,则靠近费米能级的少数电子由于热运动的增加,其能量超过εf值,因而从低于费米能级的能带跃迁到高于费米能级的能带上去,其分布曲线如图(1)中的虚线所示。我们的实验是在灯丝灼热（约1400℃～1500℃）的情况下进行的，因此我们实验所测的结果也只是靠近费米能级的一部分，如图（1）中矩形所包的虚线部分。对（1）式求导可得 （2） （1）、（2）两式的理论曲线如图（1）和图（2）所示。 由于金属内部电子的能量无法测量，只能对真空中热发射电子的动能分布进行测量。由于电子在真空中的热运动与电子在金属内部的运动情况完全不同，这是因为金属内部存在着带正电的原子核，电子不但有热运动的动能，而且还具有势能，真空中的电子就不存在势能，εf=0。由于电子从金属内部逃逸到真空中时，还要消耗一部分能量用作逸出功，因此从金属内部电子的能量ε减去逸出功Ａ，就可得到真空中热发射电子的动能εｋ εk=ε-A （3）
此外,在真空与金属表面附近还存在着电子气形成的偶电层，就是说逸出金属表面的电子，还要消耗一些能量穿越偶电层，根据前苏联科学院院 士,Я.И符伦克尔和И.E塔姆的理论,电子穿越偶电层所需的能量,也就是该金属的费米能级εf。考虑到这两个因素之后应对费米函数作适当的修正，修正后的费米函数应为： （4） 对（４）式求导得 （5） 由（4）、（5）两式可以看出，真空中发射电子的动能分布也遵从费米—狄拉克分布。 【实验方法及数据处理】 本实验是利用理想二极管的特殊结构，在管子的外面套一个螺线管，并且通以直流电流，则螺线管中的磁感应强度Ｂ的方向与管子的轴线（灯丝）平行，在二极管不加板压的情况下（u p=0）,从灯丝发射出电子,沿半径方向飞向园柱面板极(阳极)，由于阳板电压为零,所以电子在不受外电场力的作用下，保持其初动能飞向阳极形成阳极饱和电流，其线路如图(3)所示。 由于电子的初动能各不相同，如何将它们按相等的动能间隔区分开来，并且求出电子数目的相对值，便成为本实验的焦点。由图（4）可知，从二极管灯丝（即园心）发射出的电子，沿半径方向飞向园柱面阳极（即园周），在螺线管所产生的磁感应强度Ｂ的作用下，电子将受到罗仑兹力Ｆ=-ev× 匀速圆周运动。罗仑兹力是向心力，它不改变电子的动能，由于v⊥Ｂ，所以罗仑兹力公式可用下式表示： （6） （7） （7）式中的v是电子沿二极管半径方向的速度，或者电子的速度在半径方向的分量，R是电子作匀速圆周运动的半径，ｍ是电子的质量，B是螺线管中间部
什么是费米函数
什么是费米函数(Fermi Function) 某小学由一班学生,学生人数为50人,班上所提供的座位有60个.老师以学生的身高进行座位的分配.经分配后,班上身高较高的学生将配往后座,而且经分配后,班上将留下10个空位.这是一般我们小时候常经历的生活经验. 电子在原子内分布的情形与分布的规则,与上面这个例子十分的相似.电子的能级,好比是例子里的座位;而电子的能量,则好比是例子里学生身高.能量较高的电子,就好像是身高较高的学生一般,将占往高位的能级(即例子里的后座),并使低位能的能级留下空缺(即空位).因为材料的导电性与位于导带的导电电子密度(或数量)有关,为了了解这一点,我们势必要先了解电子的量子状态分布(如例子里的座位分配),及电子的能量分布(即学生的身高分布)后,才能让我们掌握有多少自由电子位于导带内(即有多少身高较高的学生能坐在后座).在材料科学上,我们通常称前者(即电子的量子状态分布)为状态密度(Density of Status),以N(E)表示;后者(即电子的能量分布)称为费米函数(Fermi Function),以P(E)来表示;而电子的分布函数(Electron Distribution Function),用F(E)来表示,并可以写为: F(E)=2*N(E)*P(E)----------------------------------(式2-16) 其中电子分布函数F(E),可以简单的定义为: "能量为E的外围电子数量". (式2-16)之所以乘上2,式因为每个量子状态(Quantum State)可以被两个转动方向相反的电子所占,以符合Pauli不相容原理.至于表示电子能量分布的费米函数,则可以以下式表示: P(E)=1/(exp[(E-Ef)/kT]+1)----------------------(式2-17) 其中T为绝对温度,k为波兹曼常数,而Ef则称为费米能量. 费米能量Ef可以定义为:" 在绝对温度零度(0 k)时,原子内电子所能占住的最高能级的能量". 也就是说,在0 k时,所有低于Ef的能级将完全为电子所占满,而高于Ef的能级则完全空着,如图2-22的实线所示.当物体所在的环境温度高于0 k后,虽然大多数的电子依然处于低能级上,但是一小部分的电子将因环境所提供的能量,而开始转往较高的能级,使电子的分布不再局限于Ef的下方,如图2-22的虚线所示.至于费米函数,则可以定义为:" 当物体所在的环境温度高于绝对零度时,在能量为Ef的能级上,发现电子的几率为50%", 如图2-22所示.
费米狄拉克分布函数
费米狄拉克分布函数 费米-狄拉克分布（Fermi-Dirac distribution）全同和独立的费米子系统中粒子的最概然分布。简称费米分布，量子统计中费米子所遵循的统计规律。这个统计规律的命名来源于恩里科·费米和保罗·狄拉克，他们分别独立地发现了这一统计规律。不过费米在数据定义比狄拉克稍早。费米–狄拉克统计的适用对象是，热平衡时自旋量子数为半奇数的粒子。除此之外，应用此统计规律的前提是，系统中各粒子之间的相互作用可以忽略不计。 费米子是自旋为半整数( 即自旋为/2，=h/2π，h是普朗克常量）的粒子，如轻子和重子，全同费米子系统中粒子不可分辨，费米子遵从泡利不相容原理，每一量子态容纳的粒子数不能超过一个。对于粒子数、体积和总能量确定的费米子系统，当温度为T时，处在能量为E的量子态上的平均粒子数为[2] 费米-狄拉克分布公式 式中，k是玻耳兹曼常量，εf是化学势。在高温和低密度条件下，费米-狄拉克分布过渡到经典的麦克斯韦-玻尔兹曼分布。 对费米-狄拉克分布公式的理解：是各能级被电子占据的数目服从的特殊的统计规律。 费米能级：用来描述电子的能级填充水平的假想能级， E越大，高能级的电子越多，反之 F E反映整体平均水平）。对于金属，绝对零度下，电子占据的最高能级就是费米能级。费米能则越少（ F 级的物理意义是，该能级上的一个状态被电子占据的几率是1/2。只要知道了它的值，在一定温度下，就能确定电子在各量子态下的统计分布。它和温度，半导体材料的导电类型，杂质的含量以及能量零点的选取有关。n型半导体费米能级靠近导带边，过高掺杂会进入导带。p型半导体费米能级靠近价带边，过高掺杂会进入价带。将半导体中大量电子的集体看成一个热力学系统，可以证明处于热平衡状态下的电子系统有统一的费米能级。
费米子
费米子 在一组由全同粒子组成的体系中，如果在体系的一个量子态（即由一套量子数所确定的微观状态）上只容许容纳一个粒子，这种粒子称为费米子。或者说自旋为半整数（1/2，3/2…）的粒子统称为费米子，服从费米-狄拉克统计。费米子满足泡利不相容原理，即不能两个以上的费米子出现在相同的量子态中。轻子，核子和超子的自旋都是1/2，因而都是费米子。自旋为3/2，5/2，7/2等的共振粒子也是费米子。中子、质子都是由三种夸克组成，自旋为1/2。奇数个核子组成的原子核。因为中子、质子都是费米子，故奇数个核子组成的原子核自旋是半整数。 中文名费米子 外文名fermion 特点遵守泡利不相容原理 属性质量、能量、磁矩和自旋 例子中子，质子，电子等 目录 1简介 2性质 3与玻色子的联系 4发展 5相关资料 6其他相关理论 ?四费米子作用 ?重费米子体系 ?费米气体模型 1简介 费米子 费米子 费米子(fermion)：费米子是依随费米-狄拉克统计、角动量的自旋量子数为半奇数整数倍的粒子。 费米子得名于意大利物理学家费米，遵从泡利不相容原理[1] 。根据标准理论，费米子均是由一批基本费米子组成的，而基本费米子则不可能分解为更细小的粒子。 2性质 基本费米子分为 2 类：夸克和轻子。而这 2 类基本费米子，又分为合共24 种味道(flavour)：12 种夸克：包括上夸克(u)、下夸克(d)、奇夸克(s)、粲夸克(c)、底夸克(b)、顶夸克(t)，及它们对应的6 种反粒子。12 种轻子：包括电子(e)、渺子(μ)、陶子(τ)、、中微子νe、中微子νμ、中微子ντ，及对应的 6 种反粒子，包括3 种反中微子。中子、质子：都是由三种夸克组成，自旋为1/2。夸克：上夸克(u)、下夸克(d)、奇夸克(s)、粲(càn)夸克(c)、底夸克(b)、顶夸克(t)，及它们对应的6 种反粒子。 在一组由全同粒子组成的体系中，如果在体系的一个量子态(即由一套量子数所确定的微观状态)上只容许容纳一个粒子，这种粒子称为费米子。费米子所遵循的统计法称为费米统计法。费米统计法的分布函数为式中n(ε)为体系在温度T达热平衡时处于能态ε的粒子数；
实验十九_金属中电子的费米—狄拉克分布验证22
费米—狄拉克分布实验验证 【实验目的】 1.通过实验验证费米—狄拉克分布。 2.学会一种实验方法及处理实验数据的技巧。 【实验原理】 近代电子理论认为金属中的电子按能量的分布是遵从费米――狄拉克的量子统计规律的，费米分布函数为 []1 kT /)(exp 1 )(g f +ε-ε= ε （1） 金属中的每个电子都占有一定能量的能级，这些能级分布密集，形成能带。当其温度为绝对零度时，金属中电子的平均能量并不为零。此时金属中的电子将能量从零到能量为ε f (ε f 称费米能级,ε f 的值随金属的不同而不同)的能级全部占据。而高于 费米能级的那些能级全部空着，没有电子去占据。如图（1）中的实线所示，当金属的温度为1500℃,则靠近费米能级的少数电子由于热运动的增加,其能量超过ε f 值, 因而从低于费米能级的能带跃迁到高于费米能级的能带上去,其分布曲线如图(1)中的虚线所示。我们的实验是在灯丝灼热（约1400℃～1500℃）的情况下进行的，因此我们实验所测的结果也只是靠近费米能级的一部分，如图（1）中矩形所包的虚线部分。对（1）式求导可得 [][]2 f f }1kT /)({exp kT kT /)(exp d )(d g )('g +ε-εε-ε-=εε= ε （2） （1）、（2）两式的理论曲线如图（1）和图（2）所示。
由于金属内部电子的能量无法测量，只能对真空中热发射电子的动能分布进行测量。由于电子在真空中的热运动与电子在金属内部的运动情况完全不同，这是因为金属内部存在着带正电的原子核，电子不但有热运动的动能，而且还具有势能，真空中的电子就不存在势能，ε f =0。由于电子从金属内部逃逸到真空中时，还要消耗一部分 能量用作逸出功，因此从金属内部电子的能量ε减去逸出功Ａ，就可得到真空中热发射电子的动能ε ｋ ε k =ε-A （3） 此外,在真空与金属表面附近还存在着电子气形成的偶电层，就是说逸出金属表面的电子，还要消耗一些能量穿越偶电层，根据前苏联科学院院士,Я.И符伦克尔和И.E 塔姆的理论,电子穿越偶电层所需的能量,也就是该金属的费米能级εf 。考虑到 这两个因素之后应对费米函数作适当的修正，修正后的费米函数应为： []1 kT /)(exp 1 )(g f k k +ε-ε= ε （4） 对（４）式求导得 [][]2f k f k k k k } 1kT /)({exp kT kT /)(exp d )(dg )('g +ε-εε-ε-=εε= ε （5） 由（4）、（5）两式可以看出，真空中发射电子的动能分布也遵从费米—狄拉克分布。 【实验方法及数据处理】 本实验是利用理想二极管的特殊结构，在管子的外面套一个螺线管，并且通以直流电流，则螺线管中的磁感应强度Ｂ的方向与管子的轴线（灯丝）平行，在二极管不加板压的情况下（u p =0）,从灯丝发射出电子,沿半径方向飞向园柱面板极(阳极)，由于阳板电压为零,所以电子在不受外电场力的作用下，保持其初动能飞向阳极形成阳极饱和电流，其线路如图(3)所示。
狄拉克与狄拉克方程
狄拉克与狄拉克方程 英国著名理论物理学家狄拉克（Paul Dirac 1902～1984）；在量子力学领域把哈密顿理论推广到原子方面，建立了量子力学变量的运动方程，使海森堡的矩阵力学成为一个完善的理论。他在薛定谔方程的基础上提出了相对论波动方程，凭借自己非凡的想象力，大胆地预言了“反粒子”的存在。并依靠自己卓越的逻辑推理做出第一流的科学工作，使他置身于20世纪最伟大的理想物理学家行列。 5、1 狄拉克算符 1925年前后，剑桥大学的俄籍物理学家卡皮察（Peter Leonidovich Kapitza ，1894～1978）组织了定期科学讨论会叫“卡皮察俱乐部”。每周二晚举行聚会，首先有人自愿宣读自己新近完成的科学论文，然后大家进行讨论和争论。这年夏天，海森堡应邀到这个俱乐部作了一次关于反常塞曼效应的报告。临到结束时，他又介绍了自己关于建立量子论的一些新的想法。不久，海森堡回到德国以后又把自己关于矩阵力学的论文寄一份给福勒（Fowle r sir Ralph Howard ，1899～1944）。9月，在剑桥大学跟随导师福勒攻读研究生的狄拉克，在度假时收到了福勒寄给他的海森伯关于量子力学的第一篇论文的校样；狄拉克认真思考了用矩阵元表述的新力学量的不可对易性。例如，两个力学量相乘pq ≠qp ，这显然违背了过去的力学量（标量）之间的乘法交换规则，开始思索时感到不可思议，而后却意识到这种不对易性恰恰是新的力学理论的重要特征。并从潜意识中感觉到，不对易性与哈密顿力学中的泊松括号十分类似。泊松括号是19世纪法国数学家泊松（S ．Poisson ）发明的一种简化算子记号，用以表述两个不可对易量的微分乘积的关系。如果能找到这二者之间的联系，就能证明在量子力学和经典力学的哈密顿理论表述之间有某种内在关系，哈密顿力学体系的很多计算和表述方 式有可能移植到量子力学中来。例如，把微观客体的运动规律描述为以哈密顿函数（能量函数）和广义坐标、广义动量之间关系的统一数学系统。狄拉克把海森伯理论纳入哈密顿公式体系，把量子力学的对易关系类比于经典力学中的泊松括号，得出一种处理量子论中力学量的偏微分方法，这种办法一般称为正则量子化方案，并很快写成了他的成名作“量子力学的基本方程”。狄拉克这项工作澄清了量子变量与经典变量之间的关系，使海森伯的矩阵力学成为一个完善的理论。这篇以“量子力学的基本方程”为题的论文，随后就在皇家学会的会刊上发表。海森堡看到论文后认为，狄拉克的表述形式简洁优美，而且作为一项新成果把量子论向前大大推进了一步。 5、2 费米—狄拉克统计 1926年，薛定谔发表了一系列关于波动力学的论文，波动力学和矩阵力学相比显然具有某种优越性；同年6月，玻恩对薛定谔波函数提出了几率解释，认为波动力学中的波函数平方2 是位形空间里的几率密度，原先的矩阵力学与波动力学具有某种物理学上的类似性：矩阵元平方所描述的是坐标确定时各种可能的能量本征值的出现几率，而波函数模数的平方所描述的，则是能量确定时各种可能的位置本征值的出现几率；波动力学与矩阵力学在数学上是等效的。但由于在波动力学框架中可以引进位形空间波函数，它在处理多体问题时就比较方便，特别是便于用来研究多体系统的统计法，被大多数物理学家普通接受。 图10-12为狄拉克（左）和海森伯（右）在剑桥
费米能级
第四讲补充——半导体物理复习，概要 l费米函数和费米能级 半导体能级的占有率 l有效态密度 导带和价带态密度 1，一般情况 2，抛物线带 l准费密能级 概念和定义 应用举例： 1，均匀样品上的均匀电场 2，正向偏置的p-n结 3，梯度成分p型异质结构 4，作为载流子漂移的有效作用力的带边沿梯度 参考资料：R. F. Pierret, Semiconductor Fundamentals 2nd. Ed., (Vol. 1 of the Modular Series on Solid State Devices, Addison-Wesley, 1988); TK7871.85.P485; ISBN 0-201-12295-2. S. M. Sze, Physics of Semiconductor Devices (见课程参考书目) Appendix C in Fonstad (已经分发了；见课程网站) 费密能级和准费密能级——关键点复习 费密能级：热平衡状态下，在充满电场E的找到一个能带的概率由费米函数f(E)，给出： 其中E f是费米能量，或能级。热平衡状态下E f是常数，与位置无关。 费米函数有如下的有用性质： 这些关系告诉我们，在能量远大于费米能级之上kT的情况下，电子数目随着能量成指数关系递减，类似的，在能量小于费米能级之下kT的情况下，空穴（空电子态）的数目也随着能量成指数关系递减。 费米函数的另一有用的结果是它在T=0K的极限情况下的值： 有效态密度：我们定义导带的有效态密度，N c，为：
价带的有效态密度，N v，为： 其中ρ（Ｅ）是半导体中的电子态密度。 如果导带是抛物线型，即态密度与离开导带的能量成平方关系，我们可以得到态密度和有效质量之间的简单关系： 当(E c-E f)>>kT时，我们可以用有效态密度和费米能级与导带的间隔来表示热平衡电子浓度： 类似的，当(E f -E c)>>kT时，我们有： 注意：在均质材料中，N c和N v与x无关。 准费密能级：当一个半导体不在热平衡状态下时，也很可能出现，导带能级中的电子数目达到平衡，以及价带中的空穴数目与能级达到平衡的情况。也就是说，电子数目在导带态 中呈玻尔兹曼系数分布： 这里的E fn是电子的有效，或准费密能级。同样地，空穴也有一个准费密能级E fp，空穴在价带态中的分布为： 电子和空穴的准费密能级，E fn和E fp，并不一定相等。我们从n(x)和p(x)出发来计算它们，把它们用导带和价带的态密度，和准费密能级来表示： 例如，我们有： 由此定义E fn： 同样的，我们定义E fp： 准费密能级（续） 与准费密能级有关的一个很重要的发现是，我们可以根据相应准费密能级的梯度写出电子和空穴电流，至少在漂移迁移率是一个有效概念的低场近似情况下。我们有：