大学物理(机械工业出版社)下册 课后练习答案

第11章 热力学基础

11－1 在水面下50.0 m 深的湖底处（温度为4.0℃），有一个体积为1.0×10-5 m 3的空气泡升到湖面上来，若湖面的温度为17.0℃，求气泡到达湖面的体积。（大气压P 0 = 1.013×105 Pa ） 分析：将气泡看成是一定量的理想气体，它位于湖底和上升至湖面代表两个不同的平衡状态。利用理想气体物态方程即可求解本题。位于湖底时，气泡内的压强可用公式gh p p ρ+=0求出，其中ρ为水的密度（常取ρ = 1.0?103 kg·m -3）。

解：设气泡在湖底和湖面的状态参量分别为（p 1，V 1，T 1）和（p 2，V 2，T 2）。由分析知湖底处压强为

gh p gh p p ρρ+=+=021。

利用理想气体的物态方程可得空气泡到达湖面的体积

()3

51

01

20121212m 1011.6-?=+==

T p V T gh p T p V T p V ρ

11－2 氧气瓶的容积为3.2×10-2 m 3，其中氧气的压强为1.30×107 Pa ，氧气厂规定压强降到1.00×106 Pa 时，就应重新充气，以免经常洗瓶。某小型吹玻璃车间，平均每天用去0.40 m 3 压强为1.01×105 Pa 的氧气，问一瓶氧气能用多少天？（设使用过程中温度不变） 分析：由于使用条件的限制，瓶中氧气不可能完全被使用。从氧气质量的角度来分析。利用理想气体物态方程pV = mRT /M 可以分别计算出每天使用氧气的质量m 3和可供使用的氧气总质量（即原瓶中氧气的总质量m 1和需充气时瓶中剩余氧气的质量m 2之差），从而可求得使用天数321/)(m m m n -=。

解：根据分析有

RT V Mp m RT V Mp m RT V Mp m 3331

22111=

==；；

则一瓶氧气可用天数

()()5

.93

31213

21=-=-=

V p V p p m m m n

11－3 一抽气机转速ω=400r?min -1，抽气机每分

钟能抽出气体20升。设容器的容积V 0=2.0升，问经过多长时间后才能使容器内的压强由 1.01×105 Pa 降为133Pa 。设抽气过程中温度始终不变。

分析：抽气机每打开一次活门, 容器内气体的容积在等温条件下扩大了V ，因而压强有所降低。活门

关上以后容器内气体的容积仍然为V 0 。下一次又如此变化，从而建立递推关系。

解：抽气机抽气体时，由玻意耳定律得： 活塞运动第一次：

)

(0100V V p V p +=

00

1p V

V V p +=

活塞运动第二次：

)

(0201V V p V p +=

02

0100

2p V V V p V V V p ????

??+=+=

活塞运动第n 次：

)

(001V V p V p n n +=-

n

n V

V V p p ???

?

??+= 0

V

V V n

p p n n +=000

ln

抽气机每次抽出气体体积

l 05.0l )400/20(==V l 0.20=V Pa 1001.150?=p Pa 133=n p

将上述数据代入（1）式，可解得 276=n 。则

s 40s 60)400/276(=?=t

11－4 l.0 mol 的空气从热源吸收了热量

2.66?105J ，其内能增加了4.18?105J ，在这过程中气体作了多少功？是它对外界作功，还是外界对它作功？

解：由热力学第一定律得气体所作的功为

J

1052.15?-=-=E Q W ?

负号表示外界对气体作功。 11－5 1mol 双原子

分子的理想气体，开始时处于P 1=1.01×105Pa ，V 1=10-3m 3的状态。然后经本题图示直线过程Ⅰ变到P 2=4.04×105Pa ，V 2=2×10-3m 3的状态。后又经过程方程为PV 1/2=C （常量）的过程Ⅱ变到压强P 3=P 1=1.01×105Pa 的

O V

习题11－5

状态。求：（1）在过程Ⅰ中的气体吸收的热量；（2）整个过程气体吸收的热量。

解：（1）在过程I 中气体对外作的功 2/))((12211V V p p A -+= 在过程I 中气体内能增量

)

(2

5)(251122121V p V p T T R E -=-=?

在过程I 中气体吸收的热量

J E A Q 3

111002.2?=+=?

（2）在过程II 中气体对外作的功

)

(222332

223

2

3

2

V p V p V dV

V p pdV A V V V V -===

?

?

由

常量=2

1

pV

可算得3

331032m V -?=，带入上式得

J A 3

21085.4?= 整个过程中气体对外作功

J A A A 3

21101.5?=+=

整个过程中气体内能增量

J

T T R E 3131083.7)(2

5?=-=?

整个过程中气体吸收的热量

J A E Q 4

1029.1?=+=?

11－6 如本题图所示，系统从状态A 沿ABC 变化到状态C 的过程中，外界有326J 的热量传递给系统，同时系统对外作功126J 。当系统从状态C 沿另一曲线返回到状态A 时，外界对系统作功为52J ，则此过程中系统是吸热还是放热？传递热量是多少？

分析：已知系统从状态C 到状态A ，外界对系统作功为W CA ，如果再能知道此过程中内能的变化为

CA E ?，则由热力学第一定律即可求得该过程中系统

传递的热量Q CA 。由于理想气体的内能是状态（温度）的函数，利用题中给出的ABC 过程吸热、作功的情况，由热力学第一定律即可求得由A 至C 过程中系统内能的变化AC E ?，而CA AC E E ?-=?，故可求得Q CA 。 解：系统经ABC 过程所吸收的热量及对外所作的功分别为

J 126J,

326ABC ABC ==W Q

则由热力学第一定律可得由A 到C 过程中系统内能的增量

J 200ABC ABC AC =-=?W Q E

由此可得从C 到A ，系统内能的增量J 200CA -=?E

从C 到A ，系统所吸收的热量为

J 252CA CA CA -=+?=W E Q

式中负号表示系统向外界放热252 J 。这里要说明的是由于CA 是一未知过程。上述求出的放热是过程的总效果，而对其中每一微小过程来讲并不一定都是放热。 12－7 空气由压强为1.52?105 Pa ，体积为5.0?10－

3 m 3，等温膨胀到压强为1.01?105 Pa ，然后再经等压压缩到原来的体积。试计算空气所作的功。

解：空气在等温膨胀过程中所作的功为

???? ??=???? ??=

2111121T ln ln p p V p V V RT M m

W

空气在等压压缩过程中所作的功为

()

212p d V V p V p W -==?

利用等温过程关系2211V p V p =，则空气在整个过程中所作的功为

()J

7.55ln 11122111p T =-+=+=V p V p p p V p W W W

12－8 如本题图所示，使l mol 氧气（1）由A 等温地变到B ；（2）由A 等体地变到C ，再由C 等压地变到B ，试分别计算氧气所作的功和吸收的热量。 分析：从p －V 图上可以看出，氧气在AB 与ACB 两个过程中所作的功是不同的，其大小可通过

习题11－6图

习题11－8图

()?=V V p W d 求出。考虑到内能是状态的函数，其变

化值与过程无关，所以这两个不同过程的内能变化是相同的，而且因初、末状态温度相同B A T T =，故

0=E ?，利用热力学第一定律E W Q ?+=，可求出

每一过程所吸收的热量。

解：（1）沿AB 作等温膨胀的过程中，系统作功

J 1077.2ln ln 3

A B A A A B AB ?=???

? ??=???? ??=

V V V p V V RT M m W

由分析可知在等温过程中，氧气吸收的热量为

J

1077.23AB AB ?==W Q

（2）沿A 到C 再到B 的过程中系统作功和吸热分别

()J

100.23C B C CB CB AC ACB ?=-==+=V V p W W W W

J

100.23ACB ACB ?==W Q

11－9 一定量的某单原子分子理想气体装在封闭的气缸里，此气缸有可活动的活塞（活塞与气缸壁之间无摩擦且无漏气）。已知气体的初压强P 1=1atm,体积V 1=10-3m 3，现将该气体在等压下加热直到体积为原来的两倍,然后在等体下加热,到压强为原来的2倍,最后作绝热膨胀,直到温度下降到初温为止,试求：在整个过程中气体内能的改变、吸收的热量和所作的功。

解： 因为14T T =，所以内能增量为零。

J p p V V V p Q 2111111106.5)2(223

)2(25?=-+-=

J Q A 2106.5?==

11－10 有1mol 刚性多原子分子的理想气体,原来的压强为1.0atm,温度为27℃,若经过一绝热过程,使其压强增加到16atm 。试求:(1) 气体内能的增量；(2) 在该过程中气体所作的功；(3) 终态时气体的分子数密度。

解：（1） ()K p p T T 60012112==γ

γ

-

J T T R i

M E 31210479.7)(2?=-μ=

?

（2） J E A 3

10479.7?=-=?

（3）

3

262

2

/1096.1m kT p n 个?==

11－11 有一绝热的圆柱形的容器，在容器中间

放置一无摩擦、绝热的可动活塞，活塞两侧各有ν摩尔同种单原子分子理想气体，初始时，两侧的压强、体积、温度均为（P 0，V 0，T 0）。气体的定容摩尔热容量为C V ＝3R/2。现将一通电线圈放在活塞左侧气体中，对气体缓慢加热。左侧气体膨胀，同时压缩右方气体，最后使右方气体体积为V 2＝V 0/8。求：（1）左、右两侧气体的终温是多少?（2）左侧气体吸收了多少热量?解：（1）右则气体经历一绝热过程，初态()000T V P 、

终态()222T V P ，由方程 122100--=γγV T V T 得出右侧

气体末态温度：

0013/501

20

248T T T V

V T ==???

? ??=--γ

由理想气体物态方程，右侧气体终态压强为

00

22

00232P T V T V P P ==

由于活塞是可动的，左、右两侧的压强应相同：

02132P P P ==，

左侧末态体积： 02018

152V V V V =-= 左侧气体末态温：00000111608

15

32T T T V P V P T =?== （2）

00021936223

)2(U U W V P T R T T T C U Q V =?=-+=???=→νν ＋＝＋右

左右左左 11－12 如本题图所示，有一除底部外都是绝热的气筒，被一位置固定的导热板隔成相等的两部分A 和B ，其中各盛有一摩尔的理想气体氮。今将334.4J 的热量缓慢地由底部供给气体，设活塞上的压强始终保持为1.01?105Pa ，求A 部和B 部温度的改变以及各吸收的热量(导热板的热容可以忽略)。若将位置固定的导热板换成可以自由滑动的绝热隔板，重复上述讨论。

解：（1）导热板固定，A 中气体为等

容加热；B 中气体为定压膨胀，且为准静态的，搁板导热，T T T B A ?=?=?

习题11－12

()T C C T C T C Q V P A V B P ?+=?+?= K

R Q R R Q C C Q T V P 71.631.864

.33462527≈?==+=+=?

J T R T C Q V A 4.13971.631.825

25=??=?=?=

J Q Q Q A B 1954.1394.334=-=-= （2）隔板活动，A 气体等压膨胀；隔板绝热，B 中气

体温度不变。 0=B Q 0=?B T T C Q Q P A ?== K

R Q C Q T P 50.1131.874

.334272≈??===? 11－13 0.32 kg 的氧气作如本题图所示的

ABCDA 循环，设V 2＝2V 1，T 1＝300K ，T 2＝200K ，求循环效。（氧气的定体摩尔热容的实验值为C V = 21.1 J·mol -1·K -1） 分析：该循环是正循环。循环效率可根据定义式

Q

W /=η来求出，其中W 表示一个循环过程系统作的净功，Q 为循

环过程系统吸收的总热量。

解：根据分析，因AB 、CD 为等温过程，循环过程中系统作的净功为

()()()()J 1076.5ln ln ln 31221212121CD AB ?=-=

+=+=V V T T R M

m

V V RT M

m

V V RT M m W W W

由于吸热过程仅在等温膨胀（对应于AB 段）和等体升压（对应于DA 段）中发生，而等温过程中0=E ?，则AB AB W Q =。等体升压过程中W = 0，则DA DA E Q ?=，所以，循环过程中系统 吸热的总量为

()()

J 1084.3ln 421m V,121DA

AB DA AB ?=-+=?+=+=T T C M m V V RT M m E W Q Q Q 由此得到该循环的效率为 %15==Q W η

11－14 如本题图所示，某理想气体循环过程的

V －T 图。已知该气体的定压摩尔热容C P = 2.5R ，定体

摩尔热容C V = 1.5R ，且V C =2V A 。试问：（1）图中所

示循环是代表致冷机还是热机？（2）如是正循环（热机循环），求出循环效率。 分析：以正、逆循环来区分热机和

致冷机是针对p －V

图中循环曲线行进

方向而言的。因此，对图中的循环进行分析时，一般要先将

其转换为P －V 图。

由图可以看出，BC 为等体降温过程，CA 为等温压缩

过程；而AB 过程为等压膨胀过程。这样，就可得出p －V 图中的过程曲线，并可判别是正循环。 解：（1）根据分析，将V －T 图转换为相应的p －

V 图，如图所示。图中曲线行进方向是正循环，即为热机循环。

（2）根据得到的p －V 图可知，AB 为等压膨胀过程，为吸热过程。BC 为等体降压过程，CA 为等温压缩过程，均为放热过程。故系统在循环过程中吸收和放出的热量分别为

()A B m p,1T T C M m

Q -=

()()A C A C B m V,2ln V V RT M m T T C M m Q +-=

CA 为等温线，有C A T T =；AB 为等压线，且因

A C 2V V =，则有2

B A T T =。故循环效率为

()()%

3.12/2ln 11A m p,A A m V,12=+-=-=T C RT T C Q Q η

11－15 有一以理想气体为工作物质的热机，其

循环如本题图所示，试证明热机效率为

()()1112121---=p p V V γ

η

分析：该热机由三个过程组成，图中AB

是绝热过程，BC 是等压压缩过程，CA 是等体升压过程。其中CA

过程系统吸热，BC 过

习题11－13

习题11－14T V 习题11－15

程系统放热。本题可从效率定义

CA BC 1211Q Q Q Q -=-=η。出发，利用热力学

第一定律和等体、等压方程以及m V,m p,/C C =γ的关系来证明。

证：该热机循环的效率为

CA

BC 1211Q Q Q Q -=-=η

其中

()()C A m V,CA B C m p,BC

,T T C M m

Q T T C M m Q -=-=，

则上式可写为

1

1

11C A C B C

A B C ---=---=T T T T T T T T γ

γ

η

在等压过程BC 和等体过程CA 中分别有

2C 1A 2C 1B ,P T P T V T V T ==

代人上式得

11

12121---=p p V V γ

η，证毕。

5－16 汽油机可近似地看成如图所示的理想循

环，这个循环也叫做奥托（Otto ）循环，其中DE 和BC 是绝热过程。证明此热机的效率为

1

)(

1-γ-=ηB

C V V 证：（1）该循环仅在C

D 一过程中吸热，EB 过程中放热。则热机效率为

()()C

D B

E C D m V,B E m V,CD

EB 111T T T T T T C M m T T C M m

Q Q ---=---=-=η

（2）在过程BC 和DE 中，分别应用绝热方程

C TV =-1γ，有

1C

C 1B B --=γγV T V T 1C

D 1B

E --=γγV T V T

由上述两式可得

1

B C C D B E -???

?

??=--γV V T T T T

将此结果代人（1）中。即可得

()1B C 1--=γηV V

11－17 在夏季，假定室外温度恒定为37℃，启

动空调使室内温度始终保持在17℃、如果每天有2.51×108 J 的热量通过热传导等方式自室外流人室内，则空调一天耗电多少？（设该空调致冷机的致冷系数为同条件下的卡诺致冷机致冷系数的60％）

分析：耗电量的单位为kW ?h ，1kW ?h = 3.6?106 J 。

因为卡诺致冷机的致冷系数为()212k T T T e -=，其中T 1为高温热源温度（室外环境温度），T 2为低温热源温度（室内温度）。所以，空调的致冷系数为

()212k 6.0%60T T T e e -=?=

另一方面，由致冷系数的定义，有

()212Q Q Q e -=

其中Q 1为空调传递给高温热源的热量，即空调向室外排放的总热量；Q 2是空调从房间内吸取的总热量。若Q '为室外传进室内的热量，则在热平衡时Q Q '=2。由此，就可以求出空调的耗电作功总值21Q Q W -=。

解：根据上述分析、空调的致冷系数为

()7.86.0212=-=T T T e

在室内温度恒定时，有Q Q '=2。由

()212Q Q Q e -=可得空调运行一天所耗电功

h

kW 0.8J 1089.27221?=?='==-=e Q e Q Q Q W

11－18 设一质量为m 克的物体具有恒定的比热

c 。(1) 当此物体由温度T 1加热到T 2时，其熵的变化为多少？（2）当温度下降却时这物体的熵是否减小？如果减小，那么在这样的过程中宇宙的总熵是否减小？

解： （1） T

mcdT

T dQ ds =

=

-∵ 习题11－16图

则

?

??==2

1

212

1

T T T T S S

T

dT mc T mcdT

ds 1

2

12ln

T T mc S S =-∴ （2）冷却时T 2

(3) 物体冷却时，周围环境的熵增加，宇宙的总熵不会减小 5－19 一黄铜棒的一端与127℃的热库接触，而另一端与27℃的热库接触。试问：

（1） 当有1200卡的热量通过这棒时，在这传导过程中所发生的熵的总变化为多大？

（2）

在这传导过程中棒的熵是否改变？

解：（1）

K .J 2.4k /cal 0.1)3

1

41(1230012004001200S =+=+-=+-=

×△

（2）在这传导过程中棒的熵不改变。

5－20 让一摩尔的单原子理想气体由压强为P 与体积为V 的初态，经历两个不同过程改变到压强为2P 与体积为2V 的终态。（1）先让此理想气体等温地膨胀到体积加倍为止，然后在恒定体积下将压强增大到终态。（2）先让此理想气体等温地压缩到压强加倍为止，然后在恒定压强下将体积增大到终态。试分别对此两个过程计算理想气体熵的变化。

解：熵是态函数 △S=S f － S i 与路线无关

由

υ

υ

d R T dT C T pdv dE T dQ ds V +=+==

有

2

ln 42ln 4ln 2

3

2ln ln 232ln ln 23 ln

ln 112212R R R R V P V P R V V R T T V V R T T C d R T dT

C S S i

f i f T T V V i f f

i f i =+=+=+=+=+=-??υυυυ 11－21 如本题图所示，一长为0.8m 的圆柱形容器被一薄的活塞分隔成两部分。开始时活塞固定在距左端0.3m 处。活塞左边充有1mol ，5?105N ?m -2的氦气，右边充有1?105N ?m -2的氖气。它们都是理想气体。将气缸浸入1升水中，开始时整个物体系的温度均匀地处于25?C 。气缸及活塞的热容可不考虑。放松以后振动的活塞最后将位于一新的平衡位置，试问（1）水温升高多少？（2）活塞将静止在距气缸左边多大距离位置？（3）

物体系的总熵增加多少？

解：（1）系统处于新的平衡位置后：

11Q W u A +-=? 11Q W u B -=?

0=?+?=?B A u u u T T =' 温度不变 （2）设新平衡后，活塞位于距A 处x ，（活塞截面为

S ）

A 端：'

11010T PV T V P = PxS S =??3.01055

B 端：22020PV V P = ()S x P S -=??8.05.01015

两式相除：x

x

-=

8.03 m x 6.0=

（3）整个气体的熵变等于氦气的熵变和氖气的熵变之

和。注意温度始终不变。利用理想气体熵变公式，则

V

V R νV V R νS S S S e S

S

e d d Ne

25.05.0H 6.03.0N He ??

+=?+?=?

-1K J 22.3)5/2ln()3/1(2ln ?=+=&R R

11－22 如本题图所示，图中1→3为等温线，1→

4为绝热线，1→2和4→3均为等压线，2→3为等体线。1mol 的氢气在1点的状态参量为V 1＝0.02m 3，T 1＝300K ，在3点的状态参量为V 3＝0.04m 3，T 3＝300K 。试分别用如下三条路径计算S 3－S 1：（1）1→2→3；（2）1→3；（3）1→4→3。

解：（1）“21-”为等压过程，K 600)/(1122=?=T V V T 。而“32-”为等体过程。

注意到2H 为双原子分子，2/7m ,R C p =，

2/5m ,R C V =。所以在“321--”过程中的熵变为

T Q T Q

S S d d )3()2()

2()1(13??+

=-

T

Q

C T T C V p d d 300600m ,600300m ,??+=2ln ?=R

（2）“31-”为等温过程。其熵变

2

ln )/ln(/d 23)

3()

1(13?===-?

R V V R T Q S S

（3）“341--”过程

习题11－21图

习题11－22图

是由“41-”的绝热过程， 1

4

41

1

1--=γγV T V T （1）

和“34-”的等压过程

3434//V V T T = （2）

所组成的。联立（1）式、（2）式，考虑到K 3001=T ，得到“4”点的温度

K 30025/24?=-T

其熵变

)()(431413S S S S S S -+-=-

??

??-=+=30023005

/23

4

d 25d 0T T

R T Q T T

2ln 2ln 25

5/2?=?=R R

第12章 气体动理论

12－1 一容积为10L 的真空系统已被抽成1.0×

10-5 mmHg 的真空，初态温度为20℃。为了提高其真空度，将它放在300℃的烘箱内烘烤，使器壁释放出所吸附的气体，如果烘烤后压强为1.0×10-2 mmHg ，问器壁原来吸附了多少个气体分子?

解：由式nkT p =，有

3

202352/1068.1573

1038.1760/10013.1100.1m

kT p n 个?≈?????==--

因而器壁原来吸附的气体分子数为

个183201068.110101068.1?=???==?-nV N

12－2 一容器内储有氧气，其压强为1.01?105 Pa ，温度为27℃，求：（l ）气体分子的数密度；（2）氧气的密度；（3）分子的平均平动动能；（4）分子间的平均距离。（设分子间等距排列） 分析：在题中压强和温度的条件下，氧气可视为理想气体。因此，可由理想气体的物态方程、密度的定义以及分子的平均平动动能与温度的关系等求解。又因可将分子看成是均匀等距排列的，故每个分子占有的体积为30d V =，由数密度的含意可知d n V ,10=即可求出。

解：（l ）单位体积分子数

3

25m 1044.2-?==kT p n

（2）氧气的密度

3m kg 30.1-?===RT pM V m ρ

（3）氧气分子的平均平动动能

J 1021.62321k -?==kT ε

（4）氧气分子的平均距离

m

1045.3193-?==n d

12－3 本题图中I 、II 两条曲线是两种不同气体

（氢气和氧气）在同一温度下的麦克斯韦分子速率分布曲线。试由图中数据求：（1）氢气分子和氧气分子的最概然速率；（2）两种气体所处的温度。

分析：由M RT v /2p =可知，在相同温度下，由于不同气体的摩尔质量不同，它们的最概然速率

p v 也就不同。因

22O H M M <，故氢气比氧

气的p v 要大，由此可判定图中曲线II 所标

13p s m 100.2-??=v 应是对应于氢气分子的最概然速

率。从而可求出该曲线所对应的温度。又因曲线I 、II 所处的温度相同，故曲线I 中氧气的最概然速率也可按上式求得。 解：（1）由分析知氢气分子的最概然速率为

1

3P s m 100.2/2)(22-??==H H M RT v

利用16/22H O =M M 可得氧气分子最概然速率为

1

2H P O O P s m 100.54)(/2)(222-??===v M RT v

（2）由M RT v /2p =得气体温度

K

1081.42/22

p ?==R M v T

12－4 有N 个质量均为m 的同种气体分子，它们

的速率分布如本题图所示。（1）说明曲线与横坐标所包围面积的含义；（2）由N 和v 0求a 值；（3）求在速率

习题12－3

v 0/2到3v 0/2间隔内的分子数；（4）求分子的平均平动动能.

分析：处理与气体分子速率分布曲线有关的问题时，关键要理解分布函数()v f 的物理意义。

v N N v f d /d )(=题中纵坐标v N v Nf d /d )(=，即处于

速率v 附近单位速率区间内的分子数。同时要掌握)(v f 的归一化条件，即1d )(0=?∞

v v f 。在此基础上，

根据分布函数并运用数学方法（如函数求平均值或极值等），即可求解本题。 解：（l ）由于分子所允许的速率在0到2v 0的范围内，由归一化条件可知图中曲线下的面积

()N

v v Nf S v ==?

020

d

即曲线下面积表示系统分子总数N 。 （2）从图中可知，在0到v 0区间内，0/)(v av v Nf =；

而在v 0到2v 0区间内，a v Nf =)(。则利用归一化条

件有

??

+=00

020

d d v v v v

a v v av

N

得

03/2v N a =

（3）速率在v 0/2到3v 0/2间隔内的分子数为

12

/7d d 2/32/0

00

0N v a v v av

N v v v v =+=???

(4)分子速率平方的平均值按定义为

??∞

∞

==0

20

2

2

d )(/d v

v f v N N v v

故分子的平均平动动能为

2

0223

00

236

31)(21210

mv dv v N a dv v Nv a m v m v v v

K =+

==?

?ε

12－5 当氢气的温度为300℃时，求速率在区间

3000m/s 到3010m/s 之间的分子数ΔN 1与速率在区间v p 到v p +10m/s 之间的分子数ΔN 2之比。

解：氢气在温度T =273+300=573开时的最可几速率v p 为

/2182002

.0573

31.822秒米××===

M RT v p 麦克斯韦速度分布

公式可改写为

x e x N

N x ?=?-2

24

π

则速度在3000米/秒~3010米/秒间的分子数

2182102182300042

218230002

1??

? ?????

? ??=???

?

??-e πN

N 速度在v p ~ v p 10米/秒间的分子数

e πN

N ??

? ?????

? ??=???

?

??-2182102182218242

218221822

2 故

78021823000 2

218230002

21 .e

e N N =??

? ??=????

? ??

12－6 讨论气体分子的平动动能2

2

1mv =

ε的分布函数，归一化条件，及求任意函数)(εg 的平均值公式。并由麦克斯韦气体分子速率分布函数导出动能分布函数，求出最可几动能。

解：在动能空间中取一小区间εεεd +-，小区间内分子数dN 占总分子数N 之比为

εεd f N

dN

)(= 其中)(εf 为分子动能分布函数，它满足归一化条件：

1)(0

=?∞

εεd f

任意函数)(εg 的平均值公：

εεεεd f g g ?∞

=0

)()()( 令

dv

kT

mv v kT m dv v f d f ?-?

?

?

??==)2exp(24)()(2

2

2

/3ππεε

习题12－4图

可求出

εεεπεεd kT kT d f ?-?=

)ex p()1(

2

)(2/3

令

0)(=ε

εd df 可得最可几动能2kT

p =ε

12－9 在容积为2.0?10-3 m 3的容器中，有内能为

6.75?102 J 的刚性双原子分子理想气体。（1）求气体的

压强；（2）设分子总数为5.4?1022

个，求分子的平均平动动能及气体的温度。 解：（1）由RT i M m E 2=和RT M

m

pV =可得气体压强Pa

1035.1/25?==iV E p

（2）分子数密度n =N /V 为，则该气体的温度

K

1062.3/2?===）（Nk pV nk p T

气体分子的平均平动动能为

J 1049.72321k -?==kT ε

12－10 质点离开地球引力作用所需的逃逸速率为gR v 2=

，其中R 为地球半径。

（1）若使氢气分子和氧气分子的平均速率分别与逃逸速率相等，它们各

自应有多高的温度；（2）说明大气层中为什么氢气比氧气要少。（取R= 6.40?106 m ） 分析：气体分子热运动的平均速率M RT v π/8=。对于摩尔质量M 不同的气体分子，为使v 等于逃逸速率

v ，所需的温度是不同的；如果环境温度相同，则摩尔质量M 较小的就容易达到逃逸速率。

解：（1）由题意逃逸速率gr v 2=，而分子热运动的平均速率M RT v π/8=。当v v

=时，有

R

Mrg

v R

M

T 482ππ=

=

由于氢气的摩尔质量

1

3H mol kg 100.22--??=M ，

氧气的摩尔质量

1

2O mol kg 102.32--??=M

则它们达到逃逸速率时所需的温度分别为

K

1089.1,K 1018.15O 4H 22?=?=T T

（2）根据上述分析，当温度相同时，氢气的平均

12-7

12-8

速率比氧气的要大（约为4倍），因此达到逃逸速率的氢气分子比氧气分子多。按大爆炸理论，宇宙在形成过程中经历了一个极高温过程。在地球形成的初期，虽然温度已大大降低，但温度值还是很高。因而，在气体分子产生过程中就开始有分子逃逸地球，其中氢气分子比氧气分子更易逃逸。另外，虽然目前的大气层温度不可能达到上述计算结果中逃逸速率所需的温度，但由麦克斯韦分子速率分布曲线可知，在任一温度下，总有一些气体分子的运动速率大于逃逸速率。从分布曲线也可知道在相同温度下氢气分子能达到逃逸速率的可能性大于氧气分子。

12-11 一绝热的容器被中间隔板分成体积相等的两半，一半装有氦气，温度为250K ；另一半装有氧气，温度为310K ．两种气体的压强均为p 0．求抽去隔板后的混合气体温度和压强为多少？

[解答]设氦气和氧气分子各有N 1和N 2个，氦气是单原子分子，自由度为i 1 = 3；氧气是双原子分子，自由度为i 2 = 5．

隔板抽去前，氦气和氧气分子的总能量为

11112i E N kT =

，22222i

E N kT =． 隔板抽去后，氦气和氧气分子的总能量为

121222

i i

E N kT N kT =

+． 这个过程能量守恒，即，E = E 1 + E 2，所以有

i 1N 1T 1 + i 2N 2T 2 = (i 1N 1 + i 2N 2)T ．

由于压强 1

01112N p n kT kT V

==， 所以 011

2p V

N kT =

； 同理可得 022

2p V

N kT =．

将N 1和N 2的公式代入上面公式可得

1020102012

()2222i p V i p V i p V i p V

T k k kT kT +=+， 约去公因子，可得混合气体的温度为

1212

1221

()i i TT T i T i T +=

+= 284.4(K)．

混合气体的压强为

12()

N N p nkT kT V

+==

0012

1()22p V

p V kT V kT kT =

+ 121201221()()

2()

i i T T p i T i T ++=

+= 1.0275 p 0．

12－12 已知在单位时间内撞击在容器壁单位面积上的分子数为

v n 4

1

。假定一边长为1米的立方箱子，

1秒钟内

解：氧分子在标准状态下算术平均速率v

425032

.014.3273

31.888=???==

M RT v π米/秒 每边长为1米的立方箱的总面积S =6?1?1=6米2 则28251091.164251034

1

41?=*???=?=

S v n N 次/秒 12－13 在标准状态下氦气（He ）的内摩擦系数

η=1.89×10-5帕秒，摩尔质量M 为0.004千克，平均速率v 为1.20×103米/秒。试求：（1）在标准状态氦原子的平均自由程。（2）氦原子的半径。

解：（1）由公式λρηv 3

1

=

，则v ρηλ3= 因为气体密度178.010

4.2210433

=??==--v M ρ千克/米3 7

3

51065.21020.1178.01089.133 --?=????==∴v ρηλ米

（2） ρ

πη

πλ2

2

221 d RT

d =

=Θ

由氦原子直径

10

1.7910d -=

=

=?氦原子半径为101089.02

-?==

d

R 米 12－14 （1）求氮气在标准状态下的平均碰撞次数。（2）若温度不变，气压降到1.33×10- 4帕，平均碰撞次数又为多少？（设分子有效直径为10 - 10米） 解：（1）在标准状态下，氮气分子的算术平均速度

454028

.014.3273

31.888=???==

M RT v π米/秒 由公式p =nRT 得

米

32523

5

/1069.2273

1038.110013.1米个××××===-RT p n 由平均自由程n

d 221πλ=

得

()

米

×××××λ725

2

101039.81069.21014.321

--==

平均碰撞次数

/1042.51039.81055.4Z 8

7

2

秒次×××λ==

=

-v

（2）气压降低之后的平均碰撞次数为Z '

p p Z

Z '

='

∵

/71.01042.510013.11033.1Z 8

5

4秒次××××∴=='='-Z p p

12－15 若在标准压强下，氢气分子的平均自由程为6×10 - 8米，问在何种压强下，其平均自由程为1厘米？（设两种状态的温度一样）

解：按p = nKT 和 21 2n

d πλ=

，有

21

2

λ

d n π=

，λ22 d KT

p π= 则

λλλλ00

011

==p p

即

()()

0.61= 10611061 6600帕大气压×××λ

λ--===p p 12－16 如果理想气体的温度保持不变，当压强降为原值的一半时，分子的平均碰撞频率和平均自由程如何变化？

分析： 在温度不变的条件下，分子的平均碰撞频率p Z ∝，而分子的平均自由程p /1∝λ，由此可得压强变化时，平均碰撞频率和平均自由程的变化。 解：由分析知p Z ∝，当压强由p 0降至p 0/2时，

平均碰撞频率为

2/2

/00

00

Z p p Z Z ==

又因p /1∝λ，故当压强减半时，平均自由程为

00

22/λλλ==p p

第十四章 波动

#14－1 如本题图所示，一平面简谐波沿ox 轴正

向传播，波速大小为u ，若P 处质点振动方程为)cos(?+ω=t A y P ，求：（1）O 处质点的振动方程；（2）该波的波动方程；（3）与P 处质点振动状态相同质点的位置。

解：（1）O 处质点振动方程：

y 0 = A cos [ ω（t + L / u ）+φ] （2）波动方程

y 0 = A cos { ω[t - （x - L ）/ u +φ}

（3）质点位置 x = L ± k 2πu / ω （k = 0 , 1, 2, 3……）

14－2 一简谐波，振动周期T =1/2s ，波长λ＝10m ，振幅A =0.1m ，当t =0时刻，波源振动的位移恰好为正方向的最大值，若坐标原点和波源重合，且波沿ox 轴正方向传播，求：（1）此波的表达式；（2）t 1＝T/4时刻，x 1=λ/4处质点的位移；（3）t 2 ＝T/2时刻，x 1=λ/4处质点的振动速度。

解：（1） y = 0.1 cos ( 4πt - 2πx / 10 )

= 0.1 cos 4π（t - x / 20 ） (SI) （2） 当 t 1 = T / 4 = 1 / 8 ( s ) , x 1 = λ/ 4 = 10 / 4 m 处

质点的位移y 1 = 0.1cos 4π（T / 4 - λ/ 80 ） = 0.1 cos 4π(1 / 8 - 1 / 8 ) = 0.1 m

（3） 振速 )20/(4sin 4.0x t t y

v --=??=ππ

t 2 = T / 2 = 1 / 4 (S) ,在x 1 = λ/ 4 = 10 / 4( m ) 处质点的振速 v 2 = -0.4πsin (π-π/ 2 ) = - 1.26 m / s 14－3 一简谐波沿x 轴负方向传播，圆频率为ω，

波速为u 。设4T t =时

刻的波形如本题图所

示，求该波的表达式。 解：由图可看出，

习题14－3图

在t=0时，原点处质点位移

y 0＝－A ，

说明原点处质点的振动初相π?=0，因而波动方程为

])(cos[πω++=u

x

t A y

14－4 本题图表示一平面余弦波在t ＝0时刻与t ＝2s 时刻的波形图，求： (1) 坐标

原点处介质质点的振动方程；(2) 该波的波方程。

解：由图可知：

原点处质点的振动初相2

0π

?-=；

波长

，波速 s m u /102

20

==

； 因而圆频率

8

2π

λ

π

ω=

=u

，

(1)

原点处质点的振动方程

)2

8cos(0π

π-=t A y

(2) 波方程

??????-+=2)10(8

cos ππ

x t A y

14－5已知一平面简谐波的方程为

(SI))24(cos x t A y +=π

(1) 求该波的波长λ，频率ν 和波速度u 的值； (2) 写出t ＝2.2s 时刻各波峰位置的坐标表达式，并求出此时离坐标原点最近的那个波峰的位置。 14－6 波源作简谐振动，周期为s 100.12-?，以它经平衡位置向正方向运动时为时间起点，若此振动以u ＝400m/s 的速度沿直线传播。求：（1）距离波源8.0m 处质点P 的运动方程和初相；（2）距离波源9.0m 和10.0m 处两点的相位差。

解：在确知角频率1s 200/2-==ππωT 、波速1s m 400-?=u 和初相）或2/(2/30ππ?-=的条件下，

波动方程

]

2/3)s m 400/)(s 200cos[(11ππ+?-=--x t A y

位于 x P = 8.0 m 处，质点P 的运动方程为

]

2/5)s 200cos[(1P ππ-=-t A y

该质点振动的初相2/50π?-=P 。而距波源9.0 m 和 10.0 m 两点的相位差为

2//)(2/)(21212ππλπ?=-=-=?uT x x x x

如果波源初相取2/0π?-=，则波动方程为

]2/9)(s 200cos[(1ππ-=-t A y

14－7 为了保持波源的振动不变，需要消耗4.0W 的功率。若波源发出的是球面波（设介质不吸收波的能量）。求距离波源5.0m 和10.0m 处的能流密度。 分析：波的传播伴随着能量的传播。由于波源在单位时间内提供的能量恒定，且介质不吸收能量，故对于球面波而言，单位时间内通过任意半径的球面的能量（即平均能流）相同，都等于波源消耗的功率P 。而在同一个球面上各处的能流密度相同，因此，可求出不同位置的能流密度 S P I =。

解：由分析可知，半径r 处的能疏密度为

2

4r P I π=

当 r 1 = 5.0 m 、r 2 = 10.0 m 时，分别有

2

22

11m W 1027.14--??==r P I π 2

32

22m W 1018.34--??==r P I π

14－8 一弹性波在媒质中传播的速度u=103m/s ，

振幅A=1.0?10-4m ，频率ν =103Hz ，媒质的密度为ρ=800kg/m 3。求：（1）波的平均能流密度；（2）一分钟内垂直通过一面积S=4.0?10-4m 2的总能量。

解：（1）由能流密度I 的表达式得

2m W 1058.1221

522222-??===

v uA uA I ρπωρ

(2)在时间间隔s 60=?t 内垂直通过面积 S 的能量为

J

1079.33?=??=??=t IS t P W

14－9 如本题图所示，三个同频率，振动方向相同（垂直纸面）的简谐波，在传播过程中在O 点相遇；若三个简谐波各自单独在S 1、S 2和S 3振动方程分别为y 1＝A cos(ωt +π/2)，y 2＝A cos ωt 和y 3＝2A cos(ωt -π/2)，

A 习题14－4图

且S 2O ＝4λ，S 1O ＝S 3O ＝5λ（λ为波长），求O 点的合振动方程。（设传播过程中各波振幅不变） 解：每一波传播的距离都是波长的整数倍，所以三个波在O 点的振动方程可写成

y 1 = A 1 c o s (ωt +π/ 2 )

y 2 = A 2c o s ωt

y 3 = A 3 c o s (ωt -π

/ 2 ) 其中A 1 = A 2 =A ， A 3 = 2A

,

在O 点，三个振动叠加，利用振

幅矢量图及多边形加法（如图）

可得合振动方程 y = 24A t cos(/)ωπ-

14－10 2S 是波长均为λ的两个相

干波的波源，相距3/4，1S 的位相比2S 超前2π。若两波单独传播时，在过1S 和2S 的直线上各点的强度相同，不随距离变化，且两波的强度都是0I ，则在1S 、

2S 连线上1S 外侧和外侧2S 各点，合成波的强度分别

为多少？

解：在1S 的外侧，两波源引起的分振动的相位差

ππ

π

λ

π

φφφ22

3221

212-=--=---=?r r ，

合振动振幅02A A =，波的强度04I I =； 在2S 外侧，ππ

πλπφφφ=+-=---=?2

3221212r r ，所以I =0 。

14－11在弦线上有一简谐波，其表达式为

?????

?π-??? ??

+π?=-3420100cos 100.221x t y （SI ）

。为了在此弦线上形成驻波，并且在x ＝0处为一波腹，

此弦线上还应有一简谐波，求其表达式。

解：设另一波的波动方程为

?????

?+??? ??

-?=-φπ20100cos 100.222x t y

则驻波方程为

12

244334.010cos 5cos 10022y y y x t ππ??ππ-=+????

+- ? ?=?-+ ? ?

? ????

?

x ＝0处为波腹，

()Λ2,1,023

4=±=+k k πφπ

取k ＝0处，则 πφ3

4

-=

?????

?-??? ??

-?=-3420100cos 100.222ππx t y

14－12 如本题图所示，

1S 和2S 为同位相的两相干波源，相距为L ，P 点距1S 为r ；波源1S 在P 点引起的振动振幅为1A ，波源2S 在P 点引起的振动振幅为2A ，两波波长都是

λ，求P 点的振幅。

解：两列波传到P

点时的相位差

()λ

πλ

π

λ

π

φr L r r L r r 22221

2-=--=-=?，

因而P 点振幅

()

122121212

2212122cos 22cos 2A A A A A L r A A A A ?πλ=++??-???=++ ? ?

???

?

14－13 如本题图所示，S 为点波源，振动方向垂

直于纸面，

1S 和2S 是屏AB 上的两个狭缝，1S 2S ＝a 。1SS ⊥AB ，并且1SS ＝b 。x 轴以2

S 为坐标原点，并且垂直于AB 。在AB 左侧，波长为1λ；在AB 右侧，波长为2λ。求x 轴上干涉加强点的坐标。

解：在坐标为x 的P 点，两列波引起的分振动的位相差为

???

?

?

?+-+

-+=?22

21222λλπφa x x b b a 代入干涉加强的条件

()

Λ2,1,02222

2122==???

?

?

?+-+-+k k a x x b b a πλλπ

S 3 S 1 S 2

习题14－9图 Q ?习题14－10图

1

2

习题14－12图

习题14－13图

A 2

A 1

π/4

A 3

A =Σ

A i

0 y

解出干涉加强点的坐标为

()[]()[]()02,1,022

1

2

2

22

2

1

2

2

2

≥=--+--+-

=

x k k b b a k b b a a x Λ

λ

λλλ

14－14 设入射波的方程式为

??

?

??+=T t x A y λπ2cos 1，在x ＝0处发生反射，反射

点为一固定端。设反射时无能量损失，求：（1）反射波的方程式；（2）合成的驻波的方程式；（3）波腹和波节的位置。

解：（1）反射点是固定端，反射时有半波损失，且振幅不变，所以反射波的方程式为

??

?

???+??? ??-=πλπT t x A y 2cos 2

（2）合成的驻波的方程式为

??

? ??-??? ??

+=+=22cos 22cos 221πππλπT t x A y y y

（3） 波腹位置满足

Λ3,2,12

2==+

n n x

π

π

λ

π

，

λ??

?

??-=2121n x 波节位置满 ()Λ2,1,0,2

1222=+=+

n n x

π

π

λ

π

，

λn x 2

1

=

。 14－15 如本题图所示，一平面简谐波沿x 轴正方向传播，BC 为波密介质的反射面。波由P 点反射，OP =3λ/4，DP =λ/6。在t ＝0时，O 处质点的合振动是经过平衡位置向负方向运动。求D 点处入射波与反射波的合振动方程。（设入射波和反射波的振幅皆为A ，频率为ν。）

解：以O 点为坐标原点，设入射波方程式为

?

??

???+??? ?

?-=?λνπx t A y 2cos 1在P 点引起的振动方程为

?

??

??+-=??????+??? ?

?-=?ππν?λλνπ232cos 432cos 1t A t A y P 反射时有半波损失，??

? ?

?

+-=?π

πν22cos 2t A y P ，反射波方程式为

234cos 222cos 2x y A t x A t λππνπφλπνφλ?-?

??=--+ ???????????=++ ???

?

???

合成驻波方程式为

()?πνλπ+??

? ??

=+=t x A y y y 2cos 2cos 221

由题设条件t ＝0时x ＝0处y ＝0，

0

y

，所以2

π

?=

，??

? ??+??? ?

?

=22cos 2cos 2ππνλπ

t x A y 又(),12

71229643λ

λλλ=-=-=

D x ，代入上式，得D 点的振动方程

()

t A t A t A y D πνππνππνπ2sin 322cos 322cos 1272cos 2=??? ?

?

+-=?

?? ??+??? ?

?

?=

14－16 一平面简谐波的频率为500Hz ，在空气

中（ρ＝1.3kg/m 3）以u ＝340m/s 的速度传播，到达人耳时，振幅约为A ＝1.0×10-5m 。试求波在耳中的平均能量密度和声强。

解：波在耳中的平均能量密度

2622222m J 1042.6221

--??===

v A A ρπωρω

声强就是声波的能流密度，即

2

3m W 1018.2--??==w u I

这个声强略大于繁忙街道上的噪声，使人耳已感

到不适应。一般正常谈话的声强约为26m W 100.1--??左右。

14－17 面积为1.0m 2的窗户开向街道，街中噪声在窗户的声强级为80dB 。问有多少“声功率”传入窗内？

分析：首先要理解声强、声强级、声功率的物理意义，并了解它们之间的相互关系。声强是声波的能流密度I ，而声强级L 是描述介质中不同声波强弱的物理量。它们之间的关系为)lg(0I I L =，其中

2120m W 100.1--??=I 为规定声强。L 的单位是贝尔

（B ），但常用的单位是分贝（dB ），且1B = 10 dB 。声

功率是单位时间内声波通过某面积传递的能量，由于

习题14－15

窗户上各处的I 相同，故有IS P =。

解：根据分析，由)lg(0I I L =可得声强为

10I I L =

则传入窗户的声功率为

W

100.11040-?===S I IS P L

14－18 若在同一介质中传播的、频率分别为1200Hz 和400Hz 的两声波有相同的振幅。求：（1）它们的强度之比；（2）两声波的声强级差。

解：（1）因声强22

ωρuA

I =，则两声波声强

之比

92

22

121==ωωI I

（2）因声强级()0lg I I L =，则两声波声强级差为

()()()dB 54.9B 954.0lg lg lg 210201===-=?I I I I I I L

14－19 一警车以25m/s 的速度在静止的空气中行驶，假设车上警笛的频率为800Hz 。求：（1）静止站在路边的人听到警车驶近和离去时的警笛声波频率；（2）如果警车追赶一辆速度为15m/s 的客车，则客车上的人听到的警笛声波的频率是多少？（设空气中的声速u =330m/s ）

分析：由于声源与观察者之间的相对运动而产生声多普勒效应，由多普勒频率公式可解得结果。在处理这类问题时，不仅要分清观察者相对介质（空气）是静止还是运动，同时也要分清声源的运动状态。

解：（1）根据多普勒频率公式，当声源（警车）以速度

1

S s m 25-?=v 运动时，静止于路边的观察者所

接收到的频率为

S

v u u v

v μ='

警车驶近观察者时，式中s v 前取“-”号，故有

Hz 6.865S

1

=-='v u u

v v

警车驶离观察者时，式中s v 前取“+”号，故有

Hz 7.743S

2=+='v u u

v

v

（2）声源（警车）与客车上的观察者作同向运动时，观察者收到的频率为

Hz

2.826S

03=--='v u v u v v

14－20 一声源的频率为1080Hz ，相对地面以30m/s 的速率向右运动。在其右方有一反射面相对于地面以65m/s 的速率向左运动。设空气中声速为331m/s 。求：（1）声源在空气中发出的声音的波长；（2）反射回的声音的频率和波长。

解： （1）在声源运动的前方

m 279.01080/)30331(/)(=-=-=s s b v u νλ

在声源运动的后方

m 334.01080/)30331(/)(=+=+=s s a v u νλ

（2）反射面接收到的频率为

s s

R

R v u v u v ν-+=

反射后声音的频率为

Hz

1077.1108065)

-30)(331-(33165)

(331331 )(()(3?=?+?=

--+=-='s

R

s R s R s v u v u v u u v u u

v νν 波

长

为

m 187.0)1077.1/(331/3=?='='R a u νλ

第十六章 光的干射

16－1 汞弧灯发出的光通过一滤光片后照射双缝干涉装置。已知缝间距d=0.60mm ，观察屏与双键相距D ＝2.5m ，并测得相邻明纹间距离Δx =2.27mm 。试计算入射光的波长，并指出属于什么颜色。 解：75.44810()544.8()xd

m nm D

λ-?=

=?=，黄绿色。 16－2 由光源S 发出的λ＝600nm 的单色光，自空气射入折射率n ＝1.23的一层透明物质，再射入空气（如图）若透明物质的厚度d=1cm ，入射角θ＝300，且SA=BC=5cm 。

求（1）θ1为多大？（2）此单色光在这层透明物质里的频率、速度和波长各是多少？（3）S 到C 的几何路程为多少？光程为多少？