MATLAB实验报告_常微分方程数值解

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实验3 常微分方程数值解

【实验目的】

1．掌握用MA TLAB 求微分方程初值问题数值解的方法；

2．通过实例学习微分方程模型解决简化的实际问题；

3．了解欧拉方法和龙格库塔方法的基本思想。

【实验内容】

用欧拉方法和龙格库塔方法求下列微分方程初值问题的数值解，画出解的图形，对结果进行分析比较

22'2,

(1)(01),322;(0)1

',(2)(010).

(0)0(0)1x y y x x y e x y y x y x y y =+?≤≤=--?=??=-≤≤?==?精确解或

【解】:手工分析怎样求解

【计算机求解】:怎样设计程序？流程图？变量说明？能否将某算法设计成具有形式参数的函数形式？

【程序如下】:

function f=f(x,y)

f=y+2*x;

clc;clear;

a=0;b=1; %求解区间

[x1,y_r]=ode45('f',[a b],1); %调用龙格库塔求解函数求解数值解；

%% 以下利用Euler 方法求解

y(1)=1;N=100;h=(b-a)/N;

x=a:h:b;

for i=1:N

y(i+1)=y(i)+h*f(x(i),y(i));

end

figure(1)

plot(x1,y_r,'r*',x,y,'b+',x,3*exp(x)-2*x-2,'k-');%数值解与真解图

title('数值解与真解图');

legend('RK4','Euler','真解');

xlabel('x');ylabel('y');

figure(2)

plot(x1,abs(y_r-(3*exp(x1)-2*x1-2)),'k-');%龙格库塔方法的误差

title('龙格库塔方法的误差')

xlabel('x');ylabel('Error');

figure(3)

plot(x,abs(y-(3*exp(x)-2*x-2)),'r-')%Euler 方法的误差

title('Euler 方法的误差')

xlabel('x');ylabel('Error');

【运行结果如下】：

【结果分析】：龙格库塔方法和Euler方法求解常微分方程都能获得比较好的数值解，相比较而言龙格库塔方法的数值解的精度远远要比Euler方法的数值解的精度高。