函数的极限的求解方法

函数的极限的求解方法

摘 要：本文介绍了计算函数极限的几种方法，讨论如何运用已掌握的知识方法计算极限．

关键词：零因子：初等法：两个重要极限 ：等价无穷小： 等价无穷小替换 ：函数的连续性 ：Hospital L '法 。

引 言

极限思想是许多科学领域的重要思想之一. 因为极限的重要

性，从而怎样求极限也显得尤其重要. 对于一些复杂极限，直接按照极限的定义来求就显得非常困难，不仅计算量大，而且不一定能求出结果. 为了解决求极限的问题，有不少学者曾探讨了计算极限的方法 . 本文也介绍了计算极限的几种方法，并对文献结论进行了推广，讨论如何利用我们已有的知识计算极限，并且以实例来阐述方法中蕴涵的数学思想.

函数的极限主要表现在两个方面：

一、自变量x 任意接近于有限值，或讲趋向（于）（记0x x →）时，相应的函数值的变化情况. 二、当自变量x 的绝对值无限增大，或讲趋向无穷大（记∞→x ）时，相应的函数值的变化情况. 相关知识点

（一）“0x x →”形：

定义1：如果对0>?ε（不论它多么小），总0>?δ，使得对于适合不等式δ<-<00x x 的一切x 所对应的函数值满足：

ε<-A x f )(，就称常数为函数当0x x →时的极限，记为

A x f n =∞

→)(lim ，或

A

x f →)( （当

x x →时）

注1：“x 与充分接近”在定义中表现为：0>?δ，有δ<-<00x x ，

即),(0δ∧

∈x U x .显然越小，x 与接近就越好，此与数列极限中的

所起的作用是一样的，它也依赖于ε.一般地，ε越小，相应地也小一些.

2：定义中00x x -<表示0x x ≠，这说明当0x x →时，有无限与)(0x f 在点（是否有）的定义无关（可以无定义，即使有定义，与)(0x f 值也无关）.

3：几何解释：对0>?ε，作两条平行直线εε-=+=A y A y ,.由定义，对此0,>?δε.当δδ+<<-00x x x ，且0x x ≠时，有εε+<<-A x f A )(.即函数)(x f y =的图形夹在直线

εε-=+=A y A y ,之间（)(0x f 可能除外）.换言之：当)

,(0δ∧

∈x U x 时，),()(εA U x f ∈.可见不唯一！

例1证明32121lim 221=

---→x x x x . 证明：对0>?ε，

因为,1≠a 所以

)12(313212132121.012

2+-=-++=----?≠-x x

x x x x x x [此处1→x ，即考虑10=x 附近的情况，故不妨限制x 为

110<-

即20<

因为31)12(31,112-<+-?>+x x x

x ，要使ε<----321212

2x x x ,只须 ε

<-3

1x ，即ε31<-x .取}3,1min{εδ=（利用图形可解释），

当δ<-<10x 时，有ε<----32

1212

2x x x .

定理1：（保号性）设A

x f x

x =→)(lim 0

，

（i ） 若)0(0<>A A ，则0>?δ，当),(0δ∧

∈x U x 时，0)(>x f )0)((

注：在(i)中的“>”，“<”不能改为“≥”，“≤”.

在(ii)中，若0)(>x f ，未必有0>A .

定义2：对0>?ε，0>?δ，当00x x x <<-δ时，[当δ+<<00x x x 时]，有ε<-A x f )(.这时就称为当0x x →时的左[右]极限，记为

A

x f x x =-→)(lim 0

0或A x f =-)0(.[A

x f x x =+→)(lim 00或A x f =+)0(0].

定理2：（充要条件）A

x f x f A x f x x x x x x ==?=+→-→→)(lim )(lim )(lim 0

0000

.

（二）“∞→x ”形：

定义3：设当)0(>>a a x 时是有定义的，若对)(,0a X >?>?ε， 当X x >时，有ε<-A x f )(，就称为当∞→x 时的极限， 记为A

x f x =∞→)(lim 或A x f →)(（当∞→x 时）.

注1：设在]),((),,[b a -∞+∞上有定义，若对0,0>?>?X ε，当

)(X x X x -<>时，有ε<-A x f )(，就称为当)(-∞→+∞→x x 时的

极限，记为A x f x =+∞→)(lim ，或A x f →)(（当+∞→x ）（A

x f x =-∞→)(lim ，

或A x f →)(（当-∞→x ））. 2：（充要条件）A

x f x f A x f x x x ==?=-∞

→+∞

→∞

→)(lim )(lim )(lim .

3：若A

x f x =∞→)(lim ，就称A y =为)(x f y =的图形的水平渐近线

（若

A

x f x =+∞

→)(lim 或

A

x f x =-∞

→)(lim ，有类似的渐近线）.

例2 证明0

sin lim

=∞→x x

x .

证明：对0>?ε，因为x x x x

x 1

sin 0sin ≤

=-，所以要使得ε<-0sin x x ，只须εε11>?

，故取ε1=X ，所以当X x >时，有ε<-0sin x x ，所以0sin lim =∞→x x x .

（三） 无穷小与无穷大 一、无穷小

定义1：对,0>?ε若)0(0>>?X δ，使得当)(00X x x x <<-<δ时，有ε<)(x f 成立，就称为当)(0+∞→→x x x 时的无穷小，记为

)

0)(lim (0)(lim 0

==+∞

→→x f x f x x x .

注 1：除上两种之外，还有0,0,,00+→-→+∞→-∞→x x x x x x 的情形.

2：无穷小不是一个数，而是一个特殊的函数（极限为0），不要将其与非常小的数混淆，因为任一常数不可能任意地小，除非是0函数，由此得：0是唯一可作为无穷小的常数.

定理1：当自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中时： （i ） 具有极限的函数等于其极限与一个无穷小之和，

即：为的极限A x f -?)(为无穷小.

（ii ） 若一函数可表示为一常数与无穷小之和，那么该常数就

是其极限.

二、无穷大

定义2：若对)0(0,0>>?>?X M δ，使得当)(00X x x x ><-<δ时， 有M x f >)(，就称当)(0∞→→x x x 时的无穷大，

记作:)

)(lim ()(lim 0

∞=∞=∞→→x f x f x x x .

注1：同理还有+∞→-∞→)(,)(x f x f 时的定义.

2：无穷大也不是一个数，不要将其与非常大的数混淆.

3：若∞

=→)(lim 0

x f x x 或∞

=∞→)(lim x f x ，按通常意义将，的极限不存在. 定理2：当自变量在同一变化过程中时，

（i ）若为无穷大，则)(1

x f 为无穷小.

（ii ）若为无穷小，且0)(≠x f ，则)(1

x f 为无穷大.

（四）函数极限运算法则

由极限定义直接来求极限是不可取的，因此需寻求一些方法来求极限.

定理1：有限个无穷小的和仍为无穷小，即设

0)lim(0lim ,0lim =+?==βαβα

注1：u 与都表示函数与，而不是常数.

2： “”下放没标自变量的变化过程，这说明对0x x →及

∞→x 均成立，但须同一过程. 定理2：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，即设u 有界，

0lim 0lim =?=ααu .

推论1：常数与无穷小的乘积仍为无穷小，即若k 为常数，

0lim 0lim =?=ααk .

推论2：有限个无穷小的乘积仍为无穷小，设

0)lim (0lim lim lim 2121=?====n n ααααααΛΛΛΛ.

定理3：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在， 且)(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±.

注：本定理可推广到有限个函数的情形.

定理4：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)()(lim x g x f ?存在，且 )(lim )(lim )()(lim x g x f AB x g x f ?==.

推论1：)(lim )](lim[x f c x cf =（c 为常数）.

推论2：n

n x f x f )]([lim )](lim [=（n 为正整数）.

定理5：设0)(lim ,)(lim ≠==B x g A x f ，则

)(lim )

(lim )()(lim

x g x f B A x g x f =

=.

定理6：如果)()(x x ψ?≥，且b x a x ==)(lim ,)(lim ψ?，则. 推论1：设

n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)(ΛΛ为一多项式，当

)

()(lim 0011

01000

x f a x a x a x a x f n n n n

x x =++++=--→ΛΛ.

推论2：设)(),(x Q x P 均为多项式，且0)(0≠x Q ，由定理5，

)()

()()(lim

000x Q x P x Q x P x x =

→. 例3

221

lim(510)15113

x x x →-+=-?+=-.（利用定理3）

例4 33009

070397lim 53530-=+--?+=+--+→x x x x x （因为03005≠+-）.

注：若0)(0=x Q ，则不能用推论2来求极限，需采用其它手段.

例5 求322lim 2

21-+-+→x x x x x .（消去零因子法）

解：当1→x 时，分子、分母均趋于0，因为，约去公因子)1(-x ， 所以

53322lim 322lim 1221=++=-+-+→→x x x x x x x x . 例6 求)

1311(lim 31+-+-→x x x .

解：当

13

,11,13

++-→x x x 全没有极限，故不能直接用定理3，但当1-≠x 时，

12

)1)(1()2)(1(1311223+--=

+-+-+=+-+x x x x x x x x x x ，所以

11)1()1(2112lim )1311(

lim 22131

-=+-----=+--=+-+-→-→x x x x x x x .

例8 证明[][]

x x

x x ,1lim

=∞→为x 的整数部分.

证明：先考虑[][]

x

x x x

x -=-

1，因为[]x x -是有界函数，且当∞

→x 时

，

01

→x

，

所

以

由

定

理

2[][][]1lim

0)1(lim 0lim

=?=-?=-?∞→∞→∞→x x x x x x x x x x .

（五） 极限存在准则、两个重要极限

收敛准则： 如果函数)(),(),(x h x g x f 满足下列条件： （i ）当))(,(0M x r x U x >∈∧

时，有)()()(x h x f x g ≤≤. （ii ）当)(0∞→→x x x 时，有A x h A x g →→)(,)(. 那么当)(0∞→→x x x 时，的极限存在，且等于. 两个重要极限：

()()()()()()()()()00100sin sin lim lim 1(0)

1lim 1lim 1lim 1(0)

x x x x x x x x x x

x x

x x x e x x ????????→→→∞→→==≠??

+=+=+=≠?? ?????

例9

1sin lim )sin(lim sin lim

0-=-=--=-→-=→→t t

x x x x t x t x x πππ

πππ.（做替换）

例10 21)22sin

(lim 21)2(sin 2lim cos 1lim 202

2020=?==-→→→x x

x x x x x x x .（先三角变换）

22222])21

1(lim [])211[(lim )21(lim e x x x

x

x x

x x x =+=+=+∞→∞→∞→

（六） 无穷小的比较

定义：设与为x 在同一变化过程中的两个无穷小，

(i) 若0

lim

=αβ，就说是比高阶的无穷小，记为)(αβo =；

(ii) 若∞=αβlim ，，就说是比低阶的无穷小；

(iii) 若0

lim ≠=C αβ

，，就说是比同阶的无穷小；

(iv) 若1

lim =αβ，就说与是等价无穷小，记为βα~.

注 1：高阶无穷小不具有等价代换性，即：)(),(2

2x o x x o x ==，

但)()(x o x o ≠，因为不是一个量，而是高阶无穷小的记号；

2：显然(iv)是(iii)的特殊情况；

3：等价无穷小具有传递性：即γαγββα~~,~?；

4：未必任意两个无穷小量都可进行比较，例如：当0→x 时，

x x 1

sin

与既非同阶，又无高低阶可比较，因为2

1

sin lim

x x

x x →不

存在；

5：对于无穷大量也可作类似的比较、分类；

6：用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有：

定理1：（等价替换法则）

若βαβα'',,,均为x 的同一变化过程中的无穷小，

且ββαα''~,~，及

lim

k βα'='，那么lim lim k ββαα'=='.

例12 求x x

x 20sin cos 1lim

-→.

解：因为当0→x 时，x x ~sin

所以

21cos 1lim sin cos 1lim 2020=-=-→→x x x x x x . 例13 求x x x x 22arcsin lim 2

0+→

解：因为当0→x 时，x x 2~2arcsin ，

所以 原式1

22

22lim 22lim

020==+=+=→→x x x x x x .

注7：在目前，常用当0→x 时，等价无穷小有：

sin ~,tan ~,arcsin ~,

arctan ~,x x x x x x x x ，

()2

1ln 1,

1,1cos 2x x x e x x x +--:::

；

8：用等价无穷小代换适用于乘、除，对于加、减须谨慎！

（七）连续性与罗必达法则

定理1：设)(x u ?=当0x x →时的极限存在且等于a ，即

a

x x x =→)(lim 0

?，又设)(u f y =在处连续，那么，当0x x →时，复合

函数))((x f y ?=的极限存在，且等于，即)

())((lim 0

a f x f x

x =→?.

注：可类似讨论∞→x 时的情形.

定理2：设函数)(x u ?=在点0x x =连续，且00)(u x =?，函数

)(u f y =在点连续，那么，复合函数))((x f y ?=在点0x x =处连续.

例14求x x

x sin 2lim 0

-

→（利用函数的连续性来求极限）

解：因为1

sin lim

0=→x x

x ，及u -2在点连续，故由上述定理，

1

x →===. Hospital L '法则：

在求)()(lim

x F x f a

x →或)()(lim

x F x f x ∞→时，若发现)(),(x F x f 同趋于0，或同趋

于∞，则此时上述极限可能存在，也可能不存在.要根据具体的函

数来进一步确定，如n m x x x 0lim →，n

m x x x ∞→lim ，我们通常把这种极限称为00或∞∞

型的未定式（不定式），这种未定式是不能用“商的极限等于极

限的商”这一法则来计算的. 定理3：（Hospital L '法则）若)(),(x F x f 满足：

(i)0

)(lim )(lim ==→→x F x f a x a x ；

(ii) )(),(x F x f 在a 的某去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；

(iii)A

x F x f a x =''→)

()

(lim

（可为有限数，也可为或∞-）；

则： A x F x f a x =→)

()(lim .

注 1：“a x →”可改为“+∞→x ”或“-∞→x ”，只不过对(ii)

作相应的修改，结论仍成立.

2：若)()(lim

x F x f a x ''→仍为00

型未定式，则可再次使用法则，这时， ΛΛ=''''=''=→→→)()(lim )()(lim )()(lim x F x f x F x f x F x f a x a x a x 直到极限不是未定式为止. 3：Hospital L '法则的三个条件缺一不可，表现在(a)若不是未

定式，则不能使用，否则会导致错误；(b)若(iii)不成立，

也不能用，否则也会导致错误；

4： ∞∞

型未定式的Hospital L '法则：可将上定理的(ii)(iii)不变， (i)改

为：

(i)′：+∞

==→→)(lim )(lim x F x f a

x a

x 即可，结论仍成立.

5：其它还有0

0,0,1,,0∞∞-∞∞?∞等型的不定式，但它们经过简单的变形

都可化为00型或∞∞

型的未定型，然后Hospital L '法则.

例15 求x x x 2tan cos 1lim

+→π.

解：2

1

)2cos (lim cos 1tan 2sin lim tan cos 1lim 32

2=-=-=+→→→x x x x x x x x x ππ

π.

注：在应用Hospital L '法则时，要注意法则的条件是否满足，不可乱用.

例16 x x x

x x sin sin lim

-++∞→能否用Hospital L '法则 解：若用Hospital L '法则，则有

x x

x x x x x x cos 1cos 1lim

sin sin lim

-+=-++∞→+∞→不存在，（分子，分母的极限不存在）

10

101sin 1sin 1lim sin sin lim =-+=-

+

=-++∞→+∞→x x x x x x x x x x .

【求函数极限的方法总结与例题】

在“知识点”部分结合相关知识点，给出一些例题，但有必要将函数极限的求法进行归纳并给出例题.例题的解法突出一题多解或诸方法结合使用.现归纳如下七点：

⑴：消去零因子法，既把式子中的0因子消去。

⑵：初等法（如三角变换，有理化，通分，分子分母同除一个函数）。

⑶：利用两个重要极限及收敛准则，既利用

()()()()()()()()()00100sin sin lim

lim 1

(0)

1lim 1lim 1lim 1(0)

x x x

x x x x x x x

x x

x x x e x x ????????→→→∞→→==≠??

+=+=+=≠?? ?????

和函数极限的收敛准则进行运算。

⑷：等价无穷小的性质及等价无穷小替换法进行运算。 ⑸：利用函数的连续性，进行运算。

⑹：利用Hospital L '法则（非常重要的工具）。 ⑺：上述诸方法结合使用.

例1 求极限22

26lim 4x x x x →+--

解：（消去零因子）

()()()()22222326

35lim lim lim 42224x x x x x x x x x x x x →→→+-+-+===-+-+ 例2

求极限0x → 解：（初等法）

000

222lim 1

4x x x x x →→→→+

-===-=-

例3 求极限324

421

lim 31x x x x →∞+-+

解：（初等法）

3

2

24

44

421

421000lim lim 0131303x x x x x x x x x →∞→∞+-+-+-===+++ 例4 求极限

313

1lim 11x x x →??- ?--?? 解：（初等法）

()()()()322111123

12lim lim lim 111111x x x x x x x x x x x x x →→→-++??-=== ?--+

+-++?

?

例5 求极限0lim

x x

→

解：（两个重要极限及收敛准则）

(

)

00000lim lim 2sin lim 2

x x x x x x x x x →→→→→====

例6 求极限

1lim 1x

x x x →∞+??

?-?? 解：（两个重要极限及收敛准则）

21111111lim lim lim 11lim 1lim 1111x

x x x x x

x x x x x x x e x x x x x x --→∞→∞→∞→∞

→∞??+?? ?+??????????

==+-=+-=?? ? ? ? ? ? ?-???????????? ???

-??

例7 求极限()

0lim 1sin x

x x →+

解：（两个重要极限及收敛准则）

()

()()0sin 1

sin 0

sin lim

1

sin 0lim 1sin lim 1sin lim 1sin x x

x

x

x

x x x x x x x x x e

→→→→?

?+=+???

?

??=+=????

例8 求x e x

x sin 1lim

0-→.

解1：（等价无穷小替换法则）

()

001lim lim 11sin sin x x

x x e x e

x x x

→→-==-:.

解2：（Hospital L '法则）001lim lim 1sin cos x x

x x e e x x →→-==

例9 求 01cos lim

sin x x

x x →-

解1：（初等法及重要极限）

()

2

2

0002sin sin

1cos 11

22lim lim lim sin sin 2sin 2

sin

2

x x x x x

x x x

x x x x x →→→-==?

=

解2：（等价无穷小替换法则）

2

0011cos 12lim lim sin 2x x x

x x x x x →→-==

? 解3：（Hospital L '法则）

000001cos sin 111

lim

lim lim sin sin cos 2

1cos 1lim limcos sin sin x x x x x x x x x

x x x x x x x x x →→→→→-====

++?+?

例5 求arctan lim

x x x →∞

解1：（等价无穷小的性质）

1

arctan arctan ,,lim

2x x

x x x

x π

→∞≤

→∞∴=Q 且当是无穷小，

解2：（Hospital L '法则）21arctan 1lim lim 0

1x x x x x →∞→∞+== 例11 求()0ln 1lim

x x x →+

解1：（函数的连续性）

()()()11000ln 1lim lim ln 1ln lim 1ln 1x x x x x x x x e x →→→+??

=+=+==???? 解2 （Hospital L '法则）

()001

ln 11lim lim 1

1x x x x x →→++==

注：还可以利用泰勒展开式等求解.

例12 求x

n

x e x λ+∞→lim ，（n 为正整数，0>λ）. 解：（多次用Hospital L '法则）

0!lim )1(lim lim lim 221===-==+∞→-+∞→-+∞→+∞→x n x x n x x n x x n x e n e x n n e nx e x λλλλλλλΛΛ.