高中数学椭圆知识题型总结

陈氏优学

教学课题

椭圆

知识点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点

、

的距离之和等于常数(

)，这个动

点

的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.

注意：若，则动点的轨迹为线段；

若

，则动点

的轨迹无图形.

讲练结合一.椭圆的定义

1．若ABC ?的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ?的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是知识点二：椭圆的标准方程

1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：

，其中

；

2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；

注意：

1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；

2．在椭圆的两种标准方程中，都有

和

；

3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，

；当焦点在

轴上时，椭圆的焦点坐标为

，

。

讲练结合二．利用标准方程确定参数

1．椭圆22

14x y m

=的焦距为2，则m = 。 2．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。

知识点三：椭圆的简单几何性质

椭圆的的简单几何性质

（1）对称性

对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，

方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

（2）范围

椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b。

（3）顶点

①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），

A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。

③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长

和短半轴长。

（4）离心率

①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。

②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而

越小，因

此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当

a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。

椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：

（1），，；

（2），，；

（3）,，；知识点四：椭圆与（a＞b＞0）的区别和联系标准方程

图形

性质焦点，，焦距

范围，，对称性关于x轴、y轴和原点对称

顶点，，轴长轴长=，短轴长=

离心率

准线方程

焦半径

，

注意：椭圆，（a ＞b ＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系

都有a ＞b ＞0和，a 2=b 2+c 2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相

同。

题型一椭圆焦点三角形面积公式的应用

定理在椭圆122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，θ=∠21PF F ，

则2

tan

221θ

b S PF F =?.

证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得

.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+

在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22

212

1c r r r r =-+θ

配方得：.4cos 22)(2

2121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242

212

c r r a =+-θ

.cos 12cos 1)(22

2221θ

θ+=+-=∴b c a r r

由任意三角形的面积公式得：

2tan 2

cos 22cos

sin

2cos 1sin sin 2122

222121θθθ

θθ?=?=+?==

?b b b r r S PF F .

tan 221θ

b S PF F =∴?

典题妙解

例1 若P 是椭圆

164

1002

2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ，求 P

y F 1 O F 2 x

法二设直线与椭圆的交点为，、，，，为的中点，A x y B x y M AB ()()()112221

∴，，又、两点在椭圆上，则，x x y y A B x y x y 121212122222

424164+=+=+=+ =-+-=164012221222，两式相减得()()x x y y

∴

y y x x x x y y 1212121241

--=-++=-()

即，故所求直线为k x y AB =-

+-=1

240 点差法

1.过点(1，0)的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为

的椭圆C 相交于A 、

B 两点，直线y =2

1x 过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆C 的方程.

命题意图：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强，属★★★★★级题目.

知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题. 错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误.恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键.

技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A 、B 两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB 斜率的等式.解法二，用韦达定理.

解法一：由

e =2

=a c ,得21

222=

-a

b a ,从而a 2=2b 2,

c =b .

设椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在椭圆上. 则

x 12+2y 12=2b 2,x 22+2y 22=2b 2,两式相减得，(x 12－x 22)+2(y 12－

1k x x

，（若12

,y y

分别为A、B的纵坐标，则

＝

），若弦AB所在直线方程设为x ky b

=+，则AB＝212

1k y y

。

2、焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。

1. 第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数

e M

=<<

()

01的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为

椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。

注意：①对对应于右焦点，的准线称为右准线，

a b F c

100

+=>>

()()

方程是，对应于左焦点，的准线为左准线

F c x

=-=-

()

②e的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。

2. 焦半径及焦半径公式：

椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。

对于椭圆，设，为椭圆上一点，由第二定义：

a b P x y

+=>>

()()

左焦半径∴·

左

r ex

a ex

==+=+

右焦半径右

右

r a ex

=?=-

已知点P在椭圆

a b

+=>>

()上，F F

、为椭圆的两个焦点，求||||

PF PF

·的取值范围

题型四参数方程

3. 椭圆参数方程

问题：如图以原点为圆心，分别以a、b（a>b>0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BN⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕O旋转时点M的轨迹的参数方程。

解：设点的坐标是，，是以为始边，为终边的正角，取为

M x y

()??

Ox OA

参数。

那么

∴

x ON OA

y NM OB

x a

y b

||cos

||sin

cos

sin

()

这就是椭圆参数方程：为参数时，称为“离心角”

说明：<1> 对上述方程（1）消参即

?+=

cos

sin

1普通方程

<2>由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。

直线与椭圆位置关系：

y kx b

+==+

②求椭圆上动点P（x，y）到直线距离的最大值和最小值，（法一，参数方程法；法二，数形结合，求平行线间距离，作l'∥l且l'与椭圆相切）

例4. 已知椭圆，在椭圆上求一点，使到直线：

x y P P l x y

8840

+=-+=

的距离最小并求出距离的最小值（或最大值）？

解：法一设，由参数方程得

P(cos sin)()

22θθ

则d=

|cos sin||sin()|

224

θθθ?

其中，当时，

tan

min

?θ?

=-===

此时，

cos sin sin cos

θ?θ?

=-=-==

即点坐标为，

P P()

法二因与椭圆相离，故把直线平移至，使与椭圆相切，则与的距离，l l l l l l

'''

即为所求的最小值，切点为所求点最大

('')

l→

设：，则由消得

l x y m

x y m

x y

'-+=

-+=

928044980

2222

y my m m m

-+-==--=

，令×

?()

解之得±，为最大，由图得

m m

=-=-

333

()

此时，，由平行线间距离得

P l

()

min

000

x y

a b e A B

a b

AB x P

AB C x y x

F AF BF

+=>>=

椭圆（）的离心率，、是椭圆上关于坐标不对称的两点，线段的中垂线与轴交于点（，）。

（）设中点为（，），求的值。

（）若是椭圆的右焦点，且，求椭圆的方程。

2、椭圆

12516

x y +=两焦点为F 1、F 2，A(3，1)点P 在椭圆上，则|PF 1|+|PA|的最大值为_____，最小值为 ___

3、已知椭圆2

214

x y +=，A(1，0)，P 为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值最小值。

4.设F 是椭圆322

x ＋24

2y =1的右焦点,定点A(2,3)在椭圆内,在椭圆上求一点P 使|PA|+2|PF|最小,

求P 点坐标最小值 .

知识点四：椭圆

与（a ＞b ＞0）的区别和联系

标准方程

图形

性质焦点，

，

焦距

范围

，

对称性

关于x 轴、y 轴和原点对称

顶点，

，

轴长轴长=

，短轴长=

离心率

准线方程

焦半径，，

注意：椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系

都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。

1．如何确定椭圆的标准方程？

任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。

确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a、b，一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。

2．椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义

椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a ＞c＞0，且a2=b2+c2。

可借助下图帮助记忆：

a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。

3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置

椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。

4．方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示椭圆的条件

方程Ax2+By2=C可化为，即，

所以只有A、B、C同号，且A≠B时，方程表示椭圆。

当时，椭圆的焦点在x轴上；

当时，椭圆的焦点在y轴上。

5．求椭圆标准方程的常用方法：

①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方

程中的参数、、的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；

②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。

6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异

共焦点，则c相同。

与椭圆（a＞b＞0）共焦点的椭圆方程可设为（k＞－b2）。此类问题常用待定系数法求解。

7．判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据：

①若把曲线方程中的x换成―x，方程不变，则曲线关于y轴对称；

②若把曲线方程中的y换成―y，方程不变，则曲线关于x轴对称；

③若把曲线方程中的x、y同时换成―x、―y，方程不变，则曲线关于原点对称。

8．如何解决与焦点三角形△PF

（P为椭圆上的点）有关的计算问题？

与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、

、，有关角()结合起来，建立、之间的关系.

9．如何研究椭圆的扁圆程度与离心率的关系？

长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率，因为c2=a2－b2，a＞c＞0，用a、

b表示为，当越小时，椭圆越扁，e越大；当越大，椭圆趋近圆，e越小，并且0＜e＜1。