罗默《高级宏观经济学》章节题库(索洛增长模型)【圣才出品】

第1章索洛增长模型

1．在Solow模型中，假设一个经济体在初始时候处于稳定状态。现在一场自然灾害夺去了一部分人的生命，但资本总量却在灾害中没有损失。请问人均资本、人均产出在短期和长期的变化趋势。

答：（1）索洛增长模型的总量生产函数是Y＝F（K，L），或者以人均形式来表示为y ＝f（k）。在短期，如果自然灾害夺取了部分人的生命，L下降，使k＝K/L上升了。由总量形式的生产函数可知，劳动力减少，则总产出下降。但是，由于人均资本存量水平上升了，工人人均产出将会增加。

（2）劳动力的减少意味着自然灾害后的人均资本存量高于灾害发生之前，而灾害前的经济处于稳定状态，所以灾害后的人均资本存量水平高于稳定状态水平。如图1-1所示，灾害发生后的人均资本存量位于k*右边的某一个位置k1。但是k1不是稳定状态，这时人均储蓄小于资本扩展化水平，所以资本深化为负，人均资本存量会降低，经济逐渐向稳定状态过渡。因此，在长期中，人均资本存量下降到k*，经济重新达到稳定状态。在这个过程中，由于人均资本存量一直在下降，所以人均产出也一直在下降。在稳定状态，技术进步决定人均产出增长率，一旦经济恢复到稳定状态，人均产量仅由技术进步决定。因此这和灾害发生前是一样的。

图1-1 资本存量恢复稳态水平

2．某经济体的生产函数为：Y t＝（A t L t）αK t1－α，其中A t L t为效率劳动单位，如参数A t上升，则同样数量的劳动者可提供更多的效率劳动。在每一期，消费者将s比例的产出投资于新资本，即I t＝sY t，资本运动方程为：K t＋1＝（1－δ）K t＋I t，其中δ为折旧率。设劳动力与劳动生产率均以固定比率增长：L t＋1＝（1＋l）L t，A t＋1＝（1＋μ）A t。

试回答以下问题：（其中前4问反映的是卡尔多指出的经济增长进程的典型化事实）（1）设代表性竞争企业分别按实质工资W t和实质利息R t雇佣劳动和资本，写出企业的最优化问题，证明劳动和资本分配份额W t L t/Y t和R t K t/Y t在该经济中均为常数。

（2）分别用效率劳动单位表达有关的变量，即y t＝Y t/（A t L t），k t＝K t/（A t L t），i t＝I t/（A t L t）等，则当经济达到稳态时，y t，k t，i t分别为何？产出和资本的稳态增长率分别为何？

（3）证明当经济达到稳态时，资本回报R t为常数。工资在稳态时会增加吗？如是，增长率为何？

（4）证明资本产出比在稳态时为常数。

（5）假设政府可以选择储蓄率s，则在稳态能够达到的最高消费水平c t＝C t/（A t L t）是多少？什么储蓄率能够实现这一水平？

答：（1）不妨设代表性竞争企业面临的产品市场价格为1，则企业的最优化问题是：Max π＝A tαL tαK t1－α－W t L t－R t K t

利润最大化的一阶条件为：

?π/?L t＝αA tαL tα－1K t1－α－W t＝αY t/L t－W t＝0

?π/?K t＝（1－α）A tαL tαK t－α－R t＝（1－α）Y t/K t－R t＝0

解得：W t L t/Y t＝α，R t K t/Y t＝1－α。

因此，劳动和资本的分配份额均为常数。

（2）由生产函数可得：y t＝Y t/（A t L t）＝（A t L t）α－1K t1－α＝[K t/（A t L t）]1－α＝k t1－α，i t＝I t/（A t L t）＝sY t/（A t L t）＝sy t。由题意知，稳态时，Δk＝sy t－（l＋δ＋μ）k t＝0，代入y t＝k t1－α，解得k t＝[s/（l＋δ＋μ）]1/α，则y t＝[s/（l＋δ＋μ）]（1－α）/α，i t＝s[s/（l ＋δ＋μ）]（1－α）/α。

k t稳态增长率为0，则资本K t＝A t L t k t的稳态增长率是劳动力和劳动生产率增长率之和，即l＋μ；则y t稳态增长率为0，则产出Y t＝A t L t y t的稳态增长率也是劳动力和劳动生产率增长率之和，即l＋μ。

（3）由（1）（2）可知，经济达到稳态时，R t＝（1－α）Y t/K t＝（1－α）y t/k t＝（1－α）（l＋δ＋μ）/s，这是一个常数，得证。

经济达到稳态时，W t＝αY t/L t＝αA t y t，因为稳态时y t增长率为0，所以W t增长率等于A t增长率μ。

（4）稳态时，资本产出比为：K t/Y t＝k t A t L t/（y t A t L t）＝k t/y t＝s/（l＋δ＋μ），所以资本产出比是常数。

（5）消费最大化问题转化为：max c t＝y t－sy t＝k t1－α－（l＋δ＋μ）k t；

消费最大化的一阶条件为：dc t/dk t＝（1－α）k t－α－（l＋δ＋μ）＝0；

解得：k t＝[（1－α）/（l＋δ＋μ）]1/α，则c t＝α[（1－α）/（l＋δ＋μ）]（1－α）/α，y t ＝k t1－α＝[（1－α）/（l＋δ＋μ）]（1－α）/α，s＝（y t－c t）/y t＝1－α。

3．一国政府实行科教兴国战略。

（1）该国政府加大对教育的投入支出，而且因此劳动生产率会提高。请问这对该经济的影响。同时问资本效率劳动比在立即实行这一措施后会有什么变化，长期稳定后又会如何。请作图分析。

（2）实施该战略后经济的增长率是否会提高？同时以人均消费来衡量的生活水平是否会提高？描述经济从增长率变化到最终过渡到稳定状态的过程。

（3）若该国政府采取减少赤字的政策，请问这对该国经济会有如何影响，对资本效率劳动比有什么影响？是否会改变经济增长率最终的稳定状态？

答：设该国总量生产函数为Y＝F（K，EL），其中，Y代表总产出，K代表资本存量，E 代表教育投入，L代表劳动力，且该生产函数规模报酬不变。那么，Y/（EL）＝F[K/（EL），1]，设y＝Y/（EL）表示产出效率劳动比，k＝K/（EL）表示资本效率劳动比，则有y＝f（k）。设劳动力增长率为（dL/dt）/L＝n，教育投入增长率为（dE/dt）/E＝g，折旧率为δ，储蓄率是s，则该国经济的稳态方程是：（dk/dt）/k＝sy－（n＋g＋δ）k＝0。

（1）该国政府加大对教育的投入支出，意味着E与g增大了，由于K不变，所以资本效率劳动比k＝K/（EL）下降了。

如图1-2所示，长期来看，政府加大对教育的投入支出，使资本广化线（n＋g＋δ）k 逆时针旋转，均衡时的资本效率劳动比k从k A降低到k B，经济的均衡产出也下降了。

图1-2 科教兴国战略

（2）稳态时，该国经济的产出效率劳动比y增长率为零，但人均产出增长率等于教育投入的增长率g，总产出增长率等于教育投入增长率g与劳动力增长率n之和。由于科教兴国战略提高了教育投入的增长率g，所以该经济的人均产出增长率和总产出增长率都提高了。

经济从增长率变化到最终过渡到稳定状态的过程：如图1-2所示。B点是初始稳定状态。若政府此时实施科教兴国战略，sy＜（n＋g′＋δ）k，即资本存量不能满足资本广化的需要，资本效率劳动比下降，产出效率劳动比下降，直到sy＝（n＋g′＋δ）k，即资本存量恰好满足资本广化的需要时为止，此时经济达到了新的稳定状态，资本效率劳动比和产出效率劳动比都不再变化，新的稳定状态下人均产出的增长率大于初始稳定状态。

消费效率劳动比c＝（1－s）y，由于储蓄率s不变，新的稳定状态下产出效率劳动比y 小于初始稳定状态，所以消费效率劳动比c变小了。但是，人均消费为c′＝Ec，由于E增加了，所以人均消费的变化难以确定。

（3）减少赤字的策略会增加政府储蓄比例，从而提高整个国家的储蓄率。如图1-2所

示。储蓄率提高使资本存量提高，进而使资本效率劳动比提高，使稳态人均产出提高。但储蓄率只有水平效应而没有增长效应，不影响稳态人均产出的增长率（稳态人均产出的增长率仍为g ，与储蓄率无关）。

4．考虑人口增长的Solow 模型，经济主体的生产函数为Cobb-Douglas 等规模报酬的生产函数。产出由K 和L 决定，资金在收入中所占的比例为α，经济主体的自然失业率为U n ，储蓄率为s ，折旧率为δ，劳动人口的增长率为n 。

（1）求由自然失业率和人均资本表示的产出方程。

（2）画图和文字说明达到稳态的人均资本和产出。

（3）如果政府采取政策使自然失业率降低，说明长期和短期的k 、y 的变化。

（4）对产出的即时效应和长期效应哪个更大，为什么？

答：（1）由已知可得生产函数可表示为：Y ＝AK α[（1－U n ）L]1－α；

等式两边同除以L ，得：y ＝A （1－U n ）1－αk α；

此即为以自然失业率和人均资本表示的人均产出方程。

（2）达到稳态时，有sy *＝（n ＋δ）k *，于是有：

于是稳态下人均产出为：

稳态时的人均资本和人均产出如图1-3所示。

()()()()11111n n sA sA U k n k k U n αααδδ--***??-=+?=- ?+??()11n sA y A U n αα

δ-*??=- ?+??