证明圆的切线方法(推荐文档)
证明圆的切线方法
我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线?在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有:
、若直线I过O O上某一点A,证明I是O O的切线，只需连0A，证明OA丄l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直
例1 如图，在^ ABC中，AB=AC ,以AB为直径的O O交BC于D ,交AC于E,
B为切点的切线交0D延长线于F.
求证: EF与O 0相切.
证明: 连结0E, AD.
??? AB是O 0的直径,
??? AD 丄BC.
又??? AB=BC ,
??? mD=DE , / 1 = / 2.
又??? OB=OE , OF=OF ,
???△ BOF N EOF ( SAS).
???/ OBF= / OEF.
??? BF与O O相切,
? OB 丄BF.
???/ OEF=9O0.
??? EF与O O相切.
说明: 此题是通过证明三角形全等证明垂直的
求证：PA与O O相切.
?/ AE是O O的直径,
??? AC 丄EC, / E+ /
EAC=90 .
???/ 1 + / EAC=90 0.
即OA丄PA.
??? PA与O O相切.
例2 如图，AD是/ BAC 的平分线, P为BC延长线上一点，且PA=PD.
证明二：延长AD交O O于E,连结
??? AD是Z BAC的平分线,
???
BE=CE ,
??? OE 丄
BC.
???/ E+Z BDE=90 0.
???
OA=OE , ???/ E=/ 1. P
证明一：作直径AE，连结EC.
?/ AD 是/ BAC 的平分线,
???/ DAB= / DAC.
?/ PA=PD,
???/ 2= / 1+ / DAC.
?// 2= / B+ / DAB ,
?/ PA=PD,
???/ PAD= / PDA. 又???/ PDA= / BDE,
?/ OA=OD ,
?/ OA=OD ,
???/ 1 + / PAD=900
即OA 丄PA.
??? PA 与O O 相切
此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用
如图，AB=AC , AB 是O O 的直径，O O 交BC 于D , DM 丄AC 于M
证明一：连结OD.
?/ AB=AC ,
??? DM 丄 OD. ??? DM 与O O 相切
证明二：连结OD , AD.
???/ 3+/4=90°.
??? AB 是O O 的直
径,
??? AD 丄
BC.
又???
AB=AC,
?/ DM 丄 AC ,
???/ 2+/ 4=90°
说明: 求证: DM 与O O 相切.
?/ OB=OD ,
???OD // AC. ?/ DM 丄 AC ,
即OD丄DM.
??? DM是O O的切线
说明：证明一是通过证平行来证明垂直的?证明二是通过证两角互余证明垂直的, 解题中注意充分利用已知及图上已知
例4 如图，已知：AB是O O的直径, C 在O O 上，且/ CAB=3O0, BD=OB , D在AB的延长线上.
求证: DC是O O的切线
证明: 连结OC、BC.
?/ OA=OC ,
???/ A= / 1= / 30°.
???/ BOC= / A+ / 1=60°.
又??? OC=OB ,
???△ OBC是等边三角形.
??? OB=BC.
?/ OB=BD ,
??? OB=BC=BD.
??? OC 丄CD.
??? DC是O O的切线.
说明: 此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较
如图，AB是O O的直径，CD丄AB，且OA2=OD - 0P.
求证: PC是O O的切线.
证明: 连结OC
?/ OA2=OD ? OP, OA=OC ,
2
??? OC2=OD ? OP,
?/ AD=CD , DE=DE ,
OC OP OD "O C
???/ OCP= / ODC. ?/ CD 丄 AB ,
???/ OCP=90 . ??? PC 是O O 的切线.
如图，ABCD 是正方形，G 是BC 延长线上一点，AG 交BD 于E ,交CD 于
F . 求证: CE 与^ CF
G 的外接圆相切.
分析: 此题图上没有画出△ CFG 的外接圆，但△ CFG 是直角三角形，圆心在斜边 FG 的中点, 为此我们取 FG 的中点O ,连结
证明: 取FG 中点O ,连结OC.
??? ABCD 是正方形, ??? BC 丄 CD , △ CFG 是
Rt △
?/ O 是FG 的中点,
? O 是Rt A CFG 的外心.
OC ,证明CE 丄OC 即可得解.
?/ OC=OG ,
?/ AD // BC ,
/ ADE= / CDE=450
,
???△ ADE CDE (SAS )
说明: 此题是通过证三角形相似证明垂直的
???/ 4= / 1,/ 1 = /
3.
???/ 2+ /
3=90°,
???/ 1 + /
2=90°.
即CE丄OC.
??? CE与^ CFG的外接圆相切
二、若直线I与O O没有已知的公共点，又要证明I是O O的切线，只需作OA丄l, A为垂足，证明OA是O O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”
例7 如图，AB=AC , D为BC中点，O D与AB切于E点.
求证：AC与O D相切.
证明一：连结DE，作DF丄AC，F是垂足.
??? AB是O D的切
线,
??? DE 丄
AB.
?/ DF 丄
AC ,
???/ DEB= / DFC=900.
?/ AB=AC ,
???/ B= /
C.
又???
BD=CD ,
???△ BDE CDF (AAS )
???
DF=DE.
??? F 在O D
上.
??? AC是O D的切
线
证明二：连结DE , AD，作DF丄AC , F是垂足.
??? AB与O D相
切,
??? DE 丄
AB.
?/ AB=AC , BD=CD ,
c
???/ 仁/2.