第六章 思考题与习题

第六章 思考题与习题

6.1 最小拍设计的要求是什么？在设计过程中怎样满足这些要求？它有什么局限性？

答：最小拍控制是指系统在典型输入信号（如阶跃信号、速度信号、加速度信号等）作用下，经过最少个采样周期使系统输出的稳态误差为零。最小拍控制系统也称最小拍无差系统或最小拍随动系统。显然这种系统对闭环脉冲传递函数的性能要求是快速性和准确性。因此，事实上最小拍控制就是一类时间最优控制，系统的性能指标就是要求调节时间最短。 最少拍控制的定义：

所谓最少拍控制，就是要求闭环系统对于某种特定的输入在最少个采样周期内达到无静差的稳态，且闭环脉冲传递函数具有以下形式

式中N 是可能情况下的最小正整数。这一形式表明闭环系统的脉冲响应在N 个采样周期后变为零，输出保持不变，从而意味着系统在N 拍之内达到稳态。

最少拍系统的设计原则是：若系统广义被控对象G(z)无延迟且在z 平面单位圆上及单位圆外无零极点，要求选择闭环脉冲传递函数Ф(z)，使系统在典型输入作用下，经最少采样周期后能使输出序列在各采样时刻的稳态误差为零，达到完全跟踪的目的，从而确定所需要的数字控制器的脉冲传递函数D(z)。

闭环脉冲传递函数Ф(z)的确定：

由上图可知，误差E(z)的脉冲传递函数为

典型输入函数 对应的z 变换 B(z)是不包含(1-z -1)因子的关于z -1的多项式。

根据z 变换的终值定理，系统的稳态误差为

由于B(z)没有(1-z -1)因子，因此要使稳态误差e(∞)为零，Φe (z) 必须含有(1-z -1)因子，且其幂次数不能低于q ，即

Фe (z)=1-Ф(z)=(1-z -1)Q F(z)

→Ф(z)=1-Фe (z)=1-(1-z -1)Q F(z)

式中，Q ≥q ，F(z)是关于z -1的待定系数多项式。为了使Ф(z)能够实现， F(z)中的首项应取为1，即

1212()N

N z z z z φφφ---Φ=+++L ()()()()1()()()

e E z R z Y z z z R z R z -Φ===-Φ(z)

R(z) E(z)e Φ=1

1()(1)!

q r t t q -=-1()()(1)q

B z R z z -=-1111111()lim(1)()lim(1)()()()lim(1)()(1)e z z e q

z e z E z z R z z B z z z z --→→--→∞=-=-Φ=-Φ-

F(z)=1+f １z -1+f 2z -2+…+f p z -p

可以看出，Ф(z)具有z -1的最高幂次为N=p+Q ，这表明系统闭环响应在采样点的值经N 拍可达到稳态。

为了实现最小拍，Φe (z)中的z -1幂次须为最低。

令Q=q ，特别当P=0时，即F(z)=1时，则所得Φe (z) 既可满足准确性，又可满足快速性要求，于是：系统在采样点的输出可在最少拍 (N min =q 拍)内达到稳态，即为最少拍控制。因此最少拍控制器设计时选择Ф(z)为 Фe (z)=(1-z -1)q

Ф(z)=1－Фe (z)= 1-(1-z -1)q

最少拍控制器D(z)为

典型输入下的最少拍控制系统分析：

(1)单位阶跃输入(q=1) 输入函数r(t)=1(t),其z 变换为

由最少拍控制器设计时选择的Ф(z) =1-(1-z -1)q =z -1

可以得到 进一步求得

以上两式说明，只需一拍(一个采样周期)输出就能跟踪输入，误差为零，过渡过程结束。

(2)单位速度输入(q=2) 输入函数r(t)=t 的z 变换为

由最少拍控制器设计时选择的

Ф(z)=1-(1-z -1)q =1-(1-z -1)2=2z -1-z -2

可以得到

进一步求得 以上两式说明，只需两拍(两个采样周期)输出就能跟踪输入，达到稳态，过渡过程结束。

(3) 单位加速度输入(q=3) 单位加速度输入r(t)=（1/2）t ２ 的Z 变换为

由最少拍控制器设计时选择的

Ф(z)=1-(1-z -1)3=3z -1-3z -2+z -3

可以得到 上式说明，只需三拍(三个采样周期)输出就能跟踪输入，达到稳态。

3.最少拍控制器的局限性

(1)最少拍控制器对典型输入的适应性差 对某一典型输入的响应为最少拍的控制器，对于其q

q

z z G z z z z G z D )1)(()1(1)(1)()(1)(11-----=Φ-Φ=1

1()1R z z -=-[]110121()()()()1()(1)11100e E z R z z R z z z z

z z z ----=Φ=-Φ=-=-=?+?+?+L 112311()()()1Y z R z z z z z z z -----=Φ==+++-L 1

12()(1)Tz R z z --=-[]1

12112()()()()1()(12)(1)e Tz E z R z z R z z z z Tz z -----=Φ=-Φ=-+=-234()()()234Y z R z z Tz Tz Tz ---=Φ=+++L

21113(1)()2(1)T z z R z z ---+=-2122

11()22

E z T z T z --=+Λ+++=Φ=---432)()()(z T z T z T z z R z Y 2222

162923

它典型输入不一定为最少拍！ 一般来说，针对一种典型的输入函数R(z)设计，得到系统的闭环脉冲传递函数Ф(z)，用于次数较低的输入函数R(z)时，系统将出现较大的超调，响应时间也会增，但在采样时刻的误差为零。

反之，当一种典型的最少拍特性用于次数较高的输入函数时，输出将不能完全跟踪输入以致产生稳态误差。

由此可见，一种典型的最少拍闭环脉冲传递函数Ф(z)只适应一种特定的输入而不能适应于各种输入。

(2)最少拍控制器的可实现性问题 最少拍系统设计的物理可实现性指将来时刻的误差值，是还未得到的值，不能用来计算现在时刻的控制量。 亦即D(z)必须是物理可实现的，即当前时刻的输出只取决于当前时刻及过去时刻的输入，而与未来的输入无关。在控制算法中，不允许出现未来时刻的偏差值，这就要求数字控制器D(Z)不能有z 的正幂项，即不能含有超前环节。为使D(z)物理上可实现，Ф(z)应满足的条件是：若广义脉冲传递函数G(z)的分母比分子高N 阶，则确定Ф(z)时必须至少分母比分子高N 阶。

根据上面的分析，设计最小拍系统时，考虑到系统的稳定性和控制器的可实现性，必须考虑以下几个条件：

1) 为实现无静差调节，选择Φe(z) 时，必须针对不同的输入选择不同的形式，通式为 2) 为实现最小拍控制，F(z)应该尽可能简单，F(z)的选择要满足恒等式： Φ(z) + Φe(z) =1

3) 为保证系统的稳定性，Φe(z)的零点应包含G(z)的所有不稳定极点；

4) 为保证控制器D(z)物理上的可实现性，G(z)的所有不稳定零点和滞后因子均包含在闭环脉冲传递函数Φ(z) 中。

(3)最少拍控制的稳定性问题 只有当G(z)是稳定的(即在z 平面单位圆上和圆外没有极点)，且不含有纯滞后环节时，式Ф(z)=1-(1-z-1)q 才成立。

如果G(z)不满足稳定条件，则需对设计原则作相应的限制。

原因：在Ф(z) 中，D(z)和G(z)总是成对出现的，但却不允许它们的零点、极点互相对消。这是因为，简单地利用D(z)的零点去对消G(z)中的不稳定极点，虽然从理论上可以得到一个稳定的闭环系统，但是这种稳定是建立在零极点完全对消的基础上的。当系统的参数产生漂移，或辩识的参数有误差时，这种零极点对消不可能准确实现，从而将引起闭环系统不稳定。

解决方法：在选择Ф(z)时必须加一个约束条件，这个约束条件称为稳定性条件。

6.2 系统如图6-44所示，求r(t)=t 时的最少拍系统的D(z)。

1()(1)()

Q e z z F z -Φ=-

解：（1）广义被控对象

广义被控对象零极点的分布：

圆外极点 无 ，

圆外零点 ，

延时因子

输入函数的阶次

（2）确定期望的闭环结构

取 、 为最低阶，即 、

则：

（3）根据 ，联立方程

得：

（4）确定控制器结构

（5）检验输出响应的跟踪性能

12111111110()(0.11)(0.051)10(1)(0.11)(0.051)0.76(10.035)(1 1.145)(1)(10.135)(10.018)Ts e G z Z s s s s z Z s s s z z z z z z --------??-=???++????=-??++??

++=---0i =1 1.145p =-1j =1z -1r =2p =122()(1)()e z z F z -Φ=-(1)111()()(1 1.145)()r z z z z F z ----Φ=+1()F z 2()F z 1112()F z b b z -=+12()(1)F z cz -=+121111112()(1)(1)()(1 1.145)()e z z c z z z z b b z -----?Φ=-+?Φ=++?()1()e z z Φ=-Φ121 1.180.7150.819b b c =??=-??=?121111111()(1)(10.819)()(1 1.145)(1.180.715) 1.18(1 1.145)(10.606)e z z z z z z z z z z --------?Φ=-+∴?Φ=+-=+-?()()()()e z D z G z z Φ=Φ1111111.55(10.135)(10.018)(10.606)(1)(10.035)(10.819)z z z z z z ---------=-++23412

0.2360.1270.164)()()()(1)z z z Y z z R z z ----+-=Φ=-234523450.2360.5990.7980.9970.2360.60.81z z z z z z z z --------=++++≈++++L

L

6.6 具有纯滞后补偿的控制系统如图6-12所示，采样周期T ＝1s ，对象为

求Smith 预估器的控制算式

解：施密斯预估控制原理：实际工程上设计Smith 预估器时，将其并联在控制器上，对上图作方框图等效变换，得到下图所示的形式。即与D(s)并接一补偿环节，用来补偿被控制对象

中的纯滞后部分。这个补偿环节称为预估器，其传递函数为 ，τ为纯滞后

时间。

则预估器的传递函数为

密斯预估器的输出可按下图计算，在此取PID 控制器前一个采样时刻的输出u(k-1)作为预估器的输入。为了实现滞后环节，在内存中设置N 个单元作为存放信号m(k)的历史数据，存储单元的个数N 由下式决定：

N=τ/T （取整） 式中：τ ——纯滞后时间； T ——采样周期。

图中，u(k-1)是PID 数字控制器上一个采样（控制）周期的输出， y τ(k) 是施密斯预估器的输出。从图中可知，必须先计算传递函数G(s)的输出后，才能计算预估器的输出 (k) 。

221()1

s s G s e e s --=+()

y k τ)1)((s P e s G τ--21()()(1)(1)1s s G s G s e e s

ττ--=-=-+()()()

y k m k m k N τ=--s e τ-+-()y k τu(k-1)m(k)()G s 00()()() ()()()1Ts M s K m t G s T m t Ku t T U s e T s dt

-==+=-+，0()(1)()(1) ()(1)(1)m k m k T m k Ku k m k am k bu k T --+=-=-+-，00()()()

y k m k m k N τ=--[]()(1)(1)(1)y k ay k b u k u k N τ

τ=-+----

也可预估器的传递函数 直接求得

在本题中，对象为

τ＝2 T 0＝1s K ＝1

T ＝1s ——采样周期。

所以，Smith 预估器的传递函数为

其输出表达式为

其中00/()1/2a T T T =+=

(1)1(11/2)1/2b K a =-=-=

N=τ/T ＝2/1＝2

6.9 简述PID 串级控制原理。

答：串级控制是在单回路PID 控制的基础上发展起来的一种控制技术。当PID 控制应用于单回路控制一个被控量时，其控制结构简单，控制参数易于整定。

但是，当系统中同时有几个因素影响同一个被控量时，如果只控制其中一个因素，将难以满足系统的控制性能。串级控制针对上述情况，在原控制回路中，增加一个或几个控制内回路，用以控制可能引起被控量变化的其它因素，从而有效地抑制了被控对象的时滞特性，提高了系统动态响应的快速性。

如加热炉温度控制系统，如果煤气压力恒定，则只需根据温度的偏差量进行温度控制即可，但实际控制中，由于煤气压力的变化，会使得进入加热炉的实际煤气发生变化，不能达到预期的控制效果，因此，在进行阀门开度控制时，根据实时检测的煤气流量变化，修正阀门开度的控制量，可较好解决控制的效果。

[]()(1)(1)(1)y k ay k b u k u k N τ

τ=-+----0()(1)()(1)()1NTs s Ts Y s K e G s e U s e T s ττ----=-=+0()()(1)(1)1s s K G s G s e e T s τττ--=-=-+221()1s s G s e e s --=+21()()(1)(1)1s s G s G s e e s ττ--=-=-+[]

()(1)(1)(1)y k ay k b u k u k N ττ=-+----[]

()1/2(1)1/2(1)(3)y k y k u k u k ττ=-+---

即主回路进行温度控制，副回路进行流量的阀门开度修正，形成串级控制。图中主控制器D1(s)和副回路控制器D2(s)分别表示温度调节器TC和流量调节器FC的传递函数。

串级控制系统中，副回路给系统带来了一系列的优点：

①串级控制较单回路控制系统有更强的抑制扰动的能力，把主要的扰动放在副回路内；

②采用串级控制可以克服对象纯滞后的影响，改善系统的控制性能；

③副控回路是随动系统，能够适应操作条件和负荷的变化，自动改变副控调节器的给定值。

主、副控制器的选型：

对于主控制器，为了减少稳态误差，提高控制精度，应具有积分控制，为了使系统反应灵敏，动作迅速，应加入比例控制，因此主控制器应具有PI控制规律(PID/PI)；

对于副控制器，通常可以选用比例控制，当副控制器的比例系数不能太大时，则应加入积分控制，即采用PI控制规律，副回路较少采用PID控制规律

6.10 前馈控制完全补偿的条件是什么？前馈与反馈相结合有什么好处？

答：按偏差的反馈控制能够产生作用的前提是，被控量必须偏离设定值。就是说，在干扰作用下，生产过程的被控量，必然是先偏离设定值，然后通过对偏差进行控制，以抵消干扰的影响。如果干扰不断增加，则系统总是跟在干扰作用之后波动，特别是系统滞后严重时波动就更为严重。

前馈控制则是按扰动量进行控制的，当系统出现扰动时，前馈控制就按扰动量直接产生校正作用，以抵消扰动的影响。这是一种开环控制形式，在控制算法和参数选择合适的情况下，可以达到很高的精度。

前馈控制的结构和原理

Gn(s)是被控对象扰动通道的传递函数；

Dn(s)是前馈控制器的传递函数；

G(s)是被控对象控制通道的传递函数；

n,u,y分别为扰动量、控制量、被控量。

若要使前馈作用完全补偿扰动作用，则应使扰动引起的被控量变化为零，即Y(s)=0;

假定u1=0,则有Y(s)=Y1(s)+Y2(s)=〔Dn(s)G(s)+Gn(s)〕N(s)

由Y(s)=0得到：Dn(s)G(s)+Gn(s)=0 由此可得前馈控制器的传递函数为前馈－反馈控制结构

() ()

()

n

n

G s D s

G s

=-

因为前馈控制是一个开环系统，所以在实际生产过程中很少单独采用前馈控制的方案，通常采用前馈和反馈控制相结合的方案。

采用前馈与反馈控制相结合的控制结构，既能发挥前馈控制对扰动的补偿作用，又能保留反馈控制对偏差的控制作用。

图6-20给出了前馈－反馈控制结构，由图可知，前馈－反馈控制结构图是在反馈控制的基础上，增加了一个扰动的前馈控制，由于完全补偿的条件未变，因此仍有

6.11 试画出计算机前馈－串级控制系统的框图。

答：前馈－串级控制结构，如图6-21所示。图中 D1(s)、 D2(s)分别为主、副控制器的传递函数； G1(s) 、 G2(s)分别为主、副对象。

6.12 前馈控制结构如图6-19，设被控对象的干扰通道和控制通道的传递函数分别为

采样周期T=1s 。试推导完全补偿前馈控制器 输出 解：

令 则

可得前馈控制器的微分方程 设纯滞后时间τ是采样周期T 的整数倍，即 ，对上式离散化可得到差分方程 41()91s n G s e s -=+21()301s G s e s -=+()n D z ()

n u k ()()/()n n D s G s G s =-()()n

n G s D s =-12

τττ=-122211()()1/()()()1/s n n n U s G s K T s T D s e N s G s K T s T τ-+==-=-?+121212()1()1()()n n du t K T dn t u t n t dt T K T dt T ττ??-+=-+-????mT τ=11()(1)()(1)

n n m m u k Au k B n k m B n k m +=-+-+--

对D n (s)进行离散化处理D n (z)

再对此进行Z 反变换，即可的u n (k)差分方程； 也可先求差分方程，再进行Z 变换的D n (z)

在本题只中：K1＝1，T1＝9， ；K2=1，T2=30， ；T=1 则 ，

111T A T T =+1221()()m f T T T B K T T T +=+12121()m K T B K T T +=+11

212112111

12121212111/()()|11/()()m n n z s T m m z T K T T D z D s e z K T T T

K T T z K T z K T T K T z -----=-----+==-?-+-++=+-12422τττ=-=-=14τ=22τ=/2/12m T τ===11212121212212311()()()1(301)13031301(91)19109m m n K T T z K T z D z K T T K T z z z z z z z ------------++=+--++?-+==+-?-111991910T A T T ===++12121

2212121()()()()1(130)311(19)10

m f T T T K T T T T B K T T T K T T T T ++==-++?+=-=-?+12121130303()1(19)10m K T B K T T +?====++11()(1)()(1)931(1)(2)3(3)1010n n m m n u k A u k B n k m B n k m u k n k n k +=-+-+--=---+-