初中数学教材中体现出的基本数学思想

浅谈初中数学教材中的数学思想方法

池州十一中学王岩

摘要：掌握数学思想方法是提高学生数学素质的必要条件，初中数学教材中处处渗透着数学思想方法。本文就几种重要的数学思想方法——数形结合、化归、分类、整体、类比、特殊与一般及其在教材中的体现做些简单的介绍。

关键词：初中数学、数学思想方法

所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识，它是数学学习的精髓。初中数学教材涉及的数学思想很多，这里就几种主要的数学思想及其在教材中的体现作一小结。

一、数形结合的思想

数形结合思想是数学中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。通常认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题的目的。

初中数学教材中下列内容体现了这种思想：数轴上的点与实数的一一对应的关系；平面上的点与有序实数对的一一对应的关系；函数式与图象之间的关系；线段（角）的和、差、倍、分等问题，充分利用数来反映形；解直角三角形，求角度和边长，引入了三角函数，这是用代数方法解决几何问题；“圆”这一章中，圆的定义，点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系等都是化为数量关系来处理的；统计中的绘制统计图表，用这些图表来反映数据的分布情况、发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数据扮布情况，发展趋势等。这是数形结合思想在实际中的直接应用。

二、化归思想

在整个初中数学中，化归思想一直贯穿其中。所谓“化归”从字面上可以理解为转化和归结。把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另一个问题，再通过该问题的求解，把解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的方法，称之为化归法。但有一个原则是和原来的问题相比，“化归”后所得出的问题，应是已经解决或是较为容易解决的问题。从而求得新问题的解决。它是数学基本思想方法之一。下列内容体现了这种思想：分式方程的求解是把分式方程转化为前面学过的一元一次方程或一元二次方程求解，体现了化归思想；解直角三角形，把非直角三形问题化为直角三角形问题，把实际问题转化为数学问题；“圆”这一章中，证明圆周角定理所进行的分析，求两圆的切线长的问题。这些转化都是通过辅助线来完成的；把三角形或多边形中的某种线段或面积问题化为相似比问题来解决等等。

三、分类思想

为了解决数量关系复杂，甚至盘根错节的数学问题，人们需要根据数学对象的本质属性，

将数学对象科学地分类，以便有序地逐类讨论与研究，从而全面地解决数学问题．我们把这个解决问题的思想与方法，称为数学的“分类讨论的思想方法”。分类讨论既是一种重要的数学思想方法，也是数学的一种基本解题策略，其原则是：分类对象是确定的，分类标准是同一的，分类方法是科学的，因而分类必须是不重复、不遗漏的。例如：有理数的分类、整式的分类、实数的分类、角的分类，三角形的分类、四边形的分类、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关生活经验等都是通过分类讨论的。

四、整体思想：

从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。

五、类比思想

初中数学中的类比，处处可见。何为“类比”，波利亚曾说过：“类比是一个伟大的引路人”。在中学数学中,由两个数学系统中所含元素的属性在某些方面相同或相似,推出它们的其他属性也可能相同或相似的思维形式被称为类比推理,运用类比推理的模式解决数学问题的方法称为类比法。类比既是一种逻辑方法,也是一种科学研究的方法,是最重要的数学思想方法之一。例如：不等式的性质，一元一次不等式的解法等内容多采取与等式的性质，一元一次方程的解法等做类比；通过有理数的相反数、绝对值、运算律等得到实数的相反数、绝对值、运算律等知识；在二次根式加减的运算中，指出“合并同类二次根式与合并同类项”类似。因此，二次根式的加减可以对比整式的加减进行；角的度量、角的比较大小、角的平分线、角的和、差、倍、分，可与线段的相关知识进行类比；度、分、秒的运算可与时、分、秒的运算进行类比；相似多边形的性质和相似三角形的性质类比；用数的运算所具有的性质，去探索式的同类运算也具有这样的性质，整式学习中，是由数的性质推知式的性质的；由数的加减推知式的加减的。

六、特殊与一般思想

特殊与一般的思想是中学数学的重要思想之一，有些特殊问题的解决，需要我们通过一般性规律的研究来处理；而对于具有一般性的问题，我们也常通过考察其特殊情况（如特殊图形、特殊位置、特殊取值等）揭示其一般规律.这种特殊与一般的辩证思想往往贯穿于整个解题过程之中.通过特殊化能使我们认识问题更加全面，而将问题一般化能使我们认识问题更加深刻.“从特殊到一般，再由一般到特殊”正是这一数学思想的具体体现。例如：“整式乘除”这一章，首先从数的运算特例中，抽象概括出幂的一般运算性质。而乘法公式的推导则是采用从一般到特殊的推导过程。

以上是本人对初中数学教材中体现的数学思想方法的小结。《义务教育初中数学教学大纲》已经把数学思想方法列为数学基础知识，教师应增强数学思想方法的教学意识，在今后的教学过程中渗透数学思想方法内容。