立体几何第一讲 空间几何体与点线面位置关系(教师)

立体几何第（1）空间几何体

知识点1空间几何体的结构、三视图和直观图

1．多面体的结构特征

(1)棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是全等的多边形．

(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．

(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．

2．旋转体的结构特征

(1)圆柱可以由矩形绕一边所在直线旋转一周得到．

(2)圆锥可以由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周得到．

(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线旋转一周或等腰梯形绕上下底面中心所在直线旋转半周得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到．

(4)球可以由半圆面绕直径旋转一周或圆面绕直径旋转半周得到．

3．空间几何体的三视图

空间几何体的三视图是用平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图．

4．空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：

(1)画几何体的底面

在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．

(2)画几何体的高

在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．

考向一空间几何体的结构特征

【例1】(2012·天津质检)如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是()．

A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等

B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补

C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆

D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

[审题视点] 可借助几何图形进行判断．

解析如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即A正确；底面四边形必有一个外接圆，即C正确；在高线上可以找到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)．故仅命题B为假命题．选B.

答案 B

【训练1】以下命题：

①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；

②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．

其中正确命题的个数为()．

A．0 B．1 C．2 D．3

解析命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥．命题②错，因这条腰必须是垂直于两底的腰．命题③对．命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行．答案 B

考向二空间几何体的三视图

【例2】(2011·全国新课标)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为()．

答案 D

【训练2-1】(2011·浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直

观图可以是()．

解析A中正视图，俯视图不对，故A错．B中正视图，侧视图不对，故B错．C中侧视图，俯视图不对，故C错，故选D.

答案 D

【训练2-2】(2011·山东)右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图，俯视图如右图．其中真命题的个数是()．

A．3 B．2 C．1 D．0

[解答]如图①②③的正(主)视图和俯视图都与原题相同，故选A.

答案 A

考向三空间几何体的直观图

【例3】已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()．

A.

3

4a

2 B.

3

8a

2 C.

6

8a

2 D.

6

16a

2

[审题视点] 画出正三角形△ABC的平面直观图△A′B′C′，求△A′B′C′的高即可．解析如图①②所示的实际图形和直观图．

由斜二测画法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝1

2OC＝

3

4a，

在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，

则C′D′＝

2

2O′C′＝

6

8a.

∴S△A′B′C′＝1

2A′B′·C′D′＝

1

2×a×

6

8a＝

6

16a

2.

答案 D

直接根据水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法规则即可得到平面图形的面积是其直观图面积的22倍，这是一个较常用的重要结论．

【训练3】如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是()．

A．正方形B．矩形

C．菱形D．一般的平行四边形

解析将直观图还原得?OABC，则

∵O′D′＝2O′C′＝2 2 (cm)，

OD＝2O′D′＝4 2 (cm)，

C ′

D ′＝O ′C ′＝2 (cm)，∴CD ＝2 (cm)， OC ＝CD 2＋OD 2＝22＋42

2＝6 (cm)，

OA ＝O ′A ′＝6 (cm)＝OC ， 故原图形为菱形． 答案 C

知识点2 空间几何体的表面积与体积 1．柱、锥、台和球的侧面积和体积

面 积 体 积 圆柱 S 侧＝2πrh V ＝Sh ＝πr 2h

圆锥

S 侧＝πrl

V ＝13Sh ＝13πr 2h ＝1

3πr 2l 2－r 2

圆台 S 侧＝π(r 1＋r 2)l

V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h ＝13π(r 2

1

＋r 22＋r 1r 2)h

直棱柱 S 侧＝Ch V ＝Sh 正棱锥 S 侧＝1

2Ch ′

V ＝13

Sh

正棱台 S 侧＝1

2(C ＋C ′)h ′

V ＝1

3

(S 上＋S 下＋S 上S 下)h

球

S 球面＝4πR 2

V ＝43

πR 3

(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．

(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．

考向一 几何体的表面积

【例1】(2011·安徽)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

( )．

A ．48

B ．32＋817

C．48＋817 D．80

[审题视点] 由三视图还原几何体，把图中的数据转化为几何体的尺寸计算表面积．

解析换个视角看问题，该几何体可以看成是底面为等腰梯形，高为4的直棱柱，且等腰梯形的两底分别为2,4，高为4，故腰长为17，所以该几何体的表面积为48＋817.

答案 C

【训练1】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于()．A. 3 B．2

C．2 3 D．6

解析由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为2的正三角形、侧棱为1的

直三棱柱，则此三棱柱的侧面积为2×1×3＝6.

答案 D

考向二几何体的体积

【例2-1】?(2011·广东)如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为()．

A．18 3 B．12 3 C．9 3 D．6 3

[审题视点] 根据三视图还原几何体的形状，根据图中的数据和几何体的体积公式求解．

解析该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示，由题知该几何体的底面是边长为3的正方形，高为3，故V＝3×3×3＝9 3.

答案 C

以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解．【例2-2】一个多面体的直观图及三视图如图所示（其中E、F分别是PB、AD的中点）.

（Ⅰ）求证：EF⊥平面PBC；

（Ⅱ）求三棱锥B —AEF 的体积。

【训练2】 (2012·东莞模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )．

A.283π

B.16

3π C.4

3

π＋8 D ．12 π 解析 由三视图可知，该几何体是底面半径为2，高为2的圆柱和半径为1的球的组合体，则该几何体的体积为π×22×2＋43π＝28

3π.

答案 A

考向三 空间多面体与球的关系

【例3-1】.如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果16

3

P ABCD V -=

，则球O 的表面积是 A. 4π B. 8π C. 12π D. 16π

【例3-2】直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA 1=2,∠BAC=120°,求此球的表面积。

【训练3-1】半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长

为6，求球的表面积和体积．

【训练3-2】已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且

2AB BC CA ===，求球的表面积

解：设截面圆心为O '，连结O A '，设球半径为R ，

则23232323

O A '=

??=， 在Rt O OA '?中，2

2

2

OA O A O O ''=+， ∴2

22

231()34

R R =+， ∴43

R =

， ∴2

64

49

S R ππ==。

考向四 几何体的展开与折叠

【例4】?(2012·广州模拟)如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体DABC ，如图2所示．

(1)求证：BC ⊥平面ACD ； (2)求几何体DABC 的体积．

[审题视点] (1)利用线面垂直的判定定理，证明BC 垂直于平面ACD 内的两条相交线即可；(2)利用体积公式及等体积法证明． (1)证明 在图中，可得AC ＝BC ＝22，

从而AC 2＋BC 2＝AB 2，故AC ⊥BC ， 取AC 的中点O ，连接DO ，

则DO ⊥AC ，又平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，DO ?平面ADC ，从而

DO ⊥平面ABC ，∴DO ⊥BC ，

又AC ⊥BC ，AC ∩DO ＝O ，∴BC ⊥平面ACD .

(2)解 由(1)可知，BC 为三棱锥BACD 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2，∴V BACD ＝ 13S △ACD ·BC ＝13×2×22＝423

， 由等体积性可知，几何体DABC 的体积为423.

知识点3 空间点、直线、平面之间的位置关系 1．平面的基本性质

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． (2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．

(3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类

??

?

共面直线???

??

平行相交异面直线：不同在任何一个平面内

(2)异面直线所成的角

①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)． ②范围：???

?0，π2. 3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况． 4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 5．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

6．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

考向一 平面的基本性质

【例1】正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、B 1C 1的中点，那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是( )．

A ．三角形

B ．四边形

C ．五边形

D ．六边形

[审题视点] 过正方体棱上的点P 、Q 、R 的截面要和正方体的每个面有交线．