一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案)

一元二次不等式及其解法

1.一元一次不等式解法

任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式. 当a ＞0时，解集为；当a ＜0时，解集为. 2.一元二次不等式及其解法

(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式.

(2)使某个一元二次不等式成立的x 的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________.

(3)一元二次不等式的解：

(1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0，左边化为的形式. (2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如： ?f (x )g (x )＞0；＜0 ?f (x )g (x )＜0； ≥0 ?≤0 ?

()已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( ) A.[－2，－1] B.[－1，2) C.[－1，1]

D.[1，2)

解：∵A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}＝[－2，

－1].故选A .

设f (x )＝x 2＋bx ＋1且f (－1)＝f (3)，则f (x )>0的解集为( ) A.{x |x ∈R }

B.{x |x ≠1，x ∈R }

C.{x |x ≥1}

D.{x |x ≤1}

解：f (－1)＝1－b ＋1＝2－b ，f (3)＝9＋3b ＋1＝10＋3b ，由f (－1)＝f (3)，得2－b ＝10＋3b ，

解出b ＝－2，代入原函数，f (x )>0即x 2－2x ＋1>0，x 的取值范围是x ≠1.故选B.

已知－12<1

x <2，则x 的取值范围是( )

A.－2

B.－1

C.x <－1

或x >2

D.x <－2或x >1

解：当x >0时，x >1

2；当x <0时，x <－2.

所以x 的取值范围是x <－2或x >1

2，故选D.

不等式1－2x

x ＋1

＞0的解集是.

解：不等式1－2x

x ＋1>0等价于(1－2x )(x ＋1)＞0，

也就是????x －12(x ＋1)＜0，所以－1＜x ＜12. 故填.

()若一元二次不等式2kx 2＋kx －＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为

________.

解：显然k ≠0.若k ＞0，则只须(2x 2＋x )max ＜，解得k ∈?；若k ＜0，则只须＜(2x 2＋x )min ，解得k ∈(－3，0).故k 的取值范围是(－3，0).故填(－3，0).

类型一一元一次不等式的解法

已知关于x 的不等式(a ＋b )x ＋2a －3b ＜0的解集为?

???－∞，－1

3，求关于x 的不等式(a －3b )x ＋b －2a ＞0的解集.

解：由(a ＋b )x ＜3b －2a 的解集为????－∞，－1

3，得a ＋b ＞0，且3b －2a a ＋b

＝－1

3，

从而a ＝2b ，则a ＋b ＝3b ＞0，即b ＞0，将a ＝2b 代入(a －3b )x ＋b －2a ＞0，

得－bx －3b ＞0，x ＜－3，故所求解集为(－∞，－3). 点拨：

一般地，一元一次不等式都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式.挖掘隐含条件a ＋b ＞0且3b －2a a ＋b

＝－1

3是解本题的关键.

解关于x 的不等式：(m 2－4)x ＜m ＋2.

解：(1)当m 2－4＝0即m ＝－2或m ＝2时， ①当m ＝－2时，原不等式的解集为?，不符合 ②当m ＝2时，原不等式的解集为R ,符合 (2)当m 2－4＞0即m ＜－2或m ＞2时，x ＜1

m －2.

(3)当m 2－4＜0即－2＜m ＜2时，x ＞1

m －2

类型二一元二次不等式的解法

解下列不等式：

(1)x 2－7x ＋12＞0; (2)－x 2－2x ＋3≥0； (3)x 2－2x ＋1＜0; (4)x 2－2x ＋2＞0. 解：(1){x |x ＜3或x ＞4}. (2){x |－3≤x ≤1}. (3)?.

(4)因为Δ＜0，可得原不等式的解集为R .

(2013·金华十校联考)已知函数f (x )＝?????－x ＋1，x ＜0，

x －1，x ≥0，

则不等式x ＋(x ＋1)f (x

＋1)≤1的解集是( )

A.{x |－1≤x ≤2－1}

B.{x |x ≤1}

C.{x |x ≤2－1}

D.{x |－2－1≤x ≤2－1} 解：由题意得不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1等价于①

????x ＋1＜0，

x ＋（x ＋1）[－（x ＋1）＋1]≤1或 ②?

????x ＋1≥0，x ＋（x ＋1）[（x ＋1）－1]≤1，解不等式组①得x ＜－1；解不等式组②得－1≤x ≤2－1. 故原不等式的解集是{x |x ≤2－1}.故选C.

类型三二次不等式、二次函数及二次方程的关系

已知关于x 的不等式x 2－bx ＋c ≤0的解集是{x |－5≤x ≤1}，求实数b ，c 的值. 解：∵不等式x 2－bx ＋c ≤0的解集是{x |－5≤x ≤1}， ∴x 1＝－5，x 2＝1是x 2－bx ＋c ＝0的两个实数根，

∴由韦达定理知?

????－5＋1＝b ，－5×1＝c ，∴?????b ＝－4，c ＝－5.

已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，求不等式cx 2－bx ＋a ＞0的

解集.

解：∵不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，

∴a ＜0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系得

?????－b

a ＝2＋3，c a ＝2×3，

a ＜0.

即?????b ＝－5a ，c ＝6a ，a ＜0. 代入不等式cx 2－bx ＋a ＞0，得6ax 2＋5ax ＋a >0(a ＜0). 即6x 2＋5x ＋1＜0，

∴所求不等式的解集为?

??x |－12＜x ＜－13.

类型四含有参数的一元二次不等式

解关于x 的不等式：mx 2－(m ＋1)x ＋1＜0.

解：(1)m ＝0时，不等式为－(x －1)＜0，得x －1＞0，不等式的解集为{x |x ＞1}；

(2)当m ≠0时，不等式为m ????x －1

m (x －1)＜0. ①当m ＜0，不等式为????x －1

m (x －1)＞0， ∵1m ＜1，∴不等式的解集为????

x |x ＜1m 或x ＞1. ②当m ＞0，不等式为???

?x －1

m (x －1)＜0. (Ⅰ)若1m ＜1即m ＞1时，不等式的解集为??????

x |1m ＜x ＜1；

(Ⅱ)若1m ＞1即0＜m ＜1时，不等式的解集为???

???x |1＜x ＜1m ；

(Ⅲ)若1

m ＝1即m ＝1时，不等式的解集为?.

点拨：

当x 2的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对m ≠0与m ＝0进行讨论，这是第一层次；第二层次：x 2的系数正负(不等号方向)

的不确定性，对m ＜0与m ＞0进行讨论；第三层次：1

m 与1大小的不确定性，对m ＜1、m

＞1与m ＝1进行讨论.

解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ).

解：不等式整理为ax 2＋(a －2)x －2≥0，当a ＝0时，解集为(－∞，－1].

当a ≠0时，ax 2＋(a －2)x －2＝0的两根为－1，2

a ，所以当a ＞0时，

解集为(－∞，－1]∪????2

a ，＋∞；当－2＜a ＜0时，解集为????2a ，－1；当a ＝－2时，解集为{x |x ＝－1}；

当a ＜－2时，解集为?

???－1，2a . 类型五分式不等式的解法

(1)解不等式x －1

2x ＋1

≤1.

解：x －12x ＋1≤1 ?x －12x ＋1－1≤0 ?－x －22x ＋1≤0 ?x ＋22x ＋1

≥0.

x ＋2

2x ＋1≥0 ??

????（x ＋2）（2x ＋1）≥0，2x ＋1≠0. 得{xx ＞－1

或x ≤－2}.

※(2)不等式x －2

x 2＋3x ＋2＞0的解集是.

解：x －2x 2＋3x ＋2＞0?x －2

（x ＋2）（x ＋1）＞0?

(x －2)(x ＋2)(x ＋1)＞0，

数轴标根得{x |－2＜x ＜－1或x ＞2}，故填{x|－2＜x ＜－1或x ＞2}. 点拨：

分式不等式可以先转化为简单的高次不等式，再利用数轴标根法写出不等式的解集，如果该不等式有等号，则要注意分式的分母不能为零.※用“数轴标根法”解不等式的步骤：(1)移项：使得右端为0(注意：一定要保证x 的最高次幂的项的系数为正数).(2)求根：就是求出不等式所对应的方程的所有根..(3)标根：在数轴上按从左到右(由小到大)依次标出各根(不需标出准确位置，只需标出相对位置即可).(4)画穿根线：从数轴“最右根”的右上方向左下方画线，穿过此根，再往左上方穿过“次右根”，一上一下依次穿过各根,“奇穿偶不穿”来记忆.(5)写出不等式的解集：若不等号为“＞”，则取数轴上方穿根线以内的范围；若不等号为“＜”，则取数轴下方穿根线以内的范围；若不等式中含有“＝”号，写解集时要考虑分母不能为零.

(1)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝????

x |x －2x ≤0，则A ∩B ＝( )

A.{x |－1≤x ＜0}

B.{x |0＜x ≤1}

C.{x |0≤x ≤2}

D.{x |0≤x ≤1}

解：易知A ＝{x |－1≤x ≤1}，B 集合就是不等式组?

????x （x －2）≤0，

x ≠0的解集，求出B ＝

{}x |0＜x ≤2，所以A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}.故选B.

(2)不等式≤0的解集为( ) A.B.

C.∪[1，＋∞)