(完整版)相似三角形题型归纳

三角形题型归纳

一、线段比例问题（构造平行）

1、下图中，E为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，AE∶EC=1∶3，BE的延长线交CD的延长线于G，交AD于F，求证：BF∶FG=1∶2.

2、已知：如图，在直角三角形ABC中，∠BAC= 90°，AB= AC，D为BC的中点，E为AC上一点，点G在BE上，连结DG并延长交AE于F，若∠FGE= 45°，（1）求证：BD·BC= BG·BE；（2）求证：AG⊥BE；（3）若E为AC的中点，求EF∶FD的值。

3、如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交

AD于F，OE⊥OB交BC边于点E．（1）求证：△ABF∽△COE；（2）当O为AC的中点，时，

如图2，求的值；（3）当O为AC边中点，时，请直接写出的值．

4、如图，四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，点R 为DE 的中点，BR 分别交AC CD ，于点P Q ，．（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；（2）求

::BP PQ QR ．

二、相似比乘积处理方法（逆向和正向分析找解题思路）

1、如下图，已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC,EM 是AD 的中垂线，交BC 延长线于E.求证：DE 2

=BE·CE.

2、过△ABC 的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 和E ，求证：AE∶ED=2AF∶FB.

3、如果四边形ABCD 的对角线交于O ，过O 作直线OG∥AB 交BC 于E ，交AD 于F ，交CD 的延长线于G ，求证：OG 2

=GE·GF.

A B

D E

O R

4、已知如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F。

求证：

5、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E.求证：（1）△AED∽△CBM；（2）

6、如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H。求证：（1）DG2＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH

7、已知如图，P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD、BC、CD的延长

线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H.求证：

8、（1）如图1，点在平行四边形ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交BA，BC的延长线于点Q，S，交于点．求证：（2）如图2，图3，当点在平行四边形ABCD的对角线或的延长线上时是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）；

三、构造相似辅助线——A、X字型

1、如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。求证：

2、四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC平分∠DAB。求证：

3、如图，过平行四边形ABCD 的顶点A 的直线交BD 于P ，交CD 于Q ，并交BC 的延长线于R ，

求证：22

PD PR PQ

四、相似类定值问题

1、如图，在等边△ABC 中，M 、N 分别是边AB ，AC 的中点，D 为MN 上任意一点，BD 、CD 的延长线分别交AC 、AB 于点E 、F ．求证：．

2、已知，在△ABC 中作内接菱形CDEF ，设菱形的边长为a ．求证：．

3、如图，在△ABC 中，已知CD 为边AB 上的高，正方形EFGH 的四个顶点分别在△ABC 上。

求证：．

4、如图所示，?ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求证：．

5、一条直线截△ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F．求证：．

6、已知：P为?ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：．

五、证明线段相等

1、在等腰ABC Δ，AC AB 分别过点B 、C 作两腰的平行线，经过点A 的直线与两平行线

分别交于点D 、E ，连接DC ，BE ，DC 与AB 边相交于点M ，BE 与AC 边相交于点N 。(1)如图1，若CB DE //，写出图中所有与AM 相等的线段，并选取一条给出证明。(2)如图2，若DE 与CB 不平行，在(1)中与AM 相等的线段中找出一条仍然与AM 相等的线段，并给出证明。

2、在面积为24的△ABC 中，矩形DEFG 的边DE 在AB 上运动，点F 、G 分别在BC 、AC 上。（1）若AE ＝8，DE ＝2EF ，求GF 的长；（2）若∠ACB ＝90°，如图2，线段DM 、EN 分别为△ADG 和△BEF 的角平分线，求证：MG ＝NF ；（3）请直接写出矩形DEFG 的面积的最大值。

3、在△ABC 中，点D 从A 出发，在AB 边上以每秒一个单位的速度向B 运动，同时点F 从B 出发，在BC 边上以相同的速度向C 运动，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ．运动时间为t 秒．（1）若AB ＝5，BC ＝6，当t 为何值时，四边形DFCE 为平行四边形；（2）连接AF 、CD ．若BD ＝DE ，求证：∠BAF ＝∠BCD ；（3）AF 交DE 于点M ，在DC 上取点N ，使MN ∥AC ，连接FN ． ①求证：BF CF ＝

；②若AB ＝5，BC ＝6，AC ＝4，当MN ＝FN 时，请直接写出t 的值．

D E

B C

六、对应练习题

1、如下图，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 的三等分点，CM 为AB 上的中线，CM 分别交AE 、AD 于F 、G ，则CF∶FG∶GM=5∶3∶2

2、已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝∠D，点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF＝∠ACD，试探究AE与EF之间的数量关系。（1）如图1，若AB＝BC＝AC，则AE与EF之间的数量关系是什么；（2）如图2，若AB＝BC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想，并加以证明；（3）如图3，若AB＝kBC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想，并加以证明

3、在Rt△ABC，∠C=90°，D为AB边上一点，点M、N分别在BC、AC边上，且DM⊥DN．作MF⊥AB于点F，NE⊥AB于点E．（1）特殊验证：如图1，若AC=BC，且D为AB中点，求证：DM=DN，AE=DF；（2）拓展探究：若AC≠B C．①如图2，若D为AB中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；②如图3，若BD=kAD，条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”，其它条件不变，请探究AE与DF的数量关系并加以证明．

F G 图1

4、（1）如图1，在△ABC 中，点D ，E ，Q 分别在AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE 于点

P ．求证：QC PE

BQ DP

．（2）如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上，连接AG ，AF 分别交DE 于M ，N 两点．①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN

的长；②如图3，求证MN 2

=DM·EN ．

5、已知线段OA ⊥OB ，C 为OB 上中点，D 为AO 上一点，连AC 、BD 交于P 点．（1）如图1，当OA=OB 且D 为AO 中点时，求PC AP 的值；（2）如图2，当OA=OB ，AO AD =4

时，求tan ∠BPC ；

6、如图1，D 是△ABC 的 BC 边上的中点，过点D 的一条直线交AC 于F ，交BA 的延长线于E ，AG ∥BC 交EF 于G ，我们可以证明EG ·DC=ED ·AG 成立（不要求考生证明）.（1）如图2，若将图1中的过点D 的一条直线交AC 于F ，改为交CA 的延长线于F ，交BA 的延长线于E ，改为交BA 于E ，其它条件不变，则EG ·DC=ED ·AG 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（2）根据图2，请你找出EG 、FD 、ED 、FG 四条线段之间的关系,并给出证明;（3）如图3, 若将图1中的过点D 的一条直线交AC 于F ，改为交CA 的反向延长线于F.其它条件不变，则（2）得到的结论是否成立？

D C

P O A

B 图 1

C P

O A

B 图 2

C D

图3

B C

G 图2

7、已知：在△ABC中AB＝AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF 的延长线上，∠BAE＝∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE＝∠DBM．（1）如图1，当∠ABC＝45°

时，求证：AE＝2MD；（2）如图2，当∠ABC＝60°时，则线段AE、MD之间的数量关系

2，为：。（3）在（2）的条件下延长BM到P，使MP＝BM，连接CP，若AB＝7，AE＝7

求tan∠ACP的值．

8、如图13，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝2∠BCD＝2a，点E在AD上，点F在DC上，且∠BEF=∠A.（1）∠BEF=_____(用含a的代数式表示)；（2）当AB＝AD时，猜想线段EB、EF的数量关系，并证明你的猜想；（3）当AB≠AD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD 的延长线上，且AE＞AB，AB＝mDE，AD＝nDE”，其他条件不变（如图14），求EB/EF的值（用含m、n的代数式表示）。