第四章 (专升本)常微分方程
第四章 常微分方程
第一讲 常微分方程的概念
一、填空题： 1、 微分方程
1sin 2=+''-'''x y y 的阶数为__________。
2、 设某微分方程的通解为()x
e
x c c y 221+=，且00
==x y
，10
='
=x y 则
___________1=c ，_____________2=c 。
3、 通解为x
ce y =（c 为任意常数）的微分方程是___________。 4、 满足条件()()20
2
x
f x f x dx x +=?
的微分方程是__________。
5、 y y x 4='得通解为__________。
6、
1+=y dx
dy
的满足初始条件()10=y 的特解为__________。 7、 设()n c c c x y y ???=,,,21是微分方程12=+'-'''y y x y 的通解，则任意常数的个数
__________
=n 。 8、 设曲线()x y y =上任意一点()y x ,的切线垂直于该点与原点的连线，则曲线所满足的微
分方程为___________。
二、求下列微分方程满足初始条件的特解： 1、y y x y ln sin ='，e y x ==
2
π 2、()
0sin 1cos =-+-ydy e ydx x ，4
π
=
=x y
3、y
x e y -='2，00
==x y
4、xdx y xdy y sin cos cos sin =，4
π
=
=x y
三、求下列微分方程得通解：
1、122
2+='y y y x 2、2211y y x -='-
3、0ln =-'y y y x
4、by ax e dx
dy
+=
5、022=---'x y y y x
6、x
y y dx dy x
ln =
四、验证函数x
e c x c y 21+=是微分方程()01=-'+''-y y x y x 的通解，并求满足初始条件
1,10
='
-===x x y y
的特解。
五、验证函数2
2
x x y -
=是微分方程x y y x =-''22
的解。
第二讲 一阶微分方程
一、填空题 ：
1、设)(x y *
是)()(x q y x p y =+'的一个特解，)(x Y 是该方程对应的齐次线性方程
0)(=+'y x p y 的通解，则该方程的通解为.__________；
2、已知x
e x y =*
)(是x y x p y x =+')(的一个特解，则________)(=x p ，该一阶线性方程的通解为_______+=x
e y ；
3、齐次方程x
y
y dx dy x
ln =作变换__________可化为分离变量的微分方程__________，且通过此方法可求得该齐次方程的通解为___________；
4、微分方程y
x xy y dx dy --=2
不是一阶线性微分方程，但是将x 看作因变量，而将y 看作自变量，则可化为一阶线性微分方程____________，进而用此方法可求得该方程的通解为_____________。 二、求解下列微分方程：
1、x
x
e y y e ='+)1( 2、x
y x y y x tan =-'
3、0)2()2(2
222=-++-+dy x xy y dx y xy x 11
==x y
三、求下列微分方程的通解
1、0)sin (2
=-+dx y y x xdy 2、232
++=+'x x y y x
3、x
e x y y sin cos -=+' 4、(
)
0223
=--ydx dy y x
四、求一曲线的方程：这曲线过原点，并且它在点()y x ,处的切线斜率等于y x +2。
第三讲 二阶常系数线性微分方程
一、填空题：
1、 已知x y sin 1=和x y cos 2=是0=+'+''qy y p y （q p ,均为常数）的两个解，则该方
程的通解为__________。
2、 02=+'-''y y y 的通解为___________。
3、 042=+'-''y y y 的通解为____________。
4、 067=+'-''y y y 的通解为____________。
5、 设二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程的两个根为i r 211+=，i r 212-=，则该
二阶常系数齐次线性微分方程为____________。
6、 设4,321==r r 为方程0=+'+''qy y p y （其中q p ,均为常数）的特征方程的两个根，
则该方程的通解为____________。
7、 微分方程x
xe y y y =+'+''2的特解可设为形如 __________)(=*x y 8、 设x
x
e
y e y x y -===321,,均是)(x f qy y p y =+'+''（其中q p ,都是常数）的三个
特解，则该方程的通解为 ________________
9、 已知)(x f qy y p y =+'+''（其中q p ,都是常数）有特解2
1x
y =
，且其对应的齐次方程
=+'+''qy y p y 有特解
x e y x e y x x s
i
n ,c o s 32--==，
则
____)(_________,
__
______,x f q p == 10*、已知q p ,都为常数，设)(1x y 为)(1x f qy y p y =+'+''的一个特解。)(2x y 是
)(2x f qy y p y =+'+''的一个特解，则)()(21x y x f qy y p y +=+'+''用)(1x y 和)
(2x y 表示的一特解为__________________ 二、求下列方程的通解：
1、02=-'+''y y y
2、0=+''y y
3、044=+'-''y y y
4、02='-''y y
5、04='-''y y
6、0136=+'+''y y y
三、求下列方程的通解
1、x y y y 2345-=+'+''
2、x
e x y y y 3)1(96+=+'-''
3、125522--='+''x x y y
4、x
e y y y 22=-'+''
四、求下列方程的特解： 1、10;6,03400
='==+'-''==x x y y y y y
2、15;0,02940
0='
==+'+''==x x y y y y y
3、5;2,0250
='
==+''==x x y y y y
4、 0;2,0440
='
==+'+''==x x y y y y y
五、求下列方程的特解： 1、1;0,40
='
==-''==x x x
y y xe y y
2、2;1,5230
='
==+'-''==x x y y y y y
3、1;1,02sin ='
==++''==π
π
x x y y
x y y
单元复习题
一、填空题：
1、方程023=+'-''y y y 的通解是__________。
2、求微分方程x e
y y y x
cos 442-=+'+''的一个特解*y 时，应设特解的形式为
___________*=y
3、124
3
2
2
+=+'+'''x y x y x y x 是______阶微分方程。 4、以2cx y =为通解的微分方程是__________。
5、
x
y
x y dx dy tan +=的通解为___________。 6、微分方程x
y x y y x 2cos +='的通解是__________。 二、选择题：
1、微分方程()04
3
='-'+''y y y x y xy 的阶数是（ ）
(A)3 (B)4 (C)5 (D)2
2、在下列函数中，能够是微分方程0=+''y y 的解的函数是（ ） (A)1=y (B)x y = (C)x y sin = (D)x
e y =
3、下列方程中是一阶线性方程的是（ ） (A)()0ln 3=--xdy xdx y (B) ()x y y dx
dy
x
ln ln -= (C) x x y y x sin 2
2
+=' (D)02=-'+''y y y 4、方程的3=+'y y x 通解是（ ） (A)3+=
x c y (B) c x y +=3 (C)3--=x c y (D)3-=x
c y 5、微分方程
0=+x
dy
y dx 满足初始条件43
==x y 的特解是（ ）
(A)252
2=+y x (B)c y x =+43 (C)c y x =+2
2
(D)72
2
=-x y 6、微分方程(
)012
='--y x y x
的通解是（ ）
(A)2
1x c y -= (B)2
1x c y -= (C)2
2
x cxe
y -= (D)cx x y +-
=3
2
1 7、微分方程()
1
12
+=+
'x x x y y 的通解是（ ） (A)c x +arctan (B)
()c x x +arctan 1
(C)c x x +arctan 1 (D)x
c x +arctan 8*、微分方程ydy x xdx y ln ln =满足初始条件11
==x y
的特解是（ ）
(A)0ln ln 2
2
=+y x (B)1ln ln 2
2
=+y x (C)y x 2
2
ln ln = (D)1ln ln 2
2
+=y x 三、求下列方程的通解或特解： 1、y x e dx
dy
+= 2、()dx x xy y dy x 222+-=
3、01221=???? ??-+???
? ??+dy y x e dx e y x
y x 4、x
e y dx dy -=+ 5、x y dx
dy
x
22=- 6、
221y x dx dy +=
7、02=-'-''y y y 8、x
e y y y -=+'+''265
9、()()10,00,1684='==+'-''y y e y y y x
10、()()50,00,043-='==-'-''y y y y y
四、已知函数()()∞<<∞-x x f 满足（1）)()(x f x f ''='；（2）2)0(,1)0(='=f f ，求()x f 。
五、求方程0=-''y y 的积分曲线，使其在点)0,0(处与直线x y =相切。
六*
、已知某曲线经过点)1,1(，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程。
常微分方程四、五章作业答案 (1)
《常微分方程》第四、五章作业答案 第四章 1．证明：由题可知()t x 1，()t x 2分别是方程（1），（2）的解 则：()()() ()()()t f t x t a dt t x d t a dt t x d n n n n n 111 1111=+++--Λ （3） ()()() ()()()t f t x t a dt t x d t a dt t x d n n n n n 221 2112=+++--Λ （4） 那么由（3）+（4）得： ()()()()()()() ()()()()=++++++--t x t x t a dt t x t x d t a dt t x t x d n n n n n 211 211121Λ()t f 1+()t f 2 即()t x 1+()t x 2是方程是()()=+++--x t a dt x d t a dt x d n n n n n Λ111()t f 1+()t f 2的解。 2．（1）特征方程为：42540λλ-+= 特征根为12341,1,2,2λλλλ==-==- 原方程通解为：221234()t t t t x t c e c e c e c e --=+++ （2）特征方程为：5340λλ-= 特征根为1230,2,2λλλ===-，其中10λ=是三重根 原方程通解为：22212345()t t x t c c t c t c e c e -=++++ （3）特征方程为： 22100λλ++= 特征根为：1,213i λ=-± 通解为：12()(cos3sin 3)t x t c t c t e -=+ （4）原方程对应的齐线性方程的通解为： 123456*()()cos ()sin t t x t c e c e c c t t c c t t -=+++++ 下求原方程的特解. 设原方程的特解为：2()x t At Bt C =++ 代入方程有： 2243A At Bt C t -+++=- 故1,0A C B ===
常微分方程第5章答案
1.给定方程组 x = x x= （*） a)试验证u(t)= ,v(t)= 分别是方程组（*）的满足初始条件u(0)= , v(0)= 的解. b)试验证w(t)＝c u(t)+c v(t)是方程组（*）的满足初始条件w(0)= 的解，其中是任意常数.解：a) u(0)= = u (t)= = u(t) 又v(0)= = v (t)= = = v(t) 因此u(t),v(t)分别是给定初值问题的解. b) w(0)= u(0)+ u(0)= + = w (t)= u (t)+ v (t) = + = = = w(t) 因此w(t)是给定方程初值问题的解. 2. 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题： a) x +2x +7tx=e ,x(1)=7, x (1)=-2 b) x +x=te ,x(0)=1, x (0)=-1,x (0)=2,x (0)=0 c) x(0)=1, x (0)=0,y(0)=0,y (0)=1 解：a）令x ＝x, x = x , 得 即 又x ＝x(1)=7 x (1)= x (1)=-2 于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题： x ＝x(1)＝ 其中x＝. b) 令＝x ＝＝＝则得： 且(0)=x(0)=1, = (0)=-1, (0)= (0)=2, (0)= (0)=0 于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题： = x(0)= , 其中x= . c) 令w ＝x，w ＝，w ＝y，w ＝y ，则原初值问题可化为： 且 即w w(0)= 其中w＝ 3. 试用逐步逼近法求方程组 ＝x x＝ 满足初始条件 x(0)= 的第三次近似解.
常微分方程第一章
第一章一阶微分方程 1、1学习目标: 1、理解微分方程有关得基本概念,如微分方程、方程阶数、解、通解、初始条件、初值问题等得定义与提法、掌握处理微分方程得三种主要方法: 解析方法, 定性方法与数值方法、 2、掌握变量分离法,用变量替换将某些方程转化为变量分离方程, 掌握一阶线性方程得猜测检验法, 常数变易法与积分因子法, 灵活运用这些方法求解相应方程, 理解与掌握一阶线性方程得通解结构与性质、 3、能够大致描述给定一阶微分方程得斜率场, 通过给定得斜率场描述方程解得定性性质; 理解与掌握欧拉方法, 能够利用欧拉方法做简单得近似计算、 4、理解与掌握一阶微分方程初值问题解得存在唯一性定理, 能够利用存在唯一性定理判别方程解得存在性与唯一性并解决与之相关得问题, 了解解对初值得连续相依性与解对初值得连续性定理, 理解适定性得概念、 5、理解自治方程平衡点, 平衡解, 相线得概念, 能够画出给定自治方程得相线, 判断平衡点类型进而定性分析满足不同初始条件解得渐近行为、 6、理解与掌握一阶单参数微分方程族得分歧概念, 掌握发生分歧得条件, 理解与掌握各种分歧类型与相应得分歧图解, 能够画出给定单参数微分方程族得分歧图解, 利用分歧图解分析解得渐近行为随参数变化得状况、 7、掌握在给定得假设条件下, 建立与实际问题相应得常微分方程模型, 并能够灵活运用本章知识进行模型得各种分析、 1、2基本知识: (一)基本概念 1.什么就是微分方程: 联系着自变量、未知函数及它们得导数(或微分)间得关系式(一般就是 指等式),称之为微分方程、 2.常微分方程与偏微分方程: (1)如果在微分方程中,自变量得个数只有一个,则称这种微分方程为常微分方程,例 如, 、 (2)如果在微分方程中,自变量得个数为两个或两个以上,则称这种微分方程为偏微 分方程、例如, 、 本书在不特别指明得情况下, 所说得方程或微分方程均指常微分方程、 3.微分方程得阶数: 微分方程中出现得未知函数最高阶导数得阶数、例如, 就是二阶常微分方程; 与就是二阶偏微分方程、 4.n阶常微分方程得一般形式: , 这里就是得已知函数,而且一定含有得项;就是未知函数,就是自变量、 5.线性与非线性: (1) 如果方程得左端就是及得一次有理式,则称为n阶线性微分方程、
常微分方程第四章考试卷
常微分方程第四章测试试卷(3) 班级 姓名 学号 得分 一、 填空（20分） 1．——————称为n 阶齐线性微分方程。 2．1x )(t 非零为二阶齐线性方程''x 1a +)(t 2'a x +x t )(≡0的解，这里 ()t a 1 和()t a 2于区间[]b a ,上连续，则()t x 2 是方程解的冲要条件是― ——————。 ３．常系数非齐线性方程中，若()()t m m m m e b t b t b t b t f λ++++=--1110 ， 其中λ与i b 为实常数，那么方程有形如————的特解。 ４．在n 阶常系数齐线性方程中，n a a a ,2,1 为常数，则它的特征方程为——————。 ５．若方程()()022=++y x q dx dy x p dx y d 中满足————条件，则方程有形 如∑∞ ==0 n n n x a y 的特解。 ６．微分方程03'2'''4=++y y xy 的阶数为——。 ７．设()01≠t x 是二阶齐线性方程()()0'''21=++x t a x t a x 的一个解,则方程的通解可表为________ ８．解线性方程的常用方法有____、_____、_____、_____ ９．若())2,1,0(n i t x i =为齐线性方程的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为__________. １０.若()),,2,1(n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组,()t x 为非齐线性方程的一个特解,则非齐线性方程的所有解可表___.
二． 计算（30分） １． 求通解y y y 2'1''2 += ２． 求特解x x e xe y y y -=+-'2''，()()11'1==y y ３． 设二阶非齐线性方程的三个特解为 x x y x x y x y cos ,sin ,321+=+== 求其通解 ４． 求解方程()()o y x y x xy =+++-2'12'' ()0≠x ５． 求方程2233'4'''''x xy y x y x =-+的通解 ６． 求方程0'''=--y xy y 的解、 三．设可导函数()x φ满足()()1sin 2cos 0+=+?x tdt t x x x φφ，求()x φ 四．证明题（20分） 1.若函数()()()t x t x t x n ,,,21 为n 阶齐线性方程的n 个线性相关解，则它们的伏朗斯基行列式()0=t w 2．试证n 阶非齐线性方程存在且最多存在n+1个线性无关解。
常微分方程第二版答案第三章
习题3—1 1． 判断下列方程在什么区域上保证初值解存在且唯一. 1）y x y sin ' +=； 2）3 1' - =x y ； 3）y y = ' . 解 1）因为y x y x f sin ),(+=及y y x f y cos ),('=在整个xOy 平面上连续，所以在整个xOy 平面上满足存在唯一性定理的条件，因此在整个xOy 平面上初值解存在且唯一. 2）因为3 1 ),(-=x y x f 除y 轴外，在整个xOy 平面上连续，0),('=y x f y 在在整个xOy 平面上有界， 所以除y 轴外，在整个xOy 平面上初值解存在且唯一. 3）设y y x f = ),(，则???? ?? ?<-->=??,0,21,0, 21 ),(y y y y y y x f 故在0≠y 的任何有界闭区域上，),(y x f 及 y y x f ??) ,(都连续，所以除x 轴外，在整个xOy 平面上初值解存在且唯一. 2． 求初值问题 ?????=--=, 0)1(, 22y y x dx dy R ：1,11≤≤+y x . 的解的存在区间.并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计. 解 设2 2 ),(y x y x f -=，则4),(max ),(== ∈y x f M R y x ，1,1==b a ，所以 4 1 )41,1min(), min(===M b a h . 显然，方程在R 上满足解的存在唯一性定理，故过点)0,1(-的解的存在区间为：4 1 1≤ +x . 设)(x ?是方程的解，)(2x ?是第二次近似解，则 0)1()(0=-=y x ?，3 1 31)0(0)(3121-=-+=?-x dx x x x ?， 42 11 931863])3131([0)(3471232 2+-+--=--+=?-x x x x dx x x x x ?. 在区间4 1 1≤+x 上，)(2x ?与)(x ?的误差为 322)!12()()(h ML x x +≤-??. 取22) ,(max max ),(),(=-=??=∈∈y y y x f L R y x R y x ，故241)41()!12(24)()(322=+?≤ -x x ??.
常微分方程第五章微分方程组总结
一．线性微分方程组的一般理论 1. 线性微分方程组一般形式为： 1111122112211222221122()()()(),()()()(), 1 , ()()()(),n n n n n n n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++??'=++++??????'=++++? （） 记： 1112121 22212111222()()()()()()()()()()()()(), , ()n n n n nn n n n a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t f t x x f t x x f t x x f t x x ??????=?????? '????????????'??????'===????????????'?????? 非齐次线性方程组表示为： ()() x A t x f t '=+ 齐次线性方程组表示为： ()x A t x '= 2.齐次线性方程组的一般理论 (1)定理 (叠加原理) 如果12(),(),,()n x t x t x t ? 是齐次方程组()x A t x '= 的k 个 解，则它们的线性组合1212()()()n n c x t c x t c x t ++?+ 也是齐次方程组的解，这里 12,,,n c c c ?是任意常数 (2)向量函数线性相关性 定义在区间],[b a 上的函数12(),(),,()n x t x t x t ? ，如果存在不全为零的常数
常微分方程第二版答案第三章教学总结
常微分方程第二版答 案第三章
习题3—1 1． 判断下列方程在什么区域上保证初值解存在且唯一. 1）y x y sin '+=； 2）31 '-=x y ； 3）y y ='. 解 1）因为y x y x f sin ),(+=及y y x f y cos ),('=在整个xOy 平面上连续，所以在整个xOy 平面上满足存在唯一性定理的条件，因此在整个xOy 平面上初值解存在且唯一. 2）因为3 1),(-=x y x f 除y 轴外，在整个xOy 平面上连续，0),('=y x f y 在在整个xOy 平面上有界，所以除y 轴外，在整个xOy 平面上初值解存在且唯一. 3）设y y x f =),(，则???????<-->=??,0,21,0,21),(y y y y y y x f 故在0≠y 的任何有界闭区域上，),(y x f 及y y x f ??),(都连续，所以除x 轴外，在整个xOy 平面上初值解存在且唯一. 2． 求初值问题 ?????=--=, 0)1(,22y y x dx dy R ：1,11≤≤+y x . 的解的存在区间.并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计. 解 设22),(y x y x f -=，则4),(max ),(==∈y x f M R y x ，1,1==b a ，所以 4 1)41,1min(),min(===M b a h . 显然，方程在R 上满足解的存在唯一性定理，故过点)0,1(-的解的存在区间为：411≤ +x . 设)(x ?是方程的解，)(2x ?是第二次近似解，则 0)1()(0=-=y x ?，3 131)0(0)(3121-=-+=?-x dx x x x ?， 4211931863])3131([0)(3471232 2+-+--=--+=?-x x x x dx x x x x ?. 在区间4 11≤+x 上，)(2x ?与)(x ?的误差为 32 2)!12()()(h ML x x +≤-??.
常微分方程第4章习题答案
习 题 4—1 1．求解下列微分方程 1） 22242x px p y ++= )(dx dy p = 解 利用微分法得 0)1)( 2(=++dx dp p x 当 10dp dx +=时，得p x c =-+ 从而可得原方程的以P 为参数的参数形式通解 22 242y p px x p x c ?=++?=-+? 或消参数P ，得通解 )2(2 122x cx c y -+= 当 20x p +=时，则消去P ，得特解 2x y -= 2）2()y pxlnx xp =+； ??? ? ?=dx dy p 解 利用微分法得 (2)0dp lnx xp x p dx ??++= ??? 当0=+p dx dp x 时，得 c px = 从而可得原方程以p 为参数的参数形式通解： 2 ()y pxln xp px c ?=+?=? 或消p 得通解 2y Clnx C =+ 当20lnx xp +=时，消去p 得特解 21()4 y lnx =- 3）() 21p p x y ++= ??? ??=cx dy p 解 利用微分法，得 x dx p p p - =+++22 11 两边积分得 () c x P P P =+++2211
由此得原方程以P 为参数形式的通解： 21(p p x y ++= ，() .11222c x p p p =+++ 或消去P 得通解 222)(C C X y =-+ 1． 用参数法求解下列微分方程 1）45222=?? ? ??+dx dy y 解 将方程化为 2215 42=??? ??+dx dy y 令2sin y t = 2cos 5 dy t dx = 由此可推出 1 515(2sin )22cos 2 cos 5dx dy d t dt t t ===从而得 c t x +=25 因此方程的通解为 52x t c = + ，2sin y t = 消去参数t ，得通解 22sin ()5 y x C =- 对于方程除了上述通解，还有2±=y ， 0=dx dy ，显然 2=y 和2-=y 是方程的两个解。 2）223()1dy x dx -= 解：令u x csc =， u dx dy cot 31-= 又令tan 2 u t = 则t t u x 21sin 12+==
第五章常微分方程习题
第五章 常微分方程 §1 常微分方程的基本概念与分离变量法 1. xy dx dy 2＝,并求满足初始条件：0,1x y ==的特解. 2．2(1)0y dx x dy ++=，并求满足初始条件：0,1x y ==的特解. 3．(1)(1)0x ydx y xdy ++-= 4．(ln ln )0x x y dy ydx --= 5． x y dy e dx -= 答案 1．通解2 x y ce =；特解2 x y e = 2．通解1ln 1y c x = ++；另有解0y =；特解11ln 1y x = ++ 3．ln ;0x y xy c y -+== 4．1ln y cy x += 5．y x e e c =+ §2 一阶线性微分方程 1．（1）（ ）是微分方程。 （A ） （B ） （C ） （D ） （2）（ ）不是微分方程。 （A ） （B ） （C ） （D ）
2.求微分方程的通解 ；（2）。 （1） 3.求微分方程的特解 （1）；（2） 4．解下列微分方程 ；（2）； （1） 答案1．(1)B；(2)C 2.(1)y=cx;(2)y4-x4=C。 3.(1)2/x3;(2)。 4．(1)； (2)y=Csinx； §3 二阶常系数线性微分方程 1.求下列微分方程的通解 ；（2）； （1） （3） （5） 2.求微分方程的特解 3.求下列微分方程的通解
（1） ； （2） ； （3） ； （4） 。 4．求方程2100y y y '''++=满足初始条件0 2x y ==和01x y ='=的特解 5．求方程221y y y x '''+-=+的一个特解 6．求方程22x y y y xe '''+-=的一个特解 7．求方程32(41)x y y y x e '''-+=-的一个特解 答案 1.(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) 。 2. 3.(1) ； (2) ； (3) ； (4) 。
常微分方程第四章考试卷1
常微分方程第四章测验试卷（1） 班级 姓名 学号 得分 一、 填空（30分） 1、如果),...,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的n 个线性无关解，则这 一齐线性方程的所有解可表为————————————————。 2、形如————————————————的方程称为欧拉 方程。 3、如果),...,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x i 为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为————————————。 4、设0)(1≠t x 是二阶齐线性方程021=+'+''x a x a x 的一个解，则方程的通解可表为—————————————————————。 5、微分方程t x x 3 sin 1 = +''的基本解组为——————————。 6、函数组t t t e e e 2,,-的伏朗基行列式为—————————。 7、若),...,2,1)((n i t x i =b t a ≤≤上线性相关，则伏朗基行列式满足——————。 8、解线性方程的常用方法有————、————、————、————。 9、n 阶齐线性方程的线性无关解的最大个数为————。 二、 计算（50分） 1、 求32254+=-'+''-'''t x x x x 的通解。 2、 求方程0)()(32='+'-''x x x x
3已知。的解，试求方程的通解是0sin 2=+'+''= x x x t t x t 4、求方程t t x x t x t ln 22=+'-''的通解。 5、的解。求方程1)0()0()0()0(,2)4(='''=''='==+x x x x e x x t 三、 证明题（20分） 1、 ),...,2,1)((n i t x i =是齐次线性方程组的n 个解，则有：当 )()......,(1t x t x n 在[a,b]上线性无关时，伏朗斯基行列式w(t)≠0, t ],[b a ∈. 2、若()(1,2)i x t i =是非齐次线性方程43sin x x x x ''''''++=的2个解，则 有：当12lim ()()n x t x t →∞ -存在。
常微分方程第1章教案
第一章 绪论 定义：指含有未知量的等式. 代数方程：2210x x -+ = 1=，3121x x x --=+ 超越方程：sin cos 1x x +=，221x e x x =+- 以上都是一元方程，一般形式可以写成()0F x = 二元方程2210x y +-=的一般形式可以写成(,)0F x y =，同理三元方程22210 x y z ++-=等等 根据对未知量施加的运算不同进行方程的分类，高等数学的运算主要是微分和积分运算 一、引例 例1：已知一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点(,)M x y 处的切线的斜率为2x ，求这曲线的方程. 解：设所求曲线的方程为()y f x =，由题意 1d 2(1)d 2(2)x y x x y =?=???=? 由（1）得2d y x x =?，即2y x C =+ （3） 把条件“1x =时，2y =，”代入上式（3）得221 C =+，1C ∴= 把1C =代入式（3），得所求曲线方程：21y x =+ 例2：列车在平直道路上以20m/s （相当于72km/h ）的速度行驶，当制动时列车获得加速度20.4m /s -.问开始制动后需要多长时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？ 解：设列车在开始制动后t s 时行驶了s m.根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数()s s t =应满足关系式 00 220d 0.4(4) d d 20(5)d 0*t t t s t s v t s ===?=-???==???=??（） 把式（4）两端积分一次，得1d 0.4d s v t C t = =-+ （6）
【免费下载】常微分方程教程丁同仁李承治第二版第四章 奇解
第四章 奇解习题4-11．求解下列微分方程：（通解）特解）（特解）解：221222)(222222222 2)(2101.(42202..0)1)(2(0)2()2(2222);(,242).1(C Cx y x x C x y C x p b x x x x y x p x p a x p x p x p x x p p p x px y p x px p y x C x dx dp dx dp dx dp dx dp dx dp dx dp p dx dy ++-=?++-+=?+-=?-=?=+-=+-=?-=?=+=++?=+++?+++=++= =++=+-224ln 4ln 2ln 22ln 2ln 2ln 222ln )(ln 0x .)]([ln 2ln 02ln ..0))(2(ln 22)1(ln ln );(,)(ln ).2(222C x C y x x x y p p x b y x x x y p xp x xp x a p x xp x p x xp x p x x p p xp x px y x C x C x C dx dp x x x x x x x x x dx dp dx dp dx dp dx dy +=?+=?=?=+-=+-=?-+-=?-=?-=?=+=++?++++==+=（特解）解：dy dq q y q y y dy dq q y dy dx p y p p y q y q y q x q y x y p y xp 3222222cos 2)sin (cos 222cos 12cos 123sec tan ,tan ,,tan .cos tan 22).3(-++=+===+=+=-令解：y y y y x q q y b y C x y C q y q y q a y y q y q y q y y q y y y y t y y y y y q y C dy dq dy dq q y dy dq dy dq q y dy dq dy dq q y q y y dy dq 32323232sin 2cos 231313322323232 2sin sin sin tan 0tan .sin cos tan 0tan .0 )(tan tan (0)tan ()tan (tan 0tan tan 23212cos sin cos sin cos sin cos 3cos 21cos cos cos sin cos 2=+=+=?=?=?=-+=?=?-=?=+=-+?=+-+?=-++?-（通解） 2．用参数法求解下列微分方程：、接口不严等问题，合电气设备进行调试工作案。高中资料试卷保护装置调
常微分方程第一章初等积分法
第一章 初等积分法 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的，在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等.这些方程都是要把研究的问题中的已知量和未知量之间的关系找出来，列出包含一个未知量或几个未知量的一个或者多个方程式，然后求取方程（组）的解.这里，方程（组）的解为常数. 然而在实际生活中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题.比如：求物体在一定条件下运动的规律（比如某物体做匀速直线运动，速度为5，求其位移变化的规律）；求满足一定条件（比如在某曲线任意点处的斜率为该点横坐标的2倍）的曲线的方程等等. 物体运动规律、曲线方程在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数.也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求出一个或者几个未知的函数. 在数学上，解决上述问题也需要建立方程，不过建立的是含有未知函数自变量、未知函数及未知函数的导数的方程（比如上述两个问题建立的方程为： 5=dt ds ，x dx dy 2=） ，这类方程就叫做微分方程. 本章主要介绍微分方程的基本概念及几类简单的微分方程的解法. 1.1 微分方程的基本概念 300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现.而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关.这是因为：微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程.然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系.而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程.一
常微分方程第三章测试卷与答案
常微分方程第三章测试卷 班级 姓名 学号 得分 一、 填空题（30分） 1， 则称函数为在R 上关于y 满足利普希兹条件。 2，存在唯一性定理中近似值与真正解在区间h x x ≤-0 内的误差估计 式为 3，由解关于初值的对称性，若方程满足初始条件00)(y x y =的解是唯一的，记为),,(00y x x y ?=,则成立关系式 在解的存 在范围内。 4，若函数),(y x f 以及y f ??都在区域G 内连续，则方程的解),,(00y x x y ?=作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内的 。 5，若函数),(y x f 在区域G 内连续，且关于y 满足局部利普希兹条件，则方程的解),,(00y x x y ?=作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内 的。 6, 微分方程的奇解是指 二、解答题（50分） 1， 求曲线0sin cos =-+p a y a x 的奇解。这里a 是参数，p 为固定常数。
2， 求2'1y y -=的奇解 ()1≤y 3， 求初值问题22y x dx dy -=及0)1(=-y ；1,11:≤≤+y x R 的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。
4， 讨论21 2-=y dx dy 分别过点（ 0，0），（3,2ln -）的解的存在区间。
5， 利用克莱洛方程求p xp y 1+=的奇解，dx dy p = 三、证明题（20分） 假设函数),(y x f 于),(00y x 的邻域内是y 的不增函数，试证方程),(y x f dx dy =满足条件00)(y x y =的解于0x x ≥一侧最多只有一个。
常微分方程考研讲义第四章 高阶微分方程
第四章高阶微分方程 [教学目标] 1. 理解高阶线性微分方程的一般理论，n阶齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与 结构，熟练掌握n阶常系数齐次线性微分方程的待定指数函数解法。 2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法，理解n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。 3.熟练欧拉方程与高阶方程的降阶法和幂级数解法。 4.掌握高阶方程的应用。 [教学重难点]重点是线性微分方程解的性质与结构，高阶方程的各种解法。难点是待 定系数法求特解。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 16学时 [教学内容]线性微分方程的一般理论，齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，非齐次线性微分方程的常数变量易法；常系数线性方程与欧拉方程的解法，非齐线性 方程的比较系数法与拉氏变换法；高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。[考核目标] 1.理解高阶线性微分方程的一般理论，能够求解高阶常系数线性微分方程。 2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法。 3.n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。 4.熟练高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。 §4.1线性微分方程的一般理论 4.1.1引言 讨论n阶线性微分方程
1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （4.1） 其中()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数 如果()0f t ≡，则方程（4.1）变为： 1111()() ()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （4.2） 称它为n 阶齐线性微分方程，而称一般的方程（4.1）为n 阶非齐线性微分方程，并且通常把方程（4.2）叫对应于方程（4.1）的齐线性方程。 定理1 如果()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数，则对于任一 []0,t a b ∈ (1)(1) 000 ,,,n x x x - ，方程（4.1）存在唯一解()x t ?=，定义于区间a t b ≤≤上，且满足初始条件： 1(1)(1)0000001 ()()(),,,n n n d t d t t x x x dt dt ???---=== （4.3） 从这个定理可以看出，初始条件唯一地确定了方程（4.1）的解，而且这个解在所有()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 连续的整个区间a t b ≤≤上有定义。 4.1.2 齐线性方程的解的性质与结构 讨论齐线性方程 1111()() ()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （4.2） 定理2（叠加原理）如果12(),(),,()k x t x t x t 是方程（4.2）的k 个解，则它们的线性组合1122()()()k k c x t c x t c x t +++ 也是（4.2）的解，这里12,,,k c c c 是任意常数。 特别地，当k n =时，即方程（4.2）有解 1122()()()n n x c x t c x t c x t =+++ （4.4） 它含有n 个任意常数。在什么条件下，表达式（4.4）能够成为n 阶齐线性方程（4.2）的通解？为了讨论的需要，引进函数线性相关与线性无关及伏朗斯基()Wronsky 行列式等概念。 设12(),(),,()k x t x t x t 是定义在区间a t b ≤≤上的函数，如果存在不全为零的常数 12,,,k c c c ，使得恒等式 1122()()()0k k c x t c x t c x t +++≡
常微分方程第五章测试题及参考答案
常微分方程第五章测试题 班级__________姓名__________学号________得分__________ 一、 填空（３０分） 1、 在用皮卡逐步逼近法求方程组η=+=')(),()(0t x x f x t A x 的近似解时，若取η?=)(0t ，则=)(t k ?（ ）。 2、 如果)(t A 是n n ?矩阵，)(t f 是n 维列向量，则它们在b t a ≤≤上满足（ ）时，方程组)()(t f x t A x +='满足初始 条件η=)(0t x 的解在b t a ≤≤上存在唯一。 3、 若)(),(),(21t f t a t a 是[b a ,]上的连续函数，)(),(21t x t x 是方程0)()(21=+'+''x t a x t a x 的两个线性无关解，则的通解为 ( )。 4、 若)(t Φ和)(t ψ都是x t A x )(='的基解矩阵，则)(t Φ与)(t ψ具有关系（ ）。 5、 若A 是n n ?常数矩阵，则矩阵指数exPA=( )。 6、若A 矩阵具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,21，她们对应的特征值分别为n λλλ ,,21，那么矩阵)(t Φ=（ ）是常系数线性方程组Ax x ='的一个基解矩阵。 7、 若)(t Φ是x t A x )(=' 的基解矩阵，则)()(t f x t A x +='满足的解=)(t ?（ ）。 8、 若)(t Φ是x t A x )(=' 的基解矩阵，则向量函数=)(t ?（ ）是)()(t f x t A x +='的满足初始条件 0)(0=t ?的解；向量函数=)(t ?（ ）是)()(t f x t A x +='的满足初始条件η?=)(0t 的解。
常微分方程考研讲义第三章-一阶微分方程解的存在定理
第三章一阶微分方程解的存在定理 [教学目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解 的误差估计式。 2.了解解的延拓定理及延拓条件。 3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 [教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 12学时 [教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。 2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。 3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 §1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方 程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。 而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显 得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的 条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在 常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理 论的基础。 例如方程
dy dx =过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2y x =或更一般地，函数 2 0 0() c<1 x c y x c x ≤≤?=?-≤? 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。 解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。 1．存在性与唯一性定理： （1）显式一阶微分方程 ),(y x f dx dy = （3.1） 这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2） 上连续。 定理1：如果函数),(y x f 满足以下条件：1）在R 上连续：2）在R 上关于变量y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数0L >，使对于R 上任何一对点1(,)x y ， 2(,)x y 均有不等式1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-成立，则方程（3.1）存在唯一的解()y x ?=，在区间0||x x h -≤上连续，而且满足初始条件 00()x y ?= （3.3） 其中,min(, ),max (,)x y R b h a M f x y M ∈==,L 称为Lipschitz 常数.
常微分方程第四章考试卷4
常微分方程第四章测验试卷（4） 班级 姓名 学号 得分 一． 填空（30分） 1．———————————————————称为n 阶齐线性微分方程。 2．函数组e e e t t t 2,,-的伏朗斯基行列式为———————————。 3．若()()n i t x i ,......2,1=为n 阶齐线性方程的解，则它们线性无关的充要条件——————————————————。 4．若()()n i t x i ,......2,1=为n 阶齐线性方程的解，则()t w 为其伏朗斯基行列式，则()t w 满足一阶线性方程——————————————。 5．设()01≠t x 是二阶齐线性方程021=+'+''x a x a x 的一个解，则方程的通解可表示为——————————————————————。 6．形如———————————————————称为欧拉方程。 7．解线性方程的常用方法有———————————`—————————————`————————————————`——————————————————。 8．．若()()n i t x i ,......2,1=为齐线性方程的n 个线性无关的解，则这一齐线性微分方程的所有解可表示为——————————————————。 二． 计算（70分） 1. 求方程t x x cos 1 = +''的通解，已知它对应的齐线性方程的基本解组为t t sin ,cos 。
2．2t x x t ='-'' 0≠t 3．求方程t t x dt x d 2sin 422=+的通解，已知它对应的齐线性方程的基本解 组为t t 2sin ,2cos 4． 求033=-+''-'''x x x x 的解。 5．求0532 22 =++y dx dy x dx y d x 的解。
常微分方程第5章答案
习题 1.给定方程组 x = x x= （*） a)试验证u(t)= ,v(t)= 分别是方程组（*）的满足初始条件u(0)= , v(0)= 的解. b)试验证w(t)＝c u(t)+c v(t)是方程组（*）的满足初始条件w(0)= 的解，其中是任意常数. 解：a) u(0)= = u (t)= = u(t) 又 v(0)= = v (t)= = = v(t) 因此 u(t),v(t)分别是给定初值问题的解. & b) w(0)= u(0)+ u(0)= + = w (t)= u (t)+ v (t) = + = = = w(t) 因此 w(t)是给定方程初值问题的解. 2. 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题： a) x +2x +7tx=e ,x(1)=7, x (1)=-2 b) x +x=te ,x(0)=1, x (0)=-1,x (0)=2,x (0)=0 ; c) x(0)=1, x (0)=0,y(0)=0,y (0)=1 解：a）令 x ＝x, x = x , 得 即 又 x ＝x(1)=7 x (1)= x (1)=-2 于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题： x ＝ x(1)＝ 其中 x＝ . b) 令＝x ＝＝＝则得： / 且 (0)=x(0)=1, = (0)=-1, (0)= (0)=2, (0)= (0)=0 于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题： = x(0)= , 其中 x= . c) 令w ＝x， w ＝，w ＝y，w ＝y ，则原初值问题可化为： 且 即 w w(0)= 其中 w＝ 3. 试用逐步逼近法求方程组 】
常微分课后答案第一章
第一章 绪论 §1.1 微分方程：某些物理过程的数学模型 §1.2 基本概念 习题1.2 1．指出下面微分方程的阶数，并回答方程是否线性的： （1） y x dx dy -=24； （2）0122 2 2=+??? ??-xy dx dy dx y d ； （3）0322 =-+? ? ? ??y dx dy x dx dy ； （4）x xy dx dy dx y d x sin 352 2=+-； （5） 02cos =++x y dx dy ； （6）x e dx y d y =+??? ? ??22sin ． 解 （1）一阶线性微分方程； （2）二阶非线性微分方程； （3）一阶非线性微分方程； （4）二阶线性微分方程； （5）一阶非线性微分方程； （6）二阶非线性微分方程． 2．试验证下面函数均为方程02 2 2=+y dx y d ω的解，这里0>ω是常数． （1）x y ωcos =； （2）11(cos C x C y ω=是任意常数)； （3）x y ωsin =； （4）22(sin C x C y ω=是任意常数)； （5）2121,(sin cos C C x C x C y ωω+=是任意常数)； （6）B A B x A y ,()sin(+=ω是任意常数)．
解 （1）y x dx y d x dx dy 2222cos ,sin ωωωωω-=-=-=，所以02 2 2=+y dx y d ω，故x y ωcos =为方程的解． （2）y x C y x C y 2 2 11cos , sin ωωωωω-=-=''-='，所以0222=+y dx y d ω，故 x C y ωcos 1=为方程的解． （3）y x dx y d x dx dy 2 222sin ,cos ωωωωω-=-==，所以022 2=+y dx y d ω，故x y ωsin =为方程的解． （4）y x C y x C y 2 2 22sin , cos ωωωωω-=-=''='，所以022 2=+y dx y d ω，故x C y ωsin 2=为方程的解． （5）y x C x C y x C x C y 2222121sin cos , cos sin ωωωωωωωωω-=--=''+-='， 所以022 2=+y dx y d ω，故x C x C y ωωsin cos 21+=为方程的解． （6）y B x A y B x A y 2 2 )sin(, )cos(ωωωωω-=+-=''+='，故02 2 2=+y dx y d ω，因此)sin(B x A y +=ω为方程的解． 3．验证下列各函数是相应微分方程的解： （1）x x y sin = ，x y y x cos =+'； （2）212x C y -+=，x xy y x 2)1(2 =+'-（C 是任意常数）； （3）x Ce y =，02=+'-''y y y （C 是任意常数）； （4）x e y =，x x x e ye y e y 2212-=-+'-； （5）x y sin =，0cos sin sin 22 2 =-+-+'x x x y y y ； （6）x y 1- =，12 22++='xy y x y x ； （7）12 +=x y ，x y x y y 2)1(2 2 ++-='；