巧用泰勒展开式解高考中函数不等式相关问题
巧用泰勒展开式解高考中函数不等式相关问题巧用泰勒展开式解高考中函数不等式相关问题
文/郑希莺
【摘要】随着新课改的推进，函数的综合问题仍是历年高考的重点和难点之一，特别是函数与导数大题中经常出现有关函数不等式的证明，用于考查学生的推理论证及运算求解能力。通过对历年试题背景的研究发现了高等数学知识中泰勒公式的身影，本文就泰勒展开式在解决函数不等式的相关问题进行剖析。教关键词泰勒公式;余项;麦克劳林公式;函数不等式;放缩函数不等式是一类以函数的基础知识为背景结合导数知识的不等式，解题时往往以不等式和导数为工具，通过逻辑推理来解决问题。正所谓:
“不畏浮云遮望眼，只缘身在最高层”，如果没有站在相应高等数学知识的高度，那么就很难看透问题的本质，更无法帮助学生揭开高考数学难题的神秘面纱。徐国君通过对2017年与2017年数学高考题的研究，主要是通过泰勒展开式得到不等式ln(x+1)?x?ex-1，并对其进行巧妙的应用，大多数文章也是阐述类似的应用。本文将对ex、ln(1+x)及cosx等的n阶展开式在高考中的精妙应用进行进一步剖析，以期能为函数不等式的证法注入活力。泰勒公式形式1: 若函数f(x)在点x0存在n阶导数,则有这里o((x-x0)n)为皮亚诺型余项,称
(1)式为函数f(x)在点x0的泰勒公式。称此式为(带有皮亚诺余项的)麦克劳林公式。泰勒公式形式2:
若函数f(x)在含有x0的某区间(a,b)内存在n，1阶导函数,则有称此式为(带有拉格
朗日余项的)麦克劳林公式。
一、初步探究例
1、(2017年辽宁高考数学理科第12题)若x?，即证(1+x)e-2x?1-x说明: 上述的证法主要采用ex的泰勒展开式进行适当的变形与放缩，使得整个解答过程自然流畅，当然本题也可采用构造函数法利用导数来证明。【分析: 对于式子中含有e-2x，cosx之类的超越不等式恒成立问题，如果直接采用构造函数法求导难度较大，最直接的想法是如何将超越不等式通过泰勒展开式的放缩转化为代数不等式来处理，因此容易想到从cosx的三阶泰勒展开式入手进行放缩。】所以当a?-3时，f(x)?g(x)在上恒成立。另一方面，当a -3时综上所述:
实数a的取值范围是(-?,-3]。说明:
本题也可采用第一题的结论进行转化，再通过适当的构造函数并利用导数进行转化来求解，解决过程可谓是一波三折。而利用泰勒展开式来解决此题那就会有高屋建瓴之势，所有的过程演绎将会有一种水到渠成的感觉。
三、解法应用例
4、(2017年全国卷?(理21))
(1)求a,b;
(2)证明:
f(x) 1。例
5、(2017年清华大学等“华约”自主招生考试)
(1)求证:
当x 0时，f(x) 0;总之，从以上具体实例发现，利用泰勒展开式来解决高考函数中的有关不等式问题主要是实现将超越不等式向代数式不等式的转化，既简化了运
算过程又为高考函数的不等式题的解法注入了新的活力并展现泰勒展开式的魅力。教参考文献陈传璋.数学分析(上册).北京:高等教育出版社，1983徐国君.例
谈泰勒展开式及其应用—数学教学通讯.数学教学通讯，2017薛金星.2017年全国及各省市高考试题全解(数学卷).陕西人教出版社，2017(作者单位: 厦门海沧实验中学)
新高考总复习 数学 第二章 函数 第3节 函数的奇偶性与周期性 习题
多维层次练9 [A级基础巩固] 1．(多选题)(2020·广东肇庆检测)下列函数中，既是奇函数，又在其定义域上单调递增的是() A．y＝－1 x B．y＝2 x－2－x C．y＝sin x D．y＝x|x| 解析：C项在定义域上有增有减，A选项定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调区间是(－∞，0)和(0，＋∞)不能写成并集，所以A选项错误．对于B选项，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)是奇函数，并且在定义域上为增函数．D项，当x≥0，y＝x2是增函数；x≤0时，y＝－x2也是增函数，且y＝x|x|是奇函数． 答案：BD 2．(2020·广东湛江模拟)已知函数g(x)＝f(2x)－x2为奇函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝() A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：因为g(x)为奇函数，且f(2)＝1，所以g(－1)＝－g(1)， 所以f(－2)－1＝－f(2)＋1＝－1＋1＝0，所以f(－2)＝1. 答案：C 3．若函数y＝f(2x－1)是偶函数，则函数y＝f(2x＋1)的图象的对称轴是() A．x＝－1 B．x＝0 C．x＝1 2D．x＝－ 1 2
解析：因为函数y ＝f (2x －1)是偶函数，所以函数y ＝f (2x －1)的图象关于y 轴对称，因为函数y ＝f (2x ＋1)的图象是由函数y ＝f (2x － 1)的图象向左平移一个单位得到，故y ＝f (2x ＋1)的图象关于x ＝－1对称． 答案：A 4．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为4， 且当x ∈? ?? ??－32，0时，f (x )＝log 2(－3x ＋1)，则f (2 021)等于( ) A ．4 B ．2 C ．－2 D ．log 27 解析：因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为4，所以f (2 021)＝f (4×505＋1)＝f (1)＝－f (－1)． 因为－1∈? ????－32，0，且当x ∈? ?? ??－32，0时， f (x )＝log 2(－3x ＋1)， 所以f (－1)＝log 2[－3×(－1)＋1]＝2， 所以f (2 021)＝－f (－1)＝－2. 答案：C 5．(一题多解)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a 近五年高考数学函数及其图像真题及其答案
1. 已知函数()f x =32 31ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为 A ．（2，+∞） B ．（-∞，-2） C ．（1，+∞） D ．（-∞，-1） 2. 如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为 3. 设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是 A ．()f x ()g x 是偶函数 B ．|()f x |()g x 是奇函数 C ．()f x |()g x |是奇函数 D ．|()f x ()g x |是奇函数 4. 函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是 A ．()y g x = B ．()y g x =- C ．()y g x =- D ．()y g x =-- 5. 已知函数f （x ）＝????? －x 2＋2x x ≤0ln(x ＋1) x ＞0 ，若|f （x ）|≥ax ，则a 的取值范围是 A ．（－∞，0] B ．（－∞，1] C ．[－2，1] D ．[－2，0] 6. 已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是
A ．0x R ?∈，0()0f x = B ．函数()y f x =的图象是中心对称图形 C ．若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减 D ．若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x = 7. 设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则 A ．c b a >> B ．b c a >> C ．a c b >>D ．a b c >> 8. 若函数()2 11=,2f x x ax a x ?? ++ +∞ ??? 在是增函数，则的取值范围是 A ．[]-1，0 B ．[)+∞-,1 C ．[]0，3 D ．[)+∞,3 9. 函数()()21=log 10f x x x ??+> ? ?? 的反函数()1 =f x - A ．()1021x x >- B ．()1021 x x ≠-C ．()21x x R -∈D ．()210x x -> 10. 已知函数()()()-1,021f x f x -的定义域为，则函数的定义域为 A ．()1,1-B ．11,2? ?-- ??? C ．()-1,0 D ．1,12?? ??? 11. 已知函数()()x x x f -+= 1ln 1 ，则y=f （x ）的图像大致为 A ． B ．
常用泰勒公式
简介 在数学上, 一个定义在开区间(a-r, a+r)上的无穷可微的实变函数或复变函数f的泰勒级数是如下的幂级数 这里，n!表示n的阶乘而f(n)(a) 表示函数f在点a处的n阶导数。如果泰勒级数对于区间(a-r, a+r)中的所有x都收敛并且级数的和等于f(x)，那么我们就称函数f(x)为解析的。当且仅当一个函数可以表示成为幂级数的形式时，它才是解析的。为了检查级数是否收敛于f(x)，我们通常采用泰勒定理估计级数的余项。上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。 如果a = 0, 那么这个级数也可以被称为麦克劳伦级数。 泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：首先，幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。第二，一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。第三，泰勒级数可以用来近似计算函数的值。 对于一些无穷可微函数f(x) 虽然它们的展开式收敛，但是并不等于f(x)。例如，分段函数f(x) = exp(?1/x2) 当x≠ 0 且f(0) = 0 ，则当x = 0所有的导数都为零，所以这个f(x)的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，虽然这个函数f仅在x = 0 处为零。而这个问题在复变函数内并不成立，因为当z沿虚轴趋于零时 exp(?1/z2) 并不趋于零。 一些函数无法被展开为泰勒级数因为那里存在一些奇点。但是如果变量x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。例如，f(x) = exp(?1/x2) 就可以被展开为一个洛朗级数。 Parker-Sockacki theorem是最近发现的一种用泰勒级数来求解微分方程的定理。这个定理是对Picard iterati on一个推广。 [编辑]
近五年高考函数图像题汇总
近五年高考函数图像题汇总 1（2020全国卷1理5）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图： 由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型 的是（ ） A. y a bx =+ B. 2y a bx =+ C. e x y a b =+ D. ln y a b x =+ 2（2020天津卷理3）函数241x y x = +的图象大致为（ ） A . B. C. D. 3（2020江苏卷理4）函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，+π]的图象大致为（ ）
A. B. C. D. 4.（2019全国Ⅰ理5）函数f (x )=2sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 5.（2019全国Ⅲ理7）函数3 222 x x x y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ． C ． D ．
6.（2019浙江6）在同一直角坐标系中，函数y =1x a ，y =log a (x +12)，(a >0且a ≠1)的图像可能是 A. B. C. D. 7．(2018全国卷Ⅱ)函数2()--=x x e e f x x 的图像大致为 8．(2018全国卷Ⅲ)函数42 2y x x =-++的图像大致为
9．(2018浙江)函数||2sin 2x y x =的图象可能是 A ． B ． C ． D ． 10．(2016全国I) 函数2|| 2x y x e =-在[–2,2]的图像大致为 A ． B ． C ． D ．
高考数学(一轮复习)最基础考点：函数的周期性
专题6 函数的周期性 函数的周期性 ★★★ ○○○○ 1．周期函数 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．周期函数y＝f(x)满足： (1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a； (2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a； (3)若f(x＋a)＝－1 f x，则函数的周期为2 a； (4)若f(x＋a)＝1 f x，则函数的周期为2 a； (5)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|； (6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b, 0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|； (7)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b－a|； (8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a； (9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.
函数周期性的判定与应用 (1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x ＋T)＝f(x)(T≠0)即可． (2)应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT(k ∈Z 且k≠0)也是函数的周期． [典例] (1)(·郑州模拟)已知函数f (x )＝?? ? 21－x ，0≤x ≤1， x －1，1 三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．． 是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ） 图 1 )exp(x y =及其 Taylor 展开式 其中， 。 ! 4!3!21)(; ! 3!21)(; ! 21)(; 1)(;)exp(4 32443 23322211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y e x y x ++++==+++==++==+==== -3 -2-1 0123 -50 5 10 15 20 25 Figure 1 y=exp(x) and its Taylor expansion equation X Y 图 2 )sin(x y =及其 Taylor 展开式 其中， 。 ! 7!5!3)(; !5!3)(; ! 3)(; )();sin(7 53775 35533311x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-===== -4 -3-2-1 01234 -8-6-4-202468Figure 2 y=sin(x) and its Taylor expansion equation X Y 图 3 )cos(x y =及其 Taylor 展开式 其中， 。 ! 8!6!4!21)(; !6!4!21)(; ! 4!21)(; !21)(); cos(8 642886 42664 2442 22x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y +-+-==-+-==+-==-=== -4 -3-2-1 01234 -8-6 -4 -2 2 4 Figure 3 y=cos(x) and its Taylor expansion equation X Y 2016年高考理科数学大题预测及重要公式 11年考题12年考题13年考题14年考题15年考题 17题解三角形：正弦定理 C R c B R b A R a C c B b A a sin 2 = sin 2 = sin 2 = sin = sin = sin 用角表示边： 边转化为角； 三角形内角和公式： ） －（C A B+ 180 = 和差化积公式： ) 45 cos( = sin 2 2 + cos 2 2 C C C－ 三角形面积公式： A bc B ac C ab S sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 = = = ? 解三角形：由内角和定理知 ） －（C A B+ 180 = 代入 cos()cos1 A C B -+=中消去 B角,将2 a c =利用正弦定理 C R c B R b A R a sin 2 = sin 2 = sin 2 = 用角表示边： 边转换成角，得C A sin 2 = sin 解三角形： 已知B c C b a sin + cos =，求 B,利用正弦定理将边转换成角： C R c B R b A R a sin 2 = sin 2 = sin 2 = 用角表示边： 即有： 由内角和定理 B Cs C B A in sin + cos sin = sin 知 ） －（C B A+ 180 = 代入, ) + sin( = sin C B A C B C B C B sin cos + cos sin = ) + sin( 有 B B cos = sin, 等比数列：已知递推公式： 1 a=1，131 n n a a + =+， 证明{}12n a+是等比数列，求 {} n a的通项公式。 1 11 3() 22 n n a a + +=+ 1 13 22 a+=，所以 1 {} 2 n a+是首 项为3 2 ，公比为3的等比数列 13 22 n n a+=，因此{} n a的通 项公式为 31 2 n n a - = 解三角形：三角形面积公式： A bc B ac C ab S sin 2 1 = sin 2 1 = sin 2 1 = 利用正弦定理将边转换成角： C R c B R b A R a sin 2 = sin 2 = sin 2 = 用角表示边： 余弦定理： C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2 + = cos 2 + = cos 2 + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 － － － 推论： ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2 + = cos 2 + = cos 2 + = cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 － － － 函数的周期性 一、周期函数的定义 对于函数()f x ，如果存在一个非零常数．．．．T ，使得当x 取定义域内的每一个值．．．． 时，都有()()f x T f x +=， 那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 说明：（1）T 必须是常数，且不为零； （2）对周期函数来说()()f x T f x +=必须对定义域内的任意x 都成立。 二、常见函数的最小正周期 正弦函数 y =sin （ωx +φ）（w>0）最小正周期为T= ωπ2 y=cos （ωx+φ）（w>0）最小正周期为T= ω π 2 y =tan （ωx +φ）（w>0）最小正周期为T= ω π y =|sin （ωx +φ）|（w>0）最小正周期为T= ω π f(x)=C(C 为常数)是周期函数吗？有最小正周期吗？ 三、抽象函数的周期总结 1、)()(x f T x f =+ ?)(x f y =的周期为T 2、)()(x b f a x f +=+ )(b a < ?)(x f y =的周期为a b T -= 3、)()(x f a x f -=+ ?)(x f y =的周期为a T 2= 4、) ()(x f c a x f =+ (C 为常数) ?)(x f y =的周期为a T 2= 5 ) (1) (1)(x f x f a x f +-=+ ?)(x f y =的周期为a T 2= 6、 1)(1 )(+- =+x f a x f ?)(x f y =的周期为a T 4= 7、) (1) (1)(x f x f a x f -+=+ ?)(x f y =的周期为a T 4= 8、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ?)(x f y =的周期为a T 6= 9、)1()()2(++=++++n x f n x f n x f ；（它是周期函数，一个周期为6） 10、)(x f y =有两条对称轴a x =和b x =（)b a < ?)(x f y = 周期)(2a b T -= 11、)(x f y =有两个对称中心)0,(a 和)0,(b ?)(x f y = 周期)(2a b T -= 其中， 。 ! 4!3!21)(; ! 3!21)(; ! 21)(; 1)(;)exp(4 32443 23322211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y e x y x ++++==+++==++==+==== -3 -2-1 0123 -50 5 10 15 20 25 Figure 1 y=exp(x) and its Taylor expansion equation X Y 其中， 。 ! 7!5!3)(; !5!3)(; ! 3)(; )();sin(7 53775 35533311x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-===== -4 -3-2-1 01234 -8-6-4-202468Figure 2 y=sin(x) and its Taylor expansion equation X Y 其中， 。 ! 8!6!4!21)(; !6!4!21)(; ! 4!21)(; !21)(); cos(8 642886 42664 2442 22x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y +-+-==-+-==+-==-=== -4 -3-2-1 01234 -8-6 -4 -2 2 4 Figure 3 y=cos(x) and its Taylor expansion equation X Y 其中， 。 4 32)(; 3 2)(; 2 )(; )();1ln(4 32443 23322211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-====+= -1 -0.50 0.51 1.52 -3-2 -1 1 2 3 Figure 4 y=ln(x) and its Taylor expansion equation X Y 高考数学历年函数试 题及答案 1. 设（x ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x 1,x 2∈ [0，2 1 ]都有).()()(2121x f x f x x f ?=+ （Ⅰ）设);4 1 (),21(,2)1(f f f 求= （Ⅱ）证明)(x f 是周期函数。 2. 设函数.,1|2|)(2R x x x x f ∈--+= （Ⅰ）判断函数)(x f 的奇偶性； （Ⅱ）求函数)(x f 的最小值. 3． 已知函数()2sin (sin cos f x x x x =+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最大值； （Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数 ()y f x =在区间,22ππ??-? ??? 上的图象 x 4．（本小题满分12分）求函数x x x x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周 期、最大值和最小值. 5．（本小题满分12分）已知13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围. 6.△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，求当A 为何值时，2 cos 2cos C B A ++取得最大值，并求出这个最大值 7.设a 为实数，函数x a ax x x f )1()(223-+-=在)0,(-∞和),1(+∞都是增函数， 求 a 的取值范围. 8. 设函数f (x )=2x 3+3ax 2+3bx+8c 在x =1及x =2时取得极值. (Ⅰ)求a 、b 的值; (Ⅱ)若对于任意的x ,3,0〕〔∈ 都有f (x )＜c 2成立，求c 的取值范围. 9.已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）设函数()f x 在区间2133?? -- ??? ，内是减函数，求a 的取值范围． 10.在ABC ?中，内角A 、b 、c 的对边长分别为a 、b 、c.已知222a c b -=，且 sin 4cos sin B A C =，求b. 高中数学函数的周期性练习 题型一：求周期问题 【例1】 已知()f x 是定义在R 上的函数，(10)(10)f x f x +=-且(20)(20)f x f x -=-+，则()f x 是（ ） A . 周期为20的奇函数 B. 周期为20的偶函数 C. 周期为40的奇函数 D. 周期为40的偶函数 【例2】 求函数tan cot y αα=- 的最小正周期 【例3】 定义在R 上的函数()f x 满足(3)()0f x f x ++=，且函数32f x ??- ?? ?为奇函数．给出以下3个命题： ①函数()f x 的周期是6； ②函数()f x 的图象关于点302 ??- ???，对称； ③函数()f x 的图象关于y 轴对称，其中，真命题的个数是（ ）． A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【例4】 若y =f (2x )的图像关于直线2a x =和()2 b x b a =>对称，则f (x )的一个周期为（ ） A ． 2a b + B ．2()b a - C ．2 b a - D ．4()b a - 【例5】 已知函数()f x 对于任意,a b ∈R ，都有()()f a b f a b ++-2()()f a f b =?，且(0)0f ≠． ⑴求证：()f x 为偶函数； ⑵若存在正数m 使得()0f m =，求满足()()f x T f x +=的1个T 值（T ≠0）． 典例分析 【例6】 设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1x =对称．且对任意121,[0,]2 x x ∈，都有1212()()()f x x f x f x +=?，(1)0f a =>． ⑴求1()2f 及1()4 f ； ⑵证明()f x 是周期函数； 题型二：求值问题 【例7】 已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点304??- ??? ，成中心对称图形，且满足3()2f x f x ??=-+ ?? ?，(1)1f -=，(0)2f =-．那么，(1)(2)(2006)f f f +++L 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．1- D ．2- 【例8】 （2005天津卷）设f (x )是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于直线12 x =对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0_______________. 【例9】 （2006年安徽卷理）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()() 12f x f x += ，若()15,f =-则()()5f f =__________。 【例10】 (2006年山东卷）已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x ),则,f (6)的值为 ( ) (A )－1 (B) 0 (C) 1 (D)2 【例11】 （1996全国，15）设()f x 是(),-∞+∞上的奇函数，()()2f x f x +=-，当0≤x ≤1时，()f x x =， 则f （7.5）等于（ ） A .0.5 B.－0.5 C.1.5 D.－1.5 【例12】 已知函数f (x )的定义域为N ，且对任意正整数x ，都有f (x )＝f (x －1)＋f (x ＋1)若f (0)＝2004，求 f (2004) 全国卷历年高考函数与导数真题归类分析（含答案） （2015年-2018年共11套） 函数与导数小题（共23小题） 一、函数奇偶性与周期性 1.（2015年1卷13）若函数f （x ） =ln(x x 为偶函数，则a= 【解析】由题知ln(y x = 是奇函数，所以ln(ln(x x +- =2 2 ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1.考点：函数的奇偶性 2.（2018年2卷11）已知是定义域为的奇函数，满足 ．若 ， 则 A. B. 0 C. 2 D. 50 解：因为是定义域为 的奇函数，且 ， 所以, 因此， 因为 ，所以， ，从而 ，选C. 3.（2016年2卷12）已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1 x y x += 与()y f x =图像的交点为()11x y ，，()22x y ，，?，()m m x y ，，则()1 m i i i x y =+=∑（ ） （A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【解析】由()()2f x f x =-得()f x 关于()01， 对称，而11 1x y x x +==+也关于()01，对称， ∴对于每一组对称点'0i i x x += '=2i i y y +，∴()1 1 1 022 m m m i i i i i i i m x y x y m ===+=+=+? =∑∑∑，故选B ． 二、函数、方程与不等式 4.（2015年2卷5）设函数21 1log (2),1,()2,1, x x x f x x -+- 2015专题五：函数与导数 在解题中常用的有关结论（需要熟记）： (1)曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '，切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+ (2)若可导函数()y f x =在0x x =处取得极值，则0()0f x '=。反之，不成立。 (3)对于可导函数()f x ，不等式()f x '0>0<（）的解集决定函数()f x 的递增（减）区间。 (4)函数()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是：x I ?∈()f x '0≥(0)≤恒成立 (5)函数()f x 在区间I 上不单调等价于()f x 在区间I 上有极值，则可等价转化为方程 ()0f x '=在区间I 上有实根且为非二重根。 （若()f x '为二次函数且I=R ，则有0?>）。 (6)()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数，进而得到()f x '0≥或 ()f x '0≤在I 上恒成立 (7)若x I ?∈，()f x 0>恒成立，则min ()f x 0>; 若x I ?∈，()f x 0<恒成立，则max ()f x 0< (8)若0x I ?∈，使得0()f x 0>，则max ()f x 0>；若0x I ?∈，使得0()f x 0<，则min ()f x 0<. (9)设()f x 与()g x 的定义域的交集为D 若x ?∈D ()()f x g x >恒成立则有[]min ()()0f x g x -> (10)若对11x I ?∈、22x I ∈，12()()f x g x >恒成立，则min max ()()f x g x >. 若对11x I ?∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >. 若对11x I ?∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <. （11）已知()f x 在区间1I 上的值域为A,，()g x 在区间2I 上值域为B ， 若对11x I ?∈,22x I ?∈，使得1()f x =2()g x 成立，则A B ?。 (12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程()0f x '=有两个不等实根12x x 、，且极大值大 于0，极小值小于0. (13)证题中常用的不等式: ① ln 1(0)x x x ≤->② ln +1(1)x x x ≤>-（）③ 1x e x ≥+ ④ 1x e x -≥-⑤ ln 1 (1)12 x x x x -<>+⑥ 22 ln 11(0)22x x x x <-> 2．7 函数的周期性 ——函数的周期性不仅存在于三角函数中，在其它函数或者数列中“突然”出现的周期 性问题更能考查你的功底和灵活性，本讲重点复习一般函数的周期性问题 一.明确复习目标 1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期； 2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问 题。 二、建构知识网络 1.函数的周期性定义： 若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立，则f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的 2.若T 是周期，则k ·T （k ≠0,k ∈Z ）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。 一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非所都有最小正周期。如常函数f (x )=C ； 3.若函数f (x )对定义域内的任意x 满足：f (x+a )=f (x －a ),则2a 为函数f (x )的周期。 （若f (x )满足f (a+x )=f (a －x )则f (x )的图象以x=a 为图象的对称轴，应注意二者的区别) 4.若函数f(x)图象有两条对称轴x=a 和x=b ，（a 历届高考中的“指数函数和对数函数”试题汇编大全 一、选择题 1、已知???≥<+-=1,log 1 ,4)13()(x x x a x a x f a 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 （A ）(0,1) （B ）1 (0,)3 （C ）11[,)73 （D ）1[,1)7 2.、函数y=㏒2 1 -x x (x ﹥1)的反函数是 =122-x x (x >0) = 122-x x (x <0) =x x 212- (x >0) D. .y =x x 2 12- (x <0) 3、设f(x)＝x x -+22lg ，则)2 ()2(x f x f +的定义域为 A. ） ，（），（－4004 B.(－4,－1) (1，4) C. (－2,－1) (1，2) D. (－4,－2) (2，4) 4、函数2log 2y x =-( ) A.(3,+∞) B.[3, +∞) C.(4, +∞) D.[4, +∞) 5、与方程221(0)x x y e e x =-+≥的曲线关于直线y x =对称的曲线的方程为（ ） Ａ．ln(1)y x =+ Ｂ．ln(1)y x = Ｃ．ln(1y x =-+ Ｄ．ln(1)y x =-- 6、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则 A ．()22()x f x e x R =∈ B ．()2ln 2ln (0)f x x x => C ．()22()x f x e x R =∈ D ．()2ln ln 2(0)f x x x =+> 7、已知函数()ln 1(0)f x x x =+>，则()f x 的反函数为 （A ）1()x y e x R +=∈ （B ）1()x y e x R -=∈ （C ）1(1)x y e x +=> （D ） 1 (1)x y e x -=> 8、函数y ＝f (x )的图像与函数g (x )＝log 2x (x ＞0)的图像关于原点对称，则f (x )的表达式为 (A )f (x )＝1 log 2x (x ＞0) (B )f (x )＝log 2(－x )(x ＜0) (C )f (x )＝－log 2x (x ＞0) (D )f (x )＝－log 2(－x )(x ＜0) 9、函数y=1+a x (0 高中数学——函数的周期性 一、知识回顾 1．周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 2．最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 3．关于函数周期性常用的结论 (1)若满足()()f x a f x ＋＝－，则()(2)[()]()f x a f x a a f x a f x ＋＝＋＋＝－＋＝，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)； (2)若满足1()()f x a f x ＋＝，则(2)[()]f x a f x a a ＋＝＋＋＝ 1() f x a +＝()f x ，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)； (3)若函数满足1()() f x a f x +＝-，同理可得2a 是函数的一个周期(0a ≠). （4）如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±． （5）函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T -=?． （6）函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T -=?． （7）函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T -=?． 二、方法规律技巧 1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝Asin(ωx ＋φ)，用公式T ＝2π|ω| 计算．递推法：若f(x ＋a)＝－f(x)，则f(x ＋2a)＝f[(x ＋a)＋a]＝－f(x ＋a)＝f(x)，所以周期T ＝2a.换元法：若f(x ＋a)＝f(x －a)，令x －a ＝t ，x ＝t ＋a ，则f(t)＝f(t ＋2a)，所以周期T ＝2a ． 2．判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题． 3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期． 三角函数高考题汇总 1、在ABC ?中，内角C B A ,,所对的边为c b a ,,，)6 cos(sin π -=B a A b ， （Ⅰ）求B ∠的大小； （Ⅱ）设3,2==c a ，求)2sin(B A b -和的值.(2018天津理) 2、在ABC ?中，内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，.已知65==>c a b a ，，， (Ⅰ)求b 和A sin 的值； (Ⅱ)求)4 2sin(π + A 的值.(2017天津理) 3、已知函数3)3 cos()2sin( tan 4)(---?=π π x x x x f (Ⅰ)求f (x )的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论 )(x f 在区间[, 44ππ - ]上的单调性.(2016天津理) 4、已知函数()2 2 sin sin 6f x x x π?? =-- ?? ? ，R x ∈ （Ⅰ）求()f x 最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]34 ππ- 上的最大值和最小值.(2015天津理) 5、已知函数()2 3cos sin + 3cos ,34 f x x x x x R π?? =?-+∈ ?? ?. （Ⅰ）求)(x f 最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在闭区间[,]44 ππ - 上的最大值和最小值.(2014天津理) 6、已知函数()22sin(2)6sin cos 2cos 1,4 f x x x x x x R π =-+ +?-+∈. （Ⅰ）求)(x f 最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在区间[0, ]2 π 上的最大值和最小值.(2013天津理) 7、（2012文）将函数()sin f x x ω=（其中ω>0）的图像向右平移4 π 个单位长度，所得图像经过点)0,43(π， 则ω的最小值是 （A ）1 3 （B ）1C ）5 3 （D ）2 8、（2012文）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的分别是a,b ，c 。已知a=2.c=2,cosA=2- 4 . 浙江省衢州市仲尼中学高三数学一轮复习教案：函数的周期性 教材分析：函数的奇偶性、周期性是函数的一个重要的性质，为高考中的必考知识点；常用 函数的概念、图像、单调性、周期性、对称性等综合考核。 学情分析：大多数学生了解函数的奇偶性、周期性的概念，但对判断函数奇偶性的判断和应 用，对函数的周期的求法还没有掌握。 教学目标：结合具体函数，了解函数奇偶性和周期性的含义；会运用函数图像判断函数奇偶 性和周期，利用图像研究函数的奇偶性和周期。 教学重点、难点：函数奇偶性和周期的判断，结合图像解决函数的奇偶性和周期性问题。 教学流程： 一、回顾上节课内容（问答式） C1.奇偶函数的判断基本步骤： （1）先求定义域，定义域不对称则函数为非奇非偶函数； （2）定义域对称则利用定义判断函数奇偶性。 C2.奇偶函数的图像特征：奇函数图像关于原点（0，0）对称；偶函数关于y 轴对称。 二、函数的周期 C 1.周期的概念 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)叫做周期函数，非零常数T 叫f(x)的周期，如果所以的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)最小正周期。 C 判断：最小正周期相同的两个函数的和，其最小正周期是不变。 答：错,不一定不变 2.周期函数的性质 C (1)周期函数不一定有最小正周期，若T ≠0是f(x)的周期，则ｋT(k ∈Z,k ≠0)也是的周期，周期函数的定义域无上、下届。 （2）如何判断函数的周期性: ⑴定义; ⑵图象; ⑶利用下列补充性质：设a>0， C-①函数y=f(x),x ∈R,若f(x+a)=f(x-a)，则函数的周期为2a 。 B-②函数y=f(x),x ∈R,若f(x+a)=-f(x)，则函数的周期为 2a 。 B-③函数y=f(x),x ∈R,若 ，则函数的周期为 2a 。 B-④函数f(x)时关于直线 x=a 与x=b 对称，那么函数f(x)的周期为||2a b - 了解证明过程： 证明：由已知得： )(1)(x f a x f -=+) ()(,)()(x b f x b f x a f x a f -=+-=+[][] )2()(2x a b b f x a b f +-+=+-∴[])2(x a b b f +--=) 2(x a f -=(完整版)高中数学三角函数历年高考题汇编(附答案)
些常用函数及其泰勒展开式的图像
历年高考理科数学大题公式表
高中数学 函数周期性总结
一些常用函数及其泰勒(Taylor)展开式的图像
高考数学历年函数试题及答案教学内容
高中数学函数的周期性练习
全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)
2015高考复习专题五 函数与导数 含近年高考试题
高三数学函数的周期性
指数函数和对数函数历年高考题汇编附答案
高中数学——函数的周期性
天津历年高考试题三角函数
高三数学一轮复习 函数的周期性教案