标准差(方差)的概念与应用

标准差(方差)的概念与应用
标准差(方差)的概念与应用

标准差

公式

标准差也被称为标准偏差,或者实验标准差,公式如图。

简单来说,标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。一个较大的标准差,代表大部分数值和其平均值之间差异较大;一个较小的标准差,代表这些数值较接近平均值。

例如,两组数的集合{0, 5, 9, 14} 和{5, 6, 8, 9} 其平均值都是7 ,但第二个集合具有较小的标准差。

标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中,做重复性测量时,测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值,测量值的标准差占有决定性重要角色:如果测量平均值与预测值相差太远(同时与标准差数值做比较),则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解,因为如果测量值都落在一定数值范围之外,可以合理推论预测值是否正确。

标准差应用于投资上,可作为量度回报稳定性的指标。标准差数值越大,代表回报远离过去平均数值,回报较不稳定故风险越高。相反,标准差数值越细,代表回报较为稳定,风险亦较小。

例如,A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验,A组的分数为95、85、7 5、65、55、45,B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70,但A组的标准差为17.07分,B组的标准差为2.37分(此数据时在R统计软件中运行获得),说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。

如是总体,标准差公式根号内除以n

如是样本,标准差公式根号内除以(n-1)

因为我们大量接触的是样本,所以普遍使用根号内除以(n-1)

公式意义

所有数减去其平均值的平方和,所得结果除以该组数之个数(或个数减一),再把所得值开根号,所得之数就是这组数据的标准差。

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标准差的意义

标准差越高,表示实验数据越离散,也就是说越不精确

反之,标准差越低,代表实验的数据越精确

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离散度

标准差是反应一组数据离散程度最常用的一种量化形式,是表示精密确的最要指标。说起标准差首先得搞清楚它出现的目的。我们使用方法去检测它,但检测方法总是有误差的,所以检测值并不是其真实值。检测值与真实值之间的差距就是评价检测方法最有决定性的指标。但是真实值是多少,不得而知。因此怎样量化检测方法的准确性就成了难题。这也是临床工作质控的目的:保证每批实验结果的准确可靠。

虽然样本的真实值是不可能知道的,但是每个样本总是会有一个真实值的,不管它究竟是多少。可以想象,一个好的检测方法,基检测值应该很紧密的分散在真实值周围。如何不紧密,那距真实值的就会大,准确性当然也就不好了,不可能想象离散度大的方法,会测出准确的结果。因此,离散度是评价方法的好坏的最重要也是最基本的指标。

一组数据怎样去评价和量化它的离散度呢?人们使用了很多种方法:

极差

最直接也是最简单的方法,即最大值-最小值(也就是极差)来评价一组数据的离散度。这一方法在日常生活中最为常见,比如比赛中去掉最高最低分就是极差的具体应用。

离均差的平方和

由于误差的不可控性,因此只由两个数据来评判一组数据是不科学的。所以人们在要求更高的领域不使用极差来评判。其实,离散度就是数据偏离平均值的程度。因此将数据与均值之差(我们叫它离均差)加起来就能反映出一个准确的离散程度。和越大离散度也就越大。

但是由于偶然误差是成正态分布的,离均差有正有负,对于大样本离均差的代数和为零的。为了避免正负问题,在数学有上有两种方法:一种是取绝对值,也就是常说的离均差绝对值之和。而为了避免符号问题,数学上最常用的是另一种方法--平方,这样就都成了非负数。因此,离均差的平方和成了评价离散度一个指标。

方差(S2)

由于离均差的平方和与样本个数有关,只能反应相同样本的离散度,而实际工作中做比较很难做到相同的样本,因此为了消除样本个数的影响,增加可比性,将标准

差求平均值,这就是我们所说的方差成了评价离散度的较好指标。

样本量越大越能反映真实的情况,而算数均值却完全忽略了这个问题,对此统计学上早有考虑,在统计学中样本的均差多是除以自由度(n-1),它是意思是样本能自由选择的程度。当选到只剩一个时,它不可能再有自由了,所以自由度是n-1。

标准差(SD)

由于方差是数据的平方,与检测值本身相差太大,人们难以直观的衡量,所以常用方差开根号换算回来这就是我们要说的标准差。

在统计学中样本的均差多是除以自由度(n-1),它是意思是样本能自由选择的程度。当选到只剩一个时,它不可能再有自由了,所以自由度是n-1。

变异系数(CV)

标准差能很客观准确的反映一组数据的离散程度,但是对于不同的检目,或同一项目不同的样本,标准差就缺乏可比性了,因此对于方法学评价来说又引入了变异系数CV。

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标准差与平均值之间的关系

一组数据的平均值及标准差常常同时做为参考的依据。在直觉上,如果数值的中心以平均值来考虑,则标准差为统计分布之一“自然”的测量。

定义公式:

标准差与平均值定义公式

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标准差公式

1、方差s^2=[(x1-x)^2+(x2-x)^2+......(xn-x)^2]/n

2、标准差=方差的算术平方根

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几何学解释

从几何学的角度出发,标准差可以理解为一个从n 维空间的一个点到一条直线的距离的函数。举一个简单的例子,一组数据中有3个值,X1,X2,X3。它们可以在3维空间中确定一个点P = (X1,X2,X3)。想像一条通过原点的直线。如果这组数据中的3个值都相等,则点P 就是直线L 上的一个点,P 到L 的距离为0, 所以标准差也为0。若这3个值不都相等,过点P 作垂线PR 垂直于L,PR 交L 于点R,则R 的坐标为这3个值的平均数:

公式

运用一些代数知识,不难发现点P 与点R 之间的距离(也就是点P 到直线L 的距离)是。在n 维空间中,这个规律同样适用,把3换成n 就可以了。

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标准差与标准误的区别

标准差与标准误都是心理统计学的内容,两者不但在字面上比较相近,而且两者都是表示距离某一个标准值或中间值的离散程度,即都表示变异程度,但是两者是有着较大的区别的。

首先要从统计抽样的方面说起。现实生活或者调查研究中,我们常常无法对某类欲进行调查的目标群体的所有成员都加以施测,而只能够在所有成员(即样本)中抽取一些成员出来进行调查,然后利用统计原理和方法对所得数据进行分析,分析出来的数据结果就是样本的结果,然后用样本结果推断总体的情况。一个总体可以抽取出多个样本,所抽取的样本越多,其样本均值就越接近总体数据的平均值。

标准差(standard deviation, STD)

表示的就是样本数据的离散程度。标准差就是样本平均数方差的开平方,标准差通常是相对于样本数据的平均值而定的,通常用M±SD来表示,表示样本某个数据观察值相距平均值有多远。从这里可以看到,标准差收到极值的影响。标准差越小,表明数据越聚集;标准差越大,表明数据越离散。标准差的大小因测验而定,如果一个测验是学术测验,标准差大,表示学生分数的离散程度大,更能够测量出学生的学业水平;如果一个侧样测量的是某种心理品质,标准差小,表明所编写的题目是同质的,这时候的标准差小的更好。标准差与正态分布有密切联系:在正态分布中,1个标准

差等于正态分布下曲线的68.26%的面积,1.96个标准差等于95%的面积。这在测验分数等值上有重要作用。

标准误(standard error, SE)

表示的是抽样的误差。因为从一个总体中可以抽取出无多个样本,每一个样本的数据都是对总体的数据的估计。标准误代表的就是当前的样本对总体数据的估计,标准误代表的就是样本均数与总体均数的相对误差。标准误是由样本的标准差除以样本人数的开平方来计算的。从这里可以看到,标准误更大的是受到样本人数的影响。样本人数越大,标准误越小,那么抽样误差就越小,就表明所抽取的样本能够较好地代表样本。

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Excel函数

关于这个函数在EXCEL中的STDEVP函数有详细描述,EXCEL中文版里面就是用的“标准偏差”字样。但我国的中文教材等通常还是使用的是“标准差”。

在EXCEL中STDEVP函数是另外一种标准差,也就是总体标准差。在繁体中文的一些地方可能叫做“母体标准差”

在R统计软件中标准差的程序为:sum((x-mean(x))^2)/(length(x)-1)

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外汇术语

标准差指统计上用于衡量一组数值中某一数值与其平均值差异程度的指标。标准差被用来评估价格可能的变化或波动程度。标准差越大,价格波动的范围就越广,股票等金融工具表现的波动就越大。

在excel中调用函数

“STDEV“

估算样本的标准偏差。标准偏差反映相对于平均值(mean) 的离散程度。

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样本标准差

在真实世界中,除非在某些特殊情况下,不然找到一个总体的真实的标准差是不现实的。大多数情况下,总体标准差是通过随机抽取一定量的样本并计算样本标准差估计的。

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应用实例

选基金

在投资基金上,一般人比较重视的是业绩,但往往买进了

基金的算法

近期业绩表现最佳的基金之后,基金表现反而不如预期,这是因为所选基金波动度太大,没有稳定的表现。

衡量基金波动程度的工具就是标准差(Standard Deviation)。标准差是指基金可能的变动程度。标准差越大,基金未来净值可能变动的程度就越大,稳定度就越小,风险就越高。

比方说,一年期标准差是30%的基金,表示这类基金的净值在一年内可能上涨3 0%,但也可能下跌30%。因此,如果有两只收益率相同的基金,投资人应该选择标准差较小的基金(承受较小的风险得到相同的收益),如果有两只相同标准差的基金,则应该选择收益较高的基金(承受相同的风险,但是收益更高)。建议投资人同时将收益和风险计入,以此来判断基金。例如,A基金二年期的收益率为36%,标准差为1 8%;B基金二年期收益率为24%,标准差为8%,从数据上看,A基金的收益高于B基金,但同时风险也大于B基金。A基金的"每单位风险收益率"为2(0.36/0.18),而B基金为3(0.24/0.08)。因此,原先仅仅以收益评价是A基金较优,但是经过标准

差即风险因素调整后,B基金反而更为优异。

另外,标准差也可以用来判断基金属性。据晨星统计,今年以来股票基金的平均标准差为5.14,积配型基金的平均标准差为5.04;保守配置型基金的平均标准差为4. 86;普通债券基金平均标准差为2.91;货币基金平均标准差则为0.19;由此可见,越是积极型的基金,标准差越大;而如果投资人持有的基金标准差高于平均值,则表示风险较高,投资人不妨在观赏奥运比赛的同时,也检视一下手中的基金。

股市分析中

股票价格的波动是股票市场风险的表现,因此股票市场风险分析就是对股票市场价格波动进行分析。波动性代表了未来价格取值的不确定性,这种不确定性一般用方差或标准差来刻画(Markowitz,1952)。下表是中国和美国部分时段的股票统计指标,其中中国证券市场的数据由“钱龙”软件下载,美国证券市场的数据取自ECI的“World Stock Exchange Data Disk”。表2股票统计指标

通过计算可以得到:

上证综指业绩期望值≈(110.93-0.13+8.94+17.24+43.86-15.34-20.82)/7=20.67 上证波动率期望值≈0.1156

标准普尔业绩期望值≈6.7214

标准普尔波动率期望值≈0.0680

而标准差的计算公式则根据公

分析图2

式(2)计算:

上证综指的业绩标准差

上证波动率标准差≈0.0632

标准普尔指数业绩标准差≈21.71

标准普尔波动率标准差≈0.02365

因为标准差是绝对值,不能通过标准差对中美直接进行对比,而变异系数可以直接比较。计算可得:

上证业绩变异系数≈45.2457/20.67≈2.1889

上证波动率变异系数≈0.0632/0.1156≈0.5467

标准普尔业绩变异系数≈21.71/6.7214≈3.2299

标准普尔波动率变异系数≈0.02365/0.0680≈0.3478

通过比较可以看出上证波动率变异系数要大于标准普尔波动率变异系数,说明长期来讲中国股市稳定性相对较差,还是一个不太成熟的股票市场。

标准差在确定企业最优资本结构中的应用

资本结构指的是企业各种资金来源的比例关系,是企业筹资活动的结果。最优资本结构是指能使企业资本成本最低且企业价值最大的资本结构;产权比率,即借入资本与自有资本的构成比例,是反映企业资本结构的重要变量。企业的资产由债务性资金和权益性资金组成,但其

分析图

风险等级和收益率各不相同。根据投资组合理论,投资的多样化可以分散掉一定的风险,因此资金提供者需要决定投资于债务性资金和权益性资金的比例。以便在权衡风

险和收益的情况下保证其利益的最大化。

理论探索而外部资金提供者利益的最大化也就是企业价值的最大化,这一投资比例对于企业融资而言也就是企业的最优资本结构比例。

假定某企业的资金通过发行债券和股票两种方式获得,并且都属于风险性资产。σ其中债券的收益率为r D,风险通过标准差σD来衡量;股票的收益率为r E,风险为σE;股票和债券的相关系数为p DE,协方差为COV(r D,r E);债券所占的比重为w D,股票所占比重为W E(W D + W E = 1)。根据投资组合理论,企业外部投资者对该企业投资所获的期望收益率为E(r p) = W D E(r D) + w E E(r E),方差为

方差

1、企业债务性资金和权益性资金完全正相关,即相关系数p DE为1。企业外部投资者获得的期望收益率为E(r p) = w D E(r D) + w E E(r E),风险标准差为σ = w DσD + w EσE,也就是组合的标准差等于各个部分标准差的加权平均值,通过投资组合不可能分散掉投资风险。根据投资组合理论,投资组合的不同比例对于投资者而言是无差异的。

2、企业债务性资金和权益性资金完全负相关,即其相关系数为-1。投资者获得的报酬率的期望值及其方差分别为。根据投资组合理论,只有当投资比例大于σE / (σD + σE)时其投资组合才是有效的。对于企业筹资而言,也即企业的权益性资金的比例大干σE / (σD + σE),企业的筹资比例才是有效的,而且当组合比例为σE / (σ

D + σE)时,企业的筹资组合风险为零。

3、企业债务性资金和权益性资金的相关系数大于-1小于1。理论上,一个企业的两种筹资方式之间的相关程度较高,一方面两种筹资方式都承担系统风险,另一方面它们也承担相同的公司风险。因此从实践来看,企业的不同筹资方式间的相关程度不可能是完全的正相关和负相关。对于一个企业而言,债务性资金对企业有固定的要求权,权益性资金对企业只有剩余要求权,因此债务性资金的波动不可能像权益性资金的波动那么大。同时企业的风险会同时影响企业的债务性资金和权益性资金,因此企业的债务性资金和权益性资金的相关系数不可能为负数。企业不同的筹资方式间的相关系数一般在0-1之间。

那么究竟在什么比例下企业的价值才会达到最大呢?根据投资组合理论,当E(r1) > E(r2),且

方差3

时,才能出现r1,优于r2。可见,决定企业资本结构的直接因素主要是不同筹资方式的收益率和风险以及它们之间的相关系数。

第一节方差与标准差

方差(Variance)也称变异数、均方。作为统计量,常用符号S2表示,作为总体参数,常用符号σ2表示。它是每个数据与该组数据平均数之差乘方后的均值,即离均差平方后的平均数。方差,在数理统计中又常称之为二阶中心矩或二级动差。它是度量数据分散程度的一个很重要的统计特征数。标准差(Standard deviation)即方差的平方根,常用S或SD表示。若用σ表示,则是指总体的标准差,本章只讨论对一组数据的描述,尚未涉及总体问题,故本章方差的符号用S2,标准差的符号用S。符号不同,其含义不完全一样,这一点望读者能够给予充分的注意。

一、方差与标准差的计算

(一)未分组的数据求方差与标准差

基本公式是:

(3—la)

(3—1b)表3—1说明公式3—1a与3—1b的计算步骤

表3—1 未分组的数据求方差与标准差

应用3—1公式的具体步骤:①先求平均数X=36/6=6;②计算X

-X;③求(Xi - X)2

i

即离均差x2;④将各离均差的平方求和 (∑x2);⑤代入公式3—1a与3—1b求方差与标准差。具体结果如下:

S2=10/6=1.67

(二)已分组的数据求标准差与方差

数据分组后,便以次数分布表的形式出现,这时原始数据不见了,若计算方差与标准差可用下式:

(3—3a)

(3—3b)

式中d=(Xc - AM) / i,AM为估计平均数

Xc为各分组区间的组中值

f为各组区间的次数

N=Σf 为总次数或各组次数和

i为组距。

下面以表1—8数据为例,说明分组数据求方差与标准差的步骤:

表3—2 次数分布表求方差与标准差

具体步骤:

①设估计平均数AM,任选一区间的Xc充任;

②求d

⑧用f乘d,并计算Σfd;

④用d与fd相乘得fd2,并求Σfd2;

⑤代入公式计算。

二、方差与标准差的意义

方差与标准差是表示一组数据离散程度的最好的指标。其值越大,说明离散程度大,其值小说明数据比较集中,它是统计描述与统计分析中最常应用的差异量数。它基本具备一个良好的差异量数应具备的条件:①反应灵敏,每个数据取值的变化,方差或标准差都随之变化;②有一定的计算公式严密确定;③容易计算;④适合代数运算;⑤受抽样变动的影响小,即不同样本的标准差或方差比较稳定;⑥简单明了,这一点与其他差异量数比较稍有不足,但其意义还是较明白的。

除上述之外,方差还具有可加性特点,它是对一组数据中造成各种变异的总和的测量,能利用其可加性分解并确定出属于不同来源的变异性(如组间、组内等)并可进一步说明每种变异对总结果的影响,是以后统计推论部分常用的统计特征数。在描述统计部分,只需要标准差就足以表明一组数据的离中趋势了。标准差比其他各种差异量数具有数学上的优越性,特别是当已知一组数据的平均数与标准差后,便可知占一定百分比的数据落在平均数上下各两个标准差,或三个标准差之内。对于任何一个数据集合,至少有1一1/h2的数据落在平均数的h(大于1的实数)个标准差之内。(切比雪夫定理)。例如某组数据的平均数为50,标准差是5,则至少有75%(1一1/22)的数据落在50-2*5至50+2*5即40至60之间,至少有88.9%

(1一1/32)的数据落在50-3*5至50+3*5=35—65之间 (h=2,1-1/h2=1-1/22=3/4=75%,h=3, -1/h2=1-1/32=8/9=88.9%)。

如果数据是呈正态分布,则数据将以更大的百分数落在平均数上下两个标准差之内(95%)或三个标准差之内 (99.%)。

三、由各小组的标准差求总标准差

由于方差具有可加性特点,在已知几个小组的方差或标准差的情况下,可以计算出几个小组联合在一起的总的方差或标准差。这种计算常在科研协作中应用,例如先了解各班学生情况,再了解全年级情况;或先了解各年级情况,再了解全校总的情况。但这种方差或标准差的合成,只有在应用同一种观测手段,测量的是同一个特质,只是样本不同时,才能应用。

计算总方差或总标准差的公式如下;

(3—4a)

(3—4b)

式中为总方差

为总标准差

N

1…N

n

为各小组数据个数

为总平均数为各小组的平均数

四、标准差的应用

(一)差异系数(Coefficient of variation)

当所观测的样本水平比较接近,而且是对同一个特质使用同一种测量工具进行测量时,要比较不同样本之间离散程度的大小,一般可直接比较标准差或方差的大小-标准差的值大说明该组数据较分散,若标准差小,则说明该组数据较集中。标准差的单位与原数据的单位相同,因而有时称它为绝对差异量。在对不同样本的观测结果的离散程度进行比较时,常会遇到下述情况:①两个或多个样本所测的特质不同,即所使用的观测工具不同,如何比较其

离散程度?②即使使用的是同+种观测工具,但样本的水平相差较大时,如何比较它们的离散程度?在第一种情况下,标准差的单位不同,显然不能直接比较标准差的大小。第二种情况虽然标准差的单位相同,但两样本的水平不同,这可从平均数的大小明显不同确定。通常情况下,平均数的值较大,其标准差的值一般也较大,平均数的值较小,其标准差的值也较小。这种情况下,若直接比较标准差取值的大小,借以比较不同样本的分散情况是无意义的。可见,上述两种情况下,若用绝对差异量进行直接比较以确定其分散程度的大小是不行的,这时可用相对差异量进行比较。最常用的相对差异量就是差异系数。差异系数,又称变异系数、相对标准差等,通常用符号CV表示,其计算如下,

CV=S / M * 100% (3—5)

式中S为某样本的标准差

M为该样本的平均数。

差异系数在心理与教育研究中常用于:①同一团体不同观测值离散程度的比较,②对于水平相差较大,但进行的是同一种观测的各种团体,进行观测值离散程度的比较。

例2 已知某小学一年级学生的平均体重为25公斤,体重的标准差是3.7公斤,平均身高110厘米,标准差为6.2厘米,问体重与身高的离散程度哪个大?

=3.7 / 25 * 100%=14.8%

解: CV

体重

CV身高=6.2 / 110 * 100%=5.64%

通过比较差异系数可知,体重的分散程度比身高的分散程度大(14.8%>5.64%)。

例3 通过同一个测验,一年级(7岁)学生的平均分数为60分,标准差为4.02分,五年级(14岁)学生的平均分数为 80分,标准差为6.04分,问这两个年级的测验分数中哪一个分散程度大?

解: CV一年级=4.02 / 60 * 100%= 6.7%

CV五年级=6.04 /80 * 100%= 7.55%

答;五年级的测验分数分散程度大。

在应用差异系数比较相对差异大小时,一般应注意测量的数据要保证具有等距的尺度,这时计算的平均数和标准差才有意义,应用差异系数进行比较也才有意义。另外,观测工具应具备绝对零,这时应用差异系数去比较分散程度效果才更好。因此,差异系数常用于重量、长度、时间,编制得好的测验量表范围内。第三,差异系数只能用于一般的相对差异量的描述上,至今尚无有效的假设检验方法,因此对差异系数不能进行统计推论。

(二)标准分数(standard score)

标准分数又称基分数或z分数,是以标准差为单位表示一个分数在团体中所处位置的相对位置量数。

1.计算公式;

Z = (X—)/ S (3—6)

式中X代表原始数据,X为一组数据的平均数,S为标准差。从公式3—6可以明了,Z 分数的意义,它是一个数与平均数之差除以标准差所得的商数,它无实际单位。如果了个数小于平均数,其值为负数,如果一个数的值大于平均数,其值为正数,如果一个数的值等于平均数,其值为零。可见Z分数可以表明原数目在该组数据分布中的位置,故称为相对位置量数。

例4 某班平均成绩为90分,标准差为3分,甲生得94.2分,乙生得89.1分,求甲乙'学生的Z分数各是多少?

解:根据公式3—6

Z甲=(94.2—90) / 3 = 1.4

Z乙=(89.1—90) / 3 = -0.3

Z分数表示其原分数在以平均数为中心时的相对位置,这比使用平均数和原分数表达了更多的信息。

2.Z分数的性质

①在一组数据中所有由原分数转换得出的z分数之和为零,其Z分数的平均数亦为零。

②一组数据中各z分数的标准差为1。

3.Z分数的应用

①Z分数可用于比较分属性质不同的观测值在各自数据分布中相对位置的高低。因为z 分数可以表明各原数目在该组数据分布中的相对位置,它无实际单位。这样不同观测值的比较便可进行。这里所说的数据分布中相对位置包括两个意思,一个是表示某原数目以平均数为中心以标准差为单位所处距离的远近与方向;另一个意思是表示某原数目在该组数据分布中的位置,即在该数目以下或以上的数据各有多少,如果在一个正态分布(或至少是一个对称分布)中,这两个意思可合二为一。但在一个偏态分布中,这两个意思就不能统一。这一点在应用z分数时要特别注意。例如有一人的身高是170厘米,体重是65公斤(也可以是另一人的体重),究竟身高还是体重在各自的分布中较高?这是属于两种不同质的观测,不能直接比较。但若我们知道各自数据分布的平均数与标准差,这样我们可分别求出z分数进行比

较。设Z

身高1.70=0.5,Z

体重65

=1.2,则可得出该人的体重离平均数的距离要比身高离平均数

的距离远,即该人在某团体中身高稍偏高,而体重更偏重些。如果该团体,身高与体重的次

数分布为正态,我们还可更确切地知道该人的身高与体重在次数分布的相对位置是多少,从而进行更确切(或更数量化)的比较。 、

②当已知各不同质的观测值的次数分布为正态时,可用z 分数求不同的观测值的总和或平均值,以示在团体中的相对位置。在算术平均数一节中讲到,在计算平均数时,要求数据必须同质,否则会使平均数没有意义,但有时需要将不同质的数据合成,这时可采用Z 分数。例如已知高考的各科成绩分布是正态分布,但是由于各科的难易度不同,因此,各科成绩就属于不同质的数据。以前常采取总和分数或求平均分数的方法,这是不科学的。如果应用Z 分数求总和或平均数则更有意义。类似这种情况有期末成绩总和等。举例如下

表3-3 利用Z 分数求总和

假设二例是高等学校入学考试两名考生甲与乙的成绩分数。如果按总分录取则取乙生,若按标准分数录取则应取甲生;为何会出现如此悬殊的差别?这是由于不恰当地计算总和分数造成的,因为各科成绩难易度不同,分散程度也不同;:各门学科的成绩分数是不等价的,亦即数据是不同质的,这时应用总和分数不够科学,故此出现这类问题,科学的方法应当用Z 分数合成。从Z 分数可知甲生多数成绩是在平均数以上,即使有两种成绩低于平均数,差别也小。总之成绩较稳定且在分布较高处,而乙生则不然。可见应用Z 分数更趋合理。

③表示标准测验分数

经过标准化的心理与教育测验,如果其常模分数分布接近正态分布,常常转换成正态标准分数。转换公式为

Z= aZ + b (3—7)

式中Z '为正态标准分数,Z =(X —

)/σ,a 、b 为常数,σ为测验常模的标准差。

例如早期的智力测验所测的智力指标为智商(IQ)

这种表示智力的方法有一定局限性,因为人到成年以后智力不再随年龄而增长,到了老年甚至智力有衰退。要用上面的公式表示,则不好。因此,韦克斯勒(D.Wechsler)制定新的智力量表时则用离差智商的概念表示一个人在同龄团体中的相对智力。

IQ=15Z+100

(WAIS)韦氏成人智力量表,其中Z = (X—)/ S ,X为原分数,为某团体(或年龄组)的平均数,S为该年龄组的标准差。离差智商的常数100与15实际为总平均数与标准差。类似的标准测验分数还有:普通分类测验(AGCT)Z'=20Z+100,比纳—西蒙智力测验Z'=16Z+100等等。应用正态标准分数能更清楚地表明:某一分数在相应团体中的位置。

(三)异常值的取舍

在十个正态分布中,平均数上下一定的标准差处,包含有确定百分数的数据个数;根据这个原理,在整理数据时,常采用主个标准差法则,,取舍数据,即如果有一个数据的取值落在平均数加减三个标准差之外,则在整理数据时,可将此数据作为异常值加以舍弃。以上是指数据较多的情况,如果数据个数较少,亦可根据下表所列的标准差数的一半(全距与标准差比率一半)乘以标准差,然后再求与平均数的和、差,并以此二值为界取舍数据。

标准差公式

标准差(Standard Deviation ) ,也称均方差(mean square error ),是各数据偏离平均数的距离的平均数,它是离均差平方和平均后的方根,用S (σ)表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的,标准差未必相同。 标准差也被称为标准偏差,或者实验标准差,公式如下两式: ()1 n x x S n 1 i 2 i --= ∑= 或 1 n n x x S 2 n 1i i n 1 i 2i -??? ??- =∑∑ == 即: () 1 n x x 1 n n x x S n 1 i 2 i 2 n 1i i n 1 i 2i --= -??? ??- = ∑∑∑ === 如是总体,标准差公式根号内除以n 如是样本,标准差公式根号内除以(n-1) 因为我们大量接触的是样本,所以普遍使用根号内除以(n-1) 公式意义 所有数减去其平均值的平方和,所得结果除以该组数之个数(或个数减一),再把所得值开根号,所得之数就是这组数据的标准差。 标准差越高,表示实验数据越离散,也就是说越不精确;反之,标准

差越低,代表实验的数据越精确 简单来说,标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。一个较大的标准差,代表大部分数值和其平均值之间差异较大;一个较小的标准差,代表这些数值较接近平均值。 例如,两组数的集合{0, 5, 9, 14} 和{5, 6, 8, 9} 其平均值都是7 ,但第二个集合具有较小的标准差。 标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中,做重复性测量时,测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值,测量值的标准差占有决定性重要角色:如果测量平均值与预测值相差太远(同时与标准差数值做比较),则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解,因为如果测量值都落在一定数值范围之外,可以合理推论预测值是否正确。 标准差应用于投资上,可作为量度回报稳定性的指标。标准差数值越大,代表回报远离过去平均数值,回报较不稳定故风险越高。相反,标准差数值越细,代表回报较为稳定,风险亦较小。 例如,A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验,A组的分数为95、85、75、65、55、45,B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70,但A组的标准差为17.07分,B组的标准差为2.37分(此数据时在R统计软件中运行获得),说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。

标准差σ的4种计算公式

标准差σ的4种计算公式: 简易标准差,Rbar/d2,Sbar/C4和Minitab中 标准差σ的4种计算公式: 简易标准差,Rbar/d2,Sbar/C4和Minitab中的Pooled standard deviation(合并标准差) 做数据分析,经常会碰到提到标准差σ这个概念,关于标准差σ的计算方式,目前,本人知道有4种标准差σ的计算方法,如下: 一,简易标准差σ的计算方式 上面是计算整体的标准差,如果是计算样本的标准差,这里的N, 应该为N-1. 一般情况下,都是计算样本的标准差。关于这个标准的详细运算公式和案例分析,可以参考附件,里面有比较详细的解释。 标准差的简易计算公式和案例分析.rar(28.19 KB, 下载次数: 1262) 二,XBAR-R管制图分析( X-R Control Chart)图中的Rbar/d2 算法 XBAR-R管制图分析( X-R Control Chart):由平均数管制图与全距管制图组成。 ●品质数据可以合理分组时,可以使用X管制图分析或管制制程平均;使用R管制图分析制程变异。 ●工业界最常使用的计量值管制图。

关于上面公式中用到的A2、A3、D2、D3、D4等常数请参考帖子下面的表格三,XBAR-s管制图分析( X-sControl Chart)中的Sbar/C4算法 XBAR-S 管制图分析( X-S Control Chart):由平均数管制图与标准差管制图组成。 ●与X-R管制图相同,惟s管制图检出力较R管制图大,但计算麻烦。 ●一般样本大小n小于等于8可以使用R管制图,n大于8则使用S管制图。 ●有电脑软件辅助时,使用S管制图当然较好。

方差与标准差

.方差与标准差

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§2、1 方差与标准差审核人:戴蔚 【目标导航】 1.经历刻画数据离散程度的探索过程,感受表示数据离散程度的必要性. 2.掌握方差和标准差的概念,卉计算方差和标准差,理解它们的统计意义. 3.经历探索极差、方差的应用过程,体会数据波动中的极差、方差的求法时以及区别,积累统计经验. 【要点梳理】 1.我们知道极差只能反映一组数据中两个之间的大小情况,而对其他数据的波动情况不敏感. 2.描述一组数据的离散程度可以采取许多方法,在统计中常采用先求这组数据的,再求这组数据与的差的的平均数,用这个平均数来衡量这组数据的波动性大小 3.设在一组数据X1,X2,X3,X4,……X N中,各数据与它们的平均数的差的平方分别是(X1- )2,(X2- )2,(X3- )2,……,(X n- )2,,那么我们求它们的平均数,即用S2= . 4.一组数据方差的算术平方根叫做这组数据的。 5.方差是描述一组数据的特征数,可通过比较其大小判断波动的大小,方差说明数据越稳定,6.为什么要这样定义方差? 7.为什么要除以数据的个数n? 8.标准差与方差的区别和联系? 【问题探究】 知识点1.探究计算数据方差和标准差的必要性 例1.质检部门从A、B两厂生产的乒乓球中各抽取了10只,对这些乒乓球的直径进行了检测,结果如下(单位:mm)A厂:40.0 ,39.9 ,40.0 ,40.1 ,40.2 ,39.8 ,40.0 ,39.9 ,40.0 ,40.1 B厂:39.8 ,40.2 ,39.8 ,40.2 ,39.9 ,40.1 ,39.8 ,40.2 ,39.8 ,40.2 思考探索:1、请你算一算它们的平均数和极差? 2、根据它们的平均数和极差,你能断定这两个厂生产的乒乓球直径同样标准吗? 3、观察根据上面数据绘制成的下图,你能发现哪组数据较稳定吗? 直径/mm 直径/mm

标准差

标准差 次数分布中的数据不仅有集中趋势,而且还有离中趋势。所谓离中趋势指的是数据具有偏离中心位置的趋势,它反映了一组数据本身的离散程度和差异性程度。标准差能综合反映一组数据的离散程度或个别差异程度。 例如,甲、乙两班学生各50人,其语文平均成绩都是80分,但甲班最高成绩98分,最低42分,而乙班最高成绩86分,最低60分。初步看出,两班语文成绩是不一样的,甲班学生的语文成绩个别差异程度大、水平参差不齐;而乙班学生的语文成绩差异程度小,语文水平整齐度大些。怎样用标准差这个特征量数来刻画一组数据的差异程度呢?下面介绍标准差的概念及计算。 一、标准差概念与计算 1.标准差定义与计算公式 一组数据的标准差,指的是这组数据的离差平方和除以数据个数所得商的算术平方根。若用S 代表标准差,则标准差的计算公式为: 标准差的平方,称为方差,用S2表示方差。 计算标准差时,首先要计算数据的平均数,接着要计算各数据与平均数之间的离差 平方,即()2,最后由公式(2-5)计算标准差S。 例如,4名儿童的身高分别是110厘米,100厘米,120厘米和150厘米,若求4名儿童身高数据的标准差时,其基本步骤如下: ①求平均数:(厘米) ②求离差平方和: )2=(110―120)2+(100―120)2+(120―120)2+(150―120)2 =100+400+0+900=1400(平方厘米) ③求标准差S:S= (厘米)

这样,我们大体可认为,这4名儿童身高差异程度,从平均角度来看,约相差18.71厘米。 2.标准差的计算中心方法 计算标准差的方法有三种,一是按公式逐步分析计算,如上述所示;二是以列表计算的方式;三是利用计算器或计算机进行计算。下面再举一例说明采用列表方式计算标准差S。 [例7] 已知8 位同学在某图形辨认测验中的成绩数据(见表2-2),计算这组数据的标准差。 [分析解答] 采用列表计算方式,应用公式(2-5)确定数据的标准差,详见表2-2。 表2-2 计算标准差S的示例 - () (1) = (2) () = 标准差在实际中有广泛的用途,同时对深化研究数据也具有重要的作用。如不同班级考试成绩的平均数和标准差,不同年度或不同学科测验分数的平均数和标准差,以及其他体能测试或心理测验数据的平均数和标准差,就是一些具体的应用。后续各章内容的学习,将经常用到平均数、标准差和方差这些概念。 由于标准差计算公式结构适合于代数处理,因此,许多具有统计功能的计算器,都有计算方差和标准差的相应功能。学习者只要花少量时间学习与掌握有关计算器的使用,即可以轻松自如地处理大量数据,求取平均数和标准差。 在利用公式(2-5)手工求标准差时,如表2-2所示,由于平均数有小数,这使计算离差平方的数据更加复杂,小数点的位数加倍增加,同时四舍五入的计算误差以及出错的可能性都有所增加。为克服这个弊病,我们可从公式(2-5)出发,通过代数演算,推导出另一个与公式(2-5)等价的新公式,即公式(2-6)。这一新公式对计算标准差来讲,不用通过计 算平均数以及离差平方和,用原始数据直接计算标准差,因而在许多情况下,具有更简便、准确的特点。其计算公式:

标准差σ的4种计算公式

标准差σ的4种计算公式

标准差σ的4种计算公式: 简易标准差,Rbar/d2,Sbar/C4和Minitab中标准差σ的4种计算公式: 简易标准差,Rbar/d2,Sbar/C4和Minitab中的Pooled standard deviation(合并标准差) 做数据分析,经常会碰到提到标准差σ这个概念,关于标准差σ的计算方式,目前,本人知道有4种标准差σ的计算方法,如下: 一,简易标准差σ的计算方式 上面是计算整体的标准差,如果是计算样本的标准差,这里的N, 应该为N-1. 一般情况下,都是计算样本的标准差。关于这个

关于上面公式中用到的A2、A3、D2、D3、D4等常数请参考https://www.360docs.net/doc/c710483860.html,/thread-476-1-1.html帖子下面的表格 三,XBAR-s管制图分析( X-sControl Chart)中的Sbar/C4算法 XBAR-S 管制图分析( X-S Control Chart):由平均数管制图与标准差管制图组成。

●与X-R管制图相同,惟s管制图检出力较R 管制图大,但计算麻烦。 ●一般样本大小n小于等于8可以使用R管制图,n大于8则使用S管制图。 ●有电脑软件辅助时,使用S管制图当然较好。 关于上面公式中用到的A2、A3、D2、D3、D4等常数请参考https://www.360docs.net/doc/c710483860.html,/thread-476-1-1.html帖子下面的表格 四,Minitab中所使用的Pooled standard

deviation(合并标准差) Minitab中所使用的Pooled standard deviation,这个标准差的计算和一般的不一样,这个是Minitab默认的,相关的计算公式可以参考《Minitab: Pooled standard deviation》https://www.360docs.net/doc/c710483860.html,/thread-288-1-1.html Minitab: Pooled standard deviation(合并标准差), Rbar, Sbar Pooled standard deviation(合并标准差) is a way to find a better estimate of the true standard deviation given several different samples taken in different circumstances where the mean may vary between samples but the true standard deviation (precision) is assumed to remain the same. It is calculated by where sp is the pooled standard deviation,

方差、标准差、均方差、均方误差的区别及意义

方差、标准差、均方差、均方误差的区别及意义 百度百科上的方差定义如下: (方差)是用概率论和统计方差来度量随机变量或一组数据的离散程度概率论中的方差用来衡量随机变量与其数学期望(即平均值)之间的偏离程度统计学中的方差(样本方差)是每个数据与其平均值之差的平方和的平均值在许多实际问题中,研究方差,即偏离的程度具有重要意义。如果 看这样一段文字,可能会有点费解。首先,从公式开始。对于一组随机变量或统计数据, 的期望值用E(X)表示,即随机变量或统计数据的平均值, ,然后在找到期望值之前将每个数据与平均值之间服从正态分布。那么我们就不能通过方差直接确定学生偏离平均值多少分。通过标准差,我们可以直观地得到学生分数分布在0.6826范围内的概率,大约等于34.2%*2 3,均方差是多少? 标准偏差,在中国环境中通常也称为均方误差,不同于均方误差(均方误差 是距离每个数据真实值的平方的平均值,即误差平方的平均值)。计算公式在形式上接近方差。它的根叫做均方根误差,在形式上接近标准偏差)。标准偏差是偏离平均值的平方的平均值后的平方根,用σ

表示标准差是方差的算术平方根 从上面的定义,我们可以得到以下几点:1 .均方偏差是标准偏差,标准偏差是标准偏差2,均方误差不同于均方误差 3,均方误差是距离每个数据真实值的平方和的平均值 。例如,我们想测量房间的温度,不幸的是我们的温度计不够精确。因此,有必要测量5次以获得一组数据[x1,x2,x3,x4,x5]。假设温度的实际值是x,数据和实际值之间的误差e是x-Xi ,那么均方误差MSE= 一般来说,均方误差是数据序列和平均值之间的关系,而均方误差是数据序列和实际值之间的关系,所以我们只需要了解实际值和平均值之间的关系

如何理解方差和标准差的意义

如何理解方差和标准差的意义? 随机变量X的方差为: ,方差的平方根称为标准差,它描述随机变量取值与其数学期望值的离散程度,描述随机变量稳定与波动,集中与分散的状况。标准差大,则随机变量不稳定,取值分散,预期数学期望值的偏离差大,在量纲上它与数学期望一致。 在实际问题中,若两个随机变量X,Y,且E(X),E(Y)或比较接近时,我们常用来比较这两个随机变量。方差值大的,则表明该随机变量的取值较为离散,反之则表明他较为集中。同样,标准差的值较大,则表明该随机变量的取值预期期望值的偏差较大,反之,则表明此偏差较小。随机变量X的数学期望和方差有何区别和联系? 随机变量X的数学期望E(X)描述的是随机变量X的平均值,而方差刻画的是随机变量X与数学期望的平均离散程度。方差大,则随机变量X与数学期望的平均离散程度大,随机变量X 取值在数学期望附近分散;方差小,则随机变量X与数学期望的平均离散程度小,随机变量X取值在数学期望附近集中。 方差是用数学期望来定义的,方差是随机变量X函数的数学期望,所以,由随机变量函数的数学期望的计算公式我们得到: 若X为离散型,则有(2.3) 若X为连续型,则有(2.4) 在实际问题中,我们经常用来计算方差。由此可以得到:随机变量X与数学期望不存在,则方差一定不存在。 若随机变量X与数学期望存在,方差也可能不存在。 切比雪夫不等式的意义是什么?有哪些应用? 切比雪夫不等式有两种等价形式的表达形式:或。它反映了随机变量在数学期望的邻域的概率不小于。如果随机变量的分布不知道,只要知道它的数学期望和方差,我们就可以利用切比雪夫不等式估计概率。 它的应用有以下几个方面: 已知数学期望和方差,我们就可以利用切比雪夫不等式估计在数学期望的邻域的概率。 已知数学期望和方差,对确定的概率,利用切比雪夫不等式求出,从而得到所需估计区间的长度。 对n重贝努力试验,利用切比雪夫不等式可以确定试验次数。 它是推导大数定律和其他定理的依据。 解题的具体步骤: 首先,根据题意确定恰当的随机变量X,求出数学期望E(X)与D(X); 其次,确定的值, 最后,由切比雪夫不等式进行计算和证明。 注:(一)相关系数的含义 1.相关系数刻画随机变量X和Y之间的什么关系? (1)相关系数也常称为“线性相关系数”。这是因为,实际相关系数并不是刻画了随机变量X和Y之间的“一般”关系的程度,而只是“线性”关系的程度。这种说话的根据之一就在于,当且仅当X和Y有严格的线性关系是才有达到最大值1.可以容易举出例子说明:即使X 和Y有严格的函数关系但非线性关系,不仅不必为1,还可以为0. (2)如果,则解释为:随机变量X和Y之间有一定程度的“线性关系而非严格的线性关系” 2.相关系数刻画了随机变量X和Y之间的“线性相关”程度. 3. 的值越接近1, Y与X的线性相关程度越高;

标准差和标准偏差

标准差和标准偏差 1)首先给出计算公式 标准差:σ=(1) 标准偏差:s =(2)方差就是标准偏差的平方 这下大家就困惑了,这两个公式分别表示什么意义?他们分别在什么情况下用?这两个公式是怎么来的? 2)公式由来 标准差又叫均方差、标准方差,这个大家都不陌生,它是各数据偏离平均数的距离的平均数,是距离均差平方和平均后的方根,用σ表示。。说白了就是表示数据分本离散度的一个值。计算公式也很好理解,从一开始接触我们用的看的都是这个公式。 那么第二个公式,怎么来的呢?其实标准偏差从样本估计中来的。比如我们有一批数据,共10000个点,他们服从正太分布,很容易计算出它的均值和标准差。在这里我们叫做样本均值和样本标准差。表示如下: 样本均值:1 1n i i X X n ==∑ 样本方差:2211()n n i i s X X n ==-∑ 这两个公式就是大家常用的公式。那么现在我们认为,我们想用采集到的这10000个样本估计数据的真实分布,想要求出其均值μ和方差2σ。 对于均值μ,我们容易通过期望获得:

但是对于方差,我们知道 2 1 2 () n i i X X σ = - ∑ 是服从卡分分布2 1 n χ - 的(这一点请查阅卡分分布的 定义)。因此有下面的公式: 这个公式的第一个等号后面是利用期望的性质,试图构造卡分分布来求解。第二个等号后面是利用卡分分布的均值计算出来的。请自行查阅卡方分布的定义和性质。 这么一来,我们就能看出,X是μ的无偏估计,而2 n s则不是2σ的无偏估计。但是我们 可以通过对样本方差进行重新构造,从而是2 n s就是2σ的无偏估计。我们定义:这样我们重新来求解方差的期望: 这样一来,2s就是2σ的无偏估计,这也就是这个公式的由来。 3)这两个公式的应用。 在实际中,公式(2)用的更多。因为当样本容量比较小的时候,公式(1)会过小的估计实际标准差;如果样本容量较大,公式(1)和公式(2)很接近。这时候公式(1)叫做渐近无偏估计,当然还是比不上公式(2)的无偏估计喽。 看了上面这段话,你可能还不知道该用哪个。其实是这样的:如果我们想求一批数据的标准差,那么自然就用公式(1)。如果我们是利用现在的样本估计真实的分布,那么就用公式(2)。 4)在EXCEL中,方差是VAR(),标准偏差是STDEV(),函数里解释是基于样本,分母是除的N-1,其实就是公式(2)。还有个VARP()和STDEVP(),基于样本总体,分母是N,也就是说你关注的就是这批数据。 在Excel透视表中 标准偏差为=STDEVA()

《方差与标准差》教案

2.2 方差与标准差(教案) 学习目标: 1、了解方差的定义和计算公式。 2. 理解方差概念的产生和形成的过程。 3. 会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小。 4. 经历探索极差、方差的应用过程,体会数据波动中的极差、方差的求法时以及区别,积累统计经验。 学习重、难点 重点:方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题。掌握其求法, 难点:理解方差公式,应用方差对数据波动情况的比较、判断。 学习过程 一、情景创设: 乒乓球的标准直径为40mm ,质检部门从A 、B 两厂生产的乒乓球中各抽取了10只,对这些乒乓球的直径了进行检测。结果如下(单位:mm ): A 厂:40.0,39.9,40.0,40.1,40.2,39.8,40.0,39.9,40.0,40.1; B 厂:39.8,40.2,39.8,40.2,39.9,40.1,39.8,40.2,39.8,40.2. 你认为哪厂生产的乒乓球的直径与标准的误差更小呢? (1) 请你算一算它们的平均数和极差。 (2) 是否由此就断定两厂生产的乒乓球直径同样标准? 今天我们一起来探索这个问题。 探索活动 通过计算发现极差只能反映一组数据中两个极值之间的大小情况,而对其他数据的波动情况不敏感。让我们一起来做下列的数学活动 算一算 把所有差相加,把所有差取绝对值相加,把这些差的平方相加。 想一想 你认为哪种方法更能明显反映数据的波动情况? 二、新知讲授: 讲授新知: (一)方差 定义:设有n 个数据n x x x ,,, 21,各数据与它们的平均数的差的平方分别是 2221)()(x x x x --,,…,, , 2)(x x n -我们用它们的平均数,即用 ])()()[(1222212x x x x x x n x n -++-+-= 来衡量这组数据的波动大小,并把它叫做这组数据的方差(variance ),记作2s 。 意义:用来衡量一批数据的波动大小 在样本容量相同的情况下,方差越大,说明数据的波动越大, 越不稳定 归纳:(1)研究离散程度可用2S (2)方差应用更广泛衡量一组数据的波动大小 (3)方差主要应用在平均数相等或接近时

强度标准差计算公式

直接转的:看看对你有帮助没有。 Sfcu=[(∑ fcu?i2-n?mfcu2)/(n-1)]1/2 公式表述显示不明,用语言表述下,即公式中的2和1/2都应为上角表,分别表示平方和根号(开平方)。 语言表述如下:fcu.i的平方求和再减去n 乘以fcu平均值的平方,用他们的差再除以(n-1)这样得出的除数开方;也可以是fcu.i-fcu平均值差的平方求和得出的数再除以(n-1)这样得出的除数开方。当Sfcu<0.06fcu,k时,取Sfcu=0.06fcu,k 具体参数表述如下: fcu,k一混凝土立方体抗压强度标准值 fcu为设计强度标准值 mfcu为平均值 n为试块组数 Sfcu为n组试块的强度值标准差 fcu.i : 第i组试块的立方体抗压强度值

在线规范网https://www.360docs.net/doc/c710483860.html, 协助网站:给排水On Line 5.4 混凝土强度换算及推定 5.4.1 混凝土强度换算值可采用以下三类测强曲线计算: 1 统一测强曲线:由全国有代表性的材料、成型养护工艺配制的混凝土试件,通过试验所建立的曲线。其允许的强度平均相对误差(δ)应为±15.0%,相对标准差(er)不应大于18.0%。 2 地区测强曲线:由本地区常用的材料、成型养护工艺配制的混凝土试件,通过试验所建立的曲线。其允许的强度平均相对误差(δ)应为±14.0%,相对标准差(er)不应大于17.0%。 3 专用测强曲线:由与结构或构件混凝土相同的材料、成型养护工艺配制的混凝土试件,通过试验所建立的曲线。其允许的强度平均相对误差(δ)应为±12.0%,相对标准差(er)不应大于14.0%。 4 平均相对误差(δ)和相对标准差(er)的计算应符合本规程附录F的规定。 5 各检测单位应按专用测强曲线、地区测强曲线、统一测强曲线的次序选用测强曲线。 5.4.2 地区和专用测强曲线应与制定该类测强曲线条件相同的混凝土相适应,不得超出该类测强曲线的适用范围。应经常抽取一定数量的同条件试件进行校核,当发现有显著差异时,应及时查找原因,并不得继续使用。 5.4.3 符合下列条件的混凝土应采用本规程附录G进行测区混凝土强度换算: 1 混凝土采用的材料、拌和用水符合国家现行的有关标准; 2 不掺引气型外加剂; 3 采用普通成型工艺; 4 采用符合现行的《铁路混凝土与砌体工程施工质量验收标准》(TB10424)规定的模板; 5 自然养护或蒸汽养护出池后经自然养护7d以上,且混凝土表层为干燥状态; 6 龄期为14~1000d; 7 抗压强度为10~60MPa。 5.4.4 当有下列情况之一时,测区混凝土强度值不得按本规程附录G换算,但可制定专用测强曲线或通过试验进行修正,专用测强曲线的制定方法宜符合本规程附录F的有关规定:

方差、标准差、均方差、均方误差的区别及意义

一、百度百科上方差是这样定义的: (variance)是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离程度。统计中的方差(样本方差)是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数。在许多实际问题中,研究方差即偏离程度有着重要意义。 看这么一段文字可能有些绕,那就先从公式入手, 对于一组随机变量或者统计数据,其期望值我们由E(X)表示,即随机变量或统计数据的均值, 然后对各个数据与均值的差的平方求和,最后对它们再求期望值就得到了方差公式。 这个公式描述了随机变量或统计数据与均值的偏离程度。 二、方差与标准差之间的关系就比较简单了

根号里的内容就是我们刚提到的 那么问题来了,既然有了方差来描述变量与均值的偏离程度,那又搞出来个标准差干什么呢 发现没有,方差与我们要处理的数据的量纲是不一致的,虽然能很好的描述数据与均值的偏离程度,但是处理结果是不符合我们的直观思维的。 举个例子:一个班级里有60个学生,平均成绩是70分,标准差是9,方差是81,成绩服从正态分布,那么我们通过方差不能直观的确定班级学生与均值到底偏离了多少分,通过标准差我们就很直观的得到学生成绩分布在[61,79]范围的概率为,即约等于下图中的%*2 三、均方差、均方误差又是什么

标准差(Standard Deviation),中文环境中又常称均方差,但不同于均方误差(mean squared error,均方误差是各数据偏离真实值的距离平方和的平均数,也即误差平方和的平均数,计算公式形式上接近方差,它的开方叫均方根误差,均方根误差才和标准差形式上接近),标准差是离均差平方和平均后的方根,用σ表示。标准差是方差的算术平方根。 从上面定义我们可以得到以下几点: 1、均方差就是标准差,标准差就是均方差 2、均方误差不同于均方误差 3、均方误差是各数据偏离真实值的距离平方和的平均数 举个例子:我们要测量房间里的温度,很遗憾我们的温度计精度不高,所以就需要测量5次,得到一组数据[x1,x2,x3,x4,x5],假设温度的真实值是x,数据与真实值的误差 e=x-xi 那么均方误差MSE= 总的来说,均方差是数据序列与均值的关系,而均方误差是数据序列与真实值之间的关系,所以我们只需要搞清楚真实值和均值之间的关系就行了。

计算全距平均差方差和标准差

计算全距、平均差、方差和标准差 一、全距 R(range) 全距是一组数据中的最大值(maximum)与该组数据中最小值(minimum)之差,又称极差。 R=Xmax-Xmin 一般用于研究的预备阶段,用它检查数据的分布范围,以便确定如何进行统计分析 原始数据计算公式 三、四分位差(Quartile) 四分位差是第一个四分位数与第三个四分位数之差计算公式为 Q=Q 3-Q 1 四、方差与标准差 方差:又称为变异数、均方,是每个数据与该组数据平均数之差乘方后的均值,是表示一组数据离散程度的统计指标。 样本的方差用表示,总体的方差用表示。 标准差是方差的算术平方根。一般样本的标准差用 S 表示,总体的标准差用表示。 标准差和方差是描述数据离散程度的最常用的差异量。 分组数据方差与标准差的计算公式 方差与标准差的性质 ?方差是对一组数据中各种变异的总和的测量,具有可加性和可分解性特点。 ?标准差是一组数据方差的算术平方根,它不可以进行代数计算,但有以下特性: 总体方差、标准差或者方差、标准才差的合成 ?方差具有可加性的特点。当已知几个小组数据的方差或标准差时,可

以计算几个小组联合在一起的总的方差或标准差。 ?需要注意的是,只有在应用同一种观测手段,测量的是同一种特质,只是样本不同的数据时,才能计算合成方差或标准差。 方差和标准差的优点: 方差与标准差是表示一组数据离散程度的最好指标,其值越大,离散程度越大。 应用方差和标准差表示一组数据的离散程度,须注意必须是同一类数据(即同一种测量工具的测量结果),而且被比较样本的水平比较接近。 优点: ?反应灵敏。每个数据发生变化,方差与标准差也随之变化 ?有一定计算公式的严密确定 ?容易计算 ?受抽样变动的影响小 ?简单明了 ?方差具有可加性(区分变异源,组间/组内) 五、差异系数(coefficient of variation) 差异系数指标准差与其算术平均数的百分比,它是没有单位的相对数。用CV表示。 何种情况下运用差异系数: ?两个或两个以上样本所测特质不同,即所使用的观测工具不同,如何比较两者的离散程度? ?即使使用同一种观测量具,但样本水平相差较大,如何比较其离散程度? 差异系数的作用 ?比较不同单位资料的差异程度 ?比较单位相同而平均数相差较大的两组资料的差异程度 ?可判断特殊差异情况

方差和标准差 知识讲解

方差和标准差——知识讲解 责编:杜少波 【学习目标】 1. 了解方差和标准差的概念,会计算简单数据的方差,体会它们刻画数据离散程度的意义; 2. 知道可以通过样本的方差来推断总体的方差.能解释统计结果,根据结果作出简单的判断和预测; 3. 能综合运用统计知识解决一些简单的实际问题. 【要点梳理】 要点一、方差和标准差 1.方差 在一组数据12,,n x x x …,中,设它们的平均数是x ,各数据与平均数的差的平方的平均数()[] 222212 )(...)(1 x x x x x x n S n -++-+-= 叫做这组数据的方差. 方差越大,说明数据的波动越大,越不稳定. 要点诠释: (1)方差反映的是一组数据偏离平均值的情况. 方差越大,稳定性越差;反之,则稳定性越好. (2)一组数据的每一个数都加上(或减去)同一个常数,所得的一组新数据的方差不变. (3)一组数据的每一个数据都变为原来的k 倍,则所得的一组新数据的方差变为原来的2 k 倍. 2.标准差 一般地,一组数据的方差的算术平方根 称为这组数据的标准差. 要点诠释: (1)标准差的数量单位与原数据一致. (2)一组数据的方差或标准差越小,这组数据的离散程度越小,这组数据就越稳定. 要点二、方差和标准差的联系与区别 联系:方差和标准差都是用来衡量一组数据偏离平均数的大小(即波动大小)的指标,常用来比较两组数据的波动情况. 区别:方差是用“先平均,再求差,然后平方,最后再平均”的方法得到的结果,主要反映整组数据的波动情况,是反映一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标,每个数据的变化都将影响方差的结果,是一个对整组数据波动情况更敏感的指标. 在实际使用时,往往计算一组数据的方差,来衡量一组数据的波动大小. 方差的单位是原数据单位的平方,而标准差的单位与原数据单位相同. 【典型例题】 类型一、方差和标准差 1. 一组数据-2,-1,0,1,2的方差是( ) A .1 B .2 C .3 D .4

标准差在人类生活中的应用及其意义

标准差在人类生活中的应用及其意义 摘要:生物统计是运用数学逻辑来分析和解释生物界数量资料的一门学科。标准差,中文环境中又常称均方差,但不同于均方误差,均方误差是各数据偏离真实值的距离平方的平均数,也即误差平方和的平均数,计算公式形式上接近方差,它的开方叫均方根误差,均方根误差才和标准差形式上接近),标准差是离均差平方和平均后的方根,用σ表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的,标准差未必相同。 关键词:概率统计;标准差;成活率;水稻 引言:标准差,在概率统计中最常使用作为统计分布程度上的测量。标准差定义是总体各单位标准值与其平均数离差平方的算术平均数

的平方根。它反映组内个体间的离散程度。测量到分布程度的结果,原则上具有两种性质: 为非负数值,与测量资料具有相同单位。一个总量的标准差或一个随机变量的标准差,及一个子集合样品数的标准差之间,有所差别。 标准计算公式: 假设有一组数值X1,X2,X3,......XN(皆为实数),其平均值为μ, 标准差也被称为标准偏差,或者实验标准差,公式为 。 简单来说,标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。一个较大的标准差,代表大部分数值和其平均值之间差异较大;一个较小的标准差,代表这些数值较接近平均值。 例如,两组数的集合 {0,5,9,14} 和 {5,6,8,9} 其平均值都是7 ,但第二个集合具有较小的标准差。 标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中,做重复性测量时,测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值,测量值的标准差占有决定性重要角色:如果测量平均值与预测值相差太远(同时与标准差数值做比较),则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解,因为如果测量值都落在一定数值范围之外,可以合理推论预测值是否正确。 1.资料整理: 标准差应用于投资上,可作为量度回报稳定性的指标。标准差数值越大,代表回报远离过去平均数值,回报较不稳定故风险越高。相反,标准差数值越小,代表回报较为稳定,风险亦较小。 例如,A、B两组各有6位学生测试疏导的成活率,A组的成活率为95、85、75、65、55、45,B组的成活率为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70,但A组的标准差为18.71分,B组的标准差为2.37分(此数据是在R统计软件中运行获得),说明A组学生测得的水稻成活率之间的差距要比B组学生测得的之间的差距大得多。 如是总体(即估算总体方差),根号内除以n(对应excel函数:STDEVP); 如是抽样(即估算样本方差),根号内除以(n-1)(对应excel

方差 — 标准差

方差(Variance) [编辑] 什么是方差 方差和标准差是测度数据变异程度的最重要、最常用的指标。 方差是各个数据与其算术平均数的离差平方和的平均数,通常以σ2表示。方差的计量单位和量纲不便于从经济意义上进行解释,所以实际统计工作中多用方差的算术平方根——标准差来测度统计数据的差异程度。 标准差又称均方差,一般用σ表示。方差和标准差的计算也分为简单平均法和加权平均法,另外,对于总体数据和样本数据,公式略有不同。 [编辑] 方差的计算公式 设总体方差为σ2,对于未经分组整理的原始数据,方差的计算公式为: 对于分组数据,方差的计算公式为: 方差的平方根即为标准差,其相应的计算公式为: 未分组数据: 分组数据: [编辑]

样本方差和标准差 样本方差与总体方差在计算上的区别是:总体方差是用数据个数或总频数去除离差平方和,而样本方差则是用样本数据个数或总频数减1去除离差平方和,其中样本数据个数减1即n-1 称为自由度。设样本方差为,根据未分组数据和分组数据计算样本方差的公式分别为: 未分组数据: 分组数据: 未分组数据: 分组数据: 例:考察一台机器的生产能力,利用抽样程序来检验生产出来的产品质量,假设搜集的数据如下: 根据该行业通用法则:如果一个样本中的14个数据项的方差大于0.005,则该机器必须关闭待修。问此时的机器是否必须关闭? 解:根据已知数据,计算

因此,该机器工作正常。 方差和标准差也是根据全部数据计算的,它反映了每个数据与其均值相比平均相差的数值,因此它能准确地反映出数据的离散程度。方差和标准差是实际中应用最广泛的离散程度测度值。 ?函数VAR假设其参数是样本总体中的一个样本。如果数据为整个样本总体,则应使用函数VARP来计算方差。 ?参数可以是数字或者是包含数字的名称、数组或引用。 ?逻辑值和直接键入到参数列表中代表数字的文本被计算在内。 ?如果参数是一个数组或引用,则只计算其中的数字。数组或引用中的空白单元格、逻辑值、文本或错误值将被忽略。 ?如果参数为错误值或为不能转换为数字的文本,将会导致错误。 ?如果要使计算包含引用中的逻辑值和代表数字的文本,请使用VARA 函数。 ?函数VAR 的计算公式如下: 其中x 为样本平均值AVERAGE(number1,number2,…),n 为样本大小。 示例 假设有10 件工具在制造过程中是由同一台机器制造出来的,并取样为随机样本进行抗断强度检验。 如果将示例复制到一个空白工作表中,可能会更容易理解该示例。 STDEV(number1,number2,...) Number1,number2,...为对应于总体样本的 1 到255 个参数。也可以不使用这种用逗号分隔参数的形式,而用单个数组或对数组的引用。 注解 ?函数STDEV 假设其参数是总体中的样本。如果数据代表全部样本总体,则应该使用函数STDEVP来计算标准偏差。 ?此处标准偏差的计算使用“n-1”方法。

标准差的有关介绍及标准差计算公式标准差标准差

标准差的有关介绍及标准差计算公式标准差标准差标准差的有关介绍及标准差计算公式标准差标准差(Standard Deviation) 也称均方差(mean square error) 各数据偏离平均数的距离(离均差)的平均数,它是离均差平方和平均后的方根。用& sigma;表示。因此标准差是方差的算术平方根。 例如:如果有n个数据X1 ,X2 ,X3……Xn ,数据的平均数为X,标准差c : 标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的,标准差未必相同。 例如,A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验,A组的分数为95、85、75、65、55、45,B 72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70,但A组的标准差为18.71分, B组组的分数为73、 的标准差为2.37分(此数据时在R统计软件中运行获得),说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。 标准差也被称为标准偏差,或者实验标准差。 关于这个函数在EXCEL中的STDEV函数有详细描述,EXCEL中文版里面就是用的“标准偏差”字样。但我国的中文教材等通常还是使用的是“标准差”。 在EXCEL中STDEV函数就是下面评论所说的另外一种标准差,也就是总体标准差。在繁体中文的一些地方可能叫做“母体标准差” 在R统计软件中标准差的程序为:sum((x-mean(x)F2)/(length(x)-1) 因为有两个定义,用在不同的场合: 如是总体,标准差公式根号内除以n, 如是样本,标准差公式根号内除以(n-1),

因为我们大量接触的是样本,所以普遍使用根号内除以(n-1), 外汇术语: 标准差指统计上用于衡量一组数值中某一数值与其平均值差异程度的指标。标准差被用来评估价格可能的变化或波动程度。标准差越大,价格波动的范围就越广,股票等金融工具表现的波动就越大。 阐述及应用 简单来说,标准差是一组数值自平均值分散开来的程度的一种测量观念。一个较大的标准差,代表大部分的数值和其平均值之间差异较大; 一个较小的标准差,代表这些数值较接近平均值。 例如,两组数的集合{0, 5, 9, 14} 和{5, 6, 8, 9} 其平均值都是7 ,但 第二个集合具有较小的标准差。 标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中,做重复性测量时,测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值,测量值的标准差占有决定性重要角色: 如果测量平均值与预测值相差太远(同时与标准差数值做比较),则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解,因为如果测量值都落在一定数值范围之外,可以合理推论预测值是否正确。 标准差应用于投资上,可作为量度回报稳定性的指标。标准差数值越大,代表回报远离过去平均数值,回报较不稳定故风险越高。相反,标准差数值越细,代表回报较为稳定,风险亦较小。 样本标准差 在真实世界中,除非在某些特殊情况下,不然找到一个总体的真实的标准差是不现实的。大多数情况下,总体标准差是通过随机抽取一定量的样本并计算样本标准差估计的。 标准差的简易计算公式

标准差的计算公式实例

通常,计算标准偏差有四个步骤:计算平均值,计算方差,计算平均方差和计算标准差。例如,对于一组六个数字2、3、4、5、6、8,可以通过以下步骤计算标准偏差: 计算平均值: (2 + 3 + 4 + 5+ 6 + 8)/ 6 = 30/6 = 5 计算方差 (2 – 5)^ 2 =(-3)^ 2 = 9 (3 – 5)^ 2 =(-2)^ 2 = 4 (4 – 5)^ 2 =(-1)^ 2 = 0 (5 – 5)^ 2 = 0 ^ 2 = 0 (6 – 5)^ 2 = 1 ^ 2 = 1 (8 – 5)^ 2 = 3 ^ 2 = 9 计算出平均方差 (9 + 4 + 0 + 0 + 1 + 9)/ 6 = 24/6 = 4 计算标准偏差: √4= 2 标准差是概率统计中最常用的统计离散度度量。标准偏差定义为方差的算术平方根,它反映组中个体之间的分散程度。原则上,按分布程度测量的结果具有两个属性:总量或随机变量的标准偏差以及子集中样本数量的标准偏差。公式如下。标准偏差的概念由卡尔·皮尔森(Karl Pearson)引入统计学中。 洋葱备注:

所有数字减去其平均值的平方和,然后将结果除以数字组的数量(或数字减去1,即变数),然后打开获得的值的根和获得的数字是这组数据的标准差 方差=(x1-x)^ 2 +(x2-x)^ 2 +(x3-x)^ 2 + ... +(xn-x)^ 2 = X1 ^ 2 + X2 ^ 2 + X3 ^ 2 + ...... + Xn ^ 2-2x(X1 + X2 + X3 +…+ Xn)+ n X ^ 2 (其中x 1,X2,X3,xn是每个项目的编号,X是平均值)(n)根的标准偏差

方差 标准差 均方差 均方误差的区别及意义

一、百度百科上方差是这样定义的:? (variance)是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离程度。统计中的方差(样本方差)是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数。在许多实际问题中,研究方差即偏离程度有着重要意义。? 看这么一段文字可能有些绕,那就先从公式入手,? 对于一组随机变量或者统计数据,其期望值我们由E(X)表示,即随机变量或统计数据的均值,? 然后对各个数据与均值的差的平方求和,最后对它们再求期望值就得到了方差公式。 ? 这个公式描述了随机变量或统计数据与均值的偏离程度。 二、方差与标准差之间的关系就比较简单了

? 根号里的内容就是我们刚提到的 那么问题来了,既然有了方差来描述变量与均值的偏离程度,那又搞出来个标准差干什么呢?? 发现没有,方差与我们要处理的数据的量纲是不一致的,虽然能很好的描述数据与均值的偏离程度,但是处理结果是不符合我们的直观思维的。? 举个例子:一个班级里有60个学生,平均成绩是70分,标准差是9,方差是81,成绩服从正态分布,那么我们通过方差不能直观的确定班级学生与均值到底偏离了多少分,通过标准差我们就很直观的得到学生成绩分布在[61,79]范围的概率为0.6826,即约等于下图中的34.2%*2? ? 三、均方差、均方误差又是什么??

标准差(Standard Deviation),中文环境中又常称均方差,但不同于均方误差(mean squared error,均方误差是各数据偏离真实值的距离平方和的平均数,也即误差平方和的平均数,计算公式形式上接近方差,它的开方叫均方根误差,均方根误差才和标准差形式上接近),标准差是离均差平方和平均后的方根,用σ表示。标准差是方差的算术平方根。? 从上面定义我们可以得到以下几点:? 1、均方差就是标准差,标准差就是均方差? 2、均方误差不同于均方误差? 3、均方误差是各数据偏离真实值的距离平方和的平均数? 举个例子:我们要测量房间里的温度,很遗憾我们的温度计精度不高,所以就需要测量5次,得到一组数据[x1,x2,x3,x4,x5],假设温度的真实值是x,数据与真实值的误差e=x-xi? 那么均方误差MSE=? 总的来说,均方差是数据序列与均值的关系,而均方误差是数据序列与真实值之间的关系,所以我们只需要搞清楚真实值和均值之间的关系就行了。

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