计数抽样检验的基本原理之OC曲线

业务 2008-07-25 12:36:19 阅读684 评论0 字号：大中小

通过前面的讨论，我们给出了超几何分布的概率计算公式：

这是不放回抽样的理论概率计算公式，但当N与n值比较大时，计算阶乘将非常繁复，因此希望能有相对简单一些的计算方法。考虑到当N 足够大时，不放回抽样与放回抽样的区别已经可以忽略，因此在一定的条件下，就可以用放回抽样的概率计算来代替不放回抽样作近似计算。能够推导出放回抽样的概率计算公式为：

这就是二项式分布的概率计算公式，一般当N≥10n，p≤10%时即可作此近似。可以看到，这个公式依然不够简便，当我们再设定一些条件，通过纯数学的推演，还可以推导出如下的概率计算公式：

这就是泊松分布的概率计算公式，一般在p＜10%，N/n＞10且np 在0.1—10之间时可作此近似。以下，我们就用这个概率计算公式继续讨

论。

从泊松分布的概率计算公式中，我们可以看出Pa是n，p和Ac的函数，对于一个特定的方案，它的n与Ac都已确定，这时Pa就仅与批质量p相关了，因此，抽样检验的接收概率与批质量之间的函数关系是每个方案所特有的，我们称这种关系为方案的抽样特性。

抽样特性：方案的抽样接收概率与批质量之间的函数关系，由于这种关系是每个方案所特有的，故称抽样特性。

OC曲线：以曲线的形式表示抽样特性，称为方案的特性曲线或OC

曲线。

OC曲线一般是以批质量p为横坐标，接收概率Pa为纵坐标绘制的表示Pa与p的函数关系的曲线，（也有是以p/AQL作为横坐标的

GB2828就是这样）。

1、理想的OC曲线：

知道了什么是OC曲线，我们来讨论两种典型的抽样特性曲线，一

个就是理想的OC曲线。

首先，我们来看看什么样的方案最理想。

我们在抽样检验中，总是希望对批质量p小于或等于合格质量水平（AQL）的检查批被100%地判为合格，而对批质量p大于AQL的检查批被100%地判为不合格，这样的检验才是最理想的，才不会出现误判。

所以理想的OC曲线的函数形式应该是：

其曲线如图，很显然，任何抽样方案都不可能实现理想的OC曲线，因为任何抽样检验都不可能完全排除误判的可能性，只是通过选择适当的抽样方案，将误判的风险控制在一个较小的范围内，这种理想的特性曲线，在理论上只有全检才能具有这种特性。

2、线性抽样特性：

我们来讨论（1|0）抽样方案的OC曲线，看看它是什么样的，也就

是n=1，Ac=0的抽样方案。

我们以前的讨论中，知道二项式分布近似取代超几何分布只是将抽样时的不放回取样近似看作放回取样，现在具体到这们这个例子，由于n=1，放回与不放回（由于只取一个样本）其概率情况是完全一样的，所以二项式分布计算接收概率对这个例子是完全精确的（不讨论N的大

小）。则有：

将n=1，Ac=0代入可得：

即Pa=1-p，就是说（1|0）抽样方案的特性曲线方程是一个二元一次方程，也就是说它的OC 曲线是一条直线，我们把p=0和p=1两个特殊的点代入方程可得Pa(0=1，Pa(1=0。即此OC曲线（直线）过（0，1）和（1，0）两点。我们把它绘制出来，即如图所示：

由于这种抽样方案的接收概率Pa=1-p，我们可以看到，即使在批质量p=50%时，（这样的批质量已经很差了，有50%的不合格品），它的接收概率仍然为50%，就是说还有一半的可能性被接收，可见这种抽样方案是很不理想的（主要是对消费方的保护性较差）。

我们在监督抽样时，经常用这种抽样方案，也就是抽一个样，不合格就判这一批产品均不合格。这种抽样方案确实有一定的偶然性，以前也曾听了一些销售、生产企业反映，好象一个商品（产品）不合格就判全批

产品不合格是委屈了他们。我们了解了这方面知识后，就会知道这种抽样方案确实存在偶然性，但主要是对消费方的保护不够，而对生产方和经销方则是非常宽松的，按照不合格产品不出厂的原则，进入流通领域的产品应该是100%的合格的，当然这样比较难以做到，如果在流通领域的商品有95%是合格的话（这样的质量水平对于不故意制造不合格品的厂家应该是较容易做到的了），它的批质量水平p=5%，此时的接收概率为95%，如规定此时的批质量为合格质量水平，那么Ⅰ类误判概率只有5%，就是说100次抽样检验中才会出现5次误判，这样的机率已经是很小了，所以我们说（1|0）抽样方案对生产方的保护是足够的，是非常宽

松的了。

3、现实的OC曲线：

刚才讲了两种典型的OC曲线，现在我们看看现实的OC曲线是怎样

的。

首先，我们讨论当批质量p=0时，即批中所有单位产品都是合格品，那么无论怎样的抽样方案，都不可能出现不合格品。这样的批产品无疑是会被百分之百接收的，也就是说接收概率Pa=1（必然事件概率）。而当批质量p=1时，即批中所有单位产品都是不合格品，那么无论采用怎样的抽样方案，这样的批产品都不可能被接收，即Pa=0。

通过这样的分析，我们可以知道，所有的抽样特性曲线都应该过（0，1）和（1，0）两点，即头尾两点都是重合的。

至于中间部分，则介于理想曲线和线性曲线之间，通过调整n和Ac 值，它的形状可以改变，随着n和Ac的增加，现实的OC曲线将离开线

性曲线而靠近理想曲线。

抽样方案的设计就是通过选定适当的n和Ac值，而得到我们所希望

的抽样特性的过程。

4、OC曲线的绘制：

OC曲线的绘制从理论上讲，我们可以用泊松分布的概率计算公式算

得。

此时，n与Ac均为已知（抽样方案已定），这样我们通过设置不同的Pa值，一般设置Pa=0.95，0.7，0.5，0.3，0.1五点代入上述等式，通过解指数方程，分别计算出相应的p值，这样我们就得到曲线上的五点，加上头尾两点，共七点，绘制出OC曲线。但指数方程在实际求解时比较繁复，一般是利用积累泊松分布表来绘制OC曲线。

绘制OC曲线的实例就不仔细去谈了，我们可以绘制批量N不同的百分比抽样的特性曲线，从中我们会发现，在实行百分比抽样时，对批量大的产品批的判定比对批量小的产品批的判定要严酷些，其特性曲线当N 增大时，特性曲线位置下移，对同样批质量的产品批，小批量则较易被接收（接收概率相对高些），而大批量则较难被接收（接收概率相对小些）。因为在实行百分比抽样时，Ac为恒定，而n值随批量N增大而成比例增大，很容易想象n增大时，样本中出现不合格品的机率也会随之增大，因而方案也就相应地变得严酷了。从这里，我们也可以看出百分比

抽样的不合理性。