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工科数学分析（下）期末考试模拟试题

姓名：___________

得分: _________

一、填空题（每小题3分，满分18分）

1、设()xz y x z y x f ++=2,,，则()z y x f ,,在()1,0,1沿方向→

→→→+-=k j i l 22的方向导数为 _________.

2.,,,-__________.22

2L L xdy ydx L x y =?+设为一条不过原点的光滑闭曲线且原点位于内部其走向为逆时针方向则曲线积分 1,()c

c x y x y ds +=+=?3.设曲线为则曲线积分 ___________

4、微分方程2(3xy y)dx 0x dy +-=的通解为___________

5、2

sin(xy)(y)______________.y y F dx x

=?的导数为 6、{,0

1,0x (x),2x e x f x ππππ--≤<≤≤==则其以为周期的傅里叶级数在点处收敛于

_____________.

二、计算下列各题（每小题6分，满分18分）

1. (1) 求极限lim 00

→→y x ()xy y x y x sin 11232+-

(2)

220)(lim 220y x x y x y +→→

2.设f ，g 为连续可微函数，()xy x f u ,=，()xy x g v +=，求

x v x u ?????（中间为乘号）.

3..222V z x y z V +=设是由所围成的立体,求的体积.

三、判断积数收敛性（每小题4分，共8分） 1. ∑∞=1!.

2n n n n n

2.∑∞=-1!2)1(2

n n n n

四、（本小题8分）求向量场2(23)()(2)x z xz y y z =+-+++A i j k 穿过球面∑：

222(3)(1)(2)9x y z -+++-=流向外侧的通量； 五、（本小题7分）

2(1sin )cos ,(0,1)(0,1)y y l

x e x dy e xdx l x A B +--=-?计算其中为半圆到的一段弧。

六、（本小题8分）将函数231)(2

++=

x x x f 展开成4+x 的幂级数.

(0)0,'()1(sin ()),()

0x t f f x e t f t dt f x ==++-?七、(本小题9分)已知求

22

34

23(,)x y x dx dy u x y y y -+八、(本小题7分)验证是某个函数的全微分，并求出这个函数。

(y x,y z)0,G(xy,)0(y),z z(y),z F x x y --====九、(本小题7分)设方程组确定隐函数

其中F ，G 都具有一阶连续偏导数，求dx

dy

十、（本小题10分）求旋转椭球面142

2

2=++z y x 在第一卦限部分上的点，使该点处的切平面

在三个坐标轴上的截距平方和最小.

工科数学分析（下）期末考试题答案

一、1. 3

5 2.

3.

4. x e Cx y 13--=

5.323sin 2sin y y y -

6.1+2e π

二、1.（1）1

2-

（2） |)ln(|4)(|)ln(|0222

222

222y x y x y x y x ++≤+≤， 又 0ln 4lim )ln(4)(lim 20222220

0==+++→→→t t y x y x t y x ， ∴ 1)(lim )22ln(22)0,0(),(lim 222200==++→→→y x y x y x y x y x e y x 。 2.

()()'211g y yf f x v x u ++=?????

3.

三、1.解：11

11)1(2lim )1()!1(2!.2lim lim -∞

→--∞→-∞→-=--=n n n n n n n n n

n n n n n n n u u 12)11(lim 21.<=-+=---∞→e n n n n n 由比值法，级数∑∞=1!.

2n n n n n 收敛