一级倒立摆的PID控制设计

摘要

本文主要研究的是一级倒立摆的PID控制问题，并用遗传算法对其PID的参数进行了优化。倒立摆是典型的快速、多变量、非线性、强耦合、自然不稳定系统。由于在实际中有很多类似于倒立摆的系统，因此对它的研究在理论上和方法论上均有深远的意义。本文首先简单地介绍了倒立摆以及倒立摆的控制方法，并对其参数优化算法做了分类介绍。然后，介绍了遗传算法的基本理论和操作方法。接着建立了一级倒立摆的数学模型，并求出其状态空间描述。本文主要采用遗传算法来对PID的参数进行优化，得到较好的PID参数。最后，用Simulink对系统进行了仿真，验证了该方法的有效性，证明遗传算法是较为理想的参数优化方法。

关键词：PID控制器；倒立摆；遗传算法；MATLAB仿真

Abstract

This paper mainly studies the PID control problem of the single inverted pendulum and optimizes PID parameters with Genetic Algorithms. Inverted pendulum is a typical fast, multivariable, nonlinear, strong-coupling and naturally unstable system. In reality there are many systems which are similar to inverted pendulum, so the research on it has profound significance both in theory and methodology. This paper first briefly introduces the inverted pendulum and the control methods of it, and makes a classified introduction of the optimization algorithm of the parameters. The basic theory and the method of operation of the Genetic Algorithms are also introduced in this paper. Then the mathematical model of the single inverted pendulum is set up and works out the description of its state and space. This paper mainly adopts the Genetic Algorithms to optimize the parameters of PID, in order to get the better PID parameters. Finally, using Simulink to do simulation of the system verifies the validity of this method and certifies that Genetic Algorithms is a ideal optimization method of the parameter.

Keywords: PID controller; inverted pendulum; Genetic algorithm; MATLAB simulation

1绪论 (1)

1.1倒立摆简介 (1)

1.2倒立摆的控制方法 (2)

1.3PID控制器参数整定方法 (3)

1.4本文的主要任务 (5)

2 PID简介 (6)

2.1PID控制的基本原理 (6)

2.2PID控制器的参数整定 (7)

2.3PID控制的基本用途 (8)

2.4PID控制的重要意义 (9)

3遗传算法的基本理论和基于遗传算法的PID参数寻优 (11)

3.1遗传算法的基本原理 (11)

3.2遗传算法的操作方法 (13)

3.2.1二进制编码 (13)

3.2.2适应度函数 (13)

3.2.3遗传操作 (15)

3.3遗传算法的应用关键 (19)

3.4基于遗传算法的PID参数寻优 (19)

3.4.1基于遗传算法的PID寻优优点 (19)

3.4.2基于遗传算法的PID寻优方法 (20)

4 一级倒立摆的模型 (22)

4.1一级倒立摆的物理模型 (22)

4.2一级倒立摆的数学模型 (22)

5直线一级倒立摆PID控制系统的设计及仿真 (26)

5.1PID控制器的设计 (26)

5.2一级倒立摆系统的S IMULINK模型及系统仿真 (26)

5.2.1MATLAB及Simulink (26)

5.2.2一级倒立摆系统的Simulink模型 (26)

5.2.3仿真结果 (27)

5.3小结 (29)

结论 (30)

致谢 (31)

参考文献 (32)

附录 (33)

1绪论

1.1倒立摆简介

倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。

通过对它的研究不仅可以解决控制中的理论和技术实现问题，还能将控制理论涉及的主要基础学科：力学、数学和计算机科学进行有机的综合应用。其控制方法和思路无论对理论或实际的过程控制都有很好的启迪，是检验各种控制理论和方法的有效的“试金石”。倒立摆的研究不仅有其深刻的理论意义，还有重要的工程背景。在多种控制理论与方法的研究与应用中，特别是在工程实践中，也存在一种可行性的实验问题，使其理论与方法得到有效检验，倒立摆就能为此提供一个从理论通往实践的桥梁，目前，对倒立摆的研究已经引起国内外学者的广泛关注，是控制领域研究的热门课题之一。

倒立摆不仅仅是一种优秀的教学实验仪器，同时也是进行控制理论研究的理想实验平台。由于倒立摆系统本身具有的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为典型的研究对象，不断从中发掘出新的控制策略和控制方法，相关的科研成果在航天科技和机器人学方面获得了广阔的应用[1]。二十世纪九十年代以来，更加复杂多种形式的倒立摆系统成为控制理论研究领域的热点，每年在专业杂志上都有大量的优秀论文出现。因此，倒立摆系统在控制理论研究中是一种较为理想的实验装置。

倒立摆主要应用在以下几个方面：

(1) 机器人的站立与行走类似于双倒立摆系统，尽管第一台机器人在美国问世至今已有三十年的历史，机器人的关键技术——机器人的行走控制至今仍未能很好解决。

(2) 在火箭等飞行器的飞行过程中，为了保持其正确的姿态，要不断进行实时控制。

(3) 通信卫星在预先计算好的轨道和确定的位置上运行的同时，要保持其稳定的姿态，使卫星天线一直指向地球，使它的太阳能电池板一直指向太阳。

(4) 侦察卫星中摄像机的轻微抖动会对摄像的图像质量产生很大的影响，为了提高摄像的质量，必须能自动地保持伺服云台的稳定，消除震动。

(5) 为防止单级火箭在拐弯时断裂而诞生的柔性火箭(多级火箭)，其飞行姿态的控制也可以用多级倒立摆系统进行研究。

由于倒立摆系统与双足机器人、火箭飞行控制和各类伺服云台稳定有很大相似性，因此对倒立摆控制机理的研究具有重要的理论和实践意义。

1.2倒立摆的控制方法

倒立摆有多种控制方法[2]。对倒立摆这样的一个典型被控对象进行研究，无论在理论上和方法上都具有重要意义。不仅由于其级数增加而产生的控制难度是对人类控制能力的有力挑战，更重要的是实现其控制稳定的过程中不断发现新的控制方法，探索新的控制理论，并进而将新的控制方法应用到更广泛的受控对象中。当前，倒立摆的控制方法可分为以下几类：

(1) 线性理论控制

将倒立摆系统的非线性模型进行近似线性化处理，获得系统在平衡点附近的线性化模型，然后再利用各种线性系统控制器设计方法，得到期望的控制器。PID控制、状态反馈控制、能量控制、LQR控制算法是其典型的代表。

(2) 预测控制

预测控制：是一种优化控制方法，强调的是模型的功能而不是结构。变结构控制：是一种非连续控制，可将控制对象从任意位置控制到滑动曲面上仍然保持系统的稳定性和鲁棒性，但是系统存在颤抖。预测控制、变结构控制和自适应控制在理论上有较好的控制效果，但由于控制方法复杂，成本也高，不易在快速变化的系统上实时实现。

(3) 智能控制

智能控制(IC)是一门新型的理论和技术，是传统控制的高级阶段，主要用来解决复杂系统的控制。近几年来国内外对智能控制的理论和应用研究十分活跃。随着智能控制技术的迅速发展，已提出了许多方法，如模糊控制、神经网络、专家系统、遗传算法等。

(4) 多种算法相结合的控制

尽管各类算法有自己的优点，但也存在不足之处。多种算法相结合就可以取长补短，达到更好的控制效果。比如神经网络与模糊算法相结合、模糊控制与PID算法相结合、免疫算法和遗传算法相结合等。

1.3 PID 控制器参数整定方法

PID 控制是工业过程控制中应用最广的策略之一，因此PID 控制器参数的优化成为人们关注的问题，它直接影响控制效果的好坏，并和系统的安全、经济运行有着密不可分的关系。PID 控制器作为最早实用化的控制器已有50多年历史，现在仍然是应用最广泛的工业控制器。PID 控制器简单易懂，使用中不需精确的系统模型等先决条件，因而成为应用最为广泛的控制器。

PID 控制器由比例单元(P)、积分单元(I)和微分单元(D)组成。其输入)(t e 与输出)(t u 的关系为：

1()()[()()]p de t u t K e t e t dt Td Ti dt

=++? (1.1)

式中积分的上下限分别是0和t ，因此它的传递函数为：

()1()1()p d i U s G s K T s E s T s ??==++ ???

(1.2)

式中： P K 为PID 控制器的放大系数；

i T 为PID 控制器的积分时间常数；

d T 为PID 控制器的微分时间常数。

目前PID 参数的优化方法有很多种[3]，如：单变量的寻优技术——分割法、插值法等，多变量的寻优技术——梯度法、单纯形法等。虽然两者都具有良好的寻优特性，但却存在着一些弊端，梯度法由于每步都需要计算目标函数的梯度，所以要求目标函数连续可导，该法计算繁琐费时；单纯形法对于变量较多，目标函数形态比较复杂的情况则收敛慢，同时对初值比较敏感，容易陷入局部最优解，造成寻优失败。虽然传统的优化方法存在着一些弊端，但仍是现场人员常用的方法，它们同样具有较高的研究价值。

下面介绍几种PID 优化算法：

(1) 临界比例度法

临界比例度法又称稳定边界法，是目前应用较广的一种控制参数整定的方法。临界比例度就是先让控制器在纯比例作用下，通过现场试验找到等幅震荡的过渡过程，记下

此时的比例度和等幅振荡周期，再通过简单的计算求出衰减振荡时控制器的参数。

(2) 经验凑试法

此时是根据经验先将控制器的参数放在某一数值上，直接在闭环控制系统中，通过改变设定值施加干扰试验信号，在记录仪上看被控量的过渡过程曲线形状，控制器参数凑试的顺序有两种方法：一种认为比例作用是基本的控制作用，因此，首先把比例度凑试好，待过渡过程已基本稳定，然后加积分作用以消除余差，最后加入微分作用以进一步提高控制质量。另一种整定顺序的出发点是：比例度与积分时间在一定范围内相匹配，可以得到相同递减比的过渡过程。这样比例度的减小可用增大积分时间来补偿，反之亦然。所以要预先确定一个积分时间数值，然后由大到小调整比例度以获得满意的过渡过程。

(3) 专家控制

专家系统[4]是一类包含着知识和推理的智能计算机程序，其内部包含有大量的某个领域专家水平的知识和经验，能够利用人类专家的知识和解决问题的方法来处理该领域的问题。

专家控制的实质是基于受控对象和控制规律的各种知识，以智能的方式来利用这些知识，求得受控系统尽可能地优化和实用化，它反映出智能控制的许多重要特征和功能。随着微机技术和人工智能技术的发展，出现了多种形式的专家控制器。人们自然地也想到用专家经验来建立PID参数，其中最经典的是1984年美国FOXBORO公司推出的EXACT专家式自整定控制器，将专家系统技术应用于PID控制器[5]。

通常，一个以规则为基础，以问题求解为中心的专家系统由知识库、推理机、综合数据库、解释接口和知识获取五部分组成。简单地讲，知识库就是领域知识的存储器。数据库用来存放用户提供的事实和由推理机得到的中间结果。这部分的内容是随时变化的，因此它不同于一般意义上的“数据库”。推理机实质上就是计算机的一组程序，目的是用于控制、协调整个专家系统的工作。解释接口又称为人—机界面。知识获取是将某个领域内的事实性知识和领域专家所特有的经验性知识转化为计算机程序的过程。利用专家系统对PID控制参数进行优化包括四个过程。即：系统控制性能的判别，过程响应曲线的特征识别，控制参数调整量的确定以及PID控制参数的修改等。

(4) 粒子群算法

粒子群算法[6]是由Kennedy和Eberhart等1995年提出的一种演化计算算法。它是

对鸟群觅食过程中的迁徙和聚集的模拟，更确切地说，是由简单个体组成的群落与环境以及个体之间的互动行为。该模拟系统利用局部信息，从而可能产生不可预测的群体行为。目前已广泛应用于函数优化、神经网络训练和模糊系统控制等领域。该算法与其他进化算法相似，也是基于群体的迭代算法。粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索，类似梯度下降算法使各染色体向适应度函数最优的方向群游。

(5) 遗传算法

遗传算法是模拟达尔文生物进化论的自然选择和遗传学机理的生物进化过程的计算模型，是一种通过模拟自然进化过程搜索最优解的方法，它最初由美国Michigan大学J.Holland教授于1975年首先提出来的，并出版了颇有影响的专著《Adaptation in Natural and Artificial Systems》，GA这个名称才逐渐为人所知，J.Holland教授所提出的遗传算法（GA）通常为简单遗传算法（SGA）[7]。

遗传算法具有很强的寻优能力，能够解决各类复杂的优化问题，且具有广泛的适应性和优良的鲁棒性。其应用前景十分广阔。根据遗传算法的特点，只要将控制器的参数构成基因型，将性能指标构成相应的适应度，便可利用遗传算法来整定控制器的最佳参数，并不要求系统是否为连续可微。

GA采用纯数值计算方法和随机进化策略，无需梯度信息，能有效解决困难的优化问题，处理问题具有灵活性、适应性、鲁棒性、全局性，不仅提高了设计的品质而且降低了设计的难度。

1.4 本文的主要任务

本论文的主要任务是研究直线型一级倒立摆的PID控制问题。主要设计思想是通过倒立摆的摆干的位置反馈给系统，从而作出参数调整，使之达到期望的结果。

首先，通过牛顿力学的分析和微分方程的计算，初步建立一级倒立摆的数学模型，并计算出一级倒立摆的状态空间描述。

然后，在给定的目标函数下，利用遗传算法的原理和搜索最优参数的方法，实现PID控制器参数整定与优化，这是一种寻求全局的优化方法，且无需对目标函数微分，可提高参数优化水平，简化优化的解析计算过程。

最后，结合MATLAB遗传算法工具箱对给定的一级倒立摆系统进行仿真，并对其结果分析。

2PID简介

2.1 PID控制的基本原理

工程实际中，将偏差的比例（Proportion）、积分（Integral）和微分（Differential）通过线性组合构成控制量，用这一控制量对被控对象进行控制，这样的控制器称PID控制器。简称PID控制，又称PID调节[8]。其系统基本原理结构如图所示：

图 2.1PID控制系统原理结构图

PID控制器各校正环节的作用如下：

a）比例环节。

即成比例地反映系统的偏差信号，偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用，以减小偏差。控制作用的强弱取决于比例系数Kp，比例系数Kp越大，控制作用越强，过渡过程越快，静态偏差也就越小；但Kp越大，也越容易产生振荡，破坏系统的稳定性。故Kp选择必须恰当，才能过渡时间少，静差小而又稳定的效果。

b）积分环节

可以消除系统稳态误差，但也会降低系统的响应速度，增加系统的超调量。Ti越大，积分的积累作用越弱，这时系统在过渡时不会产生振荡，但是增大积分常数会减慢静态误差的消除过程，消除偏差所需的时间也较长，但可以减少超调量，提高系统的稳定性。当Ti较小时，则积分的作用较强，这时系统过渡时间中有可能产生振荡，不过消除偏差所需的时间较短。所以必须根据实际控制的具体要求来确定Ti。

c）积分环节

微分环节的作用使阻止偏差的变化。它是根据偏差的变化趋势进行控制。偏差变化的越快，微分控制器的输出就越大，并能在偏差值变大之前进行修正。微分作用的引入，将有助于减小超调量，克服振荡，使系统趋于稳定，特别对高阶系统非常有利，它加快

了系统的跟踪速度。但微分的作用对输入信号的噪声很敏感，对那些噪声较大的系统一般不用微分，或在微分起作用之前先对输入信号进行滤波。微分部分的作用由微分时间常数Td 决定。Td 越大时，则它抑制偏差e(t)变化的作用越强；Td 越小时，则它反抗偏差e(t)变化的作用越弱。适当地选择微分常数Td，可以使微分作用达到最优。

PID算法蕴涵了动态控制过程中过去、现在和将来的主要信息，而且其配置几乎最优。比例(P)代表了当前的信息，起纠正偏差的作用，使过程反应迅速。微分(D)在信号变化时有超前控制作用，代表了将来的信息。在过程开始时强迫过程进行，过程结束时减小超调，克服振荡，提高系统的稳定性，加快系统的过渡过程。积分(I)代表了过去积累的信息，它能消除静差，改善系统静态特性。此三作用配合得当，可使动态过程快速、平稳、准确，收到良好的效果。

PID控制器问世至今已有近70年历史，它以其结构简单、稳定性好、工作可靠、调整方便而成为工业控制的主要技术之一。当被控对象的结构和参数不能完全掌握，或得不到精确的数学模型时，控制理论的其它技术难以采用时，系统控制器的结构和参数必须依靠经验和现场调试来确定，这时应用PID控制技术最为方便。即当我们不完全了解一个系统和被控对象，或不能通过有效的测量手段来获得系统参数时，最适合用PID控制技术。PID控制实际中也有PI和PD控制。

2.2 PID控制器的参数整定

PID控制器的参数整定是控制系统设计的核心内容。它是根据被控过程的特性确定PID控制器的比例系数、积分时间和微分时间的大小。PID控制器参数整定的方法很多，概括起来有两大类：一是理论计算整定法。它主要是依据系统的数学模型，经过理论计算确定控制器参数。这种方法所得到的计算数据未必可以直接用，还必须通过工程实际进行调整和修改。二是工程整定方法，它主要依赖工程经验，直接在控制系统的试验中进行，且方法简单、易于掌握，在工程实际中被广泛采用。PID控制器参数的工程整定方法，主要有临界比例法、反应曲线法和衰减法。三种方法各有其特点，其共同点都是通过试验，然后按照工程经验公式对控制器参数进行整定。但无论采用哪一种方法所得到的控制器参数，都需要在实际运行中进行最后调整与完善。现在一般采用的是临界比例法。利用该方法进行PID控制器参数的整定步骤如下：

(1) 首先预选择一个足够短的采样周期让系统工作；

(2) 仅加入比例控制环节，直到系统对输入的阶跃响应出现临界振荡，记下这时的比例放大系数和临界振荡周期；

(3) 在一定的控制度下通过公式计算得到PID控制器的参数。

通常PID调节器的参数是由人工进行整定的。由于PID三个参数互相关联，因此PID参数的整定并非是一件容易的事，尤其当一个过程的控制需要几百个调节器参加控制时，参数的整定不仅花费时间，而且也不容易校正合适。另外，这种人工整定的方法也无法适应一些复杂系统，如时变系统、扰动噪声大的系统，非线性系统等[9]。随着控制要求的提高以及控制理论技术的发展,出现了许多智能PID控制器和新算法,因此,对PID参数的整定将会出现许多先进方法。

2.3 PID控制的基本用途

它由于用途广泛、使用灵活，已有系列化产品，使用中只需设定三个参数（Kp，Ti和Td）即可。在很多情况下，并不一定需要全部三个单元，可以取其中的一到两个单元，但比例控制单元是必不可少的。

首先，PID应用范围广。虽然很多工业过程是非线性或时变的，但通过对其简化可以变成基本线性和动态特性不随时间变化的系统，这样PID就可以控制了。

其次，PID参数较易整定。也就是说PID参数Kp，Ti和Td可以根据过程的动态特性及时整定。如果过程的动态特性变化，例如可能由负载的变化引起系统动态特性变化，PID参数就可以重新整定。

第三，PID控制器在实践中也不断的得到改进，下面就是两个改进的例子。

在工厂，总是能看到许多回路都处于手动状态，原因是很难让过程在“自动”模式下平稳工作。由于这些不足，采用PID的工业控制系统总是受产品质量、安全、产量和能源浪费等问题的困扰。PID参数自整定就是为了处理PID参数整定这个问题而产生的。现在，自动整定或自身整定的PID控制器已是商业单回路控制器和分散控制系统的一个标准。

在一些情况下针对特定的系统设计的PID控制器控制得很好，但它们仍存在一些问题需要解决：