第四章 马科维茨投资组合理论

第四章马科维茨投资组合理论

马科维茨(Harry M.Markowitz,）1927年生于美国，1952年获芝加哥大学博士学位。他曾任职于兰德公司，后为纽约市立大学巴鲁齐学院教授。1990年因其在1952年提出的投资组合选择（Portfolio Selection)理论获得诺贝尔经济学奖。

Markowitz 诺贝尔奖演说结语

“Finally, I would like to add a comment concerning portfolio theory as a part of the micr oeconomics of action under uncertainty. It has not always been considered so. For example, when I defended my dissertation as a student in the Economics Department of the University of Chicago, Professor Milton Friedman argued that portfolio theory was not Economics, and that they could not award me a Ph.D. degree in Economics for a dissertation which was not in Economics. I assume that he was only half serious, since they did award me the degree without long debate. As to the merits of his arguments, at this point I am quite willing to concede: at the time I defended my dissertation, portfolio theory was not part of Economics. But now it is.”

“当我作为芝加哥大学经济系的学生为我的博士论文答辩时，米尔顿·弗里德曼教授认为证券组合理论不是经济学，因而他们不能为一篇不是经济学的论文授予经济学的博士学位。我设想他并非十分认真，因为他们没有经过长时间的争论就已经同意授予我学位。至于他的论点的是非，在此我相当乐意让步：在我答辩我的博士论文的时候，证券组合理论不是经济学的一部分。但是它现在是了(But Now It Is.)”

主要贡献：

1.发展了一个在不确定条件下严格陈述的可操作的选择资产组合理论：均值方差方法Mean-Variance methodology.

2.这个理论演变成进一步研究金融经济学的基础，这一理论通常被认为是现代金融学的发端。

3.这一理论的问世，使金融学开始摆脱了纯粹的描述性研究和单凭经验操作的状态, 标志着数量化方法进入金融领域。马科维茨的工作所开始的数量化分析和MM理论中的无套利均衡思想相结合,酝酿了一系列金融学理论的重大突破。

主要思想：

Markowitz 在投资组合选择理论中考虑的是这样一个问题：

如果一名投资者为减少风险而同时对多种股票进行投资，怎样的投资组合将是最好的？

为此，Markowitz把投资组合的价格变化视为随机变量，以它的均值来衡量收益，以它的方差来衡量风险（因此Markowitz理论又称为均值－方差分析）；把投资组合中各种证券之间的比例作为变量，那么求收益一定的风险最小的投资组合问题就被归结为一个线性约束下的二次规划问题。再根据投资者的偏好，由此就可以进行投资决策。

基本假设：

H1. 单期模型（A single period model），假设时间被分为两个（只有两个时期，本年＆下年）。

假定某一个人选择：本年消费和下年消费。

存在着一个交易本年消费和下年消费的市场。交易价格取决于市场供求力量。

H2. 所有投资都是完全可分的。每一个人可以根据自己的意愿（和支出能力）选择尽可能多的或尽可能少的投资。

H3. 一个投资者愿意仅在收益率的期望值和方差（标准差）这两个测度指标的基础上选择投资组合。

E=对一个投资组合的预期收益率

p

σ=对一个投资组合的收益的标准差（不确定性）

p

H4. 投资者事先知道投资收益率的概率分布，并且收益率满足正态分布的条件。

Return of S&P Index

Data Source: Bloomberg

H5. 一个投资者如何在不同的投资组合中选择遵循以下规则： 1. 如果两个投资组合有相同的收益的标准差和不同的预期收益，高的预期收益的投资组合会更为可取； 2. 如果两个投资组合有相同的收益的预期收益和不同的标准差，小的标准差的组合更为可取； 3. 如果一个组合比另外一个有更小的收益标准差和更高的预期收益，它更为可取。 4. p

E 是好的：其它情况一样，高比低好。

5.

p

σ是坏的：其它情况一样，小比大好。（风险厌恶）

上图标出了四种证券组合的收益率分布他们的p

E 和

p

σ值如图所示，在其它情况中，关于投资者偏好的假设

意味着：

第2种证券组合优于第1种（规则1、4） 第3种证券组合优于第1种（规则2、5）

第4种证券组合优于第1种（规则3、4和5） 从几何图形上看，对任何投资者来说都赞成： 由西北方向各点所代表的证券组合是较好的 有东南方向各点所代表的证券组合是较差的 基本概念

1．单一证券的收益和风险：

对于单一证券而言，特定期限内的投资收益等于收到的红利加上相应的价格变化，因此特定期限内的投资收益为：

p

E p

σ

5

1

2

3

4 5

10

10

1

1P P P t t t r --=

=价格变化＋现金流(如果有）

持有期开始时的价格

－＋CF 由于投资者在期初进行投资决策时，仅仅知道期初价格，红利以及期末价格都是未知的；假定因为股利政策等原因，股利发放遵循稳定的规律，则使用上述公式时，最重要的障碍就是期末价格的不确定性；如果期末价格是一个随机变量，则该期限内的投资收益也必然是一个随机变量。

假定投资者在期初时已经假定或预测了该投资期限内的投资收益的概率分布；至于投资收益的概率分布的具体形式，要依赖于投资者掌握的信息集以及自身形成预期时采用的程序。将投资收益看成是随机变量。

任何资产的预期收益率都是加权平均的收益率，用各个收益发生的概率p 进行加权。预期收益率等于各个收益率和对应的概率的乘积之和。

11221

()...n

i i n n i E r p r p r p r p r ===+++∑

i p 为第i 个收益率的概率；12,,...,n r r r 为可能的收益率。

资产的风险用资产收益率的方差（variance ）和标准差（standard deviation ）来度量。 风险来源：

市场风险（market risk ）：来源于熊市和牛市之间的转换。

利息率风险（interest-rate risk ）：由市场利息率的变化引起的投资者收益率的不确定性。 购买力风险（purchasing-power risk ）：由于通货膨胀引起的投资者收益率的不确定性。 管理风险（management risk ）：由于发行者管理决策的好坏而导致的收益率的不确定性。 信用风险（credit risk ）：由于违约或者破产的可能性引起的收益率的不确定性。 流动性风险（liquidity risk ）：由于要迅速将资产卖出而导致的价格折扣和佣金成本风险。 保证金风险（margin risk ）：由于借入资金（保证金）引起的收益率的不确定性。

可赎回风险（callability risk ）：由于发行人可能在证券到期之前就将证券赎回引起的收益率的不确定性。 可转换风险（convertibility risk ）：由于所投资的债券或优先股可能转换成发行公司的普通股而导致的收益率的不确定性。

外国风险（foreign country risk ）：国际投资者所面临的由于宗主国对非居民资产的没收、不利的税收和关税待遇、由于外国的敌意而导致的无法偿还的资产毁坏、获得当地信息的困难以及其它由于跨国公司的特性所引起的收益率的不确定性。

国内政治风险（domestic political risk ）：由于监管环境、地区要求条件、当地费用、当地许可证或者地方税收等方面的变化所导致的收益率的不确定性。

行业风险（industry risk ）：影响所有竞争公司的事件所带来的收益率的不确定性。 等等。

2．投资组合：决定一个人未来前景的全部决策被称为投资组合。

通常说投资组合由证券构成，一种证券是一个影响未来的决策，这类决策的整体构成一个投资组合。 3．投资组合的收益和风险： 投资组合的收益率

——构成组合的证券收益率的加权平均数。以投资比例作为权数。

假定投资者k 第t 期投资于n 种证券的权重向量为，12(,,...,)T t n ωωωω=，i ω是组合中第i 种证券的当前价值在其中所占的比例（即投资在第i 中资产上的财富的份额，且

12...1n ωωω+++=

马科维茨组合收益率集 设12,,...,n r r r 为n 个方差有限的随机变量，它们称为n 种证券的收益率。下列集合

R 1中的元素称为这n 种证券的组合的收益率：

111221...|,1,2,...,;1n

n n i i i R r r r r r i n ωωωω=??==+++∈==????

∑

（收益率为r 的n 个随机变量的资产组合也是随机变量。） 计算证券组合的收益率： （1）证券和证券组合的值 在证券组合中的股数

每股的初始市场价格

总投资

在证券组合的初始市场价值中的份额

100 40元 4 000 4 000/17 000=0.2325 200 35元 7 000 7 000/17 200=0.4070 100 62元

6 200

6 200/1

7 200=0.3605

总的份额＝1.0000

（2）利用期末价格计算证券组合的期望回报率 证券名称

在证券组合中的股数

每股的期末预期价值

总的期末预期价值 A 100 46.48元 46.48元×100=4 648 B 200 43.61元 43.61元×200=8 722 C

100

76.14元

76.14元×100=7 614

证券组合的期末预期价值W 1=20 984元

证券组合的期望回报率r p ＝(20 984元-17 200元)/17 200=22.00%

（3）利用证券的期望回报率计算证券组合的期望回报率 证券名称

在证券组合中的股数

证券的期望回报率

在证券组合的期望回报率中所起的作用

A 100 16.2% 0.2325×16.2%=3.77%

B 200 24.6% 0.4070×24.6%=10.01% C

100

22.8%

0.3605×22.8%=8.22%

证券组合的期望回报率=r p =22.00%

资产组合的风险度量：

一个资产组合的方差包括每个资产的方差和资产间的协方差。 组合内部证券的交互关系

——证券收益率之间的关系可以用相关系数、决定系数、或协方差来表示。 问题是估计每一种证券的收益率与每种其他证券相关的程度。

两种证券收益率的相互关系可以由相关系数的平均值来表示，相关系数为1表示完全正相关、0表示不相关、-1表示完全负相关。

马科维茨当年的一个重要观念是：风险用过收益率的方差或标准差来刻画，如果[,]ij i j V Cov r r =是i r 和j r

之间的协方差：

1121212212111212122112()(,)...(,)(,)

()...(,)...

...

......

(,)(,)...

()

.........

...

...

...

...n n n n n n

n

n n nn

Var r Cov r r Cov r r Cov r r Var r Cov r r V Cov r r Cov r r Var r σσσσσσσσσ=

=

那么投资组合的标准差应该满足下列公式：

221

1

,1,,1

[([])]

[([])([])]

n

n

p i i i i i i n

i

j

i

i

j

j i j n

i j

i j

i j E r E r E r E r r

E r V

σωωωωωω=====-=--=

∑∑∑∑

上式的推到根据方差的定义、协方差的定义、

马科维茨考虑的问题是如何确定i ω，使得证券组合在期望收益率一定时，风险最小，为了使表达比较简洁，我们使用下列矩阵表示：

1212,1,2,...,,1,2,...,(,,...,), (1,1,...,1),

(,,...,), (), 1,2,...,,()([,])T T n T n i i ij i j n i j i j n

e E r i n V V Cov r r ωωωωμμμμμ=========

称ω为组合，T ωμωμ=为组合的收益，1/2()T V ωσωω=为组合的风险，这样均值－方差证券组合选择问题为：

21

121122min . ...1 ...n T

ij i j

i T

n T

n n w Vw V s t w e w ωωσωωωωωμμωμωμωμμ=?==???=+++=??==+++=???

∑ 这一问题的解

ω称为对应收益μ的极小风险组合。

用数学语言来说，这是个二次规划问题，即它是在两个线性等式约束条件下的二次函数的求最小值的问题。

作为n 个随机变量的协方差矩阵V ，它一定是非负定的，即对于任何n 维向量ω，它必然有2

0T w Vw ωσ=≥。这

样我们面临的最小化函数是n 个变量的非负定二次函数。

写成二次函数的形式：

——投资组合收益率的标准差。一个投资组合收益率的标准差取决于构成它的证券收益的标准差、它们的相关系数、以及投资比例。

2

,11

11

()n

n

n

n

P

i j ij i j i j i j i i i j Cov r r σωωρσσωω======∑∑∑∑

双倍加总表明n 个数被加总在一起。 例子：如果n=2，则

2111,111121,212212,121222,222P σωωρσσωωρσσωωρσσωωρσσ=+++

22222

1122121,212

2P σωσωσωωρσσ=++ 投资组合风险的分散化

投资组合收益的标准差与构成组合的证券的收益标准差相联系。

投资组合的风险分散功能：构成组合的证券收益率之间的相关度越小，投资组合的风险越小。

Efficient Frontier of Two Risky Assets

Two Risky Asset Markowitz Risk vs. Return

4．无差异曲线：投资组合理论的主要结果直接源于投资者喜欢P E、不喜欢P

的假定，某一个投资者这种偏好的程度通常由一簇无差异曲线（indifferent curves）表示。（刻画了投资者对收益和风险的偏好特征）

参考资料：

《金融经济学》汪昌云

《金融经济学十讲》史树中

《证券投资理论与资本市场》威廉.夏普

有效投资组合

如何选择一个投资组合

发现有效投资组合

如何选择一个投资组合风险厌恶型

I1

I2

I3

风险厌恶型

I1 I2

I3

极端畏惧风险

I1

I2

I3

不畏风险型

I1 I2 I3

——三个步骤：

1．证券分析：一种艺术性工作，要求对证券未来前景进行预测。

2．组合分析：产生于预测，以Ep和σp形式估计作出的预测完全来自于第一步骤中对证券的预测。不要求艺术性，仅要求计算。

3．组合选择：给定Ep和σp的结合，投资者，或一些知道自己偏好的人，选择最好的组合。要求对一个特殊投资者偏好的了解。

单个人当然能够完成全部三个步骤的工作，事实上，很多个人投资者确实在独立完成以上的全部工作，但是专业划的分工更有比较利益——很多投资公司中都设有研究部、投资部、交易部、风险控制部等，相应的有Analyst, Money Manager, Trader。

投资组合理论完成组合分析的任务。

——即给定关于证券的预期，通过一个投资组合的适当选择，能够得到什么样的Ep和σp的结合？

答案是下图。

发现有效投资组合的集合

可行集：任何一种证券可以被Ep、σp图形上的一个点所描述。任何一个组合也是如此。取决于理论假设的限制条件，只有某些组合是可行的。

?N个证券可以形成无穷多个组合，由N种证券中任意k种证券所形成的所有预期收益率和方差的组合的集合就是可行集。

?它包括了现实生活中所有可能的组合，也就是说，所有可能的证券投资组合将位于可行集的内部或边界上。

?任何两个可行组合的结合也将是可行的。

?可行集将沿着它的上（有效）边界凸出。

图：可行集可能和不可能的几种情况。

有效组合

e

i

e支配着组合，因为e有更大的Ep和相同的σp组合，因此e被称为有效组合（efficient portfolio），而组合i 是无效的。

可得的Ep和σp结合的区域的上边界被称为有效边界或有效前沿（efficient frontier）。Ep和σp的值位于有效边界上的组合构成有效组合集（efficient set）。

有效集 ? 可行集中有无穷多个组合，但是投资者有必要对所有这些组合进行评价吗？

?

对于一个理性投资者而言，他们都是厌恶风险而偏好收益的。对于同样的风险水平，他们将会选择能

提供最大预期收益率的组合；对于同样的预期收益率，他们将会选择风险最小的组合。这是所有投资者的共同偏好。能满足这两个条件的投资组合的集合被称为有效集（Efficient Set ）或有效边界。

? 有效集描绘了投资组合的风险与收益的最优配置。

有效集曲线的形状具有如下特点：

? 有效集是一条向西北方倾斜的曲线，它反映了“高收益、高风险”的原则；

?

有效集是一条向左凸的曲线。有效集上的任意两点所代表的两个组合再组合起来得到的新的点（代表一个新的组合）一定落在原来两个点的连线的左侧，这是因为新的组合能进一步起到分散风险的作用，所以曲线是向左凸的；

?

有效集曲线上不可能有凹陷的地方。 最优投资组合

同时考虑投资者的偏好特征（无差异曲线）和有效集 ? 有效集向上凸的特性和无差异曲线向下凹的特性决定了有效集和无差异曲线的相切点只有一个，也就是说最优投资组合是唯一的。

? 对投资者而言，有效集是客观存在的，而无差异曲线则是主观的，它是由自己的风险—收益偏好决定

的。

有效集的推导

所有可能的点（Ep ，σp ）构成了（Ep ，σp ）平面上可行区域，对于给定的Ep ，使组合的方差越小越好，即求解下列二次规划：

21

121122min . ...1 ...n

T

ij i j

i T n T n n w Vw V s t w e w ωωσωωωωωμμωμωμωμμ=?==???=+++=??==+++=???

∑ 思考：

为什么只考虑证券两两之间的相互关系？

两种证券的情况：

一般情况下：

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