求数列极限的方法

求数列极限的方法

摘

要

极限论是数学分析的基础，它从方法上表现了高等数学与初等数学的不同。极限研究的是变量在变化过程中的趋势问题。数学分析中所讨论的极限大体上分为两类：一类是数列的极限，一类是函数的极限。两类极限在本质上是相同的，在形式上数列极限是函数极限的特例。本文主要研究数列极限。在求数列极限的过程中，必然以相关的概念、定理及公式为依据，并借助一些重要的方法和技巧。

关键词：极限、数列

1、预备知识

数列极限：

设是一数列，如果存在常数a ，当n 无限增大时，n a 无限接近（或趋近）于a ，则称数列收敛，a 称为数列的极限，或称数列收敛于a ，记为lim n →∞n a =0

a 或：n a →a ，当n→∞。

数列极限的ε-N 定义

设{n a }是一个数列，a 事一个确定的数，若?ε＞0，存在自然数N 使得当n ＞N 时，就有│n a -a │＜ε，则称数列n a 收敛于a ，a 称为它的极限，记作

lim n →∞

n x = a 或n x →a （n→∞） 读作：“当n 趋于无穷大时，n a 的极限等

于a ”或“当n 趋于无穷大时，n a 趋于a ”。lim 为拉丁文limes 一词的前三个字母，也有说成是英文limit 一词的前三个字母的。若数列{n a }没有极限，则称这个数列不收敛或称它为发散数列。

数列极限的性质：

1.唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的；

2.有界性：如果一个数列收敛（有极限），那么这个数列有界。但是，

如果一个数列有界，这个数列未必收敛。

3.保号性：如果一个数列{n x }收敛于a ，且a>0（或a<0)，那么存在正

整数N ，当n>N 时，都有n x >0(或n x <0)。

4.改变数列的有限项，不改变数列的极限。

2．数列极限的方法探求

2.1几个常用数列的极限：

求解策略：熟记常见极限的结论，如

101101

lim k k k k k

k k n k

k k a n a n a a b b n b n b ---→∞-+++=++

+

lim n C C

→∞

=

lim 0n n q →∞

=（│q │<1）, 1lim 1n

n e n →∞

??+= ???

2.2利用定积分求数列极限

通项中含有n!的数列极限，由于n!的特殊性，直接求非常困难，而转化为定积分来求救相对容易了。

例1 求2

2221

1

122lim

arctan arctan ...arctan x n n n n n n n n n →∞??+++????

解： 将1

n

提出，则原和式可改写为

11122arctan arctan ...arctan n n n X n n n n n n n ??

=

+++????

它可以看作是函数arctan x x 在区间[]0,1上的积分和，

所采用的是n 等分[]0,1区间，并且在每个小区间上均取右端函数值。因此

221

120011lim arctan arctan 22142n x x x I X X dx dx x π→∞===-=-+??10│

例2 求()1

1

lim !(2)!n

n

n n n n --→∞

????

解： 原式

= n =

n

= 112

n lim (1)(1)

1n

n n n n →∞??

??+++ ??????

?

= 11exp(lim ln(1))n

n i i

n

n →∞=+∑

=1

exp(ln(1))x dx +?

= exp(2ln 21)-

注1 把乘积转化为和的形式对函数是一个有利的工具。

结论1 若lnf(x)在[]0,1上可积，则11lim ()n

n

n i i e n →∞

=?

?=????

∏ 10ln ()f x dx ?

2.3利用四则运算法则求数列极限

若{n a }与{n b }为收敛数列，则{n a + n b }，{ n a - n b }，{ n a n b }也都是收敛数列，且有

()lim lim lim n n n n

n n n a b a b →∞

→∞

→∞

±=± ()

lim lim lim n n

n n

n n

n a b a b →∞→∞→∞=

例:3

求

n

解：

=

=

由1

1n

+

→∞， ()n →∞

得n

= x 12 2.4 利用重要极限求数列的极限

两个重要极限分别为 （1）0sin lim

1x x x →= （2）1lim 1n

n e n →∞??

+= ???

例4 求2

2lim 1n n →∞

??

+ ???

解 ： 2lim 1n

n n →∞??

+ ???

= 2

222lim 1n

n e n →∞??????+= ???????

2.5 利用两个准则求极限。

(1)夹逼准则：若一正整数 N ,当n N >时，有n n n y x z ≤≤且lim lim n n n n y z a

→∞

→∞

==则有 lim n n x a →∞

=.

利用夹逼准则求极限关键在于从n x 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{}n y 和 {}n z ，使得n n n y x z ≤≤。 例5

：2

n x n =++

+求n x 的极限

解：因为n x

单调递减，所以存在最大项和最小项

.......n x

≥

=

.......n x

≤

+

=

n x ≤≤

又因为1n n ==

lim 1n n x →∞

=

（2）：单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。

利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。

例6 证明下列数列的极限存在，并求极限。

123,n y y y y a a a a ===+++

+

证明：从这个数列构造来看

n y 显然是单调增加的。用归纳法可证。

又因为23,n y y y === 所以得2

1n n y a y -=+. 因为前面证明n y 是单调增加的。

两端除以n y

得1n n

a

y y <

+

因为1n y y ≥

则

n

a

y ≤

从而11n a

y +≤

1n y ≤

即 n y 是有界的。根据定理{y }n 有极限，而且极限唯一。

令 lim n n y l →∞

= 则 2

1lim lim()n

n n n y y a -→∞→∞

=+ 则2l l a

=+ 因为 0n y > 解方程得 1

2

l +=

所以 lim n n y l →∞

==

2.6几类特殊数列极限的求法

（1）公式型

若{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，公比q 满足│q │<1，则1

l

i m 1n n a S q

→∞

=

- 例7 若数列{}n a 的通项是()()

()3213212

n

n n n n n a n ----++--=

≥，则求

()

12lim n n a a a →∞

++

+

解： 2,3,n n n n n a ?? ? ???

?? ?

???--?????=为奇数为偶数 则{}

21n a -是等比数列，且其首项为

12，公比为1

4; {}

2n a 是等比数列，且其首项为19，公比为1

9。

所以 ()1211

19

92lim 1124

1149

n n a a a →∞+++=+=--

（2）分式型

分子、分母同除以某代数式，使之符合极限的运算法则。若分子、分母事多

项式，则分子、分母同除以n 的最高次幂，然后利用1

lim 0k n n

→∞=（k>0）来求极限；

若分子、分母含指数式，则分子、分母同初除以底数的绝对值大的项，然后利用

lim 0n n q →∞

=（│q │<1）来求极限。

例8 求()

222223411123lim n

n n C C C C n C C C →∞+++++++ 解： ()()2

2223234

1

116

n n n n n C C C C C

++-+++

+==，

()()()()

11

1

2321232n n n n n C C C n n +-++

+=++

+=

则原式= ()1111lim lim 2323

31x x n n n n →∞→∞+

+==+??+ ???

（3）无理式型

一般是先有理化，然后利用极限的运算法则

例9 已知a 、b

为常数，且()

lim 1n bn →∞

=，求a 、b 的值

解：

lim n bn →∞?

? ??

?

=

222222lim

n a b n a n a -++

= (

)2

2

2

2

2n a a b n a -++

则22220,1,a b ????-=

解得 a= （4）和型或积型

对和型或积型，应先求和或求积，再求极限

例10 求1

23212lim 11111n n n n n n n n →∞-??

-+-

+

- ?+++++?

?

的值 解： 原式= 1234212lim 111111n n n n n n n n n →∞

?-?

????

??-+-++- ? ? ???++++++????

????

= 1lim 11n n n →∞-??

?=- ?+??

（5） 递推型

已知数列的递推式求数列的极限，一般对递推式两边取极限，利用

11lim lim lim n n n n n n a a a +-→∞

→∞

→∞

==构造方程求解；也可求出递推数列的通项公式后，再求

极限。

例11 已知a>0，数列{}n a 满足()111

0,1n n

a a a n a +==+

≥。若{}n a 的极限存在且大于0，求A= lim n n a →∞

（将A 用a 表示）。

解： lim n n a →∞

存在，且A= lim n n a →∞

，A>0，

对11

n n

a a a +=+两边取极限， 得1A a A

=+

，

解得 A =

又 A>0，则2

a A +=