大学高数竞赛题和答案

2006年天津市大学数学竞赛试题参考答案

（经济类）

一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）

1．若??

?

??=-≠---=0

10cos 11)(22

x ae x x

e x x

f x x ，是),(∞+-∞上的连续函数, 则a = 0 。

2．函数]2

[sin 2)(ππ

，在区间x x x f +=上的最大值为

33

2+π

。 3．

?

--+2

2

||)||dx e x x x （= 262--e 。

4．设区域{

}2ln 2

11

,0,1|),(2

2

2

2π

=

++≥≤+=??D dxdy y

x y y x y x D 则

.

5．设函数),(y x z z =由方程2=+----x

y z xe

x y z 所确定，则dy dx xe e x dz x

y z x

y z ++-+=----1)1(1 。

二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）

1． 设函数)(x f 可导, 并且0,5)(0→?=x x f 则当时, 该函数在点0x 处微分的是y dy ?（ A ）

（A ）等价无穷小； （B ）同阶但不等价的无穷小； （C ）高阶无穷小； （D ）低阶无穷小。

2． 设函数)(x f 在点x = a 处可导, 则|f(x)| 在点x = a 处不可导的充要条件是（ C ） （A ）0)(',0)(==a f a f 且； （B ）0)(',0)(=≠a f a f 但； （C ）0)(',0)(≠=a f a f 且； （D ）0)(',0)(≠≠a f a f 且。 3． 曲线12+-+

=x x x y （ B ）

(A) 没有渐近线; (B) 有一条水平渐近线和一条斜渐近线; (C) 有一条铅直渐近线; (D) 有二条水平渐近线。 4． 曲线)2()1(3

--=x x x y 与x 轴所围成的平面图形的面积为（ D ） （A ）

dx x x x ?

--20

3)2()1(； （B ）－dx x x x ?--2

3)2()1(；

（C ） －

dx x x x ?

--10

3)2()1(+dx x x x ?--2

1

3)2()1(;

（D ）

dx x x x ?

--10

3

)2()1(+

dx x x x ?

--2

1

3)2()1(。

5． 设D 是xoy 平面上以点(1, 1), (－1, 1), (－1, －1)为顶点的三角形区域, D 1是D 在第一象限的部分, 则??

=+D

dxdy y x xy )sin cos （（ B ）

（A ）??D

xydxdy 2

； （B ）??1

sin cos 2D ydxdy x ； C ）??+1

)sin cos (4D dxdy y x xy ； （D ）0。

三、设函数)(x f 具有二阶二阶导数，且求，,4)0(''0)(lim 0

==→f x x f x x

x x x f 1

0)(1lim ??

? ??

+→。

（本题6分） 解：因为 0)0(')0(0)

(lim

===→f f x

x f x 所以，，

所以 22

42

)(''lim

2)

('lim

1

)(lim 1

00

)(1lim e e e

e

e x x

f x f x

x f x

x x f x

x x x x =====??

? ??+→→→?→

四、设函数)(x y y =由参数方程9

22ln 2112

,)1(21=+>??

???=+=?x t u dx y d t du u e y t x 求所确定。（本题6分）

解：)

ln 21(242

ln 2142ln 21'2ln 21'

t e t t t et t t t e x y dx dy t t t +=?+=?+==+ 22222

)ln 21(441)ln 21(221)ln 21(2t t e t t e t dt

dx dt t e d dx y d +-

=?+-=????? ??+= 当 21,9=>=t t x 得由时

2

2

2

29

2

2)

2ln 21(16)ln 21(4+-

=+-

===e

t t e

dx y d t x 五、。设n 为自然数, 计算积分?

+=2

sin )12sin(π

dx x

x

n I n （本题7分）

解：

????+=+=+=202020202cos sin cos 2sin sin sin 2cos cos 2sin sin )12sin(π

πππnxdx dx x x

nx dx x x nx x nx dx x x n I n

=12

02

1

21sin )12sin()12sin(21-+=-++?n n I I dx x x n x n π

所以 2

sin sin 20

01π

π

==

===?

-dx x x I I I n n ΛΛ 六、计算

?

-10

2||dx k x x , 其中k 为常数.（本题6分）

解：当0 < k < 1时

1

430431

2

021

024343)()(||k

k k

k

x kx x kx dx k x x dx x k x dx k x x ???? ??+-+???? ??-=-+-=-??? 4

1

364+-=

k k 当k ≥ 1时

41343)(||0

431

02

1

02-=???? ??-=-=-??k x kx dx x k x dx k x x k

当k ≤ 0时

34143)(||1

0431

02

1

02k x kx dx k x x dx k x x -=???? ?

?+-=-=-?? 所以 ????

?????≤-≥-

<<+-=-?0

3411413104

1

36||410

2

k k k k k k k dx k x x

七、。已知曲面方程为)0,0,0(1>>>=z y x xyz , 则

( 1 ) 在曲面上求一点, 使其到原点的距离最小;

( 2 )写出该点处的切平面方程.（本题8分）

证明：点(x, y, z)满足条件xyz = 1, 到原点距离为 222),,(z y x z y x d ++=

. 于是得条件极值

??

?=++=1

),,(2

22xyz z y x z y x f 条件最小

由拉格朗日乘数法, 拉格朗日函数 )1(),,(2

2

2

-+++=xyz z y x z y x F λ 八、设函数),(y x f 连续, 且1,,0,),(),(2===+=??

x x y y D dxdy y x f xy y x f D

为由其中围成的

区域, 求),(y x f 。（本题7分）

解： 假设

A xy y x f A dxdy y x f D

+==??),(,

),(则, 于是

3

121)()(),(20

1

A dxdy A xy dx dxdy A xy dxdy y x f A x D

D

+=

+=+==

?

?????

所以 8

1),(,8

1+

==

xy y x f A . 九、设]10[)(，

在r f 上连续, 则??≤+∞

→=++1

2222

220)()(lim y x n n dxdy y x f y x

。

（本题7分） 证明： 用极坐标计算二重积分

?????

++≤+==++1

1210

121

20

2222)(2)()()(22dr r f r dr r f r d dxdy y x f y x n n y x n πθπ

假设 |)(|max 1

0r f M r ≤≤=

所以 ?

???++≤=++≤

1

121

122222|)(|2|)(2|)()(0dr r f r dr r f r dxdy y x f y x n n n ππ 2

21

2+≤n M

π

由夹逼定理， 得到 ??≤+∞

→=++1

2222

220)()(lim

y x n n dxdy y x f y x

。

十、设)(x f 在闭区间[0, 1]上连续, )1()0(f f =, 证明: 对于任意给定的整数n > 2, 必存在

)1

()(),1,0[n x f x f x n n n +=∈使得

。（本题8分） 证明： 令)1()()(n x f x f x +-=φ, 只需证明0)(]1

10[)(=-n n x x n

x φφ使存在，在.

(反证法): 反设不0)(=n n x x φ使存在, 由于]110[)(n x -，在φ上连续, 所以]1

10[n

-，在上

)(x φ不变号, 不妨假定 ]1

10[n

-，在上0)(>x φ. 所以:

,0)1()0()0(>-=n f f φ,0)2()1()1(>-=n f n f n φ…, ,0)1()1

()1(>--=-f n

n f n n φ

所以 )1()0()1

(

)1()0(0f f n

n n -=-+++<φφφΛΛ 与 )1()0(f f =矛盾. 所以存在)1

()(),1,0[n

x f x f x n n n +=∈使得.

十一、设)(x f 是除x = 0点外处处连续的奇函数, x = 0为其第一类跳跃间断点, 证明?

x dt t f 0

)(是连续

的偶函数, 但在点x = 0处不可导。（本题7分） 解：

1. 假设A x f x =+→)(lim 0

因为)(x f 是除x = 0点外处处连续的奇函数, x = 0为其第一类跳跃间断点, 所以 0)(lim 0

≠-=-→A A x f x 且，.(若A = 0, 则)(x f 在x = 0连续)

2. 令 ??

?

??<+=>-=0

)(00

)()(x A x f x x A

x f x φ. 显然 )(x φ在x =0连续, 所以在),(∞+-∞连续 当 x > 0时, －x < 0, )(])([)()()(x A x f A x f A x f x φφ-=--=+-=+-=-, 当 x < 0时, －x > 0,

)(])([)()()(x A x f A x f A x f x φφ-=+-=--=--=-.

所以)(x φ是连续的奇函数. 所以?x dt t 0

)(φ是连续的偶函数.

3.

||)()(|,

|)()(00

x A dt t dt t f x A dt t f dt t x

x x x +=-=??

??

φφ

所以

?

x dt t f 0

)(是连续的偶函数, 但在点x = 0处不可导。

十二、设常数12ln ->k , 证明: 当0)1ln 2ln )(1(102

>-+--≠>x k x x x x x 时，

且（本题8分）

证明：假设 1ln 2ln )(2

-+-=x k x x x f （x > 0）

只要证明i. 当01ln 2ln 102

<-+-<

, ii. 当01ln 2ln 12

>-+-

)2ln 2(1

2ln 2

1)('k x x x

x k x x x f +-=+-= 令 202

1)(',2ln 2)(==-=+-=x x

x g k x x x g 得，则由

021

)2('',2)(''2>==g x x g ,

所以, 由12ln ->k 得, 022ln 22)2(>+-=k g 为极小值, 也是最小值 所以 单增函数)(,0)2ln 2(12ln 21)('x f k x x x

x k x x x f >+-=+-=. 由 0)1(=f , 得到

i. 当01ln 2ln )(102

<-+-=<

ii. 当01ln 2ln )(12

>-+-=

.