二次函数动点问题附加(教师版)
二次函数的动态问题（附加）
1.如图①，中，，．它的顶点
的坐标为，顶点的坐标为，，点从点出发，沿的方向匀速运动，同时点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动，当点到达点时，两点同
时停止运动，设运动的时间为秒． （1）求的度数．（2）当点在
上运动时，的面积（平方单位）与时间（秒）之间的函数图象为抛物线的一
部分，（如图②），求点的运动速度．
（3）求（2）中面积与时间之间的函数关系式及面积取最大值时点的坐标．
（4）如果点保持（2）中的速度不变，那么点沿边运动时，的大小随着时间的增大而增大；沿着边运动时，
的大小随着时间的增大而减小，当点沿这两边运动时，使的点有几个？请说明理由．
解: （1）．（2）点的运动速度为2个单位/秒．
（3）（）．当时，有最大值为，
此时
．
（4）当点沿这两边运动时，的点有2个．①当点与点重合时，， 当点P 运动到与点重合时，的长是12单位长度，作交
轴于点M ，作轴于点H ，由得：
，所以，从而．所以当点在
边上运动时，的点有1个．
②同理当点在边上运动时，可算得．而构成直角时交轴于，，所以，从而的点也有1个．所以当点沿这两边运动时，的点有2个． 2.如图：抛物线经过A （-3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点. （1）求抛物线的解析式.
（2）已知AD = AB （D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；
（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ+MC 的值最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。
（1）解法一：设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x - 4)因为B （0，4）在抛物线上，所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得a= -1/3所以抛物线解
Rt ABC △90B ∠=30CAB ∠=A (100)，B (553)，
10AB =P A A B C →→Q (02)D ，y P C t BAO ∠P AB OPQ △S t P S t S P P Q ，P AB OPQ ∠t BC OPQ ∠t P 90OPQ ∠=P 60BAO =∠P (103)P t t -，05t ≤≤1(22)(10)2S t t =+-2
912124t ??=--+ ???∴92t =S 121411932P ?? ? ???
，P 90OPQ =∠P P A 90OPQ <∠B OQ 90OPM =∠y PH y ⊥OPH OPM △∽△203
11.5OM =
=OQ OM >90OPQ >∠P AB 90
OPQ =∠P P BC 1031217.83OQ =+=y 35303?? ? ???，353
20.217.83
=>90OCQ <∠90OPQ =∠P P 90OPQ =∠P （第1题图①）
A
C
B
Q
D
O P
x y
30
10
O 5
t S （第1题图②）
第1题图
y Q M H D O A x C B ()P
析式为
解法二：设抛物线的解析式为，
依题意得：c=4且解得所以所求的抛物线的解析式为
（2）连接DQ ，在Rt △AOB 中，所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 – 5 = 2
因为BD 垂直平分PQ ，所以PD=QD ，PQ ⊥BD ，所以∠PDB=∠QDB 因为AD=AB ，所以∠ABD=∠ADB ，∠ABD=∠QDB ，所以DQ ∥AB 所以∠CQD=∠CBA 。∠CDQ=∠CAB ，所以△CDQ ∽△CAB
即所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –=，所以t 的值是25/7。 （3）答对称轴上存在一点M ，使MQ+MC 的值最小理由：因为抛物线的对称轴为所以A （- 3，0），C （4，0）两点关于
直线对称连接AQ 交直线于点M ，则MQ+MC 的值最小过点Q 作QE ⊥x 轴，于E ，所以∠QED=∠BOA=900
DQ ∥AB ，∠ BAO=∠QDE ，△DQE ∽△ABO 即所以QE=，DE=，所以OE = OD + DE=2+
=，所以Q （，）设直线AQ 的解析式为
则由此得所以直线AQ 的解析式为联立由此得所以M 则：在对称轴上存在点M ，使MQ+MC 的值最小。
3. 如图9，在平面直角坐标系中，二次函数
的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两
点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝OC ，tan ∠ACO ＝1/3． （1）求这个二次函数的表达式．
（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度．
（4）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积.
（1）方法一：由已知得：C （0，－3），A （－1，0）
将A 、B 、C 三点的坐标代入得解得：所以这个二次函数的表达式为：
方法二：由已知得：C （0，－3），A （－1，0）设该表达式为：将C 点的坐标代入得： 所以这个二次函数的表达式为：
（2）方法一：存在，F 点的坐标为（2，－3）理由：易得D （1，－4），所以直线CD 的解析式为：
∴E 点的坐标为（－3，0）由A 、C 、E 、F 四点的坐标得：AE ＝CF ＝2，AE ∥CF ∴以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形 ∴存在点F ，坐标为（2，－3）
2111(3)(4)4333
y x x x x =-+-=-++2(0)y ax bx c a =++≠934016440a b a b -+=??++=?
1313a b ?
=-????=??
211
433
y x x =-+
+5AB DQ CD AB CA
=
210,577DQ DQ ==10
72572525177t =÷=122
b x a =-=12
x =12x =QE DQ DE BO AB AO ==10
7453QE DE ==876767207
20787(0)
y kx m k =+≠2087730k m k m ?+=???-+=?
8412441
k m ?=????=??
8244141y x =+128244141
x y x ?=????=+??
128
(,)241
128(,)241
)0(2>++=a c bx ax y ?????-==++=+-30390c c b a c b a ?????
-=-==32
1c b a 322--=x x y )3)(1(-+=x x a y 1=a 322--=x x y 3--=x
y
方法二：易得D （1，－4）所以直线CD 解析式为：∴E 点坐标为（－3，0）∵以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形∴F 点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合∴存在点F ，坐标为（2，－3）
（3）如图，①当直线MN 在x 轴上方时，设圆的半径为R （R>0），则N （R+1，R ）， 代入抛物线的表达式，解得
②当直线MN 在x 轴下方时，设圆的半径为r （r>0），则N （r+1，－r ），代入抛物线的表达式，解得∴圆的半径为或．
（4）过点P 作y 轴的平行线与AG 交于点Q ，易得G （2，－3），直线AG 为． 设P （x ，），则Q （x ，－x －1），PQ ．
当时，△APG 的面积最大
此时P 点的坐标为，． 4.已知：如图14，抛物线与轴交于点A ，点B ，与直线相交于点B ，点C ，直线与y 轴交于
点E ．
（1）写出直线BC 的解析式．（2）求的面积．
（3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A,B 重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为秒，请写出的面积S 与的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，的面积最大，最大面积是多少？
解：（1）在中，令
，
，又点在上
的解析式为
2分
（2）由，得，，
（3）过点N 作
于点P
由直线可得：在中，，，则，
此抛物线开口向下，当时，当点M 运动2秒时，的面积达到最大，最大值12/5。
3--=x y 2
171+=R 2171+-=r 2171+2
171+-1--=x y 322--x x 22++-=x x 3
)2(2
12?++-=+=???x x S S S GPQ APQ APG 21=x ??
? ??-415,21827的最大值为APG S ?2334y x =-+x 34y x b =-+34y x b =-+ABC △t MNB △t MNB △2334
y x =-+0y
=23304
x ∴-+=12x ∴=22x =-(20)A ∴-，(20)B ，
B 34y x b =-+302
b ∴=-+32b =BC ∴334
2
y x =-+23
343342
y x y x ?
=-+???
?=-+??11194
x y =-??
?=??22
20x y =
??=?914C
??∴- ???，(20)
B ，4AB ∴=94
CD =1994242
ABC S ∴=??=△NP MB ⊥EO MB ⊥NP EO ∴∥BNP BEO ∴
△∽△BN NP BE
EO
∴=
3342y x =-+302E ?? ???，∴BEO △2BO =32EO =52BE =253
22
t NP ∴=65NP t ∴=16(4)25S t t ∴=-2312(04)55S t t t =-+<<2312
(2)55
S t =--+∴2t =125
S
=
最大
∴MNB △
专题：二次函数中的动点问题
y x O 二次函数中的动点问题（二） 平行四边形的存在性问题 一、技巧提炼 1、二次函数y=ax 2 +bx+c 的图像和性质 a ＞0 a ＜0 图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标 最 值 当x ＝ 时，y 有最 值是 当x ＝ 时，y 有最 值是 增减 性 在对称轴左侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 在对称轴右侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 2、平行四边形模型探究 如图1，点A ()11,x y 、B ()22,x y 、C ()33,x y 是坐标平面内不在同一直线上的三点。平面直角坐标系中是否存在点D ，使得以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请求出点D 的坐标。 A B C x y 图1 图2 如图2，过A 、B 、C 分别作BC 、AC 、AB 的平行线，则以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个。
由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标。 3、平面直角坐标系中直线和直线l2: 当l1∥l2时k1= k2; 4、二次函数中平行四边形的存在性问题： 解题思路：（1）先分类（2）再画图（3）后计算 二、精讲精练 1、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点（A、B分别在原点的左右两侧），与y轴正半轴相交于C 点，且OA：OB：OC=1：3：3，△ABC的面积为6，（如图1） （1）求抛物线的解析式； （2）坐标平面内是否存在点M，使得以点M、A、B、C为顶点四边形是平行四边形若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，在直线BC上方的抛物线上是否存在一动点P，△BCP面积最大如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
最新最新中考二次函数动点问题(含答案)
二次函数的动点问题 1.如图①，正方形ABCD 的顶点A B ，的坐标分别为()()01084，，，，顶点C D ，在第一象限．点P 从点A 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q 从点()40E ，出发，沿x 轴正方向以相同速度运动．当点P 到达点C 时，P Q ，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒． （1）求正方形ABCD 的边长． （2）当点P 在AB 边上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P Q ，两点的运动速度． （3）求（2）中面积S （平方单位）与时间t （秒）的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标． （4）若点P Q ，保持（2）中的速度不变，则点P 沿着AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小．当点P 沿着这两边运动时，使90OPQ =o ∠的点P 有 个． （抛物线()2 0y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b a a ?? -- ??? ，．
[解] （1）作BF y ⊥轴于F ． ()()01084A B Q ，，，， 86FB FA ∴==，． 10AB ∴=． （2）由图②可知，点P 从点A 运动到点B 用了10秒． 又1010101AB =÷=Q ，． P Q ∴，两点的运动速度均为每秒1个单位． （3）方法一：作PG y ⊥轴于G ，则PG BF ∥． GA AP FA AB ∴ =，即610 GA t =． 35GA t ∴=． 3 105OG t ∴=-． 4OQ t =+Q ， ()113410225S OQ OG t t ? ?∴= ??=+- ?? ?．
二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)
函数解题思路方法总结： ⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶根据图象的位置判断二次函数ax2+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断 图象的位置，要数形结合； ⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数；下面以a＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 动点问题题型方法归纳总结 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
二、 抛物线上动点 5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式； (2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标． 注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P 坐标----①C 为顶点时，以C 为圆心CM 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P ，②M 为顶点时，以M 为圆心MC 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P ，③P 为顶点时，线段MC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P 。 第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）； 方法二，先求与BC 平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。 共同点：
二次函数动点问题解答方法技巧分析
函数解题思路方法总结: ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程; ⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号,或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置,要数形结合; ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求与已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标、 ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就就是所含字母x 的二次函数;下面以a ＞0时为例,揭示二次函数、二次三项式与一元二次方程之间的内在联系: 二、 抛物线上动点 5、(湖北十堰市)如图①, 已知抛物线32++=bx ax y (a ≠0)与x 轴交于点A (1,0)与点B (－3,0),与y 轴交于点C . (1) 求抛物线的解析式; (2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ,问在对称轴上就是否存在点P ,使△CMP 为等腰三角形？若存在,请直接写出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由. (3) 如图②,若点E 为第二象限抛物线上一动点,连接BE 、CE ,求四边形BOCE 面积的最大值,并求此时E 点的坐标.
注意:第(2)问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时,以C为圆心CM为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P,②M为顶点时,以M为圆心MC为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P,③P为顶点时,线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。 第(3)问方法一,先写出面积函数关系式,再求最大值(涉及二次函数最值); 方法二,先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标(涉及简单二元二次方程组),再求面积。 ①特殊四边形为背景; ②点动带线动得出动三角形; ③探究动三角形问题(相似、等腰三角形、面积函数关系式); ④求直线、抛物线解析式; ⑤探究存在性问题时,先画出图形,再根据图形性质探究答案。 二次函数的动态问题(动点)
二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)33935
函数解题思路方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 动点问题题型方法归纳总结 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 二、 抛物线上动点 5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式；
(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标． 注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为 顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M 为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平 分线与对称轴交点即为所求点P。 第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方 法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。
中考二次函数与几何图形动点问题--答案
二次函数与几何图形 模式1：平行四边形 分类标准：讨论对角线 例如：请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点构成平行四边形，则可分成以下几种情况 （1）当边AB 是对角线时，那么有BC AP // （2）当边AC 是对角线时，那么有CP AB // （3）当边BC 是对角线时，那么有BP AC // 1、本题满分14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点. (1)求抛物线的解析式； (2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S.求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值； (3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=－x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标.
2、如图1，抛物线322++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ． （1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF //DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ． ①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？ ②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系．
模式2：梯形 分类标准：讨论上下底 例如：请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点构成梯形，则可分成以下几种情况 （1）当边AB 是底时，那么有PC AB // （2）当边AC 是底时，那么有BP AC // （3）当边BC 是底时，那么有AP BC // 3、已知，矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A 的坐标为(4,0)，点C 的坐标为)20(-，，直线x y 3 2 -=与边BC 相交于点D ． (1)求点D 的坐标； (2)抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、D 、O ，求此抛物线的表达式； (3)在这个抛物线上是否存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
初中数学二次函数动点问题
函数性问题专题—动点问题 函数及其图象是初中数学中的主要内容之一，也是初中数学与高中数学相联系的纽带．它与代数、几何、三角函数等知识有着密切联系，中考命题中既重点考查函数及其图象的有关基础知识，同时以函数为背景的综合性问题也是命题热点之一，多数省市作压轴题．因此，在中考复习中，关注这一热点显得十分重要．以函数为背景的综合性问题往往都可归结为动点性问题，我们把它归纳为以下七种题型（附例题） 一、因动点而产生的面积问题 例1：如图10，已知抛物线P ：y =ax 2 +bx +c (a ≠0 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在x 轴的正半轴上，与y 轴交于点C ，矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上，顶点F 、G 分别在线段BC 、AC 上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下： (1 求A 、B 、C 三点的坐标； (2 若点D 的坐标为(m ，0 ，矩形DEFG 的面积为S ，求S 与m 的函数关系，并指出m 的取值范围； (3 当矩形DEFG 的面积S 取最大值时，连接DF 并延长至点M ，使FM =k ·DF ，若点M 不在抛物线P 上，求k 的取值范围. 若因为时间不够等方面的原因，经过探索、思考仍无法圆满解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述(2、(3小题换为下列问题解答(已知条件及第(1小题与上相同，完全正确解答只能得到5分： (2 若点D 的坐标为(1，0 ，求矩形DEFG 的面积 . 例2：如图1，已知直线
12 y x =-与抛物线2 164 y x =- +交于A B ，两点． （1）求A B ，两点的坐标； （2）求线段A B 的垂直平分线的解析式； （3）如图2，取与线段A B 端点分别固定在A B ，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线A B 动点P 将与A B ，构成无数个三角形，这些三角求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．图2 图1 图10 第-2-页共4页 例3：如图1，矩形ODEF 的一边落在矩形ABCO 的一边上，并且矩形ODE F ∽矩形ABCO ，其相似比为1 : 4，矩形ABCO 的边 AB=4,BC=4
中考二次函数动点问题(含答案)
中考二次函数动点问题(含答案) 1.如图①，正方形的顶点的坐标分别为，顶点在第一象限．点从点出发，沿正方形按逆时针方 向匀速运动，同时，点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动．当点到达点时，两点同时停止 运动，设运动的时间为秒． （1）求正方形的边长． （2）当点在边上运动时，的面积（平方单位）与时间（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分 （如图②所示），求两点的运动速度． （3）求（2）中面积（平方单位）与时间（秒）的函数关系式及面积取最大值时点的坐标．（4）若点ABCD保持（2）中的速度不变，则点ABCD沿着ABCD边运动时，ABCD的大小随着时间ABCD的增大而增大；沿着ABCD边运动时，ABCD的大小随着时间ABCD的增大而减小．当点ABCD沿着这两边运动时，使ABCD的点ABCD有个． （抛物线ABCD的顶点坐标是． [解] （1）作轴于． ， ． ． （2）由图②可知，点从点运动到点用了10秒． 又． 两点的运动速度均为每秒1个单位． （3）方法一：作ABCD轴于ABCD，则ABCD． ABCD ，即 ABCD ． ABCD ．ABCD ．ABCD，
ABCD ． 即 ABCD ． ABCD ，且 ABCD ， ABCD当 ABCD 时，ABCD有最大值． 此时 ABCD ， ABCD点ABCD的坐标为 ABCD ．（8分） 方法二：当ABCD时， ABCD ． 设所求函数关系式为． 抛物线过点， ． ，且， 当时，有最大值． 此时， 点的坐标为． （4）． [点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。 ． 2. 如图①，中，，．它的顶点的坐标为，顶点的坐标为，，点从点出发，沿的方向匀速运动，同时点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒． （1）求的度数． （2）当点在上运动时，的面积（平方单位）与时间（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点的运动速度． （3）求（2）中面积与时间之间的函数关系式及面积取最大值时点的坐标． （4）如果点ABCD保持（2）中的速度不变，那么点ABCD沿ABCD边运动时，ABCD的大小随着时间ABCD的增大而增大；沿着ABCD边运动时，ABCD的大小随着时间ABCD的增大而减小，当点ABCD沿这两边运动时，使ABCD的点ABCD有几个？请说明理由． 解: （1）ABCD．
初三二次函数动点问题(教师版)
二次函数动点问题 1、如图，已知二次函数y=42 3 412++- x x 的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于B 、C 两点，其对称轴与x 轴交于点D ，连接AC ． (1)点A 的坐标为_______ ，点C 的坐标为_______ ； (2)线段AC 上是否存在点E ，使得△EDC 为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P 为x 轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA 、PC ，若所得△PAC 的面积为S ，则S 取何值时，相应的点P 有且只有2个? 2、已知抛物线 )0(2≠++=a c bx ax y 经过点B （2，0）和点C （0，8），且它的对称轴是直线2-=x 。 （1）求抛物线与x 轴的另一交点A 坐标； （2）求此抛物线的解析式； （3）连结AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B ）不重合，过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连结CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式； （4）在（3）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的 坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由。 3、如图，四边形ABCD 是平行四边形，AB=4，OB =2，抛物线过A 、B 、C 三点，与x 轴交于另一点D ．一动点P 以每秒1个单位长度的速度从B 点出发沿BA 向点A 运动，运动到点A 停止，同时一动点Q 从点D 出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC 向点C 运动，与点P 同时停止． （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线的对称轴与AB 交于点E ，与x 轴交于点F ，当点P 运动时间t 为何值时，四边形POQE 是等腰梯形？ （3）当t 为何值时，以P 、B 、O 为顶点的三角形与以点Q 、B 、O 为顶点的三角形相似？ 4、如图1，已知抛物线经过坐标原点O 和x 轴上另一点E ，顶点M 的坐标为 (2,4)；矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在x 轴、y 轴上，且AD=2，AB=3. （1）求该抛物线的函数关系式； （2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从 图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P 也以相同的速度．．．．．从点A 出发向B 匀速移动，设它们运动的时间为t 秒（0≤t ≤3），直线AB 与该抛物线的交点为N （如图2所示）.① 当t= 时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由； ② 设以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积为S ，试问S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 2 5
中考数学压轴题二次函数动点问题一
二次函数压轴题 1.如图：抛物线经过A （-3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点. （1） 求抛物线的解析式. （2）已知AD = AB （D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值； （3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ+MC 的值最小若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。 2.如图9，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0）， OB ＝OC ，tan∠ACO＝3 1． （1）求这个二次函数的表达式． （2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积. 3.如图，已知抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点， 与y 轴交于点C （0，3）。
⑴求抛物线的解析式； ⑵设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC 是等腰三角形若存在，求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由; ⑶若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。 4.已知：抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB 第九讲——二次函数动点问题的学习归纳 模式1：平行四边形 例题1：在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点. (1)求抛物线的解析式； (2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S.求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值； (3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=－x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标. 练习：如图，抛物线322++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）， 与y 轴相交于点C ，顶点为D ． （1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF//DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ． ①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？ ②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系． 例题2：如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c 的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2． （1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式； （2）设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标． 练习：如图1，直线 4 3 4 + - =x y 和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2， 0）． （1）试说明△ABC是等腰三角形； （2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S． ①求S与t的函数关系式； ②设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由； ③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值． 【精编版】二次函数的动态问题 1.如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -，， (20)B -，，(08)E ，． （1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式； （2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C D ，两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形 MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围； （3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值， 并求出此最大值； （4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由． [解] （1）点(40)A -，，点(20)B -，，点(08)E ，关于原点的对称点分别为(40)D ，，(20)C ，， (08)F -，． 设抛物线2C 的解析式是 2(0)y ax bx c a =++≠， 则16404208a b c a b c c ++=?? ++=??=-? ，，． 解得168a b c =-?? =??=-? ，，． 所以所求抛物线的解析式是2 68y x x =-+-． （2）由（1）可计算得点(31)(31)M N --，，，． 过点N 作NH AD ⊥，垂足为H ． 当运动到时刻t 时，282AD OD t ==-，12NH t =+． 根据中心对称的性质OA OD OM ON ==，，所以四边形MDNA 是平行四边形． 二次函数与几何图形 模式1：平行四边形 分类标准：讨论对角线 例如：请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点构成平行四边形，则可分成以下几种情况 （1）当边AB 是对角线时，那么有BC AP // （2）当边AC 是对角线时，那么有CP AB // （3）当边BC 是对角线时，那么有BP AC // 1、本题满分14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点. (1)求抛物线的解析式； (2)若点M 为第三象限抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S.求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值； (3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=－x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标. 2、如图1，抛物线322 ++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ． （1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF //DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ． ①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？ ②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系． 模式2：梯形 分类标准：讨论上下底 例如：请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点构成梯形，则可分成以下几种情况 （1）当边AB 是底时，那么有PC AB // （2）当边AC 是底时，那么有BP AC // （3）当边BC 是底时，那么有AP BC // 3、已知，矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A 的坐标为(4,0)，点C 的坐标为)20(-，，直线x y 3 2-=与边BC 相交于点D ． (1)求点D 的坐标； (2)抛物线c bx ax y ++=2 经过点A 、D 、O ，求此抛物线的表达式； (3)在这个抛物线上是否存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 二次函数中的动点问题（二） 平行四边形的存在性问题 一、技巧提炼 1、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像和性质 a ＞0 a ＜0 y 图象x O 开口 对称轴 顶点坐标 最值当 x＝时， y 有最值是当 x＝时， y 有最值是增在对称轴左侧y 随 x 的增大而y 随 x 的增大而 减 在对称轴右侧y 随 x 的增大而y 随 x 的增大而 性 2、平行四边形模型探究 如图 1，点A x1, y1、B x2, y2、C x3, y3是坐标平面内不在同一直线上的三点。平面直角坐标 系中 是否存在点D，使得以A、 B、C、D四点为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请求出点 D 的坐标。 图1图2 如图 2，过A、B、C分别作 BC、AC、AB 的平行线，则以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个。由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标。 3、平面直角坐标系中直线和直线 l 2: 当 l 1 ∥l 2 时 k = k ; 当 l 1 ⊥l 时 k ·k = -1 1 2 2 1 2 4、二次函数中平行四边形的存在性问题： 解题思路：（1）先分类（ 2）再画图（ 3）后计算 二、精讲精练 2 1、已知抛物线y=ax +bx+c 与 x 轴相交于A、B 两点（ A、B 分别在原点的左右两侧），与y轴正半轴相交于 C 点，且 OA： OB： OC=1： 3： 3，△ ABC的面积为6，（如图 1） （1）求抛物线的解析式； （2）坐标平面内是否存在点M，使得以点M、A、B、C 为顶点四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图 2，在直线 BC上方的抛物线上是否存在一动点 P，△ BCP面积最大？如果存在，求出最大面积，并指 出此时 P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由． 2、（2013?黔西南州）如图，已知抛物线经过A（﹣ 2， 0），B（﹣ 3，3）及原点 O，顶点为 C （1）求抛物线的函数解析式； （2）设点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，且以 AO为边的四边形 AODE是平行四边形，求点 D的 坐标。 二次函数与四边形 一．二次函数与四边形的形状 例 1.(浙江义乌市 ) 如图，抛物线y x22x 3 与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线 l 与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2． （ 1）求 A、 B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （ 2）P 是线段 AC 上的一个动点，过 P 点作 y 轴的平 行线交抛物线于 E 点，求线段 PE 长度的最大值；A （ 3）点 G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点 F，使 A 、C、 F、 G 这样的四 个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的 F 点坐标；如果不 存在，请说明理由． 练习 1.(河南省实验区) 23．如图，对称轴为直线x 7 的抛物线经过点 A（6，0）和B（ 0， 4）．2y7 x （ 1）求抛物线解析式及顶点坐标；2 （ 2）设点 E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以 OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积 S 与x之间的函数B(0,4) 关系式，并写出自变量x 的取值范围； ①当平行四边形OEAF 的面积为24 时，请判断平行四边形OEAF 是否F 为菱形？ ②是否存在点 E，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点 E A(6,0)x 的坐标；若不存在，请说明理由． O E 练习 2. （四川省德阳市）25. 如图，已知与x 轴交于点A(1，0) 和 B(5，0) 的抛物线l1的顶点为C (3，4) ，抛物线l2与l1关于x轴对称，顶点为 C ． （ 1）求抛物线l2的函数关系式； （ 2）已知原点O，定点D (0，4)，l2上的点P与l1上的点P始终关于x轴对称，则当点P 运动到何处时，以点 D， O， P， P 为顶点的四边形是平行四边形？ （ 3）在l2上是否存在点M，使△ABM是以AB为斜边且一个角为30的直角三角形？若存， 求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由． y l2 5 E 4 3 2 1A B 1 O 1 2 345 x 1 2 3 4C 5l 1 练习 3.（山西卷）如图，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是A( 4，0) ， B( 2，0) ， E(0，8) ．（1）求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式； （2）设抛物线C1的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于 C， D 两点（点 C 在点 D 的左侧），顶点为 N ，四边形 MDNA 的面 积为 S ．若点 A ，点 D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、 向左运动；与此同时，点 M ，点 N 同时以每秒2个单位 的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点 D 重合为 止．求出四边形 MDNA 的面积 S 与运动时间t之间的关系式，并写出 自变量 t 的取值范围； （3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此 最大值； （4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出 此时 t 的值；若不能，请说明理由． 二次函数动点问题典型例题 等腰三角形问题 1. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=，且经过点A（2，1）， 点P是抛物线上的动点，P的横坐标为m（0＜m＜2），过点P作PB⊥x轴，垂足为B，PB 交OA于点C，点O关于直线PB的对称点为D，连接CD，AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E． （1）求抛物线的解析式； （2）填空： ①用含m的式子表示点C，D的坐标： C（，），D（，）； ②当m=时，△ACD的周长最小； （3）若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标． 面积最大 1. 如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴 交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 2．已知：如图，直线y=3x+3与x轴交于C点，与y轴交于A点，B点在x轴上，△OAB是等腰直角三角形． （1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若直线CD∥AB交抛物线于D点，求D点的坐标； （3）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标和△PAB的最大面积；若没有，请说明理由． 3. （2015?黔西南州）（第26题）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置， 将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′．抛物线y=﹣x2+2x+3经过点 A、C、A′三点． （1）求A、A′、C三点的坐标； （2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△C′OD的面积； （3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标． 动点问题解析(二次函数与动点) 1 2 一 1.如图，已知抛物线y x 2 bx C 与y 轴相交于 C 与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为(2, 0), 2 点C 的坐标为(0，— 1) . (1)求抛物线的解析式；(2)点E 是线段AC 上一动点，过点 E 作DE 丄x 轴于点D ，连结。。，当厶DCE 的面积最大时，求点 D 的坐标；(3)在直线BC 上是否存在一点P ,使 . 26题图 1 2?如图，抛物线y = x 2 + bx — 2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A(— 1，0). 2 (1) 求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；(2)判断△ ABC 的形状，证明你的结 论； (3)点M(m , 0)是x 轴上的一个动点，当 MC + MD 的值最小时，求 m 的值. 2 3如图，抛物线y ax 2 bx c 交x 轴于点A( 3,0)，点B(1,0),交y 轴于点E(0, 3) ?点C 是点A 关于点B 的对称点，点F 是线段BC 的中点，直线|过点F 且与y 轴平行.直线y x m 过 点C ,交y 轴于点D . (1) 求抛物线的函数表达式；(2)点K 为线段AB 上一动点，过点 K 作x 轴的垂线与直线 CD 交于点 H ，与抛物线交于点 G,求线段HG 长度的最大值；(3)在直线|上取点M ，在抛物线上取点 N ，使以点 A ，C ，M ，N 为顶点的四边是平行四边形，求点 N 的坐标 . △ ACP 为等腰三角形，若存在，求 点 4.抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的交点为 A （ m - 4,0）和 B （m,0），与直线y=—x+p 相交于点 A 和点 C （2m —4,m -6）.（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上，且以点 P 和A,C 以及另一点Q 为顶点的平 行四边形ACQP 面积为12,求点P,Q 的坐标； （3）在（2）条件下，若点 M 是x 轴下方抛物线上的动点，当/ PQM 的面积最大时，请求出/ PQM 的最大面积及点M 的坐标。 5?如图.平面直角坐标系 xOy 中，点B 的坐标为（一2，2），点B 的坐标为（6，6），抛物线经过A 、0、B 三点，线段AB 交y 轴与点E . （1）求点E 的坐标；（2）求抛物线的函数解析式；（3）点F 为线段OB 上的 一个动点（不与 O 、B 重合），直线EF 与抛物线交与 M 、N 两点（点N 在y 轴右侧），连结ON 、BN ，当 点F 在线段OB 上运动时，求 BON 的面积的最大值，并求出此时点 N 的坐标；（4）连结AN ，当 BON 的面积的最大时，在坐标平面内使得 BOP 与 OAN 相似（点B 、O 、N 对应）的点P 的坐标. 5 2 17 6.如图，抛物线y X X 1与y 轴交于点A ，过点A 的直线与抛物线交于另一点 B ，过点B 作 4 4 BC 丄x 轴，垂足为点C （ 3，0） . （1）求直线AB 的函数关系式； （2） 动点P 在线段OC 上，从原点O 出发以每钞一个单位的速度向 C 移动，过点P 作丄x 轴，交直线 AB 于点M ，抛物线于点N ，设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长为s 个单位，求s 与t 的函数关系式， 并写岀t 的取值范围； （3） 设（2）的条件下（不考虑点 P 与点O ,点G 重合的情况），连接CM ，BN ，当t 为何值时，四边 形BCMN 为平等四边形？问对于所求的 t 的值，平行四边形 BCMN 是否为菱形？说明理由 . 数学压轴题 二次函数动点问题 1.如图，抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于A (－3，0)、B 两点，与y 轴相交于点 C (0，)．当x ＝－4和x ＝2时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的函数值y 相等，连结AC 、3BC ． （1）求实数a ，b ，c 的值； （2）若点M 、N 同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA 、BC 边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连结MN ，将△BMN 沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得以B ，N ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意得 ?? ? ??++=+-==+-c b a c b a c c b a 2441630 39 解得a ＝－ ，b ＝－，c ＝．333 323（2）由（1）知y ＝－x 2－x ＋，令y ＝0，得－x 2－x ＋＝0．333323333 3 23解得x 1＝－3，x 2＝1． ∵A (－3，0)，∴B (1，0)．又∵C (0，)，∴OA ＝3，OB ＝1，OC ＝， 33∴AB ＝4，BC ＝2．∴tan ∠ACO ＝ ＝，∴∠ACO ＝60°，∴∠CAO ＝30°．OC OA 3同理，可求得∠CBO ＝60°，∠BCO ＝30°，∴∠ACB ＝90°．∴△ABC 是直角三角形． 又∵BM ＝BN ＝t ，∴△BMN 是等边三角形． ∴∠BNM ＝60°，∴∠PNM ＝60°，∴∠PNC ＝60°． 二次函数压轴题---动点问题解答方法技巧总结 ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 动点问题题型方法归纳总结 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 二、 抛物线上动点 5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式； (2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标． 注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。 第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。(完整版)九年级--二次函数中的动点问题
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