2009年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷)

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（江苏卷）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、解答题

1．（本小题满分14分） 设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),

a b ααββ==

(cos ,4sin )c ββ=-（1）若a 与2b c -垂直，求tan()αβ+的值；（2）求||b c +的

最大值;

（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b . 2．

如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点，点D 在11B C 上，

11A D B C ⊥．

求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）平面1A FD ⊥平面11BB C C .

3．（本小题满分14分） 设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前项和，满足

222223457,7a a a a S +=+=。（1）求数列{}n a 的通项公式及前项和n S ；（2）试求所有

的正整数m ，使得

1

2

m m m a a a ++为数列{}n a 中的项。 4．在平面直角坐标系中，

已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆22

2:(4)(5)4C x y -+-=

.

（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为 求直线l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足： 存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ， 它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C

截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标． 5．

按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为

m

m a

+；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n

n a

+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h ，则他对这两种交易

现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙 (1)求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当3

5

A B m m =时，求证：h 甲=h 乙； (2)设3

5

A B m m =

，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．

6．设a 为实数，函数2

()2()f x x x a x a =+--.(1)若(0)1f ≥，求a 的取值范围；(2)

求()f x 的最小值；(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集. 7．

在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A （2，2），其焦点F 在x 轴上.

（1）求抛物线C 的标准方程；

（2）求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；

（3）设过点(,0)(0)M m m >的直线交抛物线C 于D 、E 两点，ME =2DM ，记D 和E 两点间的距离为()f m ，求()f m 关于m 的表达式. 8． A ．选修4 - 1：几何证明选讲

如图，在四边形ABCD 中，△ABC ≌△BAD .

求证：AB ∥CD .

B ．选修4 - 2：矩阵与变换

求矩阵3221A ??

=????

的逆矩阵.

C ．选修4 - 4：坐标系与参数方程

已知曲线C

的参数方程为{1

3()

x y t t

==+t 为参数，0t >），求曲线C 的普通方程.

D ．选修4 - 5：不等式选讲

设a ≥b ＞0，求证：3332a b +≥2232a b ab +. 9．

对于正整数n ≥2，用T n 表示关于x 的一元二次方程x 2+2ax +b =0有实数根的有序数组(a,b)的组数，其中a,b ∈{1,2,?,n }（a 和b 可以相等）；对于随机选取的a,b ∈{1,2,?,n }（a 和b 可以相等），记P n 为关于x 的一元二次方程x 2+2ax +b =0有实数根的概率. （1）求T n 2和P n 2；

（2）求证：对任意正整数n ≥2，有P n >1?√

n .

二、填空题

10．若复数12429,69,z i z i =+=+其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为 ．

11．已知向量a 和向量b 的夹角为30o ，2,3a b ==，则向量a 和向量b 的数量积

a b ?= ▲．

12．函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 . 13．函数

（

为常数，

）在闭区间

上的图

象如图所示，则

= ▲

.

14．现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 ▲ .

15．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：

则以上两组数据的方差中较小的一个为2s = ▲ . 16．右图是一个算法的流程图，最后输出的 ▲ .

17．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲

18．在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ▲ .

19．已知a =

，函数()x

f x a =，若实数m 、n 满足()()f m f n >，则m 、n 的大小关系为 ▲ .

20．已知集合{}

2log 2,(,)A x x B a =≤=-∞，若A B ?则实数a 的取值范围是

(,)c +∞，其中c =

21．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：

（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； （2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；

（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； （4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直. 上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）

22．如图，在平面直角坐标系xoy 中，1212A A B B 为椭圆22221(0)x y

a b a b

+=>>的四个

顶点，F 为其右焦点，直线1B F 与直线12A B 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为________.

23．设{}n a 是公比为q 的等比数列，1q >，令1(1,2,)n n b a n =+=，若数列{}n b 有

连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则6q = .

参考答案

1．（1）2 （2）42

【解析】本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角

的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。满分14

分。

2．（1）见解析（2）见解析

【解析】

本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力．满分14分．

3．（1）26

n

S n n

=-（2）2

m=

【解析】本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分14分。

（1）设公差为d，则2222

2543

a a a a

-=-，由性质得

4343

3()()

d a a d a a

-+=+，因为0

d≠，所以

43

a a

+=，即

1

250

a d

+=，又由

7

7

S=得

1

76

77

2

a d

?

+=，

解得

1

5

a=-，2

d=,

(2)

（方法一）

1

2

m m

m

a a

a

+

+

=

(27)(25)

23

m m

m

--

-

,设23

m t

-=，

则1

2

m m

m

a a

a

+

+

=

(4)(2)8

6

t t

t

t t

--

=+-, 所以t为8的约数

（方法二）因为

1222222

(4)(2)8

6m m m m m m m m a a a a a a a a +++++++--==-+为数列{}n a 中的项， 故

m+2

8 a 为整数，又由（1）知：2m a +为奇数，所以2231,1,2m a m m +=-=±=即

经检验，符合题意的正整数只有2m =。 4．(1)0y =或7(4)24y x =--，(2)点P 坐标为313

(,)22

-或51(,)22-．

【解析】

(1)设直线l 的方程为y ＝k(x －4)，即kx －y －4k ＝0.由垂径定理，得圆心C 1到直线l 的距离

d

1

＝1，化简得24k 2＋7k ＝0，解得k ＝0或k ＝－724

. 所求直线l 的方程为y ＝0或y ＝－7

24

(x －4)，即y ＝0或7x ＋24y －28＝0. (2)设点P 坐标为(m ，n)，直线l 1、l 2的方程分别为y －n ＝k(x －m)，y －n ＝－1

k

(x －m)，即

kx －y ＋n －km ＝0，－1k x －y ＋n ＋1

k

m ＝0.

因为直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，两圆半径相等．由垂径定理，得圆心C 1到直线l 1与圆心C 2到直线l 2

的距离相等．故有

化简得(2－m －n)k ＝m －n －3或(m －n ＋8)k ＝m ＋n －5. 因为关于k 的方程有无穷多解，所以有2080{

{3050m n m n m n m n －－＝，－＋＝，

或－－＝＋－＝，

解得点P 坐标为313,22??- ??

?或51,22??

- ???.

5．(1)见解析（2）即20,12B

A m m ==

时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为5

.

(3) 不存在满足条件的A m 、B m 的值

【解析】

本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力．满分16分． (1)

当3

5

A B m m =

时，h =

=

甲

h =

=

乙h 甲=h 乙 （2）当3

5

A B m m =

时，

h ==甲 由111

[5,20][,]205

B B m m ∈∈得

， 故当

11

20

B m =即20,12B A m m ==时，

． （3）（方法一）由（2）知：0h

由0h h ≥=甲得：

12552A B A B

m m m m ++?≤， 令

35

,,A B x y m m ==则1[,1]4x y ∈、，即：5(14)(1)2

x y ++≤． 同理，由

得：5

(1)(14)2

x y ++≤

另一方面，1[,1]4x y ∈、51414[2,5],11[,2],2

x y x y 、

、++∈++∈ 55(14)(1),(1)(14),22x y x y ++≥++≥当且仅当1

4

x y ==，即A m =B m 时，取等号．

所以不能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立．

6．（1）

（2）22min

2,0

()

{2,0

3

a a f x a a

-≥=<(3) 当26(,)22a ∈时，解集为(,)a +∞;当62(,)22a ∈--时，解集为22

3232(,][,)a a a a a --+-?+∞;

当[,]22a ∈-时，解集为[)3

a ++∞.

【详解】

(3)

7．（1）；（2）；（3）

【详解】

（1）由题意，可设抛物线C的标准方程为

因为点在抛物线C上，所以

因此，抛物线C的标准方程为

（2）由（1）可得焦点F的坐标是

又直线OA的斜率为

故与直线OA垂直的直线的斜率为-1

因此，所求直线的方程为

（3）设点D和E的坐标分别为和，直线的方程式，

将代入，有

解得

由，知

化简得

因此

所以

8．A ．证明见解析；B ．1

1223A --??

=??

-??

；C ．；D ．证明见解析.

【详解】

A ．本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识，考查推理论证能力,由△ABC ≌△BAD 得∠AC

B =∠BDA ，故A 、B 、

C 、

D 四点共圆，从而∠CBA =∠CDB ;再由△ABC ≌△BAD 得∠CAB =∠DBA ,因此∠DBA =∠CDB ，所以AB ∥CD . B ．本小题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力.

设矩阵A 的逆矩阵为x y z w ??????，则32102101x y z w ??????

=????????????

，

即3232102201x z y w x z y w ++????

=?

???++????

，故321,320,{{20,21,x z y w x z y w +=+=+=+=， 解得：1,2,2,3x z y w =-===-，

从而A 的逆矩阵为1

1223A --??=??-??

.

C ．本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力. 因为2

1

2x t t

=+-，所以2

123

y x t t +=+=， 故曲线C 的普通方程为：

.

D ．本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力.

3322222232(32)3()2()(32)()a b a b ab a a b b b a a b a b +-+=-+-=--.

因为a ≥b ＞0，所以-a b ≥0，2232a b -＞0，从而2

2

(32)()a b a b --≥0，

即3332a b +≥2232a b ab +. 9．（1）T n 2=n (6n 3?4n 2+3n+1)

6

，P n 2=

6n 3?4n 2+3n+1

6n 3

；（2）证明见解析.

【详解】 （1）因为有实根，

，所以.

（i ）时，有

，

又

，故总有，此时，有

，有种取法，

所以满足条件的种数有.

（ii ）

时，满足

的有种，

所以 满足条件的种数为，

由（i ）（ii ）得

，所以

.

（2）只需证明无实根的概率为

，

若

无实数根，则

，

所以，又，所以

，

所以满足的有序实数组的组数小于， 所以，所以

.

10．-20 【解析】

试题分析：()12()220202z z i i i i -=-+=--，实部为20-. 考点：1.查复数的减法、乘法运算；2.以及实部的概念. 11．3 【解析】

试题分析：由数量积的运算公式可得：0cos3023a b a b ?=== 考点：向量的数量积

12．(1,11)- 【解析】

f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)，令f ′(x )＜0，得－1＜x ＜11，所以单调减区间为(－1,11)． 13．3 【解析】

考查三角函数的周期知识

32T π=，2

3

T π=，所以3ω= 14．0.2． 【详解】

从5根竹竿中抽取2根，共有10种基本事件，长度恰好相差0.3的只有两种，所以概率为

2

0.210

= 15．

【解析】

试题分析：甲班的方差较小，数据的平均值为7，

故方差s 2

=

()()2

2

222

67008705

-+++-+=

2

5

． 考点：本题主要考查平均数及方差的概念和计算．

点评：简单题，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 16．22 【解析】

1T =时，1S =；3T =，918S =-=；5T =，

25817S =-=．退出循环，17522W =+=．

17．1：8 【解析】

考查类比的方法，11111222221111

31428

3

S h

V S h V S h S h ??＝

＝＝＝，所以体积比为1∶8.

18．（-2，15） 【解析】

试题分析：设点p （a,b ）(a<0),∵3

:103C y x x =-+，∴2

310y x -'=，∴点P 处的切线的斜率为23102a -=,解得a=-2,∴3103820315b a a =-+=-++=，故点P 的坐标为

-2,15（）

考点：本题考查了导数的几何意义

点评：导数的几何意义：导数'()f x 的几何意义就是曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的斜率k ，即0'()k f x =

19．m<n 【解析】

考查指数函数的单调性．(0,1)a =，函数()x

f x a =在R 上递减．由()()f m f n >得：m

【解析】 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。 由2

log 2x ≤得04x <≤，

(0,4]A =；由A B ?知4a >，所以c =4

21．（1）（2） 【详解】

由线面平行的判定定理知，（2）正确；相应地（1）可转化为一个平面内有两相交直线分别

平行于另一个平面，所以这两个平面平行．直线与平面垂直必须直线与平面内两条相交直线垂直，所以（3）（4）都不正确.

22．5e = 【详解】

考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等,以及直线的方程. 直线12A B 的方程为：

1x y

a b

+=-； 直线1B F 的方程为：1x y c

b +

=-.二者联立解得：2()

(,)ac b a c T a c a c

+--，则()(,)2()ac b a c M a c a c +--在椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上，

22222

22

()1,1030,1030()4()

c a c c ac a e e a c a c ++=+-=+-=--，解得：5e =. 23．9- 【详解】

考查等价转化能力和分析问题的能力,等比数列的通项,{}n a 有连续四项在集合

{}54,24,18,36,81--，四项24,36,54,81--成等比数列，公比为3

2

q =-

，6q = -9.