第六章 定积分
第六章 定积分
基础题
一．选择题
1
．设4
1
I =?
，则估计I 值的大致范围为( )． A
．02I ≤≤
B
．
1
25
I ≤≤ C ．1
15
I << D ．1I ≥
2. 设()f x 在[1,1]-上连续，且平均值为2，则1
1
()f x dx -=?（ ）
A. 1
B. 1-
C. 4
D. 4- 3.
2
sin x a
d t dt dx =?( ) A. 22sin sin x a - B. 22cos x x
C. 2sin x
D. 22sin x x
4.设()f x 为可导函数，且(0)0f =，(0)2f '=，则0
2
()lim
x
x f t dt x
→?的值为
( )． A . 0 B . 1 C . 2 D . 不存在 5. 设()f x 是连续函数，且()()x e x
F x f t dt -=?
，则'()F x =（ ）
A. ()()x x e f e f x ----
B. ()()x x e f e f x ---+
C. ()()x x e f e f x ---
D. ()()x x e f e f x --+ 6.设2
()d f x x x C =+?，则20
(sin )cos f x xdx π
-=?( ).
A . 1
B . 1-
C . 24π
D . 2
4
-π
7. [()()]a
a
x f x f x dx -+-=?( )
A. 0
4()a xf x dx ? B. 0
2[()()]a
x f x f x dx +-?
C. 0
D. 以上都不正确 8. 下列反常积分发散的是( ). A . 20
1
1dx x +∞+?
B . 211dx x +∞?
C . e ln x dx x
+∞? D . 0x e dx +∞-? 9. 下列等式正确的是 ( ). A . '()()f x dx f x =? B . ()()d
f x dx f x C dx =+? C .
()()b
a
d f x dx f x dx =? D . ()0b
a
d f x dx dx =?
10. 使2220
(1)32kx x dx -+=?的常数k = ( ). A . 40 B . 40- C . 80 D . 80- 11. 设函数"()x ?在[,]a b 上连续, '(),'()b a a b ?=?=,则'()"()b a
x x dx ??=?
( ).
A . a b -
B . 1()2a b -
C . 22a b -
D . 221
()2
a b -
二．填空题
1.
()()b
a
a
b
f x dx f x dx +=?
? .
2. 1lim 1cos
n n →∞++= .
3. 1
21
(d x x -+=?
.
4.
2
1
51
x x e dx --=?
.
5. 设()f x 为连续函数，则2(()())d a
a
x f x f x x ---=?
.
6. 设()f x 为连续函数，且31
()d x f t t x -=?
，则(7)f = .
7. 设ln 1()()d x x
F x f t t =
?
，其中
()f t 连续，则()F x '= .
8.2
0(1)(2)x
y t t dt =-+?，则
0|x dy
dx
== . 9. 若2()2f x dx x C =+?，则2
20
(1)xf x dx +=? .
10. 设()f x 有一个原函数sin x x
，则
2
()d x f x x π
π'=? .
11.已知()F x 是()f x 的原函数，则
()x a
f t a dt +=?
.
12.若广义积分2
d 11k
x x
+∞
-∞=+?，则常数k = . 13.
设2110()01
x x f x x ?+-≤≤?=?≤≤??，则11
()f x dx -=? .
三．计算题
1.
1
32(115)dx
x -+?
2.
1 3. 21
2
t te
dt -?
4.
22
π
π
-
?
5. 520cos sin d x x x π?
6.
1
arcsin d x x ?
7. 3
2
4
sin x
dx x
π
π?
8.
4
1
?
9.
1|ln |e
e
x dx ?
10.
1
0d x ?
11. 设()f x 在[,]a b 上连续，且()d 1b
a
f x x =?
，求()d .b
a
f a b x x +-?
12. 0
a
x x ?
13.
1
x
14. 求2
3
2
d lim (sin )d x x x t t
t t t t
→-??
15. 设()f x 在[,]a b 上连续，()0f x >且1
()()d d ()
x x
a b F x f t t t f t =+?? 证明：(1)()2F x '≥；
(2)方程()=0F x 在区间(,)a b 内有且只有一个根.
16. 计算由双曲线1
y x
=与直线y x =，2x =所围图形的面积。
17. 计算由抛物线2
2y x =与直线4y x =-所围成的图形的面积。 18. 设平面图形D 由抛物线2
1y x =-和x 轴围成，试求 (1) D 的面积；
(2) D 绕x 轴旋转所得旋转体的体积； (3) D 绕y 轴旋转所得旋转体的体积。
19. 设平面图形D 由抛物线2
y x =和2
x y =围成，试求 (1) D 的面积；
(2) D 绕x 轴旋转所得旋转体的体积；
(3) D 绕y 轴旋转所得旋转体的体积。 20. 过点(1,0)P
作抛物线y =
该切线与上述抛物线及x 轴围成一
平面图形，求此图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积。
21. 设201()12
x x f x x x ?≤≤=?<≤?，求0
()()x
x f t dt ?=?在[0,2]上的表达式，并讨
论()x ?在(0,2)内的连续性。 22.计算下列积分
(1)
1dx -?
(2)
2
1
e ?
(3)
10
arctan x xdx ?
(4)
1
sin(ln )e
x dx ?
(5) 0
ax
e
dx +∞
-?
(6)
2
2
(1)dx
x -?
提高题
一．选择题
1.
函数0
()x f x t =
?
在[0,1]上的最大值是 . ( )
A . e
B . 1
C .
D . 2
2. 设(),()f x x ?在点0x =的某领域内连续，且当0x →时，()f x 是()x ?的高 阶无穷小，则当0x →时，
()sin d x f t t t ?
是0
()sin d x
t t t ??的 . ( )
A . 低阶无穷小
B . 高阶无穷小
C . 同阶但非等价无穷小
D . 等价无穷小 3. 设()f x 在闭区间[0,1]上连续，且()1f x <，则方程0
21()d 0x x f t t --
=?
在
区间(0,1)的根有 . ( )
A . 0个
B . 1个
C . 2个
D . 无穷多个 4. 已知
[2()1]d ()1x
f t t f x -=-?，则(0)f '= . ( )
A . 2
B . 2e 1-
C . 1
D . e 1-
二．填空题
1. 设2
11e ,22
()11,2
x x x f x x ?-≤
??，则212(1)d f x x -=? .
2. 设13
2
1()()d 1f x x f x x x =
++?，则10()d f x x =? . 3. 设1lim()e d a ax
t x x t t x
-∞→∞+=?，则常数a = . 4. 已知()0f π=，且0
[()()]sin d 2f x f x x x π
''+=?，则(0)f = .
三．综合应用与证明题
1. 设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导且'()0f x <，
1()()x
a
F x f t dt x a =-?
证明在(,)a b 内有'()0F x ≤. 2. 已知()f x 连续，
()d 1cos x t f x t t x -=-?
，求20
()d f x x π?的值.
3. 设函数()f x 对于x R ?∈有定义，且()f x ，()f x '，()f x ''均连续，又设x ?，
有112
00
2()()d ()d (1)83
f x x f t t x f t t f '''=++-??，试求()f x . 4. 确定常数,,a b c 的值，使3
sin lim (0)ln(1)d x x b ax x
c c t t
t →-=≠+?. 5. 设(),()f x g x 在区间[,](0)a a a ->上连续，()g x 为偶函数，且()f x 满足 条件()()f x f x A +-= ( A 为常数)， (1) 证明：
()()d ()d a a a
f x
g x x A g x x -=?
?
(2) 利用(1)的结论计算定积分
22
|sin |arctan e d x x x ππ-?
.
6. 在曲线2
(0)y x x =≥上某点A 处作一切线，使之与曲线以及x 轴所围图形的
面积为
1
12
，试求： (1) 切点A 的坐标； (2) 过切点A 的切线方程；
(3) 由上述所围平面图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积.
7. 设22e ,0
()e ,0
x x x F x x -?≤?=?>??，S 表示夹在x 轴与曲线()y F x =的面积，对任何
0t >，1()S t 表示矩形,0()t x t y F t -≤≤≤≤的面积，求
(1) 1()()S t S S t =-的表达式；(2) ()S t 的最小值.