全国奥林匹克数学讲义初中专题训练试题及解析(10套含答案 )

初中数学竞赛专项训练（2）

（代数式、恒等式、恒等变形）

一、选择题：下面各题的选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填在括号内。

1、某商店经销一批衬衣，进价为每件m 元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是（） A. m(1+a%)(1-b%)元 B. m·a%(1-b%)元 C. m(1+a%)b%元 D. m(1+a%b%)元

2、如果a 、b 、c 是非零实数，且a+b+c=0，那么||||||||abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为

（） A. 0

B. 1或-1

C. 2或-2

D. 0或-2

3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若∠B ＝60°，则b

c a

b a

c ++

+的值为（） A. 2

B. 2

C. 1

4、设a ＜b ＜0，a 2+b 2=4ab ，则b

a b

a -+的值为

（）

C. 2

D. 3

5、已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca 的值为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

6、设a 、b 、c 为实数，2

2222

-=+

-=+-=a c z c b y b a x ，，，则x 、y 、z 中，至少有一个值

（）

A. 大于0

B. 等于0

C. 不大于0

D. 小于0

7、已知abc ≠0，且a+b+c ＝0，则代数式ab

c ca b bc a 2

22+

+的值是（）

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

8、若13649832

++-+-=y x y xy x M （x 、y 是实数），则M 的值一定是（） A. 正数 B. 负数

C. 零

D. 整数

二、填空题

1、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d 可用p 表示为＿＿＿＿＿

2、已知-1＜a ＜0，化简4)1(4)1(22+-+-+a

a a a 得＿＿＿＿＿＿＿ 3、已知实数z 、y 、z 满足x+y=5及z 2=xy+y-9，则x+2y+3z=_______________

4、已知x 1、x 2、……、x 40都是正整数，且x 1+x 2+……+x 40＝58，若x 12+x 22+……+x 402的最大值为A ，最小值为B ，则A ＋B 的值等于＿＿＿＿＿＿＿＿

5、计算=+??+++++??++++)

441()417)(413)(49)(45()

439()415)(411)(47)(43(4

444444444________________ 6、已知多项式15472

3--+x bx ax 可被13+x 和32-x 整除，则=+b a ＿＿＿＿＿

三、解答题：

1、已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x a

d d c c b b a =+=+=+=+

111，试求x 的值。

2、如果对一切x 的整数值，x 的二次三项式c bx ax ++2

的值都是平方数（即整数的平方）。证明：①2a 、ab 、c 都是整数。

②a 、b 、c 都是整数，并且c 是平方数。

反过来，如果②成立，是否对于一切x 的整数值，x 的二次三项式c bx ax ++2

的值都是平方数？

3、若2

1996199619951995+?+=a ，求证：a 是一完全平方数，并写出a 的值。

4、设a 、b 、c 、d 是四个整数，且使得22222

)(4

1)(d c b a cd ab m --+-+=是一个非零整数，求证：｜m ｜一定是个合数。

5、若2

a 的十位数可取1、3、5、7、9。求a 的个位数。

初中数学竞赛专项训练（3）

（方程）

一、选择题：

1、方程018)8(2=-++-a x a x 有两个整数根，试求整数a 的值（）

A. -8

B. 8

C. 7

D. 9 2、方程1)1(32=-++x x x 的所有整数解的个数是（）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

3、若0x 是一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 的根，则判别式ac b 42

-=?与平方式2

0)2(b ax M +=的大小关系是

（） A. △＞M

B. △=M

C. △＜M

D. 不能确定

4、已知ac b 42

-是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的一个实数根，则ab 的取值范围为

（）

A. ab ≥

1 B. ab ≤

1 C. ab ≥

1 D. ab ≤

1 5、已知1x 、2x 是方程0)53()2(22=+++--k k x k x 的两个实根，则2

1x x +的最大值是

（） A. 19

B. 18

C. 9

D. 以上答案都不对

6、已知z y x 、、为三个非负实数，且满足132523=-+=++z y x z y x ，　

，z y x u 73-+=若，则u 的最大值与最小值之和为（）

A. 77

B. 7764-

C. 77

68-

D. 77

74-

7、若m 、n 都是正实数，方程022

=++n mx x 和方程022

=++m nx x 都有实数根，则m+n 的最小值是（） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

8、气象爱好者孔宗明同学在x （x 为正整数）天中观察到：①有7个是雨天；②有5个下午是晴天；③有6个上午是晴天；④当下午下雨时上午是晴天。则x 等于（） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、填空题

1、已知两个方程002

=++=++a bx x b ax x 与有且只有一个公共根，则这两个方程的根应是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

2、若)(01611016112

2b a b b a a ≠=++=++，　，则

=-b

a b ＿＿＿＿＿＿＿

3、已知关于x 的方程012)1(2=-+++n x n x 的两根为整数，则整数n 是＿＿＿＿＿

4、设1x 、2x 是方程02)1(222=+++-k x k x 的两个实数根，且8)1)(1(21=++x x ，则k 的值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

5、已知a 、b 是方程042

=+-m x x 的两个根，b 、c 是方程0582

=+-m x x 的两个根，则m ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

6、设1x 、2x 是关于x 的一元二次方程22

=++a ax x 的两个实数根，则)2)(2(1221x x x x --的最大值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿三、解答题

1、关于x 的方程01)1(2=+--x k kx 有有理根，求整数k 的值。

2、设方程012001

2003200222=-?-x x 的较大根是r ，方程01200220012

=+-x x 的较小根是s ，求r －s 的值。

3、确定自然数n 的值，使关于x 的一元二次方程0763510822

=-+-+-n n x nx x 的两根均为质数，并求出此两根。

4、已知关于x 的一元二次方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的两个根均为整数，求所有满足条件的实数k 的值。

5、有编号为①、②、③、④的四条赛艇，其速度依次为每小时1v 、2v 、3v 、4v 千米，且满足1v ＞2v ＞3

v ＞4v ＞0，其中，水v 为河流的水流速度（千米/小时），它们在河流中进行追逐赛规则如下：（1）四条艇在同一起跑线上，同时出发，①、②、③是逆流而上，④号艇顺流而下。（2）经过1小时，①、②、③同时掉头，追赶④号艇，谁先追上④号艇谁为冠军，问冠军为几号艇？

初中数学竞赛专项训练（4）

（不等式）

一、选择题：

1、若不等式｜x+1｜+｜x-3｜≤a 有解，则a 的取值范围是（）

A. 0＜a ≤4

B. a ≥4

C. 0＜a ≤2

D. a ≥2 2、已知a 、b 、c 、d 都是正实数，且

d c b a <，给出下列四个不等式：①d c c b a a +>+ ②d

c c

b a a +<+ ③d

c c b a b +>+ ④d

c d

b a b +<+其中正确的是（） A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③ 3、已知a 、b 、

c 满足a ＜b ＜c ，ab+bc+ac ＝0，abc ＝1，则（） A. ｜a+b ｜＞|c| B. |a+b|＜|c| C. |a+b|=|c| D. |a+b|与|c|的大小关系不能确定

4、关于x 的不等式组???????+<+->+a x x x x 2

3535

2只有5个整数解，则a 的取值范围是（）

A. -6

11 B. -6≤a<-

11 C. -6＜a ≤-

11 D. -6≤a ≤-

11 5、设关于x 的方程09)2(2=+++a x a ax 有两个不等的实数根1x 、2x ，且1x ＜1＜2x ，那么a 的取值范围是

（）

A. 5272<<-

a B. 5

a C. 7

<<-

a 6、下列命题：①若a=0，

b ≠0，则方程b ax =无解 ②若a=0，b ≠0，则不等式b ax >无解 ③若a ≠0，则方程b ax =有惟一解 ④若a ≠0，则不等式b ax >的解为a

7、已知不等式①|x-2|≤1 ②1)2(2≤-x ③0)3)(1(≤--x x ④03

1≤--x x 其中解集是31≤≤x 的不等式为

8、设a 、b 是正整数，且满足56≤a+b ≤59，0.9＜b

x 的解是正数，则a 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2、乒乓球队开会，每名队员坐一个凳子，凳子有两种：方凳（四脚）或圆凳（三脚），一个小孩走进会场，他数得人脚和凳脚共有33条（不包括小孩本身），那么开会的队员共有＿＿＿＿名。

3、已知不等式①3|2|<+x ②09)2(2<-+x ③051<+-x x ④11

-<-x ，其中解集是15<<-x 的不等式有＿＿＿＿＿个。

4、若关于x 的一元二次方程02)5(22=+-+x a x 无实数根，则a 的取值范围是＿＿＿

5、在本埠投寄平信，每封信质量不超过20g 时付邮费0.80元，超过20g 而不超过40g 时付邮费1.6元，依次类推，每增加20g 需增加邮费0.80元（信的质量在100g 以内），如果某人寄一封信的质量为72.5g ，那么他应付邮费＿＿＿＿＿＿＿

6、若1x 、2x 都满足条件|32||12|++-x x ＝4且1x ＜2x 则1x -2x 的取值范围是＿＿＿

三、解答题

1、有一水池，池底有泉水不断涌出，要将满池的水抽干，用12台水泵需5小时，用10台水泵需7小时，若要在2小时内抽干，至少需水泵几台？

2、已知一元二次方程01)4()1(22=+--+x k x k 的一个根大于1，另一个根小于1，求整数k 的值。

3、若关于x 的不等式｜ax+a+2｜＜2有且只有一个整数解，求a 的整数值。

4、某宾馆一层客房比二层客房少5间，某旅游团48人，若全安排在第一层，每间4人，房间不够，每间

5人，则有房间住不满；若全安排在第二层，每3人，房间不够，每间住4人，则有房间住不满，该宾馆一层有客房多少间？

5、某生产小组开展劳动竞赛后，每人一天多做10个零件，这样8个人一天做的零件超过200个，后来改

进技术，每人一天又多做27个零件，这样他们4个人一天所做零件就超过劳动竞赛中8个人做的零件，问他们改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的几倍？

初中数学竞赛专项训练（5）

（方程应用）

一、选择题：

1、甲乙两人同时从同一地点出发，相背而行1小时后他们分别到达各自的终点A 与B ，若仍从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达A 之后35分钟到达B ，甲乙的速度之比为（） A. 3∶5 B. 4∶3 C. 4∶5 D. 3∶4

2、某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利润8元，每提高一个档次，每件产品利润增加2元，用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件，如果获利润最大的产品是第R 档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么R 等于（） A. 5 B. 7 C. 9 D. 10

3、某商店出售某种商品每件可获利m 元，利润为20%（利润＝-售价进价进价

），若这种商品的进价提高25%，

而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m 元，则提价后的利润率为（） A. 25% B. 20% C. 16% D. 12.5%

4、某项工程，甲单独需a 天完成，在甲做了c （c

则：A 、B 两队比赛时，A 队与B 队进球数之比为（） A. 2∶0 B. 3∶1 C. 2∶1 D. 0∶2

6、甲乙两辆汽车进行千米比赛，当甲车到达终点时，乙车距终点还有a 千米（0＜a ＜50）现将甲车起跑处从原点后移a 千米，重新开始比赛，那么比赛的结果是（） A. 甲先到达终点 B. 乙先到达终点 C. 甲乙同时到达终点 D. 确定谁先到与a 值无关

7、一只小船顺流航行在甲、乙两个码头之间需a 小时，逆流航行这段路程需b 小时，那么一木块顺水漂流这段路需（）小时 A. b a ab -2 B. a b ab -2 C. b

a a

b - D. a b ab -

8、A 的年龄比B 与C 的年龄和大16，A 的年龄的平方比B 与C 的年龄和的平方大1632，那么A 、B 、C 的年龄之和是（） A. 210 B. 201 C. 102 D. 120 二、填空题

1、甲乙两厂生产同一种产品，都计划把全年的产品销往济南，这样两厂的产品就能占有济南市场同类产

品的

43，然而实际情况并不理想，甲厂仅有21的产品，乙厂仅有3

的产品销到了济南，两厂的产品仅占了济南市场同类产品的3

，则甲厂该产品的年产量与乙厂该产品的年产量的比为＿＿＿＿＿＿＿

2、假期学校组织360名师生外出旅游，某客车出租公司有两种大客车可供选择，甲种客车每辆有40个座位，租金400元；乙种客车每辆有50个座位，租金480元，则租用该公司客车最少需用租金＿＿＿＿＿元。

3、时钟在四点与五点之间，在＿＿＿＿＿＿＿时刻（时针与分针）在同一条直线上？

4、为民房产公司把一套房子以标价的九五折出售给钱先生，钱先生在三年后再以超出房子原来标价60%的价格把房子转让给金先生，考虑到三年来物价的总涨幅为40%，则钱先生实际上按＿＿＿＿＿%的利率获得了利润（精确到一位小数）

5、甲乙两名运动员在长100米的游泳池两边同时开始相向游泳，甲游100米要72秒，乙游100米要60秒，略去转身时间不计，在12分钟内二人相遇＿＿＿＿次。

6、已知甲、乙、丙三人的年龄都是正整数，甲的年龄是乙的两倍，乙比丙小7岁，三人的年龄之和是小于70的质数，且质数的各位数字之和为13，则甲、乙、丙三人的年龄分别是＿＿＿＿＿＿＿＿＿

三、解答题

1、某项工程，如果由甲乙两队承包，522

天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，43

3天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，7

2天完成，需付160000元，现在工程由一个队单独承包，在保证

一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？

2、甲、乙两汽车零售商（以下分别简称甲、乙）向某品牌汽车生产厂订购一批汽车，甲开始定购的汽车数量是乙所订购数量的3倍，后来由于某种原因，甲从其所订的汽车中转让给乙6辆，在提车时，生

产厂所提供的汽车比甲、乙所订购的总数少了6辆，最后甲所购汽车的数量是乙所购的2倍，试问甲、乙最后所购得的汽车总数最多是多少量？最少是多少辆？

3、8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人（不包括司机），其中一辆小汽车在距

离火车站15km的地方出现故障，此时距停止检票的时间还有42分钟。这时惟一可利用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的平均速度是5km/h。试设计两种方案，通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站。

4、某乡镇小学到县城参观，规定汽车从县城出发于上午7时到达学校，接参观的师生立即出发到县城，由

于汽车在赴校途中发生了故障，不得不停车修理，学校师生等到7时10分仍未见汽车来接，就步行走向县城，在行进途中遇到了已修理好的汽车，立即上车赶赴县城，结果比原来到达县城的时间晚了半小时，如果汽车的速度是步行速度的6倍，问汽车在途中排除故障花了多少时间？

初中数学竞赛专项训练（6）

（函数）

一、选择题：

1、如果一条直线L 经过不同的三点A （a ，b ），B （b ，a ），C （a-b ，b-a ），那么直线L 经过

（） A. 二、四象限 B. 一、二、三象限 C. 二、三、四象限 C. 一、三、四象限 2、当4||≤x 时，函数|3||2||1|-+-+-=x x x y 的最大值与最小值之差是（） A. 4

0b a ab ≠≠，，二次函数))((b x a x y --=的最小值为（）

b a -- 4、若直线)0(≠+=ab b ax y 不经过第三象限，那么抛物线bx ax y +=2的顶点在

5、二次函数c bx ax y ++=2的图象一部分如图6-1，则a 的取值范围是

D. a ≤-1 6、若函数|)196100|196100(2

2+-++-=x x x x y ，

则当自变量x 取1，2，3，……，100这100个自然数时，函数值的和是（） A. 540 B. 390 C. 194 D. 197

7、已知函数|28|)(2x x x f --=和k kx y +=（k 为常数），则不论k 为何常数，这两个函数图象只有（）

8、二次函数762-+-=x x y ，当x 取值为2+≤≤t x t 时，2)3(2

+--=t y 最大值，则t 的取值范围是

2b cx x y -+=与x 轴交于同一点（非原点），且a 、b 、c 为正数，a ≠c ，则以a 、b 、c 为边的三角形一定是

（） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形

D. 等腰或直角三角形

10、当n=1，2，3，……，2003，2004时，二次函数1)12()(2

++-+=x n x n n y 的图象与x 轴所截得的线段长度之和为

1、已知二次函数c bx ax y ++=2图象如图6-2所示，则下列式子： ab ，ac ，a+b+c ，a-b+c ，2a+b ，2a-b 中，其值为正的式子共有＿＿个。

2、已知函数2

212+=

x y 在b x a ≤≤<0时，有b y a 22≤≤，则（a ，b ）＝＿＿＿ 3、若第一象限内的整点（a ，b ）位于抛物线x x y 98192-=上，则m+n 的最小值为＿＿＿＿＿ 4、如果当m 取不等于0和1的任意实数时，抛物线m

m x m x m m y 3

212--+-=

在平面直角坐标系上都过两个定点，那么这两个定点间的距离为＿＿＿＿＿＿＿

5、已知抛物线1)1(2+++=x k x y 与x 轴两个交点A 、B 不全在原点的左侧，抛物线顶点为C ，要使△ABC 恰为等边三角形，那么k 的值为＿＿＿＿＿＿＿

6、已知)21)(12()1()(2

≠-+--=m m x m x x f 在x 轴上的两截距都大于2，则函数值)2

41(--m m f 的符号为＿＿＿＿＿＿＿

7、设x 为实数，则函数12

15632

++++=

x x x x y 的最小值是＿＿＿＿＿＿

999(...)12(...)3()1(f k f f f ++-++的值为＿＿＿＿＿＿＿＿

9、函数6)(sin 4)(cos 2

+-=x x y θθ对任意实数x 都有0>y ，且θ是三角形的内角，则θ的取值范围

是＿＿＿＿＿＿＿＿＿

三、解答题

1、已知x ，y ，z 为三个非负有理数，且满足2523=-+=++z y x z y x ，，若z y x s -+=2，求s 的最大值与最小值的和。

2、设a 、b 、c 是三角形的三边长，二次函数)(2)(2

b a cx x b a y --++=在21-

=x 时，取得最小值2

a -，求这个三角形三个内角的度数。

初中数学奥林匹克竞赛题及答案

初中数学奥林匹克竞赛题及答案奥数题一一、选择题（每题1分，共10分） 1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( ) A．a，b都是0 B．a，b之一是0 C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数答案：C 解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。 2．下面的说法中正确的是 ( ) A．单项式与单项式的和是单项式 B．单项式与单项式的和是多项式 C．多项式与多项式的和是多项式 D．整式与整式的和是整式答案：D 解析：x2，x3都是单项式．两个单项式x3，x2之和为x3+x2是多项式，排除A。两个单项式x2，2x2之和为3x2是单项式，排除B。两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。 3．下面说法中不正确的是 ( ) A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数 C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数答案：C 解析：最大的负整数是-1，故C错误。 4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( ) A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞0 答案：D 5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个答案：C 解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，

－1，0共4个．选C。 6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个答案：B 解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。 7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( ) A．a大于－a B．a小于－a C．a大于－a或a小于－a D．a不一定大于－a 答案：D 解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。 8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A．乘以同一个数 B．乘以同一个整式 C．加上同一个代数式 D．都加上1 答案：D 解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x－2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B。同理应排除C．事实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，对D，这里所加常数为1，因此选D． 9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A．一样多 B．多了 C．少了 D．多少都可能答案：C 解析：设杯中原有水量为a，依题意可得，第二天杯中水量为a×(1－10%)=0.9a；第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a；第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为0.99∶1，所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C。

人教版九年级数学上下册培优讲义机构辅导资料(共30讲)

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专题01 二次根式的化简与求值阅读与思考二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是： 1、直接代入直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值. 数学思想：数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展. =x , y , n 都是正整数）例题与求解【例1】当x = 时，代数式32003 (420052001)x x --的值是（） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、2003 2- （绍兴市竞赛试题）【例2】化简（1(b a b ab b -÷-- （黄冈市中考试题）（2 （五城市联赛试题）

（3 （北京市竞赛试题）（4 （陕西省竞赛试题）解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解. 思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】比6大的最小整数是多少？（西安交大少年班入学试题）解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y == 想一想：设x=求 432 32 621823 7515 x x x x x x x --++ -++ 的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题）的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.

2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word版

2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word 版一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分不是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分不作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分不为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分不为M ，N ．〔1〕假设A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ?=?；〔2〕假设 EM FN EN FM ?=?，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论．解〔1〕设Q ，R 分不是OB ，OC 的中点，连接 EQ ，MQ ，FR ，MR ，那么 11 ,22EQ OB RM MQ OC RF ====，又OQMR 是平行四边形，因此 OQM ORM ∠=∠，由题设A ，B ，C ，D 四点共圆，因此 ABD ACD ∠=∠，因此图1 22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠，因此 EQM EQO OQM FRO ORM FRM ∠=∠+∠=∠+∠=∠，故 EQM MRF ???，因此 EM ＝FM ，同理可得 EN ＝FN ，因此 EM FN EN FM ?=?．〔2〕答案是否定的．当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，因此A ，B ，C ，D 四点不共圆，但现在仍旧有 EM FN EN FM ?=?，证明如下：如图2所示，设S ，Q 分不是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，那么 11 ,22 NS OD EQ OB ==， C B

因此 NS OD EQ OB =．①又 11 , 22 ES OA MQ OC ==，因此 ES OA MQ OC =．② 而AD∥BC，因此 OA OD OC OB =，③ 由①，②，③得NS ES EQ MQ =．因为2 NSE NSA ASE AOD AOE ∠=∠+∠=∠+∠， ()(1802) EQM MQO OQE AOE EOB EOB ∠=∠+∠=∠+∠+?-∠ (180)2 AOE EOB AOD AOE =∠+?-∠=∠+∠，即NSE EQM ∠=∠，因此NSE ?～EQM ?，故 EN SE OA EM QM OC ==〔由②〕．同理可得， FN OA FM OC =，因此EN FN EM FM =，从而EM FN EN FM ?=?． C B

初中数学奥林匹克竞赛方法与测试试题大全

初中数学奥林匹克竞赛方法与试题大全

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初中数学奥林匹克竞赛教程

初中数学竞赛大纲（修订稿）数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。 1、实数十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。素数和合数，最大公约数与最小公倍数。奇数和偶数，奇偶性分析。带余除法和利用余数分类。完全平方数。因数分解的表示法，约数个数的计算。有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。 2、代数式综合除法、余式定理。拆项、添项、配方、待定系数法。部分分式。对称式和轮换对称式。 3、恒等式与恒等变形恒等式，恒等变形。整式、分式、根式的恒等变形。恒等式的证明。 4、方程和不等式含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。含绝对值的一元一次、二次方程的解法。

初中数学竞赛专题分类解析第四讲：平行四边形和梯形讲义

初中数学竞赛公益讲座：平行四边形和梯形 2018/4/7 一、基础知识： 1）平行四边形：平移、中点、中心对称（旋转180度）2）特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形 3）梯形：梯形问题转化、分割、拼接三角形或者平行四边形问题二、例题分析例1、如下左图，在等腰△ABC中，延长边AB到点D，延长边CA到点E，连接DE，恰有AD=BC=CE=DE，求∠BAC的度数。例2、如上右图，在RT△ABC中，∠ACB是直角，CD⊥AB于D，AE平分∠ABC，交CD于K，F在BE上且BF=CE，求证：FK?AB。例3、如下左图，△ABC内部一点P，满足∠PBA=∠PCA，作平行四边形PBQC，求证：∠QAB=∠PAC。

例4、如上右图，已知A、B是两个定点，C是位于直线AB某一侧的一个动点，分别以AC、BC为边，在△ABCDE外部作正方形CADI、CBEF，求证无论C点在什么位置上，DE的中点M的位置不变。例5、如下左图，梯形ABCD中，AB?CD，BC⊥CD，AB=2，CD=4，点E是BC上的一个动点，连接并延长EA到点F，使得EF:AE=2:1，连接并延长ED到点G，使得EG:ED=3:2，以EF和EG为临边作平行四边形EFHG，连接EH交AD于点P，1）求EH的最小长度；2）求证：P是定点。例6、如上右图，四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，连接BF、CE交于点P，连接AF、DE交于点Q，若四边形EQFP是平行四边形，求证：四边形ABCD是梯形。例7、如下图，等腰梯形ABCD，对角线AC与BD交于点O，M 、N分别为腰AB和CD上的点，且AM=CN，连接MN分别交BD、AC于点P、Q，求证： MP=QN。

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全 (含竞赛答题技巧)

（共30套）初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全适合中学教师作为辅导教材使用

第一讲走进追问求根公式形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法. 而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法. 求根公式a ac b b x 2422 ,1-±-= 内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美. 降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决. 解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法. 【例题求解】【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有个. 思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程. 【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（） A 、一4 B 、8 C 、6 D 、0 思路点拨：求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=. 【例3】解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a . 思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论. 【例4】设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和. 思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解. 【例5】已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x a d d c c b b a =+=+=+=+ 1 111，试求x 的值. 思路点拨：运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值. 注：一元二次方程常见的变形形式有： (1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换； (2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次； (3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x . 解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如222 x x x ==.

2007年第6届中国女子数学奥林匹克(CGMO)试题(含答案)

2007年女子数学奥林匹克第一天 1．设m 为正整数，如果存在某个正整数n ，使得m 可以表示为n 和n 的正约数个数（包括1和自身）的商，则称m 是“好数”。求证：（1）1，2，…，17都是好数；（2）18不是好数。 2．设△ABC 是锐角三角形，点D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，线段AD 、BE 、CF 经过△ABC 的外心O 。已知以下六个比值 DC BD 、EA CE 、FB AF 、FA BF 、EC AE 、DB CD 中至少有两个是整数。求证：△ABC 是等腰三角形。 3．设整数)3(>n n ，非负实数.2,,,2121=+++n n a a a a a a 满足求1 112 1232 221++++++a a a a a a n 的最小值。 4．平面内)3(≥n n 个点组成集合S ，P 是此平面内m 条直线组成的集合，满足S 关于P 中的每一条直线对称。求证：n m ≤，并问等号何时成立？第二天 5．设D 是△ABC 内的一点，满足∠DAC=∠DCA=30°，∠DBA=60°，E 是边BC 的中点， F 是边AC 的三等分点，满足AF=2FC 。求证：DE ⊥EF 。 6．已知a 、b 、c ≥0，.1=++c b a 求证： .3)(4 1 2≤++-+ c b c b a 7．给定绝对值都不大于10的整数a 、b 、c ，三次多项式c bx ax x x f +++=2 3)(满足条件32:.0001.0|)32(|+<+问f 是否一定是这个多项式的根？

8．n 个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局。规定：胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分。如果赛后发现任何m 个棋手中都有一个棋手胜了其余m —1个棋手，也有一个棋手输给了其余m —1个棋手，就称此赛况具有性质P (m ). 对给定的)4(≥m m ，求n 的最小值)(m f ，使得对具有性质)(m P 的任何赛况，都有所有n 名棋手的得分各不相同。综上，最少取出11枚棋子，才可能满足要求。三、定义集合}.,|1{P k m k m A ∈∈+=+N 由于对任意的k 、1 1, ,++≠∈i k i k P i 且是无理数，则对任意的k 1、P k ∈2和正整数 m 1、m 2， .,1121212211k k m m k m k m ==?+=+ 注意到A 是一个无穷集。现将A 中的元素按从小到大的顺序排成一个无穷数列。对于任意的正整数n ，设此数列中的第n 项为.1+k 接下来确定n 与m 、k 间的关系。若.1 1,1111++≤+≤+i k m m k m i m 则由m 1是正整数知，对5,4,3,2,1=i ，满足这个条件的m 1的个数为].1 1[++i k m 从而，).,(]1 1[5 1 k m f i k m n i =++= ∑= 因此，对任意.),(,,,n k m f P k N m N n =∈∈∈++使得存在

初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全(配PDF版)-第06章-几何基础知识

第六章几何基础知识第一节线段与角的推理计算【知识点拨】掌握七条等量公理： 1、同时等于第三个量的两个量相等。 2、等量加等量，和相等。 3、等量减等量，差相等。 4、等量乘等量，积相等。 5、等量除以等量（0除外），商相等。 6、全量等于它的各部分量的和。 7、在等式中，一个量可以用它的等量来代替（等量代换）。【赛题精选】例1、如图，∠AOB＝∠COD，求证：∠AOC＝∠BOD。例2、C、D为线段AB上的两点，AD＝CB，求证：AC＝DB。例3、AOB是一条直线，∠AOC＝600，OD、OE分别是∠ AOC和∠BOC的平分线。问图中互为补角关系的角共有多少对？例4、已知B、C是线段AD上的任意两点，M是AB的中点，N是CD的中点，若MN＝a，BC＝b，求CD的长。

例5、已知OM是∠AOB的平分线，射线OC在∠BOM内部，ON是∠BOC的平分线，且∠AOC＝800。求∠MON的度数。例6、已知A、O、B是一条直线上的三个点，∠BOC比∠AOC 大240，求∠BOC、∠AOC的度数。例7、如图，AE＝8.9CM，BD＝3CM。求以A、B、C、D、 E这5个点为端点的所有线段长度的和是多少？例8、线段AB上的P、Q两点，已知AB＝26CM，AP＝14CM， PQ＝11CM。求线段BQ的长。例9、已知∠AOC＝∠BOD＝1500，∠AOD＝3∠BOC。

求∠BOC的度数。例10、已知C是AB上的一点，D是CB的中点。若图中线段的长度之和为23CM，线段AC的长度与线段CB 的长度都是正整数。求线段AC的长度是多少厘米？

【针对训练】

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第1讲走进追问求根公式

第一讲走进追问求根公式形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。求根公式a ac b b x 2422,1-±-=内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。【例题求解】【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有个。思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（） A 、一4 B 、8 C 、6 D 、0 思路点拨：求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=。【例3】解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a 。思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论。【例4】设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和。思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。【例5】已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x a d d c c b b a =+=+=+=+1111，试求x 的值。思路点拨：运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值。注：一元二次方程常见的变形形式有： (1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换； (2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次； (3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x 。解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如222 x x x ==。

CGMO2015-2015第14届中国数学女子奥林匹克试题及答案

2015中国女子数学奥林匹克第一天 2015年8月12日上午8:00 ~ 12:00 广东深圳深圳市高级中学 1．如图，在锐角△ABC 中，AB > AC ，O 为外心，D 为边BC 的中点．以AD 为直径作圆与边AB 、AC 分别交于点E 、F ．过D 作DM ∥AO 交EF 于点M ．求证：EM = MF ．（郑焕供题） 2．设(0,1)a ∈，且 323 2 ()(14)(51)(35),()(1)(2)(31). f x ax a x a x a g x a x x a x a =+-+-+-=--+--+ 求证：对于任意实数x ， ()f x 和()g x 中都至少有一个不小于1a +．（李胜宏供题） 3．把12×12的方格纸的每个单位方格染成黑色或白色，使得由方格线围成的任意一个3×4或4×3的长方形内都至少有一个黑色单位方格．试求黑色单位方格个数的最小值．（梁应德供题） 4．对每个正整数n ，记()g n 为n 与2015的最大公约数，求满足下列条件的有序三元数组(,,)a b c 的个数： 1) ,,{1,2,,2015}a b c ∈L ； 2) (),(),(),(),(),(),()g a g b g c g a b g b c g c a g a b c +++++这七个数两两不同．（王彬供题）中国女子数学奥林匹克第二天 2015年8月13日上午8:00 ~ 12:00 广东深圳深圳市高级中学 O M F E D C B A

5．有多少个不同的三边长为整数的直角三角形，其面积值是周长值的999倍？（全等的两个三角形看作相同的）（林常供题） 6．如图，两圆12,ΓΓ外离，它们的一条外公切线与12,ΓΓ分别切于点,A B ，一条内公切线与12,ΓΓ分别切于点,C D ．设E 是直线,AC BD 的交点，F 是1Γ上一点，过F 作1Γ的切线与线段EF 的中垂线交于点M ，过M 作MG 切2Γ于点G ．求证： MF MG =．（付云皓供题） 7．设12,,,(0,1)n x x x ∈L ，2n ≥．求证： 1212n n x x x < L L ．（王新茂供题） 8．给定整数2n ≥．黑板上写着n 个集合，然后进行如下操作：选取黑板上两个互相不包含的集合,A B ，擦掉它们，然后写上A B I 和A B U ．这称为一次操作．如此操作下去，直到任意两个集合中都有一个包含另一个为止．对所有的初始状态和操作方式，求操作次数的最大可能值．（朱华伟供题）试题解答 1．如图，在锐角△ABC 中，AB > AC ，O 为外心，D 为边BC 的中点．以AD 为直径作圆与边AB 、AC 分别交于点E 、F ．过D 作DM ∥AO 交EF 于点M ．求证：EM = MF ． Γ2 Γ1 M G F E D C B A 图1

初中数学奥林匹克竞赛教程

初中数学竞赛—奥数讲义计数专题：排列组合及答案

华杯赛计数专题：排列组合基础知识： 1.排列：从n个对象中选出m（不超过n）个并进行排序，共有的方法数称为排列数，写成。 2.排列数的计算：约定：0!=1 排列数是由乘法原理得到的，因此排列可以看成是乘法原理的一种应用。 3.组合：从n个对象中选出m（不超过n）个，不进行排序，共有的方法数称为组合数，写成。 4.排列与组合的关系：。 5.组合数的计算： 6.排列数与组合数的一些性质：例题：例1.4名男生和3名女生站成一排: （1）一共有多少种不同的站法? （2）甲,乙二人必须站在两端的排法有多少种? （3）甲,乙二人不能站在两端的排法有多少种? （4）甲不排头,也不排尾,有多少种排法? （5）甲只能排头或排尾,有多少种排法? 【答案】（1）5040；（2）240；（3）2400；（4）3600；（5）略【解答】

例2.在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共多少种？【答案】4186种【解答】至少有3件是次品，分两种情况第一种情况：3件是次品的抽法：从4件次品中中抽出3件是种，其中，，然后，从46件正常品中抽2件，总共种。其中，所以，3件是次品的抽法共种。第二种情况：4件是次品的抽法共：种。任意抽出5件产品，至少有3件是次品的抽法，是将上述两种情况加在一起，所以，总共是4×23×45+46=23×182=4186种。总结：有序是排列，无序是组合。例3.3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有多少种？【答案】540种【解答】可设三所学校为甲、乙、丙，三位医生去3所学校的分配方案：用排列数表示为 =3×2×1=6。用乘法原理表示为3！=6。六名护士去学校甲有种选法，剩下4名护士去乙学校，有种选法，剩下两名自然去学校丙。所以，不同的分配方法共有种。例4.有多少个五位数，满足其数位上的每个数字均至少出现两次？【答案】819 【解答】方法一：（1）出现一个数字的情况是9种；（2）出现两个数字，首位不能是0，共有9种情况，（i）首位确定之后，如果首位数总共出现3次，则从后面的4个数位中，选出两位，共种情况，剩下的两个数位，还需要选相同的数，因为可以是0，所以，有9种选择。所以，这种情况总共有×9=54种。（ii）首位确定之后，如果首位数总共出现2次，则从后面的4个数位中，选出一位，总共种情况，剩下的三个数位，还需要选相同的数，因为可以是0，所以，有9种选择。所以，这种情况总共有×9=36种。所以，出现两个数字的情况为（36+54）×9=810.

2016女子数学奥林匹克试题

2016女子数学奥林匹克（2016年8月12‐8月13日） 1、整数3n ≥，将写有21,2,...,n 的2 n 张卡片放入n 个盒子，每个盒子各有n 张。其后允许操作如下：每次选其中两个盒子，在每个盒子中各取两张卡片放入另一个盒子。证明：总是可以通过有限次操作，使得每个盒子内的n 张卡片上恰好是n 个连续整数。 2、ABC ?的三条边长为,,BC a CA b AB c ===，ω是ABC ?的外接圆。 ①若不含A 的 BC 上有唯一的点P （不同于,B C ），满足 PA PB PC =+，求,,a b c 应该满足的充要条件。 ②P 是①中所述唯一的点，证明：若AP 过BC 的中点，则60BAC ∠

5、设于数列12,,...a a 的前n 项之和为12...n n S a a a =+++，已知11S =，对于1n ≥都有 21(2)4n n n S S S ++=+。证明：对于任意正整数n ，都有n a ≥。 6、求最大的正整数m ，使得可以在m 行8列的方格表中填入,,,C G M O ，每个单元格填一个字母。使得对于其中任意两行，这两行中最多在一列所填字母相同。 7、I 是锐角ABC ?的内心，AB AC >。BC 边上的高AH 与直线,BI CI 分别交于,P Q 。O 是IPQ ?的外心，,AO BC 交于L ，AIL ?的外接圆与BC 交于,N L ，D 是I 在BC 上的投影，求：BD BN CD CN =。 8、,Q Z 分别代表全体有理数、整数，在坐标平面上，对于任意整数m ，定义 (,),,0,m xy A x y x y Q xy Z m ??=∈≠∈???? 。对于线段MN ，定义()m f MN 为线段MN 上属于m A 的点的个数。求最小的实数λ，使得对于任意直线l ，均存在与l 有关的实数()l β，满足：对于l 上任意两点,M N ，都有20162015()()()f MN f MN l λβ≤?+。

初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题16 不等式

专题16 不等式（组）阅读与思考客观世界与实际生活既存在许多相等关系，又包含大量的不等关系，方程（组）是研究相等关系的重要手段，不等式（组）是探求不等关系的基本工具，方程与不等式既有相似点，又有不同之处，主要体现在： 1. 解一元一次不等式与解一元一次方程类似，但解题时要注意两者之间的重要区别；等式两边都乘（或除）以同一个数时，只要考虑这个数是否为零，而不等式两边都乘以（或除以）同一个数时，不但要考虑这个数是否为零，而且还要考虑这个数的正负性. 2. 解不等式组与解方程组的主要区别是：解方程组时，我们可以对几个方程进行“代入”或“加减”式的加工，但在解不等组时，我们只能对某个不等式进行变形，分别求出每个不等式的解集，然后再求公共部分.通俗地说，解方程组时，可以“统一思想”，而解不等式组时只能“分而治之”. 例题与求解【例1】已知关于x 的不等式组?????<-+->-+x t x x x 2 35 35 2恰好有5个整数解，则t 的取值范围是（） A 、2116-<<-t B 、2116-<≤-t C 、2116-≤<-t D 、2 116-≤≤-t (2013 年全国初中数学竞赛广东省试题）解题思路：把x 的解集用含t 的式子表示，根据题意，结合数轴分析t 的取值范围. 【例2】如果关于x 的不等式7 10 05)2(< >---x n m x n m 的解集为那么关于x 的不等式)0(≠>m n mx 的解集为 . （黑龙江省哈尔滨市竞赛试题）解题思路：从已知条件出发，解关于x 的不等式，求出m ，n 的值或m ，n 的关系. 【例3】已知方程组?? ?=+=-6 2y mx y x 若方程组有非负整数解，求正整数m 的值. （天津市竞赛试题）解题思路：解关于x ，y 的方程组，建立关于m 的不等式组，求出m 的取值范围. 【例4】已知三个非负数a ，b ，c 满足3a ＋2b ＋c ＝5和2a ＋b －3c ＝1，若m ＝3a ＋b －7c ，求m 的最大值和最小值. （江苏省竞赛试题）解题思路：本例综合了方程组、不等式（组）的知识，解题的关键是用含一个字母的代数式表示m ，通过解不等式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求m 的最大值与最小值.

数学奥林匹克初中训练一附答案

数学奥林匹克初中训练题(一) 第一试一. 选择题.(每小题7分,共42分) ( )1.已知33333a b c abc a b c ++-=++,则22()()()()a b b c a b b c -+-+--的值为: (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 ( )2.规定”Δ”为有序实数对的运算,如果(,)a b Δ(,)(,).c d ac bd ad bc =++如果对任意实数,a b 都有(,)a b Δ(,)(,),x y a b =则(,)x y 为: (A)(0,1) (B)(1,0) (C)(1,0)- (D)(0,1)- ( )3.在ΔABC 中,211a b c =+,则∠A: (A)一定是锐角 (B)一定是直角 (C)一定是钝角 (D)非上述答案 ( )4.下列五个命题:①若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边长是5;② 2;a =③若点(,)P a b 在第三象限,则点1(,1)P a b --+在第一象限;④连结对角线垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形;⑤两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.其中正确的命题的个数是: (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个 ( )5.设P 为等腰Rt ΔABC 斜边AB 上或其延长线上一点,22S AP BP =+,那么: (A)22S CP (B)22S CP = (C)2 2S CP (D)不确定 ( )6.满足方程222()x y x y xy +=++的所有正整数解有: (A)一组 (B)二组 (C)三组 (D)四组二. 填空题.(每小题7分,共28分) 1.一辆客车,一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶,在某一时刻,货车在中,客车在前,小轿车在后,且它们的距离相等.走了10分钟,小轿车追上了货车;又走了5分钟,小轿车追上了客车.问再过分钟,货车追上了客车. 2.若多项式2228171642070P a ab b a b =-+--+, 那么P 的最小值是 . 3.如图1, ∠AOB=30O , ∠AOB 内有一定点P,且OP=10.

中考培优竞赛专题经典讲义第1讲角平分线

第1讲角平分线 1. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理的数学表示：如图，已知0E是/ AOB的平分线，F是0E上一点，若CF 点C, DF OB 于点D，则CF = DF. 逆定理：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上角平分线除了简单的平分角以外，结合其它的条件，一般可产生以下三种常见模型! 模型讲解模型1-BD平分/ ABC,且DC BC 理由：角平分线的性质结论：△ DCB2 △ DEB 模型 2 一BD 平分/ ABC, 且CD BD 理由：等腰三角形三线合一结论：△ BDC BDE 模型3-BD 平分/ ABC, AD// BC 理由：平行线的性质结论：△ ABD为等腰三角形OA于

【例题讲解】例题1、如图所示，在四边形ABCD 中，DC// AB，/ DAB =90 °, AC BC, AC=BC, BF / ABC的平分线交AD , AC于点E、F，贝U BS的值是 EF BF EF 值得一试. 【解答】解：如图，作FG AB于点G QAC BC，/ ACB =90° 又QBF 平分/ ABC，FG = FC 在Rt A BGF 和Rt A BCF 中 BF BF AC =16，贝U DE的长度为_________ 【分析】有AE平分/ BAC，且AE EC，套用模型2，即可解决该题 △ BGF BCF ( HL) ，BC = BG Q AC = :BC，/ CBA =45°，AB = 2 BC BF BG BC BC1 . 2 . EF AG AB BG.2BC BC、2 I CF GF 例题2、如图，D是厶ABC的BC边的中点, 当过点F作FG AB时，即可将转化为竺，又会出现模型 EF AG 1，所以这个辅助线与思路Q / DAB-90°，FG/AD， BF EF BG AG AE 平分/ BAC，AE CE 于点E，且AB =10，【分析】要求B匚的值，一般来说不会直接把 EF BF和EF都求出来，所以需要转化

小学四年级数学奥林匹克竞赛试题及答案

小学四年级数学奥林匹克竞赛试题及答案 (每题8分；总共120分) 一、选择.（将正确的答案填在相应的括号内） 1.找规律填数:（在横线上写出你发现的规律） 21 26 19 24 ( ) ( ) 15 20 . (1)15,34 (2)17,18 (3)17,22 (4)23,25 2.甲乙两个数的和是218,如果再加上丙数,这时三个数的平均数比甲乙两数的平均数多 5,丙数是( ). (1)124 (2) 122 (3)140 (4)127 3.设X和Y是选自前500个自然数中的两个不同的数,那么(X+Y)÷(X-Y)的最大值是( ). (1)1000 (2) 990 (3)999 (4)998 4.选择: 8746×7576 的积的末四位数字是 ( ). (1) 6797 (2) 9696 (3) 7669 (4) 6769 5. 现有1分,2分和5分的硬币各四枚,用其中的一些硬币支付2角3分钱,一共有多少种不同的支付方法？ (1)4 (2) 5 (3)10 (4)8 6.右图中,所有正方形的个数是( )个. (1)10 (2)8 (3)11 (4)9 7.用0--4五个数字组成的最大的五位数与最小的五位数相差( ). (1)30870 (2)32900 (3)32976 (4)10000 8.用0、5、8、7这四个数字；可以组成（）个不同的四位数？ (1)10 (2)18 (3)11 (4)9

9. 学校进行乒乓球选拔赛；每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场；一共进行了21场比赛；有多少人参加了选拔赛？ (1)7 (2)8 (3)11 (4)9 10 一个长方形的纸对折成三等份后变成了一个正方形；正方形的周长是40厘米；那么原来长方形的周长是多少？ (1)70 (2)80 (3)100 (4)96 11.小明每分钟走50米,小红每分钟走60 米,两人从相距660米的两村同时沿一条公路相对出发,8分钟后两人相距( )米. (1)75 (2)200 (3)220 (4)90 12甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印有不同的号码. 赵说：“甲是2号；乙是3号.” 钱说：“丙是4号；乙是2号.” 孙说：“丁是2号；丙是3号.” 李说：“丁是4号；甲是1号.” 又知道赵、钱、孙、李每人都说对了一半；那么丙的号码是几？ (1)4 (2)2 (3)3 (4)1 13有一根木材长4米,要把它锯成8段,每锯一段要用3分钟.共锯了( )分钟. (1)21 (2)24 (3)19 (4)20 14有一个两位数,这个两位数十位上的数字是个位上的数字的4倍,如果把它减去5,十位数字就与个数字相同,那么这个两位数减去10后是( ). (1)73 (2)82 (3)83 (4)72 15. 公园要建一个正方形花坛,并在花坛四周铺上2米宽的草坪,草坪的面积是96平方米,花坛和草坪的面积总和是( )平方米. (1)204 (2)190 (3)196(4)100

初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题10 最优化

专题10 最优化阅读与思考数学问题中常见的一类问题是：求某个变量的最大值或最小值；在现实生活中，我们经常碰到一些带有“最”字的问题，如投入最少、效益最大、材料最省、利润最高、路程最短等，这类问题我们称之为最值问题，解最值问题的常见方法有： 1．配方法由非负数性质得()02 ≥±b a ． 2．不等分析法通过解不等式（组），在约束条件下求最值． 3．运用函数性质对二次函数()02 ≠++=a c bx ax y ，若自变量为任意实数值，则取值情况为：（1）当0>a ，a b x 2-=时，a b ac y 442-=最小值；（2）当0

【例3】()2 13 22+-=x x f ，在b x a ≤≤的范围内最小值2a ，最大值2b ，求实数对(a ，b ). 解题思路:本题通过讨论a ，b 与对称轴0=x 的关系得出结论．【例4】（1）已知2 11- + -=x x y 的最大值为a ，最小值b ，求2 2b a +的值．（“《数学周报》杯”竞赛试题）（2）求使()168422 +-+ +x x 取得最小值的实数x 的值．（全国初中数学联赛试题）（3）求使2016414129492222+-+++-++y y y xy x x 取得最小值时x ，y 的值．（“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试题）解题思路：解与二次根式相关的最值问题，除了利用函数增减性、配方法等基本方法外，还有下列常用方法：平方法、判别式法、运用根式的几何意义构造图形等．【例5】如图，城市A 处位于一条铁路线上，而附近的一小镇B 需从A 市购进大量生活、生产用品，如果铁路运费是公路运费的一半，问：该如何从B 修筑一条公路到铁路边，使从A 到B 的运费最低？（河南省竞赛试题）解题思路：设铁路与公路的交点为C ，AC ＝x 千米，BC ＝y 千米，AD ＝n 千米，BD ＝m 千米，又设铁路每千米的运费为a 元，则从A 到B 的运费( ) ay m y n a S 222+--=，通过有理化，将式子整理为关于y 的方程．

全国奥林匹克数学讲义 初中专题训练试题及解析(10套含答案 )

全国奥林匹克数学讲义初中专题训练试题及解析(10套含答案 )