光学投影层析三维成像测量实验系统设计

光学投影层析三维成像测量实验系统的设计

摘要

光学投影式三维轮廓测量在机器/机器人视觉、CAD/CAM以及医疗诊断等领域有重要的应用，这种测量方法具有非接触性、无破坏、数据获取速度快等优点，其测量系统是宏观光学轮廓仪中最有发展前途的一种。

本课题拟采用激光光源（或普通卤素灯作为光源），应用光学系统、计算机控制，进行图像采集、图像处理，设计成像系统的断层图像重建及三维图像显示实验系统，并对其成像理论、成像质量及成像误差进行理论分析。该项目完成的光学投影层析三维成像测量实验系统适用于光学教学演示，其理论分析有利于学生积极的汲取现代光学发展的科研成果、思路和方法，从而潜移默化的培养学生的科学素养和创新能力。

关键词：光学投影层析，三维成像，CT技术

目录

1.引言 (1)

2.CT原理及重建算法 (2)

整个实验用到的理论相关联名称

2.1 CT技术原理 (3)

2.2 OPT原理简介 (4)

3.1 滤波反投影算法的快速实现

3. 光学投影层析三维成像测量实验系统 (5)

3.1实验系统的设计 (6)

3.2 光学投影层析三维成像测量实验系统

3.3 影响图像重建质量的因素分析 (7)

4. 结论 (11)

5. 参考文献 (13)

图表清单

1.引言

2002年4月英国科学家Sharpe在《Science》上首次报道了光学投影层析技术(optical projection tomography，OPT)，这是一种新的三维显微成像技术，是显微技术和CT技术的结合。光学投影层析巧妙的利用了光学成像中“景深”的概念，实现了光学CT，和其它光学三维成像技术相比，结构简单、成本较低、成像速度快，在对成像分辨率要求不高的情况下，容易建立起光学投影层析三维成像测量系统。

光学三维成像代表着光学领域的前沿技术，这些技术涉及光学、计算机和图像处理等相关领域的知识，通过本项目--光学投影层析三维成像测量实验系统的设计，将是基础光学通向现代光学科技的不可多得的窗口之一，不仅显示基础知识的生命力，也反映基础知识的时代性，而且本项目实现所需成本较低、物理思想清晰，适用于物理实验教学，并适合作为大学生的综合设计性物理实验项目进行开发研究，同时对于激发大学生的学习兴趣、开阔大学生的视野和思路、培养综合科研素养均有很大的帮助。

2 CT技术原理及重建算法

2.1 CT技术原理

CT（计算机断层成像，mography

ComputerTo的缩写）技术的研究自20世纪50至70年代在美国和英国发起，美国科学家A.M. Cormark和英国科学家G. N. Hounsfield在研究核物理、核医学等学科时发明的，他们因此共同获得1979年的诺贝尔医学奖。第一代供临床应用的CT设备自1971年问世以来，随着电子技术的不断发展，CT技术不断改进，诸如螺旋式CT机、电子束扫描机等新型设备逐渐被医疗机构普遍采用。除此之外，CT技术还在工业无损探测、资源勘探、生态监测等领域也得到了广泛的应用。

与传统的X射线成像不同，CT有自己独特的成像特点。下面以一个一般的图示来说明。

如图1所示，假设有一个半透明状物体，如琼脂等，在其内部嵌入5个不同透明度的球，如果按照图1中（a）所示那样单方向地观察，因为其中有2个球被前面的1个球挡住，我们会误解为只有3个球，尽管重叠球的透明度比较低，但我们仍无法确定球的数目，更不可能知道每个球的透明度。而如果按照图1（b）

所示的那样让物体旋转起来，从不同的角度去观察，就能够分辨出球的数目以及每一个球的透明度。在医院里医生为病人做射线检查时，人体的内脏就好比是上面的半透明状物体，传统的X 射线成像原理就如同图1（a ），X 射线和胶片相当于光源和人眼；CT 技术原理就像图1（b ）,只不过旋转的是X 光管和探测器，而不是人体。

(a) （b ）

图1 传统的X 射线成像和CT 的一般图示

总的来说，传统的X 射线成像是将人体的内脏器官和组织按照前后重叠的顺序直接投影到胶片上，呈现出的事具有一定分辨率、但仍不够清晰地图像，而CT 技术则是在不同深度的断面上，从每个不同的角度用探测器接受旋转的X 光管发出、并由于穿过人体而是强度衰减的射0线，在经过测量和计算，将人体器官和组织的影像重新构建出来，称为图像重建。

X 射线强度衰减与图像重建的数学原理 X 射线在穿过均匀材料的物质时，其强度的衰减率与强度本身成正比，即 pI dl dI -= )1(

其中I 为射线强度，l 为物质在射线方向的厚度，p 为物质对射线的衰减系数。由此可得

pl e I I -=0 )2(

其中为入射强度，当X 射线的能量一定时，衰减系数随射线穿过的材料不同而改变，如骨骼的比软组织的大，X 射线的强度在骨骼中衰减的更快。（2）式称为Beer-Lambert 定律。

当X 射线穿过由不同衰减系数的材料组成的非均匀物体，如人体内部的某一断面时，（1）式中的为某平面坐标y x ,的函数),(y x p ，当射线沿xy 平面内直线穿行时，（2）式变为

?=-L dl

y x p e I I ),(0 )3( 其中是沿的线积分，如图.2由)3(可得 ?=L I I dl y x p 0

ln

),( )4( )4(式右端的数值可从CT 的X 光管和探测器的测量数据得到。

如果根据)4(式得到了沿许多条直线的线积分，是否能够确定被积函数呢？如果能，就可以根据人体内各个断面对X 射线的衰减系数，得到反映人体器官和组织的大小、形状、密度的图像，即图像重建。

1917年奥地利数学家Radon 给出以下积分变换的逆变换的表达式，为图像重建提供了理论基础。

定义函数),(y x f 在平面上沿直线L 的线积分为

?=L

f dl y x f L P ),()( )5(

对任一点),(y x Q ,作与Q 相距为)0(>q 的直线L 的线积分

)(L P f ，对所有的q 取)(L P f 得平均值，记作)(q F Q ，则Q 的函数值f 为 ?∞-

=0)(1)(q q dF Q f Q π )6(

2.2 OPT 原理简介 三维成像技术在研究生物发育及基因功能时是必不可少的工具，通过胚胎的三维成像就可以了解胚胎发育的复杂过程；通过胚胎中基因表达的三维成像，可以确定基因的功能及基因间的相互作用，这世纪人类基因组计划后基因领域的另一挑战。目前的三维显微成像技术有连续切片、共聚焦显微、光学相干层析和显微核磁共振技术。连续切片既复杂又好时，需要对胚胎做几百个连续切片，在进行显微成像，并需要手工校正切片的相对位置，共聚焦显微技术无法进行非荧光

成像，光学相干层析技术无法进行通常的染色及荧光成像，另外受成像深度的限制，共聚焦显微技术和光学相干层析技术无法对完整的胚胎进行三维成像，显微核磁共振技术的分辨率较低，且价格昂贵。

OPT 是一种新的三维显微成像技术，是显微技术和CT 技术的结合。OPT 的原理与X-CT 的原理类似，首先得到样品的投影数据，经计算机重建，得到样品三维结构。不同之处是：X-CT 是直线投影，而OPT 是近似直线投影。OPT 的原理如图2所示，图2（a ）中，P 为聚焦面上的一点，通过P 点的光锥中未被样品吸收的光线汇聚于CCT 上平P ’设光锥的锥角为T ，光锥和主光轴夹角为U ，CCD 所记录的P ’点光强I 由光锥内样品（灰色部分）的吸收特性决定。如果光锥的角度T 较小，则光锥可近似为圆柱，如图2（b ）中灰色部分所示；如果圆柱和主光轴的夹角U 较小，则圆柱可近似为和主光轴平行，如图2（c ）所示，在图2（c ）中，设I0为进入圆柱的光强，I 为从圆柱射出的光强，p 为衰减系数，则有

?-=L dl y x p I I ),(ln 0

因此，在满足这样的近似情况下，由样品通过光学系统的像，就可得到样品的投影?-

L dl y x p ),(。

图2.OPT 原理图

旋转样品如图2（d）所示，（在图2（a）中，转轴和直面垂直），灰色区域和斜线区域分别表示样品的任意两个断层，（断层和转轴垂直），调整系统使转轴和CCD的像素行垂直，则样品每个断层的投影对应于CCD上的一行像素，同一断层在不同旋转角度的投影，对应于样品在不同角度所成像上同一行的像素。得到不同角度下各个断层的投影，经计算机重建就可得到样品各个断层图像，今儿可得出整个样品的三维结构。

对OPT系统而言，光学成像系统决定直线投影的近似程度，而直线投影的近似程度决定成像质量，同时也决定纵向成像范围。在图2（a）中，当光锥角较小时，可以近四成圆柱的范围就较大（图2(a)中灰色部分），因此纵向成像范围较大。

3.光学投影层析实验系统

在设计光学投影层析实验系统时，先将样品放入水中以避免空气对光线的散射，然后用卤素灯光照射样品，从某一确定角度开始拍摄，让测角仪每转动1度，用相机对样品拍摄一次。拍摄时不宜使相机的镜头正对着光线，这样拍出的照片中样品的像被强光覆盖，计算机无法对其进行分析。应注意调整相机的位置，尽量使拍摄的照片轮廓清晰，易于用计算机分析。直到测角仪旋转一周，共采集到样品的360张照片，将拍摄到的照片传至计算机中，对成像质量进行分析，然后用相关算法重建出图像。

图3 演示系统实验装置示意图

3.1滤波反投影（Filtered Back-projection,FPB）算法的快速实现

物体的二维成像是三维成像的基础。用于FPB的坐标系统如图4，该算法以

图4 FPB 坐标系统

Radon 逆变换和中心切片定理为基础，其形式为

r Q j r dx e x P H d r f y x f r )cos(20),()(),(),(?θππ?ρ?θ-∞

∞

-?==?? )8(

式中，),(y x f 和),(θr f 分别代表笛卡尔坐标),(y x 和极坐标),(θr 下的重建图像，

r x 为过像素点),(y x 垂直于投影方向?的坐标值，

),(?r x P 为在投影方向?下测得的投影值，)(ρH 为滤波函数。

式（8）中内积分表示对投影进行滤波，可消除由简单投影操作带来的图像失真。外积分则表示反投影运算，具体包括射束计算和对积分方向的累加两个环节。射束计算按下式进行

)sin()cos()cos(???θy x r x r +=-= )9(

通过射束计算可以确定在每个投影方向?下，像素点),(y x 所对应的坐标值r x ，

这样就能确定滤波后的投影值),(?r x g 。把所有投影方向上经过像素点),(y x 的),(?r x g 按下式积分，得到像素点的图像重建值

????π

d x g y x f y x x r r )sin()cos(0

|),(),(+=?= )10(

在反投影运算中，以射束计算最为费时，为此这里并不逐点利用式（9）进行射束计算，而是运用像素点坐标的对称性来减少运算量。与像素点),(y x 关于

坐标轴及原点对称的像素点为

),(),(),y x y x y x ----、、（，与上述四点关于 13545和轴对称的像素点为),(),(),(),x y x y x y x y ----、、、（。令

4)sin(,3)cos(,

2)sin(,1)cos(T x T y T y T x ====???? )11(

在图4中，根据上述八个像素点的几何关系，它们的射束计算可通过以下关系式进行

()()())

,(]90360cos[),()

,(]90180cos[),(3

4]90180cos[),(43)90cos(),()

,()360cos(),()

,()180cos(),(1

2)180cos(),(2

1)cos(),(x y x r x y x x y x r x y x T T r x y x T T r x y x y x x r y x x y x x r y x x T T r y x x T T r y x x r r r r r r r r r r r r --=---=--=--+=---=---=-+=--=--=--=--=-+=---=--=-+=-=?θ?θ?θ?θ?θ?θ?θ?θ )12(

按式（12）进行上述八点的射束计算只需4次乘法，与驻点计算所需的16次乘法相比，运算量大为降低。

采用图5（a ）所示的图像进行模拟计算，该图由具有不同灰度和不同尺度的圆斑构成，其相应的投影矩阵如图5（b ）。图中M 为

180范围内的投影角数目，N 为各投影方向上的采样数，这里M=180，N=401。表1是利用本方法后在不同投影角数目M 下的重建时间t 与原来重建时间t0的缩短率r,由表可见，运算时间大约缩短了15%。

此外，计算机对于正弦函数和余弦函数的运算非常慢，而射束计算中这种运算有大量出现。因此， 可先建立正弦函数和余弦函数数组表，再通过查表法直接调用相应的数值，这样可进一步提高重建速度。由于OPT 是以等角度??旋转 180进行投影，投影方向是按的倍数变化的，所以很容易通过循环实现三角函数

表的构造。

（a ）原始图像 （b ）投影矩阵

图5 原始模拟图像极其对应的投影矩阵

3.2影响图像重建质量的因素分析

3.2.1投影角数目

为了提高成像效率和保证成像质量，必须选取合理的投影角数目。仍采用图5所示的图像进行模拟计算，并采用均方差值来评价重建图像质量的好坏，其定义如下 ],[])

,[],[(2,2

j i recon j i recon j i speci j i ∑-=σ )13(

式中，],[j i speci

为原始图像的采样矩阵，],[j i recon 为重建图像矩阵。当N=401时，M 分别取200、160、120和70来构筑投影矩阵，并进行图像重建，得到的均方差值如表2.可知:随着投影角数目的减少，均方差值随之增加；并且在数目大时增加缓慢，而数目小时增加较快。

当M=120时，原始图像和重建图像第320行的灰度值比较如图6,。此时σ接近0.044，图像重建误差已经可察觉；而在M=160时，σ小于0.03，重建质量很好。但投影角数目的增加，会增加图像重建的运算量，提高对样品旋转台的细分和精度要求，在系统存在较大噪音时反而会使重建质量下降。因此，投影角数目应控制在160到200之间。

(a) 原始图像

（b ）重建图像

图6 原始图像与重建图像第320行的灰度值比较

3.2.2 旋转台步进精度

在OPT 成像系统中，光源和探测器固定不动，由步进电机控制旋转台带着样品旋转 180，并以此采集各投影方向上的投影数据。取投影角数目M 为160和

200，并取步进误差δ分别为00001.005.001.00和、、

进行分析，它们对应的均方差值列于表3中。

从表3中可看出，旋转台步进误差对图像重建质量的影响比较小。在001.0=δ时，产生的影响几乎为零；而在005.0=δ时均方差分别只下降1.75%

（M=200）和2.42%（M=160）。所以，步进误差在0

.0以内时，其对重建质量的

05

影响不明显，可忽略不计，一般的步进电机即可满足这一误差要求。

3.2.3 CCD中心像素偏离

样品转轴中心相对于CCD探测器中心像素的位置在FPB中是个重要的因素，理想情况下应做到样品的转轴中心线成像于CCD的中心像素线上。但在实际操作中，转轴中心和像素中心之间可能会出现若干像素的偏离，这将导致图像重建误差的产生。不妨取投影角数目M=180，采样数N=401，观察偏离像素数分别为1和2时的重建图像，结果如图7.

(a) 像素数为1 （b）像素数为2

图7 转轴中心和CCD像素中心偏离一个像素和两个像素时的重建图像

图7（a）中圆斑边缘处的失真度清晰可见，而图7（b）中箭头所指出的失真更为明显。由此可见，OPT系统的图像重建质量对CCD中心像素点的位置非常敏感，即使是一个像素的偏离也会造成重建质量的明显下降。

4. 讨论

1）对光学投影层析成像系统而言，平行投影的近似程度决定成像质量及成像范围，可以利用小的光阑以及增大物距来增大平行投影的近似程度，提高成像质量及成像范围。

2）在用滤波反投影算法进行断层重建时，由于以CCD的像素作为一个断层

进行重建，所以必须保证载物台的转轴和CCD 的像素行垂直。

3）要确定光学系统的主光轴在CCD 上的位置，在进行重建时要进行坐标原点校正。

4）在采用FBP 进行OPT 图像重建的过程中，射束计算的运算量最大。为此利用像素点坐标对称性来减少射束运算量的FBP 快速实现方法，可是重建时间缩短约15%。通过对投影角数目、旋转台步进精度和CCD 中心像素偏离对图像重建质量影响的具体分析可知：投影角数目越大，成像质量越好，但过大的投影角数目会增达图像重建的运算量。当投影角数目在160到200之间时，可以得到高质量的重建图像；旋转台步进精度对重建质量的影响较小，步进误差在0

05.0以内时影响可忽略不计；重建图像对CCD 中心像素点的确定非常敏感，一个像素的偏离也会造成重建质量的明显下降，投影采集时必须正确判断中心像素的位置。

5. 结束语

作为实验系统，成像系统的断层图像重建及三维图像显示可利用Matlab 中的函数实现，不需要太多的图像处理知识，可利用实验室常用设备建立成像系统及实现图像采集。该成像系统成本较低、设计新颖、物理思想清晰，适合用于物理实验教学，并且适合学生作为综合设计性物理实验进行开发研究。