九年级数学上册 压轴解答题测试卷(解析版)

九年级数学上册 压轴解答题测试卷（解析版）

一、压轴题

1．如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点B 的坐标为（3，

4），一次函数2

3

y x b =-

+的图像与边OC 、AB 分别交于点D 、E ，并且满足OD BE =，M 是线段DE 上的一个动点 （1）求b 的值；

（2）连接OM ，若ODM △的面积与四边形OAEM 的面积之比为1:3，求点M 的坐标； （3）设N 是x 轴上方平面内的一点，以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形，求点N 的坐标．

2．点P 为图形M 上任意一点，过点P 作PQ ⊥直线,l 垂足为Q ，记PQ 的长度为d . 定义一:若d 存在最大值，则称其为“图形M 到直线l 的限距离”，记作()max ,D M l ； 定义二:若d 存在最小值，则称其为“图形M 到直线l 的基距离”，记作()min ,D M l ； （1）已知直线1:2l y x =--，平面内反比例函数2

y x

=

在第一象限内的图象记作,H 则()1,min D H l = ．

（2）已知直线2:33l y x =+，点()1,0A -，点()()1,0,,0B T t 是x 轴上一个动点，

T 3C 在T 上，若()max 243,63,D ABC l ≤≤求此时t 的取值范

围，

（3）已知直线21211k k y x k k --=

+--恒过定点1111,8484P a b c a b c ??

??+-+?

+，点(),D a b 恒在直线3l 上，点(),28E m m +是平面上一动点，记以点E 为顶点，原点为对角线交点的正方形为图形,K ()min 3,0D K l =，若请直接写出m 的取值范围． 3．如图，等边ABC 内接于

O ，P 是AB 上任一点（点P 不与点A 、B 重合），连接

AP 、BP ，过点C 作CM BP 交PA 的延长线于点M ．

（1）求APC ∠和BPC ∠的度数； （2）求证：ACM BCP △≌△；

（3）若1PA =，2PB =，求四边形PBCM 的面积； （4）在（3）的条件下，求AB 的长度． 4．如图①，

O 经过等边ABC 的顶点A ，C （圆心O 在ABC 内），分别与AB ，

CB 的延长线交于点D ，E ，连结DE ，BF EC ⊥交AE 于点F ． （1）求证：BD BE =．

（2）当:3:2AF EF =，6AC =，求AE 的长．

（3）当:3:2AF EF =，AC a =时，如图②，连结OF ，OB ，求OFB △的面积（用含a 的代数式表示）．

5．已知：如图1，在

O 中，弦2AB =，1CD =，AD BD ⊥．直线,AD BC 相交于点

E ．

（1）求E ∠的度数；

（2）如果点,C D 在O 上运动，且保持弦CD 的长度不变，那么，直线,AD BC 相交所成锐角的大小是否改变？试就以下三种情况进行探究，并说明理由（图形未画完整，请你根据需要补全）．

①如图2，弦AB 与弦CD 交于点F ； ②如图3，弦AB 与弦CD 不相交： ③如图4，点B 与点C 重合．

6．已知：在ABC 中，,90AC BC ACB ?

=∠=，点F 在射线CA 上，延长BC 至点

D ，使CD CF =，点

E 是射线B

F 与射线DA 的交点．

（1）如图1，若点F 在边CA 上； ①求证：BE AD ⊥；

②小敏在探究过程中发现45BEC ?∠=，于是她想：若点F 在CA 的延长线上，是否也存在同样的结论？请你在图2上画出符合条件的图形并通过测量猜想BEC ∠的度数． （2）选择图1或图2两种情况中的任一种，证明小敏或你的猜想． 7．问题发现：

（1）如图①，正方形ABCD 的边长为4，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AB 上点（点E 不与A 、B 重合），将射线OE 绕点O 逆时针旋转90°，所得射线与BC 交于点F ，则四边形OEBF 的面积为 ． 问题探究：

（2）如图②，线段BQ ＝10，C 为BQ 上点，在BQ 上方作四边形ABCD ，使∠ABC ＝∠ADC ＝90°，且AD ＝CD ，连接DQ ，求DQ 的最小值； 问题解决：

（3）“绿水青山就是金山银山”，某市在生态治理活动中新建了一处南山植物园，图③为南山植物园花卉展示区的部分平面示意图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，

AD ＝CD ，AC ＝600米．其中AB 、BD 、BC 为观赏小路，设计人员考虑到为分散人流和便观赏，提出三条小路的长度和要取得最大，试求AB +BD +BC 的最大值．

8．如图，Rt △ABC ，CA ⊥BC ，AC ＝4，在AB 边上取一点D ，使AD ＝BC ，作AD 的垂直平分线，交AC 边于点F ，交以AB 为直径的⊙O 于G ，H ，设BC ＝x ． （1）求证：四边形AGDH 为菱形； （2）若EF ＝y ，求y 关于x 的函数关系式； （3）连结OF ，CG ．

①若△AOF 为等腰三角形，求⊙O 的面积；

②若BC ＝3，则30CG+9＝______．（直接写出答案）．

9．如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝23．点P ，Q 分别是BC ，AD 边上的一个动点，连结BQ ，以P 为圆心，PB 长为半径的⊙P 交线段BQ 于点E ，连结PD ． （1）若DQ ＝3且四边形BPDQ 是平行四边形时，求出⊙P 的弦BE 的长；

（2）在点P ，Q 运动的过程中，当四边形BPDQ 是菱形时，求出⊙P 的弦BE 的长，并计算此时菱形与圆重叠部分的面积．

10．如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线2

12

y x bx c =-++经过B 、D 两点，与x 轴的另一个交点为A ，与y 轴相交于点C ． （1）求抛物线的解析式．

（2）设抛物线的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积（请在图1中探索）

（3）设点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上．要使以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P 的坐标（请在图2中探索）

11．如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于点A，B，∠BAO = 30°．抛物线y = ax2 + bx + 1（a < 0）经过点A，B，过抛物线上一点C（点C在直线l上方）作

CD∥BO交直线l于点D，四边形OBCD是菱形．动点M在x轴上从点E（ -3，0）向终点A匀速运动，同时，动点N在直线l上从某一点G向终点D匀速运动，它们同时到达终点．

（1）求点D的坐标和抛物线的函数表达式．

（2）当点M运动到点O时，点N恰好与点B重合．

①过点E作x轴的垂线交直线l于点F，当点N在线段FD上时，设EM = m，FN = n，求n 关于m的函数表达式．

②求△NEM面积S关于m的函数表达式以及S的最大值．

12．对于线段外一点和这条线段两个端点连线所构成的角叫做这个点关于这条线段的视角．如图1，对于线段AB及线段AB外一点C，我们称∠ACB为点C关于线段AB的视角．如图2，点Q在直线l上运动，当点Q关于线段AB的视角最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于线段AB的“视角”．

（1）如图3，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，2），点C坐标为（﹣2，2），点C关于线段AB的视角为度，x轴关于线段AB的视角为度；

（2）如图4，点M是在x轴上，坐标为（2，0），过点M作线段EF⊥x轴，且EM＝MF

＝1，当直线y ＝kx （k ≠0）关于线段EF 的视角为90°，求k 的值；

（3）如图5，在平面直角坐标系中，P ，2），Q ，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的夹角为60°，且关于线段PQ 的视角为45°，求这条直线的解析式．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、压轴题

1．（1）b=3；（2）点M 坐标为7(1,)3；（3）93(,)42-或3654(,)1313

【解析】 【分析】

（1）首先在一次函数的解析式中令x=0，即可求得D 的坐标，则OD=b ，则E 的坐标即可利用b 表示出来，然后代入一次函数解析式即可得到关于b 的方程，求得b 的值； （2）首先求得四边形OAED 的面积，则△ODM 的面积即可求得，设出M 的横坐标，根据三角形的面积公式即可求得M 的横坐标，进而求得M 的坐标；

（3）分两种情况进行讨论，①四边形OMDN 是菱形时，M 是OD 的中垂线与DE 的交点，M 关于OD 的对称点就是N ；②四边形OMND 是菱形，OM=OD ，M 在直线DE 上，设出M 的坐标，根据OM=OD 即可求得M 的坐标，则根据OD ∥MN,且OD=MN 即可求得N 的坐标． 【详解】 （1）在2

3

y x b =-

+中，令x=0，解得y=b ， 则D 的坐标是(0,b)，OD=b ， ∵OD=BE ，

∴BE=b ，则点E 坐标为（3,4-b ）， 将点E 代入2

3

y x b =-+中，得：4-b=2+b, 解得：b=3； (2)如图，∵OAED S 四边形=

11

()(31)3622

OD AE OA +=?+?=, ∵三角形ODM 的面积与四边形OAEM 的面积之比为1:3, ∴13

=42

ODM OAED S S ?=

四边形 设M 的横坐标是a ，则13

322

a ?=， 解得：1a =，

将1x a ==代入2

33

y x =-

+中，得： 27333

y =-?+=

则点M 坐标为7

(1,)3

；

（3）依题意，有两种情况：

①当四边形OMDN 是菱形时，如图(1),M 的纵坐标是32

， 把32y =

代入2

33

y x =-+中，得： 23332x -+=，解得：94

x =， ∴点M 坐标为93

(,)42

， 点N 坐标为93(,)42

-；

②当四边形OMND 是菱形时，如图(2)，OM =OD =3， 设M 的坐标2

(,3)3

m m -

+， 由OM=OD 得：2

22

(3)93

m m +-+=， 解得：36

13

m =

或m=0(舍去)， 则点M 坐标为3615(

,)1313

，

又MN ∥OD ，MN=OD=3， ∴点N 的坐标为3654(

,)1313

， 综上，满足条件的点N 坐标为93(,)42

-或3654(

,)1313

．

【点睛】

本题考查一次函数与几何图形的综合，涉及待定系数法、图形的面积计算、菱形的性质、方程等知识，解答的关键是认真审题，找出相关知识的联系点，运用待定系数法、数形结合法、分类讨论法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算． 2．（1）22+；（2）63103t ≤≤-或103165-≤≤-3）

32

5m ≤-

或0m ≥ 【解析】 【分析】 （1）作直线：y x b =-+平行于直线1l ，且与H 相交于点P ，连接PO 并延长交直线1l 于点Q ，作PM ⊥x 轴，根据只有一个交点可求出b ，再联立求出P 的坐标，从而判断出PQ 平分∠AOB ，再利用直线1l 表达式求A 、B 坐标证明OA=OB ，从而证出PQ 即为最小距离，最后利用勾股定理计算即可；

（2）过点T 作TH ⊥直线2l ，可判断出T 上的点到直线2l 的最大距离为3TH +后根据最大距离的范围求出TH 的范围，从而得到FT 的范围，根据范围建立不等式组求解即可；

（3）把点P 坐标带入表达式，化简得到关于a 、b 的等式，从而推出直线3l 的表达式，根据点E 的坐标可确定点E 所在直线表达式，再根据最小距离为0，推出直线3l 一定与图形K 相交，从而分两种情况画图求解即可． 【详解】

解：（1）作直线：y x b =-+平行于直线1l ，且与H 相交于点P ，连接PO 并延长交直线

1l 于点Q ，作PM ⊥x 轴，

∵ 直线：y x b =-+与H 相交于点P ， ∴2

x b x

-+=

，即220x bx -+=，只有一个解，

∴24120b ?=-

??=，解得22b =， ∴22y x =-+，

联立222

y x y x ?=-+??=??

，解得22x y ?=??=??，即(

)

2,2P ，

∴2PM OM ==

，且点P 在第一、三象限夹角的角平分线上，即PQ 平分∠AOB ，

∴Rt POM 为等腰直角三角形，且OP=2， ∵直线1l ：2y x =--，

∴当0y =时，2x =-，当0x =时，2y =-， ∴A(－2，0)，B(0，－2)， ∴OA=OB=2， 又∵OQ 平分∠AOB ， ∴OQ ⊥AB ，即PQ ⊥AB ，

∴PQ 即为H 上的点到直线1l 的最小距离， ∵OA=OB ，

∴45OAB OBA AOQ ∠=∠=∠=?， ∴AQ=OQ ，

∴在Rt AOQ 中，OA=2，则OQ=2，

∴22PQ OP OQ =+=+，即()1,22min D H l =+；

（2）由题过点T 作TH ⊥直线2l ，

则T 上的点到直线2l 的最大距离为3TH + ∵()max 243,63ABC l D V ≤≤ 即43363TH ≤ ∴3353TH ≤≤ 由题60HFO ∠=?，则3

FT =， ∴610FT ≤≤， 又∵3FT t =， ∴6310t ≤≤，

解得63103t ≤≤103165-≤≤-； （3）∵直线21211k k y x k k --=

+--恒过定点1111,8484P a b c a b c ??

??+-+?+，

∴把点P 代入得：

211121

1184184k k a b c a b c k k --??+-+=++ ?

--??

， 整理得：()()2416828162828a b c k a b c a b c k a b c +-+--+-=++---，

∴2416828281628a b c a b c a b c a b c +-+=++??--+-=---?，化简得22480

1a b c c +-+=??=?

，

∴1

82

b a =-+，

又∵点(),D a b 恒在直线3l 上， ∴直线3l 的表达式为：1

82

y x =-+， ∵()min 3,0D K l =，

∴直线3l 一定与以点E 为顶点，原点为对角线交点的正方形图形相交， ∵(),28E m m +，

∴点E 一定在直线28y x =+上运动，

情形一：如图，当点E 运动到所对顶点F 在直线3l 上时，由题可知E 、F 关于原点对称， ∵(),28E m m +， ∴(),28m m F ---，

把点F 代入182y x =-

+得：18282m m +=--，解得：325

m =-， ∵当点E 沿直线向上运动时，对角线变短，正方形变小，无交点，

∴点E 要沿直线向下运动，即325

m ≤-

；

情形二：如图，当点E 运动到直线3l 上时，

把点E 代入182y x =-

+得：1

8282

m m -+=+，解得：0m =， ∵当点E 沿直线向下运动时，对角线变短，正方形变小，无交点， ∴点E 要沿直线向上运动，即0m ≥，

综上所述，

32

5

m≤-或0

m≥．

【点睛】

本题考查新型定义题，弄清题目含义，正确画出图形是解题的关键．

3．（1）∠APC=60°，∠BPC=60°；（2）见解析；（3

4

）

9

【解析】

【分析】

（1）由△ABC是等边三角形，可知∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，由圆周角定理可知

∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°；

（2）利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段利用AAS证得两三角形全等即可；

（3）根据CM∥BP说明四边形PBCM是梯形，利用上题证得的两三角形全等判定△PCM为等边三角形，进而求得PH的长，利用梯形的面积公式计算四边形的面积即可；

（4）过点B作BQ⊥AP，交AP的延长线于点Q，过点A作AN⊥BC于点N，连接OB，利用勾股定理求出AB的长，在△ABC中，利用等边三角形的性质求出BN，在△BON中利用勾股定理求出OB，最后根据弧长公式求出弧AB的长.

【详解】

解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，

∵=

BC BC，=

AC AC，

∴∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°；

（2）证明：∵CM∥BP，

∴∠BPM+∠M=180°，

∠PCM=∠BPC，

∵∠BPC=∠BAC=60°，

∴∠PCM=∠BPC=60°，

∴∠M=180°-∠BPM=180°-（∠APC+∠BPC）=180°-120°=60°，

∴∠M=∠BPC=60°，

又∵A、P、B、C四点共圆，

∴∠PAC+∠PBC=180°，

∵∠MAC+∠PAC=180°

∴∠MAC=∠PBC

∵AC=BC，

在△ACM和△BCP中，

M BPC

MAC PBC

AC BC

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△ACM≌△BCP（AAS）；

（3）∵CM ∥BP ， ∴四边形PBCM 为梯形， 作PH ⊥CM 于H ， ∵△ACM ≌△BCP ， ∴CM=CP ，AM=BP ， 又∠M=60°，

∴△PCM 为等边三角形，

∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3， 在Rt △PMH 中，∠MPH=30°， ∴PH=

33

2

， ∴S 四边形PBCM =

12（PB+CM ）×PH=12(2+3)×33=153

；

（4）过点B 作BQ ⊥AP ，交AP 的延长线于点Q ，过点A 作AN ⊥BC 于点N ，连接OB ， ∵∠APC=∠BPC=60°， ∴∠BPQ=60°， ∴∠PBQ=30°， ∴PQ=

1

2

PB=1， ∴在△BPQ 中，2221=3- ∴在△AQB 中，()()2

2

2

2

=113=

7AQ BQ +++

∵△ABC 为等边三角形， ∴AN 经过圆心O ， ∴BN=

127， ∴2221

2

AB BN -， 在△BON 中，设BO=x ，则ON=

21

2

x -，

∴

22

2

721

=

x x

????

+-

? ?

? ?

????

，

解得：x=

21

，

∵∠BOA＝2∠BCA＝120°，

∴AB=

21

120221

3=

1809

ππ

?

.

【点睛】

本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，四边形的面积，勾股定理，弧长公式，是一道比较复杂的几何综合题，解题关键是能够掌握并灵活运用全等三角形的判定与性质等知识．

4．(1)证明见解析；(2)132

3

【解析】

【分析】

(1)根据△ABC是等边三角形，从而可以得出∠BAC=∠C，结合圆周角定理即可证明；

(2)过点A作AG⊥BC于点G，根据△ABC是等边三角形，可以得到BG、AG的值，由

BF∥AG可得到

AF BG

EF EB

=，求出BE，最后利用勾股定理即可求解；

(3)过点O作OM⊥BC于点M，由题(2)知

AF BG

EF EB

=，CG=BG=

11

22

AC a

=，可以得到BM 的值，根据BF∥AG，可证得△EBF∽△EGA，列比例式求出BF，从而表示出△OFB的面积．【详解】

(1)证明：∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=∠C=60°，

∵∠DEB=∠BAC=60°，∠D=∠C=60°，

∴∠DEB=∠D，

∴BD=BE；

(2)解：如图所示，过点A作AG⊥BC于点G，

∵△ABC 是等边三角形，AC=6， ∴BG=

11

322

BC AC ==， ∴在Rt △ABG 中，333AG BG ==， ∵BF ⊥EC ， ∴BF ∥AG ，

∴AF BG EF EB

=， ∵AF ：EF=3：2，

∴BE=

2

3

BG=2， ∴EG=BE+BG=3+2=5， 在Rt △AEG 中，()

2

22

2335213AE AG EG =

+=

+=

(3)解：如图所示，过点O 作OM ⊥BC 于点M ，

由题(2)知AF BG

EF EB =，CG=BG=1122

AC a =， ∴

3=2

AF BG EF EB =， ∴2211

3323

EB BG a a ==?=，

∴EC=CG+BG+BE=1114

2233

a a a a ++=， ∴EM=

1

2EC =23

a ，

∴BM=EM-BE=211

333

a a a -=， ∵BF ∥

AG ，

∴△EBF ∽△EGA ，

∴

1

2

3=115

32

a

BF BE AG EG a a ==+， ∵3

3AG BG a ==， ∴2335BF a a =

?=， ∴△OFB 的面积＝2

1313225330

BF BM a a a ?=??=． 【点睛】

本题主要考查了圆的综合题，关键是根据等边三角形的性质，勾股定理和相似三角形的判定和性质求解．

5．（1）60E ∠=?（2）①结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60?；证明过程见详解．②结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60?；证明过程见详解．③结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60?；证明过程见详解． 【解析】 【分析】

（1）根据AD BD ⊥得到AB 是直径，连接OC 、OD ，发现等边三角形，再根据圆周角定理求得30EBD ∠=?，再进一步求得E ∠的度数；

（2）分别画出三种图形，图2中，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质可以求得；图3中，根据三角形的外角的性质和圆周角定理可以求得；图4中，根据切线的性质发现直角三角形，根据直角三角形的两个锐角互余求得． 【详解】

解：（1）连接OC 、OD ，如图：

∵AD BD ⊥ ∴AB 是直径

∴1OC OD CD === ∴OCD 是等边三角形 ∴60COD ∠=? ∴30DBE ∠=? ∴60E ∠=?

（2）①结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变依然是60? 证明：连接OD 、OC 、AC ，如图：

∵1OD OC CD === ∴OCD 为等边三角形 ∴60COD ∠=? ∴30DAC ∠=? ∴30EBD ∠=? ∵90ADB ∠=? ∴903060E ∠=?-?=?

②结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变依然是60? 证明：连接OC 、OD ，如图：

∵AD BD ⊥ ∴AB 是直径 ∴1OC OD CD === ∴OCD 是等边三角形 ∴60COD ∠=? ∴30DBE ∠=?

∴903060BED ∠=?-?=?

③结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变依然是60? 证明：如图：

∵当点B 与点C 重合时，则直线BE 与O 只有一个公共点

∴EB 恰为

O 的切线

∴90ABE ∠=?

∵90ADB ∠=?，1CD =，2AD = ∴30A ∠=? ∴60E ∠=?．

故答案是：（1）60E ∠=?（2）①结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60?；证明过程见详解．②结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60?；证明过程见详解．③结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60?；证明过程见详解． 【点睛】

本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、圆内接四边形的性质．此题主要是能够根据圆周角定理的推论发现AB 是直径，进一步发现等边COD △，从而根据圆周角定理以及圆内接四边形的性质求解．

6．（1）①详见解析；②图见解析，猜想∠BEC=45°；（2）详见解析 【解析】 【分析】

（1）①证明△ACD ≌△BCF ，得到∠CAD=∠CBF 即可得到∠AEF=∠BCF=90°即可； ②根据已知条件画图即可；

（2）取AB 的中点M ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得到点A ，B ，C ，E 四点在同一个圆M 上，再利用圆周角定理即可证明． 【详解】

解：（1）①∵,90AC BC ACB ?

=∠=，CD CF =

∴在△ACD 与△BCF 中，

AC BC ACD ACB CD CF =??

∠=∠??=?

∴△ACD ≌△BCF （SAS ） ∴∠CAD=∠CBF 又∵∠AFE=∠BFC ∴∠AEF=∠BCF=90°， ∴BE ⊥AD

②图如下所示：

猜想∠BEC=45°，

（2）选择图1证明，

连接CE，取AB的中点M，连接MC，ME ∵△ABC和△ABE都是直角三角形

∴

1

2

MC ME AB AM BM ====，

∴点A，B，C，E四点在同一个圆M上，

∴∠BEC=∠BAC=45°，

∴∠BEC=45°

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理等知识点，解题的关键是根据已知条件选择全等三角形的判定定理，并充分利用数形结合的思想解答．

7．（1）4；（2）2；（3）6002+1）．

【解析】

【分析】

（1）如图①中，证明△EOB≌△FOC即可解决问题；

（2）如图②中，连接BD，取AC的中点O，连接OB，OD．利用四点共圆，证明∠DBQ＝∠DAC＝45°，再根据垂线段最短即可解决问题．

（3）如图③中，将△BDC绕点D顺时针旋转90°得到△EDA，首先证明AB+BC+BD＝2+1）BD，当BD最大时，AB+BC+BD的值最大．

【详解】

解：（1）如图①中，

∵四边形ABCD是正方形，

∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°，∵∠EOF＝90°，

∴∠EOF＝∠BOC，

∴∠EOB＝∠FOC，

∴△EOB≌△FOC（SAS），

∴S△EOB＝S△OFC，

∴S四边形OEBF＝S△OBC＝1

4

?S正方形ABCD＝4，

故答案为：4；

（2）如图②中，连接BD，取AC的中点O，连接OB，OD．

∵∠ABD＝∠ADC＝90°，AO＝OC，

∴OA＝OC＝OB＝OD，

∴A，B，C，D四点共圆，

∴∠DBC＝∠DAC，

∵DA＝DC，∠ADC＝90°，

∴∠DAC＝∠DCA＝45°，

∴∠DBQ＝45°，

根据垂线段最短可知，当QD⊥BD时，QD的值最短，DQ的最小值＝

2

2

BQ＝2．

（3）如图③中，将△BDC绕点D顺时针旋转90°得到△EDA，