数量积向量积混合积

第三节 数量积 向量积 混合积

内容分布图示

★ 两向量的数量积 ★ 数量积的运算

★ 例1 ★ 例2 ★ 例3

★ 例4 ★ 例5

★ 引例 ★ 向量积的定义

★ 向量积的运算

★ 例6 ★ 例7 ★ 例8

★ 例9 ★ 例10

★ 向量的混合积 ★ 混合积的几何意义

★ 例11 ★ 例12 ★ 例13

★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题7-3 ★ 返回

内容要点：

一、 两向量的数量积：

定义1设有向量a 、b ，它们的夹角为θ，乘积θcos ||||b a 称为向量a 与b 的数量积

（或称为内积、点积），记为b a ?，即

θcos ||||b a b a =?.

根据数量积的定义，可以推得： （1） b j a a j b b a a b Pr ||Pr ||==?;

（2） 2

||a a a =?; （3） 设a 、b 为两非零向量，则 b a ⊥的充分必要条件是 0=?b a .

数量积满足下列运算规律：

（1） 交换律 ;a b b a ?=?

（2）分配律 ;)(c b c a c b a ?+?=?+

（3）结合律 )()()(b a b a b a λλλ?=?=?,（λ为实数）.

二、两向量的向量积

定义2 若由向量a 与b 所确定的一个向量c 满足下列条件：

（1）c 的方向既垂直于a 又垂直于b , c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定（图

7-3-5）；

（2）c 的模 θsin ||||||b a c =，(其中θ为a 与b 的夹角)，

则称向量c 为向量a 与b 的向量积（或称外积、叉积），记为

b a

c ?=.

根据向量积的定义，即可推得

（1）0 =?a a ；

（2）设a 、b 为两非零向量，则 b a //的充分必要条件是 0=?b a .

向量积满足下列运算规律:

（1）;a b b a ?-=?

（2）分配律 ;)(c b c a c b a ?+?=?+

（3）结合律 )()()(b a b a b a λλλ?=?=?,（λ为实数）.

三、向量的混合积

例题选讲：

两向量的数量积

例1 (讲义例1) 已知},2,2,1{},4,1,1{-=-=b a 求

(1) ;b a ? (2) a 与b 的夹角θ; (3) a 与b 上的投影.

例2 证明向量c 与向量a c b b c a )()(?-?垂直.

例3 (讲义例2) 试用向量方法证明三角形的余弦定理.

例4 (讲义例3) 设b a 3+与b a 57-垂直, b a 4-与b a 27-垂直, 求a 与b 之间的夹

角θ.

例5 (讲义例4) 设液体流过平面S 上面积为A 的一个区域, 液体在这区域上各点处的流速均为(常向量) v . 设n 为垂直于S 的单位向量(图7-3-3a), 计算单位时间内经过这区域流向n 所指一方的液体的质量P (液体的密度为ρ).

两向量的向量积

例6 (讲义例5) 求与k j i b k j i a 2,423-+=+-=都垂直的单位向量.

例7 (讲义例6) 在顶点为)2,6,5(),2,1,1(--B A 和)1,3,1(-C 的三角形中, 求AC 边上的高BD . 例8 设向量p n m ,,两两垂直, 伏隔右手规则, 且

,4=m ,2=n ,3=p 计算.)(p n m ??

例9 (讲义例7) 设刚体以等角速度ω

绕l 轴旋转, 计算刚体上一点M 的线速度. 例10 利用向量积证明三角形正弦定理.

向量的混合积 例11 (讲义例8) 已知2)(=??c b a , 计算).()]()[(a c c b b a +?+?+

例12 (讲义例9) 已知空间内不在同一平面上的四点

),,(),,,(),,,(),,,(444333222111z y x D z y x C z y x B z y x A

求四面体的体积.

例13 已知k j i c k j b i a +-=-==22,2,, 求一单位向量,γ 使c ⊥γ, 且γ 与b a ,此

同时共面.

课堂练习

1.已知向量,0,0 ≠≠b a 证明

.)(||||||2222b a b a b a ?-?=?

2.已知c b a ,,两两垂直, 且,3||,2||,1||===c b a 求c b a s ++=的长度与它和

c b a ,,的夹角.