可靠度计算方法

一次二阶矩法

当基本状态变量X i (i =1,2,···,n )的概率密度未知，或者在概率密度函数复杂不易求其分布参数的积分时，可利用泰勒级数展开后忽略二次以上的项，只考虑它们的一阶原点矩和二阶中心矩这两个特征参数，近似地计算状态函数的均值和方差，求得可靠指标和破坏概率，故称作一次二阶矩法(First order second moment method)，包括中心点法和验算点法。

中心点法

中心点法[56]是早期结构可靠度研究所提出的分析方法，只考虑随机变量的平均值和标准差，作为一种简单的计算方法，对于结构功能函数为

S

R Z -=

的可靠度问题，可靠度指标为

Z

Z σμβ=

当随机变量R 和S 服从正态分布时，式可变为

22

S

R

S R σ

σ

μμβ+-=

上式表示的是两个随机变量的情形，对于多个随机变量的一般形式的结构功能函数

),,,(21n X X X X g Z =

其中：X 1,X 2,···,X n 为结构中的n 个相互独立的随机变量，其平均值为n

X X X μμμ,,,2

1

，标准差为n

X X X σσσ,,,2

1

。

将功能函数在随机变量的平均值处展开泰勒级数展开，取一次项近似

)()(),,,(1

21i X i n

i i

n X L X X g g Z Z μμμμμ-??+

=≈∑

=

函数的均值和方差分别为

),,,(21n X Z Z g EZ μμμμμ ==≈

∑=???

?

????=-=≈n

i X i

X Z L Z

Z i

L L

X

g Z E 12

2

)()(σμμσσ

由中心点法的可靠度指标的定义，从而有

∑

=???

?

?

???≈

=

n

i X i X X X X X Z

Z i

n X

g g 1

2

)()

,,,(21σμμμμσμβ

从式和的推导可以看出，中心点法使用了结构功能函数的的一次泰勒级数展开式和随机变量的的前两阶矩(均值和方差)，故称为一次二阶矩方法，早期也称

为二阶矩模式。中心点法的优点是显而易见的，即计算简便，不需要进行迭代求解。作为一种简单的计算方法，并没有适当的准则来决定最佳展开的。因此其缺点也是非常明显的，主要表现在如下三个方面：①功能函数在平均值处展开不仅合理；②对于力学意义相同、但数学表达形式不同的结构功能函数，由中心点法计算的结果可能不同；③没有考虑随机变量的概率分布。

验算点法

针对中心点法缺点和不足，1974年Hasofer 和Lind [57]等人对中心点法进行改进，更加科学地对可靠度指标进行了定义，将可靠度指标β定义为标准正态空间中，坐标原点到极限状态面的最短距离，并引入验算点的概念，即验算点法。验算点法是国际结构安全度联合委员会所推荐的一种可靠性分析理论，也被称为JC 法。作为可靠度分析计算中最为常用的一种解析方法，可以求解基本变量为非正态分布、多变量、极限状态函数非线性的可靠性问题。

假定结构设计中存在着n 个相互独立且服从正态分布的基本随机变量X 1,X 2,···,X n ，其平均值为n

X X X μμμ,,,2

1

，标准差为n

X X X σσσ,,,2

1

。则极限状态函

数表示的是以O —X 1,X 2,···,X n 为坐标系的n 维正态空间上的一个曲面。为求解可靠度指标，将基本随机变量(X 1,X 2,···,X n )标准化，形成一组新的服从标准正态分布的随机变量(x 1,x 2,···,x n )，即：

i

i

X X i i X x σ

μ-=

根据Hasofer 和Lind 等人对可靠度指标新的定义，可靠度指标β 为标准正态空间中，坐标原点到极限状态的曲面的最短距离，如图2.3中OA *的长度，并将曲面上的A 点称为验算点。这样将可靠指标的求解转化成标准化随机变量空间的几何求解问题。显然，不管结构极限状态方程的数学表达式如何，只要具有相同的力学或物理含义，在标准正态坐标系中，所表示的都是同一曲面，曲面上与坐标原点距离最近的点也只有一个，因而，所得到的可靠度指标是唯一的，可靠度指标只与极限状态曲面有关，而不随结构极限状态函数数学表达形式而变。

θ3

2

θ3

x

**x

2

x

3

2

x

1

x

x

极限状态曲面

1

θ1

O

*

A

*

图2 可靠度指标的几何意义及验算点

根据前面所述，将结构功能函数Z 在假定验算点X *=),,,(*

*2

*1n x x x 处运用泰勒级数展开且只保留线性项：

)(),,,(),,(*

1

**2*

121i i n

i A

i

X n

X n X x X X g x x x g X X X g Z -??+

≈=∑

=

其中：

i

X i X i i i X i

X x g dX dx x g X g σ1

???=???? ????=

?? 结构功能函数的平均值和标准差为

)(),,,(*

1

**2*

1*

i X n

i X

i

X n

X Z x X g x x x g i -??+=∑

=μμ

*

2

1

i

n

X z X

X

i i

g X σσ=???=

????

∑

从而可靠度指标可表示为

*

*

****

1212

1

(,,,)()

i i

n

X X n

X i X

i i

n

X X X

i i

g g x x x x X g X μβσ==?+

-?=

??? ?

???

∑

∑

由可靠度指标的几何意义，验算点和可靠度指标之间具有如下关系：

*

cos i i i X X i x μβσθ=+

在标准化正态空间中，由其中的几何关系可以得到极限状态曲面在假定验算点X *处法线方向余弦cos θi ：

*

1/2

2

1cos i

i

i

X

X

X

i

i n X

X X

i i g X g

X σθσ=??=-

????? ?

? ????

?

?

∑

根据可靠度指标的定义及可靠度指标的几何意义，验算点与可靠度指标之间具有如下关系：

i X X i i

i x θβσ

μcos *

+=

若已知基本随机变量的均值和方差，则可根据以上的式子求出β的值，但预先不知道验算点，因此在展开成Taylor 级数时，必须先假定一个验算点，例如基本随机变量的均值点，计算过程中用迭代法逐步逼近真正的验算点，修正所得到的β值，直到得到满意的结果。具体计算步骤如下：

(1) 假设

*

i

x 的初值，一般取为均值点i

X i x μ=*；

(2) 计算值

*

X

i

X X g ??；

(3) 由式计算β；

(4) 利用*i x 初值，代入式，计算i θcos ； (5) 将所得的β值代入式，求出新的验算点

*

i

x 值；

(6) 重复(2)~(5)的步骤，直到前后两次求得的β值相差小于要求的精度为止。 当基本变量为多维正态分布时，可由上述计算步骤在正态空间上直接求得可靠度指标β，估计工程结构的失效概率。但是，在工程结构的极限状态方程中，常包括非正态分布的基本随机变量。对于这种极限状态方程的可靠度分析，一般要把非正态随机变量当量化或等概率变换为正态随机变量，然后在正态空间进行分析。

蒙特卡洛模拟法

蒙特卡洛模拟法[58](Monte-Carlo Simulation)也被称为随机抽样法、概率模拟法或统计试验法，通过随机模拟来对客观的现象进行研究的一种方法。改法依据统计抽样理论，利用电子计算机研究随机变量的数值计算方法。由于它以概率论和数理统计理论为基础，故被一些物理学家以位于法国与意大利接壤的闻名于世的赌城蒙特卡罗命名，以此来表示其随机性的特征。

蒙特卡洛法的基本思想是，若已知状态变量的概率分布，根据结构的极限状态方程Z =g (X 1,X 2,···,X n )=0，利用蒙特卡洛方法产生符合状态变量概率分布的一组随机数x 1,x 2,···,x n ，将随机数代入状态函数Z =g (X 1,X 2,···,X n )计算得到状态函数的一个随机数。如此用同样的方法产生N 个状态函数的随机数。如果N 个状态函数的随机数中有M 个小于或等于1(以安全系数表示边坡状态)，或小于或等于零(以安全储

备表示边坡状态)，当N 足够大时，根据大数定律，此时的频率已近似于概率，因而可得边坡的稳定失效概率为

{}N

M X X X g p P n X f =

≤=0),,,(21

如需要，还可由已得的N 个g (x )值来求均值μg 和标准差σg ，从而得到可靠度指标β。

蒙特卡洛模拟法的主要优点：这是一个普遍的方法，只要当状态变量的分布为已知时就可以应用，它不会因状态变量为非正态分布，状态变量彼此相关，状态函数的非线性等问题而发生困难或使精度降低。因为蒙特卡洛法的误差只与标准差和样本容量N 有关，而与样本元素所在空间无关，则它的收敛速度与问题维数无关；同样，蒙特卡洛法的收敛是概率意义下的收敛，可指出其误差以接近1的概率不超过某个界限，亦与问题维数无关。由于蒙特卡洛方法分析结果具有相对精确的特点，常用于各种可靠度近似分析方法计算结果的校核。蒙特卡洛方法也存在局限性，主要是蒙特卡洛法的收敛速度慢，因此花费机时数较大。

响应面法

在复杂结构中，当功能函数g (X )与随机变量X 之间的关系不能显式表达时，选用一个适当的明确表达的函数式来近似地表示一个功能函数g (X )，也就是通过尽可能少的一系列确定性的有限的数值来拟合一个响应面以代替未知的真实的极限状态曲面，从而可以用任何已知的各种方法计算可靠度(如图2.4)，这就是响应面法(Response Surface Method)。最早是由Box 和Wilson 提出和应用[59]。

响应面方法是统计学的综合试验技术，采用推断的方法对极限状态方程在验算点附近进行重构。用响应面法重构复杂结构的近似功能函数，就是设计一系列变量值，每一组变量值组成一个试验点，然后逐点进行结构数值计算得到对应的一系列功能函数值，通过这些变量值和功能函数值来重构一个明确表达的函数关系，以此函数关系为基础计算结构的可靠度或失效概率。对于n 个随机变量X 1,X 2,…,X n 的情况，大量的研究成果表明，兼顾简单性、灵活性及计算效率与精度要求，响应面解析表达式的形式，通常取不含交叉项的二次多项式，即

2X X g =Z ,1)

(()

1,Z =g X X 2真实曲面

O

2

X

响应面

Z

X 1

图2.4 响应面函数

∑∑==+

+

==n

i i

i

n i i

i

X c

X

b a X g Z 1

2

1

)(

式中：a , b i , c i 均为待定系数，总计2n +1个待定系数。

对于每一组随机设计变量X 1,X 2,…,X n 都对应一个响应)(X g ，为了确定公式右端a , b i , c i (i =1,2,···,n ) 总计2n +1个待定系数。可以用2n +1组实验，确定2n +1组响应)(X g ，然后求解线性方程组，可以求得a , b i , c i (i =1,2,···,n )。从而确定结构的极限状态方程。

拟合结构的极限状态函数是响应面法的关键，通过变量值和功能函数值来拟合一个明确表达式的函数关系，以此函数为基础计算可靠度指标或者失效概率。应用传统响应面法来重构近似极限状态，求得验算点X *以及可靠指标β，可按如下步骤进行

(1) 假定初值点),,,()

0()

0(2)

0(1)

0(n x x x X

=，一般取均值点；

(2) 利用有限元数值模拟方法求出功能函数的值：),,,()0()0(2)0(1)0(n x x x g g =以及

),,,,()

0()

0(1

)

0(1)

(n i i x f x x g g

σ±=，从而得到

2n +1个点值，其中f 在首次迭

代中取3，以后的迭代计算中取1；

(3) 将2n +1个点值代入式中，解2n +1元方程组，求得2n +1个待定系数a , b i ,

c i ，从而得到二次多项式近似的功能函数；

(4) 由功能函数，利用JC 法求解验算点X *(k )以及可靠指标β(k ) (5) 判断收敛条件

ε

β

β

<-+)

()

1(k k

如不满足，则用插值法得到新的初值点

)

()()

()()

(*)

()

()

()

(*)

()

(K K K K K K K M

X g X

g X g X

X

X

X

-?

-+=

(6) 将)

(K M X 代入步骤(2)进行下一次迭代，直至满足设定的收敛精度。

在响应面法的极限状态函数重构中，根据第一轮的试验结果，重构一个二次函数表达式粗糙近似功能函数，然后以满足收敛条件为判别标准，展开得到新的初值点，利用新的试验结果，对重构的功能函数不断调整，使初值点逐渐向验算点靠近，满足收敛条件的表达式即代表了真正的曲面在验算点附近的性态。

高次高阶矩法

一次二阶矩方法(中心点法、验算点法等)以其计算简便、在大多数情况下，计算精度能满足工程应用要求而为工程界所接受，但在有些情况下，如结构功能函数在验算点附近的非线性程度较高时，一次二阶矩方法的计算结果与精确解相差过大。而一些特别重要的结构对可靠度计算精度的要求较高，在这种情况下，

一次二阶矩方法难于满足工程应用要求，因此有必要研究计算精度更高的可靠度分析方法。一次二阶矩法的误差来源于将非线性功能函数利用Taylor级数展开为线性功能函数，略去了函数的非线性项，所对应的是在验算点处线性化的极限状态方程的失效概率，为了提高可靠度的计算精度，在一次二阶矩法的基础上，人们尝试了可靠度的高次高阶矩法：二次二阶矩法、二次四阶矩法、三次三矩法等，其中对二次二阶矩分析方法研究较多。

在结构可靠度分析中，考虑结构极限状态方程二次非线性的影响的方法，统称为二次二阶矩法。一般情况下，就是将非线性功能函数在验算点处作泰勒级数展开并保留至二次项，直接由得到二次方程进行分析，运算复杂[60]。随后Kiureghian[61]也对二次二阶矩方法进行了研究，给出了近似计算方法。Tvedt[62]给出了一个近似计算失效概率的三项表达式，其中涉及复数运算。Breitung[63]给出一个考虑极限状态曲面在验算点处主曲率的失效概率渐进计算公式，具体分析时进行正交变换，利用拉普拉斯逼近原理得到。在国内，李云贵等[64]应用数学逼近中的拉普拉斯(Lap lace)渐进方法研究结构的可靠度问题，将Lap lace 积分逼近理论应用于广义随机空间和正交随机空间的可靠度近似分析计算中，该方法比较简便，对存在大量的连续随机变量的可靠度分析问题，尤其是极限状态方程非线性程度较高的问题，可得到令人满意的分析结果。由于在计算中利用了极限状态方程的前两阶导数，该法方法属于二次二阶矩可靠度分析方法。

随机有限元法

随机有限元法是随机分析理论与确定性有限元法相结合的产物。它的基本思路是对随机变量的样本使用有限元程序反复计算，再对结果进行统计。

一般来说，根据对结构进行随机分析的方法和手段不同，随机有限元法可分为两类：一类是统计的方法，就是通过大量的随机抽样，对结构反复进行有限元计算，将得到的结果作统计分析，得到该结构的失效概率或可靠度，这种方法称为蒙特卡洛随机有限元法。另一类是分析的方法，就是以数学、力学分析作为工具，找出结构系统的响应与输入信号之间的关系，并以此得到结构内力、应力或位移的统计规律，得到结构的可靠度或失效概率。这一类随机有限元方法比较多，按照随机分析的目的与结果不同，又可分为两种：一种是分析结构响应的特性及其分布规律，如摄动随机有限元法、纽曼随机有限元法等；另一种是直接分析结构的可靠度或失效概率，如验算点随机有限元法等。

本章小结

本章阐述了工程结构可靠度分析基本理论，为后面逆可靠度分析方法的提出奠定了基础。首先介绍了可靠度的基本概念、基本原理和不确定性的来源，在此

基础上介绍常用的各种可靠度分析方法，如一次二阶矩法、蒙特卡洛模拟法、高次高阶矩法和随机有限元法等，并分析论述各种方法自身的优缺点和适用条件。在各方法中，着重研究了一次二阶矩中的验算点法的计算原理和基本解题步骤，为后面一次逆可靠度分析方法及基于HLRF的逆可靠度分析方法的阐述分析打下了基础。