幂级数的部分练习题及答案
题目部分，(卷面共有100题,349.0分,各大题标有题量和总分)
一、选择 (10小题,共22.0分) (2分)[1] (2分)[2] 函数项级数∑
∞
=1n n
n
x 的收敛域是
(A) []1,1- (B) [)1,1- (C) ()1,1- (D) (]1,1-
答( )
(2分)[3] 设级数()n n n x b 20-∑∞
=在2-=x 处收敛，则此级数在
4=x 处
(A)发散； (B)绝对收敛； (C)条件收敛； (D)不能确定敛散性。
答：( )
(3分)[4]设级数()n n n x a 30+∑∞
=在1-=x 处是收敛的，则此级数在
1=x 处
(A)发散；
(B)绝对收敛； (C)条件收敛； (D)不能确定敛散性。
答：( ) (2分)[5]设级数()n n n x a 10-∑∞
=的收敛半径是1，则级数在3=x 点
(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)不能确定敛散性。
答：( ) (2
分)[6]如果81
lim 1=+∞→n
n n a a ,则幂级数∑∞
=03n n
n x a
(A)当2
2
1
>x 时,发散； 答( ) (2分)[7]若幂级数∑∞
=0n n n x a 的收敛半径为R,那么
(A)R a a n
n n =+∞
→1
lim
,
(B)
R a a n n
n =+∞→1
lim
,
(C)R a n n =∞
→lim , (D)n
n n a a 1lim +∞
→不一定存在 . 答( )
(3分)[8] 若幂级数∑∞
=0n n n x a 在2=x 处收敛，在3-=x 处发
散，则 该级数
(A)在3=x 处发散； (B)在2-=x 处收敛； (C)收敛区间为(]2,3- ;
(D)当3>x 时发散。
答( )
(2分)[9] 如果()x f 在0x 点的某个邻域内任意阶可导，那么
幂级数()()()∑∞
=??
?
?
??-000!n n n x x n x f 的和函数 (A) 必是()x f ， (B)不一定是()x f ， (C)不是()x f ， (D)可能处处不存在。
答( )。
(2分)[10]如果()x f 能展开成x 的幂级数，那么该幂级数 (A) 是()x f 的麦克劳林级数； (B)不一定是()x f 的麦克劳林级数； (C)不是()x f 的麦克劳林级数； (D) 是()x f 在点0x 处的泰勒级数。 答( )。 二、填空 (54小题,共166.0分) (2
分)[1]函数项级数∑∞
=+1322arctan n n
x x 的收敛域
是 。
(2分)[2]讨论x 值的取值范围，使当_____________时
∑∞
=++1
)(n x n n n x n 收敛
当_____________时∑∞
=++1
)(n x
n n
n x n 发散
(3分)[3]
设级数()x u n n ∑∞
=1
的部分和函数()11
22+-=n n n x x x s ，
级数的通项()=x u n 。 (2
分
)[4]
级
数
()n n
n n
n 3)!2(π10
∑∞
=-的
和
是 。
(2分)[5] 级数()()[]∑∞
=-----111n x n nx xe n nxe 在[]1,0上的和
函数是 。 (3分)[6]设
x
不是负整数，对
p
的值讨论级数
()()()0111
>+-∑∞
=p n x p
n n
的收敛性
得 当 时，绝对收敛， 当 时，条件收敛。 (2
分)[7] 幂级数()()n n n x n 321
21101---∑∞
=-的收敛域
是 。
(3分)[8]幂级数()()∑∞
=----1
1
21!121n n n n x 的收敛半径是 ，和
函数是 。
(1分)[9] 如果幂级数()n n n x a 10-∑∞
=的收敛半径是1，则
级数在开区间 内收敛。 (2
分)[10]如果2lim 1
=+∞→n n n a a ，则幂级数()n
n n x a 10-∑∞=在开区间
内收敛。
(2分)[11] 设幂级数n n n x a ∑∞
=0的收敛半径是()+∞<≤R R 0，
则幂级数n n n x a 20
∑∞
=的收敛半径是 。
(2分)[12]如果幂级数()∑∞
=-0
1n n n x a 在1-=x 处收敛，在3=x 处
发散，则它的收
敛域是 . (5分)[13]
幂级数 ++++4
4332217
21025222x x x x 的通项
是 ，收敛域是 。 (6
分)[14] 幂级数
n n n n x n n ∑∞
=???
? ??+1232的收敛域
是 。
(4分)[15] 幂级数∑∞
=+014n n n x n 的收敛区间是 。
(4分)[16] 幂级数n n x n ∑∞
=0
!的收敛域是 。
(4分)[17] 若幂级数n
n n x a ∑∞=0
和()10
1+∞
=∑+n n n x a n 的
收敛半径分别为1R 、2R ，则1R 、2R 具有 关系 。 (3分)[18]
设3lim 1
=+∞→n n
n a a ，则幂级数∑∞
=02n n n x a 的收敛半径是 。 (2分)[19] 幂级数()
n
x n
n n
∑∞
=-11的收敛域是 ，
和函数是 。 (3分)[20]
幂级数∑
∞
=?0
!32n n
n n x 的和函数是 。
(3分)[21] 幂级数 +?????-???+?-
+4
328
64253164231421211x x x x 的收敛域是 ，和函数是 。 (2分)[22] 级数 ++++++
2
52
2
31x x x x x 的收敛域
是 ，和函数是 。
(2分)[23] 若幂级数n n n x a ∑∞
=0
的收敛半径是R ，则其
和函数在开区间 上是连续的。 (2分)[24] 如果幂级数n
n n x a ∑∞
=0与n n n x b ∑∞
=0
的收敛半径
分别是1R 、2R ，则级数()n n n n x b a ∑∞=+0
的收敛
半径是 。
(3分)[25] 若幂级数n n n x a ∑∞
=0的收敛半径是R ,则
其和函数()x s 在开区间 内是
可微的，且有逐项求导公式 。 (3分)[26] 设幂级数n n n x a ∑∞
=0的收敛半径是R ,则其和函数
()x s 在
开区间 上可积，且有逐项求积公式 。
(4分)[27] 函数??
?
?
?+4πsin x 的麦克劳林展开成
为 ，其收敛域是 。 (3分)[28] 函数()()R x ∈+αα
1的麦克劳林展开
式为 ，收敛区间是 。
(3分)[29] 函数()1,
0≠>=a a a y x 在00=x 点的
泰勒展开式为 ，收敛区间是 。 (3分)[30] 函数
x
_11的麦克劳林展开式
为 ，收敛域是 。 (3分)[31] 函数
x
+11的麦克劳林级数展开式
为 ，收敛域是 。 (5分)[32] 函数x
x y -+=11ln 的麦克劳林展开式
为 ，收敛域是 。 (6分)[33] 函数()221ln x x y -+=关于x 的幂级数为 ，收敛域是 。
(4分)[34] 函数()x y +=2ln 的麦克劳林展开式为 ，收敛域是 。 (4分)[35] 函数()α+x cos 的麦克劳林展开式为 ，其收敛域是 。 (3分)[36] 如果()x f 的麦克劳林展开式为
n n n
x a
20
∑∞
=，则=n a 。
(2分)[37] 函数x e 在点00=x 的泰勒级数为 ，收敛区间为 。
(2分)[38] 函数x sin 的麦克劳林级数为 ， 收敛区间为 。