分式的猜想与探索规律题
分式的猜想、探索型专项训练
1．观察下列各等式：
111111111121223233434
=-=-=-???，，， 根据你发现的规律，计算：2222
122334
(1)
n n ++++
=????+ （n 为正
整数）
2．按一定的规律排列的一列数依次为：111111
,,,,,2310152635
┅┅，按此规律排列
下去，这列数中的第7个数是 （ ）.
A ．
145 B ．140 C ．146 D ．1
50
3．已知：3223222?＝＋、8338332?＝＋、154415442?＝＋、245
524552?＝＋，
……，若 a
b
a b ?21010＝＋ （a 、b 为正整数）符合前面式子的规律，则a
+ b 的值不可能是（ ）A ．109 B ．218 C ．326 D ．436 4.一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据5
9
，
12
16，
2125，32
36，…中得到巴尔
末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第n （n ≥1）个数据是___________．
5. （1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果n a （n 为正整数）表示这个数列的第n 项，那么18a = ，n a = ； （2）如果欲求232013333++++
+的值，可令
232013333S =++++
+……………………………………………………①
将①式两边同乘以3，得 …………………………② 由②减去①式，得S = ．
（3）用由特殊到一般的方法知：若数列123n a a a a ，，，，，从第二项开始每一项 与前一项之比的常数为q ，则n a = （用含1a q n ，，的代数式表示），如果这个常数1q ≠，那么123n a a a a ++++= （用含1a q n ，，的代数式表示）．
1
1
2
3
5
...
6．小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
输入 (1)
2
3
4
5
… 输出
…
21 52 103 174
265
…
A 、618
B 、638
C 、658
D 、678
7.某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，按此规律，5小时后细胞存活的个数是（ ）
A. 31
B. 33
C. 35
D. 37 8.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和。现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造如下正方形：
再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个,正方形拼成如下矩形并记为①、②、③、④.相应矩形的周长如下表所示：
若按此规律继续作矩形，则序号为⑩的矩形周长是＿＿＿＿＿＿＿。 9.观察下列等式：
223941401?=-，224852502?=-，225664604?=-，226575705?=-，228397907?=-…
请你把发现的规律用字母表示出来：mn= ．
序号 ① ②
③ ④ 周长 6
10
16 26
10.按如下规律摆放三角形：
则第（4）堆三角形的个数为_____________；第(n)堆三角形的个数为_____________. 11、阅读下列材料： 方程
3
1
21111--
-=-+x x x x 的解是x ＝1； 方程 的解是x ＝2；
方程 的解是x ＝3；……
⑴：请你观察上述方程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程
________ _______并求出这个方程的解_____________________
⑵：根据（1）中所得的结论，写出一个解为－5的分式方程___________________ 12、【采取“拆
项相消”法，利用
11A B A B AB AB AB A B
+=+=+的变形技巧。】 观察下列等式:
111122=-?，1112323=-?，111
3434
=-?， 111111*********...1 (112233491022334899101010)
++++=-+-+-++-+-=-=????．
（1）猜想并写出：1
(1)
n n =+______________________
(2)利用规律计算：
)100)(99(1
)3)(2(1)2)(1(1)1(1....+++++++++++x x x x x x x x
(3)利用规律计算：
)
100)(99(1
)3)(2(1)2)(1(1)
1(1....-------++++x x x x x x x x
(4)利用规律计算：
211?＋321?＋431?＋…＋10
91
? 13、阅读下列材料：并解答后面的问题。
∵
)311(21311-=? 5131(21531-=?） 7
1
51(21751-=?） 1111()20132015220132015=-?…… ∴111113355720132015++++???? = 11111111(123355720132015-+-+-++-
）＝21（1－20151）＝20151007 解答下列问题： ⑴：在和式
+?+?+?7
51
531311中，第5项为____________，第n 项为___________，上述求和的想法是：将和式中的各分数转化为两个数之差，使得首末两项外的中间各项可以____________，从而求和。 ⑵：利用上述结论计算：
⑶：利用上述结论计算：的
值。
⑷：利用上述结论计算：若 +?+?+?7
51531311＋()()12121+-n n ＝3718
，求：
n 的值。
⑸：利用上述结论 求：的值。
（6）：观察下列各式：并解答后面的问题。
()()()()()
111
...3362730x x x x x x +++
+++++11111
...2612209900+++++
111
1
(2)(2)(4)(4)(6)
(2014)(2016)x x x x x x x x +++
+
+++++++
……
①、由此可以推测
42
1
＝______。 ②、用含n 的式子（n 是正整数）表示这一规律：______________________ ③、用上述规律计算：
14、请阅读某同学解下面分式方程的具体过程． 解方程：
1423
.4132x x x x +=+---- 解：13244231
x x x x -=-
----， ① 22210210
6843x x x x x x -+-+=
-+-+， ② 2211
6843
x x x x =
-+-+， ③ ∴226843x x x x -+=-+． ④
∴5
2x =
． 检验：把52x =代入原方程知5
2
x =是原方程的解．
请你回答：
⑴：得到①式的做法是 ；得到②式的具体做法是 ； 得到③式的具体做法是 ；得到④式的根据是 ． ⑵：上述解答正确吗？如果不正确，从哪一步开始出现错误？ 答： ．错误的原因是 ．（若“正确”，此空不填）． ⑶：给出正确答案
⑷：上述特殊结构的分式方程，具体解法：①、先移项（两中间大小的分母移至
方程一边，最大与最小的分母移至另一边） ②、两边分别通分 ③、若分子是相同的常数则一解；若分子是相同的代数式，则由分子相同、或分母相
1111111111111111;;;62323123434204545305656
=-=-=-=-????＝＝＝＝()()()()()()()()
2
2
2
2
13355720132015x x x x x x x x +
+
+
++++++++
等得两解。此特殊解法称为“两边通分法”。 参照上述解法解答如下分式方程。 ①、()()()()
2929
1357x x x x x x ++=++++
②、
2635
3746x x x x x x x x ----+=+
---- ③、4758--5869x x x x x x x x ----=----
15、观察下列各式：
依照以上各式成立的规律，在括号内填入适当的数，使
等式成立。
16、观察下列各式：112233
11,22,33, (223344)
?=-?=-?=-
⑴：猜想并写出第n 个等式； ⑵：证明你写出等式的正确性。
265371102
2,2,2,2
24645434741410424
-+=+=+=+=---------()(
)20
22044+
=--