高三10月学业水平考试数学试题 word版

高中10月学业水平考试数学试题

一、选择题 （本大题共18小题，每小题3分，共54分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 函数2

()3x f x -=的定义域为

A.（－∞，0）

B.[0，+∞）

C. [2，+∞）

D. （－∞，2）

2. 下列数列中，构成等比数列的是

A.2，3，4，5，

B.1，－2，－4，8

C.0，1，2，4

D.16，－8，4，－2

3. 任给△ABC ，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列等式成立的是

A.c 2=a 2+b 2+2abcosC

B. c 2=a 2+b 2－2abcosC

C. c 2=a 2+b 2+2absinC

D. c 2=a 2+b 2－2absinC

4. 如图，某简单组合体由一个圆锥和一个圆柱组成，则该组合体三视图的俯视图为

5. 要得到余弦曲线y=cosx ，只需将正弦曲线y=sinx 向左平移

A.

2

π个单位 B.

3

π个单位 C.

4

π个单位 D.

6

π个单位 6. 在平面直角坐标系中，过点(0，1)且倾斜角为45°的直线不．经过

A.第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

7. 已知平面向量a =(1，x)，b =(y ，1)。若a ∥b ，则实数x ，y 一定满足

A.xy －1=0

B. xy+1=0

C.x －y=0

D.x+y=0

8. 已知{a n }(n ∈N *)是以1为首项，2为公差的等差数列。设S n 是{a n }的前n 项和，且S n =25，则n=

A.3

B.4

C.5

D.6

9. 设抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F 。若F 到直线3x 3，则p=

A.2

B.4

3

3

10. 在空间直角坐标系Oxyz 中，若y 轴上点M 到两点P(1，0，2)，Q(1，－3，1)的距离相等，则点

M 的坐标为

A.(0，1

，0) B. (0，－1，0) C. (0，0，3) D. (0，0，－3)

11. 若实数x ，y 满足2230,20,(1)1,x y x y x y ?-≥?

-≤??-+≤?

则y 的最大值为

A.

3

B.1

C.

32

D.

45

12. 设a>0，且a≠1，则“a>1”是“log a 12

<1”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条

件

13. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为棱D 1C 1的中点。设AM 与平面BB 1D 1D 的交点为O ， 则

A. 三点D 1，O ，B 共线，且OB=2OD 1

B. 三点D 1，O ，B 不共线，且OB=2OD 1

C. 三点D 1，O ，B 共线，且OB=OD 1

D. 三点D 1，O ，B 不共线，且OB=OD 1

（第13题图）

14. 设正实数a ，b 满足a+λb=2（其中λ为正常数）。若ab 的最大值为3，则λ=

A.3

B.

32

C .

23

D.

13

15. 在空间中，设l ，m 为两条不同直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是 A.若l ?α，m 不平行于l ，则m 不平行于α

B.若l ?α，m ?β，且α，β不平行，则l ，m 不平行

C. 若l ?α，m 不垂直于l ，则m 不垂直于α

D. 若l ?α，m ?β， l 不垂直于m ，则α，β不垂直

16. 设a ，b ，c ∈R ，下列命题正确的是 A.若|a|<|b|，则|a+c|<|b+c|

B. 若|a|<|b|，则|a －c|<|b －c|

C. 若|a|<|b －c|，则|a |<|b|－|c|

D. 若|a|<|b －c|，则|a|－|c|<|b|

17. 已知F1，F2分别是双曲线

2

2

22

1(,0)

y

x a b

a b

-=>的左、右焦点，l1，l2为双曲线的两条渐近线。设过点M(b，0)且平行于l1的直线交l2于点P。若PF1⊥PF2，则该双曲线的离心率为

A.3

B.5

C.

14241

2

-

D.

14241

2

+

（第17题图）

18. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，线段AD，BD的中点分别为E，F。现将△ABD沿对角线BD翻折，则异面直线BE与CF所成角的取值范围是

A.(,)

63

ππ

B. (,]

62

ππ

C. (,]

32

ππ

D.

2

(,)

33

ππ

（第18题图）

二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）

19. 设a，b为平面向量。若a=(1，0)，b=(3，4)，则|a|= ，a·b=

20. 设全集U={2，3，4}，集合A={2，3}，则A的补集 U A=

21. 在数列{a n}(n∈N*)中，设a1=a2=1，a3=2。若数列1

{}

n

n

a

a

+是等差数列，则a

6

=

22. 已知函数f(x)=

||

2

x a x a

++-

，g(x)=ax+1，其中a>0。若f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点，则a的取值范围是

三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23.（本题10分）已知函数f(x)=2sinxcosx ，x ∈R . （Ⅰ）求f(

4

π)的值； （Ⅱ）求函数f(x)的最小正周期；

（Ⅲ）求函数g(x)=f(x)+f(x+

4

π)的最大值。 24. （本题10分）设F 1，F 2分别是椭圆C ：2212

x y +=的左、右焦点，过F 1且斜率不为零的动直 线l 与椭圆C 交于A ，B 两点。 （Ⅰ）求△AF 1F 2的周长；

（Ⅱ）若存在直线l ，使得直线F 2A ，AB ，F 2B 与直线x=－

12

分别交于P ，Q ，R 三个不同的点，且满足P ，Q ，R 到x 轴的距离依次成等比数列，求该直线l 的方程。

25. （本题11分）已知函数f(x)=ax 1111

x x +++-，a ∈R . （Ⅰ）判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；

（Ⅱ）当a<2时，证明：函数f(x)在(0，1)上单调递减；

（Ⅲ）若对任意的x ∈(0，1)∪(1，+∞)，不等式(x －1)[f(x)－

2x

]≥0恒成立，求a 的取值范围。

数学试题参考答案

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案 C D B D A D A C B B

题号11 12 13 14 15 16 17 18

答案 B A A D C D B C

二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）

19.1，3 20.{4} 21.120 22.0

三、解答题（本大题共3小题，共31分）

23.解：（Ⅰ）由题意得f(

4

π

)=2 sin

4

π

cos

4

π

=1

（Ⅱ）∵f(x)= sin2x∴函数f(x)的最小正周期为T=π

（Ⅲ）∵g(x)= sin2x+ sin(2x+

2

π

)= sin2x+cos2x=2sin(2)4

xπ

+

∴当,8

x kπ

π

=+k∈Z时，函数g(x)的最大值为2

24.解：（Ⅰ）因为椭圆的长轴长2a=22，焦距2c=2.

又由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=2a

所以△AF1F2的周长为|AF1|+|AF2|+|F1F2|=22+2

（Ⅱ）由题意得l不垂直两坐标轴，故设l的方程为y=k(x+1)(k≠0)

于是直线l与直线x=－

1

2交点Q的纵坐标为2

Q

k

y=

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，显然x1，x2≠1，

所以直线F2A的方程为1

1

(1)

1

y

y x

x

=-

-

故直线F2A与直线x=－

1

2交点P的纵坐标为

1

1

3

2(1)

P

y

y

x

-

=

-

同理，点R的纵坐标为2

2

3

2(1)

R

y

y

x

-

=

-

因为P，Q，R到x轴的距离依次成等比数列，所以|y P|·|y R|=|y Q|2

即2

121233|

|2(1)2(1)4

y y k x x --?=-- 即2212129(1)(1)||(1)(1)

k x x k x x ++=--

整理得121212129|()1||()1|x x x x x x x x +++=-++。（*）

联立22

(1),1,2

y k x x y =+???+=?? 消去y 得(1+2k 2)x 2+4k 2x+2k 2－2=0 所以x 1+x 2=22

412k k -+ ，x 1x 2=2

2

2212k k -+

代入（*）得22222222

2242249|1||1|12121212k k k k k k k k ----++=-+++++ 化简得|8k 2－1|=9 解得

k= 经检验，直线l 的方程为

25. （Ⅰ）解：因为f(－x)=－ax

11

x +-)=－f(x)

又因为f(x)的定义域为{x ∈R |x≠－1且x≠1} 所以函数f(x)为奇函数。

（Ⅱ）证明：任取x 1，x 2∈(0，1)，设x 1

f(x 1)－f(x 2)=a(x 1－x 2)+ 2121

1212(1)(1)(1)(1)

x x x x x x x x --+--++

=12121211()[](1)(1)(1)(1)

x x a x x x x -----++ =121222

122(1)

()[](1)(1)

x x x x a x x +--

-- 因为02，0<(x 12－1)(x 22－1)<1 所以

1222

122(1)

2(1)(1)x x a x x +>>-- 所以

1222

122(1)

0(1)(1)x x a x x +-

<--

又因为x 1－x 2<0，所以f(x 1)>f(x 2) 所以函数f(x)在(0，1)上单调递减 （Ⅲ）解：因为(x －1)[f(x)－

2x ]=(x －1)[ ax 221x x +-－2x

] =2222(1)22(1)(1)ax x x x x x -+--+=22(1)2

(1)

ax x x x -++

所以不等式ax 2(x 2－1)+2≥0对任意的x ∈(0，1)∪(1，+∞)恒成立。 令函数g(t)=at 2－at+2，其中t=x 2，t>0且t≠1. ①当a<0时，抛物线y=g(t)开口向下，不合题意； ②当a=0时，g(t)=2>0恒成立，所以a=0符合题意； ③当a>0时，因为g(t)=a(t －12)2－4

a +2

所以只需－4

a +2≥0

即0

综上，a 的取值范围是0≤a≤8