最新高考-高考数学代数证明 精品
专题七 代数证明
一、考纲要求：
知识要求：函数、方程、数列、不等式等与代数证明有关的多个知识点。
能力要求：会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；会用类比、归纳和演绎进行推理；能合乎逻辑地、准确地进行表述。
二、考点解读：
代数推理问题综合了函数、方程、数列、不等式等多个知识点，需要采用多种数学思想方法才能解决问题，如函数方程思想、化归思想、分类讨论思想、逻辑推理思想等，是对思维品质及论述水平的全面性考查；能弥补选择题、填空题、简答题的不足，是提高区分度，增加选拔功能的重要题型。在适当降低了对立体几何逻辑推理能力考查的力度后，代数推理问题自然而然地承担了考查考生逻辑推理能力的重任，并且作为压轴题出现在高考试卷中，因而代数推理问题也就成为现在的高考热点问题。
解答代数推理问题有一定的规律可循，其一般思维过程分为三步：
首先要领会题意——弄清题目的条件是什么？结论是什么？如果条件和结论是用文字表达的，把它翻译成数学语言；
其次要明确方向——在审题的基础上，运用数学思想方法，目的明确地对外来的和内在的信息进行提取、转化、加工和传输，从而明确解题的目标和方向；
最后要规范表达——采用适当的步骤，合乎逻辑地进行推理和运算，并正确的表述。除此之外，还要注重心理训练，尤其在解题的目标与条件之间跨度较大、较隐蔽时，必须多次尝试、探索，才能找到并实现解题目标。
三、考题预测：
预测题1定义在R 上的函数)(x f 满足)4()(+-=-x f x f ，且)(x f 在()+∞,2上为增函数。已知421<+x x 且0)2)(2(21<--x x ，则)()(21x f x f +的值 （ ） A.恒小于0 B. 恒大于0 C. 可能等于0 D. 可正也可负
参考答案：不妨设02,0221>-<-x x 则122142,2,2x x x x -<<∴><，
)4()(12x f x f -<∴，即)4()(12x f x f -->-从而)()4()(112x f x f x f =-->- 0)()(21<+x f x f
命题意图与思路点拨：本题考查函数的单调性和对称性等有关知识，考查了等价转化思想和推理论证能力。本题的关键是将和式的符号判断转化为大小比较，再利用单调性达到目
的。
预测题2定义在R 上的函数)(x f ，对任意实数x ，都有3)()3(+≤+x f x f 和
2)()2(+≥+x f x f ，且1)1(=f ，则)2011(f = 。
参考答案：由3)()3(+≤+x f x f 得
3)2008()2011(+≤f f ，3)2005()2008(+≤f f ， ,3)2002()2005(+≤f f 3)4()7(+≤f f ，
3)1()4(+≤f f ，共进行670次，将上述同向不等式相加可得6703)1()2011(?+≤f f 即 2011
)2011(≤f 由
2)()2(+≥+x f x f 得2)2009()2011(+≥f f ，2)2007()2009(+≥f f ，
,2)2005()2007(+≥f f ，2)3()5(+≥f f ，2)1()3(+≥f f ，共进行
1005次，将上
述同向不等式相加可得10052)1()2011(?+≥f f ，即2011)2011(≥f ，
从而
2011)2011(=f
命题意图与思路点拨：本题主要从不等式两边同时出发求解，在解题过程中如果不熟悉函数的性质就无法求出结果。一般来说，如果函数不易具体化或简约化，但可以根据题设中的“桥梁”，使自变量取一些特殊值，使数值特殊化，反复进行，从而达到目标。到底取何特殊值，要经过多种尝试、探索，充分发挥直觉、探索、逆向思维，有利于培养从一般到特殊解决问题的能力。
预测题3．过函数),0(2a x a a x y >>-=的图象上任意一点),(11y x P 的切线与x 轴
交于点()0,2x A ,求证:12x x a <<.
参考答案：由x y 2/
=得过点),(11y x P 的切线的斜率为12x ，故切线方程为
)(2111x x x y y -=-
令0=y 得切线与x 轴的交点坐标为11122x x y x +-=，即11
2122x x a x x +--=，
由)()(212111121a x a x a x x x a x >>+=+-- 。所以a x >2
又1
21122x a x x x --=-，由,,2
11a x a x >∴>012<-x x ，即12x x <
综上：12x x a <<
命题意图与思路点拨：本题主要考查二次函数的导数、基本不等式和有关证明不等式的基本方法。
预测题4．（06天津文）已知数列{}n a 满足121==x x ，并且1
1-+=n n n n x x
x x λ（λ为非零参数， ,4,3,2=n ）
（1）若531,,x x x 成等比数列，求参数λ的值； （2）设10<<λ，常数+∈N k 且3≥k ，
证明：)(12211++++∈-<+++N n x x x x x x k
k
n k n k k λ
λ
参考答案：（1）由已知121==x x 且
1223x x x x λ=得λ=3x ，由2
334x x x x
λ=得34λ=x 由
3
445x x x x λ=得65λ=x 。若531,,x x x 成等比数列则512
3x x x =即62λλ= 而0≠λ，解得1±=λ。 （2）设n n n x x a 1+=
，由已知，数列{}n a 是以11
2=x x
为首项，λ为公比的等比数列， 故11-+=n n n x x λ，则.2
)
3(1321211-+--+-++-+-+-+++=???=?=k k kn n k n k n n n k n k n k n k n n k n x x x x x x x x λλλλ
因此，对任意+∈N n ，=++++++n
k
n k k x x x x x x 22112)3(-+k k k λ+2)3(2-+k k k λ
+…+2
)
3(-+k k nk λ =()=+++-nk
k k
k k λ
λλ
λ
22
)
3(k
nk k k k λ
λλλ
--?-1)1(2
)3(。
当3≥k 且10<<λ时，110,102
)3(<-<≤<-nk k k λλ
，
所以)(12211++++∈-<+++N n x x x x x x k
k
n k n k k λ
λ 命题意图与思路点拨：本题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的等比中项及前n 项和公式、等差数列前n 项和公式、不等式的性质及证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力。
预测题5．（06辽宁理）已知)
()()(,)(1'10x f x f x f x x f k k k n
--==，其中),(+∈≤N k n n k ，
设[]1,1),()()()(2211200-∈+++=x x f C x f C x f C x F n n
n n n
（Ⅰ）写出)1(k f ；
（Ⅱ）证明：对任意的[]1,1,21-∈x x ，恒有1)2(2)()(121--+≤--n n x F x F n
参考答案：（Ⅰ）由已知推得k n k x k n x f -+-=)1()(，从而有1)1(+-=k n f k （Ⅱ）当11≤≤-x 时，
1
2)1()1()(21)(2)2(22)1(2120++++-+-++=----x C x C k n x C n x nC x C x F n n k n k n n n n n n n 当0>x 时，0)('>x F 所以)(x F 在[]1,0上为增函数。 又函数)(x F 为偶函数，所以)(x F 在[]0,1-上为减函数。 所以对任意的[]1,1,21-∈x x 恒有)0()1()()(21F F x F x F -≤-
=-)0()1(F F 12102)1()1(-+++-+-++n n k n n n n C C k n C n nC C =01212)1()1(n
n k n n n n n n C C C k n C n nC ++++-+-+--- 。 k
n
k n k n n k n n k n n C k k n n n C k k n n k n C C k n C k n +---=+--=+-=+----!
)!1()!1(!)!(!)
()()1(
=)1,,3,2,1
(1-=+-n k C nC k
n k n ， ()(
)01
21112111)0()1(n n n n n n n n n C C C C C C C n F F +++++++=-∴-----
=
()
12121-+--n n n =1)2(21--+-n n n 。因此结论成立。
命题意图与思路点拨：本题考查导数的基本运算，函数的性质，绝对值不等式及组合数
性质等基础知识，考查归纳推理能力以及综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力。这类问题以函数为主线，联系其它知识进行推理。利用导数切单调性及用最值放大
)0()1(F F -是关键。
命题预测：综上所述，以考查学生的逻辑推理能力和综合运用知识分析问题、解决问
题的能力为重点的代数推理题，备受高考命题者的青睐，成为近年高考数学解答题命题的主要题材，常常作为高考数学的把关题或压轴题。鉴于此类问题的解题目标与已知条件之间的跨度大，题型新颖、内容综合、解法灵活、思维抽象，具有较好的考查效果，因此可以推测代数推理题仍将作为高考考查的重要题型出现，并且会有将新增内容与传统内容有机结合在一起进行设问、置疑的趋势。
高三模拟考试数学试卷(文科)精选
高三模拟考试数学试卷(文科) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数f（x）=的定义域为( ) A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，0）C．（0，）D．（﹣∞，） 2．复数的共轭复数是( ) A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 3．已知向量=（λ， 1），=（λ+2，1），若|+|=|﹣|，则实数λ的值为( ) A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=9，a6=11，则S9等于( ) A．180 B．90 C．72 D．10 5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为( ) A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x 6．下列命题正确的个数是( ) A．“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是真命题； B．命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5则p是q的必要不充分条件； C．“?x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“?x∈R，x3﹣x2+1＞0”； D．“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”． A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于( ) A．B．16πC．8πD． 8．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是( )
A．5 B．6 C．7 D．8 9．已知函数f（x）=+2x，若存在满足0≤x0≤3的实数x0，使得曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线与直线x+my﹣10=0垂直，则实数m的取值范围是（三分之一前有一个负号）( ) A．C．D． 10．若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）恰好平分圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的面积，则的最小值( ) A．B．C．2 D．4 11．设不等式组表示的区域为Ω1，不等式x2+y2≤1表示的平面区域为Ω2．若Ω1与Ω2有且只有一个公共点，则m等于( ) A．﹣B．C．±D． 12．已知函数f（x）=sin（x+）﹣在上有两个零点，则实数m的取值范围为( ) A．B．D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．设函数f（x）=，则方程f（x）=的解集为__________． 14．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是__________． 15．若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则的值等于__________． 16．16、如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是棱C1D1、C1C的中点．以下四个结论： ①直线AM与直线CC1相交； ②直线AM与直线BN平行； ③直线AM与直线DD1异面； ④直线BN与直线MB1异面． 其中正确结论的序号为__________．
代数证明与恒等变形
代数证明与恒等变形 代数证明主要是指证明代数中的一些相等关系或不等关系、 在初中阶段，要证的等式一般可分为恒等式的证明和条件等式的证明、 恒等式的证明常用的方法有： （1）由繁到简，从一边推向另一边； （2）从左右两边人手，相向推进； （3）作差或作商证明，即证明：左边一右边＝0，)0(1≠=右边右边左边、 条件等式的证明实质是有根据、有目的的代数式恒等变换，证明的关键是寻找条件与结论的联系，既要注意条件的变换，使之有利于应用；又要考虑求证的需求情况，使之有利于与条件的沟通、 代数证明不同于几何证明，几何证明有直观的图形为依托，而代数证明却取决于代数式化简求值变形技巧、方法和思想的熟练运用、 例1：设A 、B 、C 、D 都是整数，且M ＝A2＋B2，N ＝C2＋D2，MN 也可以表示成两个整数的平方和，其形式是＿＿＿＿＿＿. 解MN ＝（A2＋B2）（C2＋D2） ＝A2C2＋2ABCD ＋B2D2＋A2D2＋B2C2－2ABCD ＝（AC ＋BD ）2＋（AD －BC ）2 ＝（AC －BD ）2＋（AD ＋BC ）2， 所以，MN 的形式为（AC ＋BD ）2＋（AD －BC ）2或〔AC －BD 〕2＋（AD ＋BC ）2. 例2：设X 、Y 、Z 为实数，且 （Y －Z ）2＋（X －Y ）2＋（Z －X ）2＝（Y ＋Z －2X ）2＋（Z ＋X －2Y ）2＋（X ＋Y － 2Z ）2.求 )1)(1)(1() 1)(1)(1(222++++++z y x xy zx yz 的值. 解将条件化简成 2X2＋2Y2＋2Z2－2XY －2XZ －2YZ ＝0 ∴（X －Y ）2＋（X －Z ）2＋（Y －Z ）2＝0 ∴X ＝Y ＝Z ，∴原式＝1. 例3：设A ＋B ＋C ＝3M ，求证：（M －A ）3＋（M －B ）3＋（M －C ）3－3（M －A ）（M － B ）（M － C ）＝0. 证明令P ＝M －A ，Q ＝M －B ，R ＝M －C ，那么 P ＋Q ＋R ＝0. P3＋Q3＋R3－3PQR ＝（P ＋Q ＋R ）（P2＋Q2＋R2－PQ －QR －RP ）＝0 ∴P3＋Q3＋R3－3PQR ＝0 即（M －A ）3＋（M －B ）3＋（M －C ）3－3（M －A ）（M －B ）（M －C ）＝0 例4：假设67890123475678901235,67890123455678901234==B A ，试比较A 、B 的大小. 解设,y x A =那么 ,21++=y x B
高考推理与证明真题汇编理科数学(解析版)
2012高考真题分类汇编：推理与证明 1. 【 2012 高 考 真 题 江 西 理 6 】 观 察 下 列 各 式 ： 221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=L 则1010a b += A ．28 B ．76 C ．123 D ．199 【答案】C 【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。 【解析】等式右面的数构成一个数列1,3,4,7,11，数列的前两项相加后面的项，即 21++=+n n n a a a ，所以可推出12310=a ，选C. 2.【2012高考真题全国卷理12】正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝ 7 3 .动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16（B ）14（C ）12(D)10 【答案】B 【解析】结合已知中的点E,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞14次即可. 3.【2012高考真题湖北理10】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数， 以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈ . 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159L 判断，下列近似公式中最精确的一个是 11.d ≈ B ．d C ．d D ．d ≈ 【答案】D 【解析】 346b 69()d ,===3.37532b 16 616157611 ==3==3.14,==3.142857230021 d a V A a B D πππππππ?==???由，得设选项中常数为则；中代入得， 中代入得，C 中代入得中代入得，由于D 中值最接近的真实值，故选择D 。 4.【2012高考真题陕西理11】 观察下列不等式 213122+ < 231151233++<，
高中数学专题讲义-直接证明与间接证明
题型一：综合法 【例1】若 11 0a b <<,则下列结论不正确的是 ( ) Ａ．22a b < Ｂ．2ab b < Ｃ．2b a a b +> Ｄ．a b a b -=- 【例2】如果数列{}n a 是等差数列，则（ ）。 （A ）1845a a a a +<+ （B ） 1845a a a a +=+ （C ）1845a a a a +>+ （D ）1845a a a a = 【例3】在△ABC 中若2sin b a B =,则A 等于( ) (A)003060或 (B)004560或 (C)0060120或 (D)0030150或 【例4】下列四个命题：①若1 02 a << ,则()()cos 1cos 1a a +<-;②若01a <<,则11a -1a >+>2a ;③若x 、y ∈R ，满足2y x =,则()2log 22x y +的最小值是7 8；④ 若a 、b ∈R ，则221a b ab a b +++>+。其中正确的是（ ）。 (A) ①②③ (B) ①②④ (C) ②③④ (D) ①②③④ 【例5】下面的四个不等式：①ca bc ab c b a ++≥++222；②()4 1 1≤ -a a ；③2≥+a b b a ；④()()()2 2222bd ac d c b a +≥+?+.其中不成立的有 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 【例6】已知,a b R ∈且,0a b ≠，则在① ab b a ≥+222；②2≥+b a a b ； 典例分析 板块二.直接证明与 间接证明
③2 )2 (b a ab +≤；④2)2(222b a b a +≤+这四个式子中，恒成立的个数是 （ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 【例7】已知c b a ,,均大于1，且4log log =?c b c a ，则下列各式中，一定正确的是 （ ） A b ac ≥ B c ab ≥ C a bc ≥ D c ab ≤ 【例8】已知不等式1()()9,a x y x y ++≥对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值是 （ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【例9】α、β为锐角()sin a αβ=+，sin sin b αβ=+，则a 、b 之间关系为 （ ） A ．a b > B ．b a > C ．a b = D ．不确定 【例10】设M 是ABC ?内一点，且AB AC ?=u u u r u u u r 30BAC ∠=?，定义()(,,)f M m n p =， 其中m 、n 、p 分别是MBC ?，MCA ?，MAB ?的面积，若1 ()(,,)2 f P x y =，则14x y + 的最小值是 （ ） A ．8 B ．9 C ．16 D ．18 【例11】若函数32)1(2++-=mx x m y 是偶函数，则)4 3(-f ，)1(2+-a a f （a ∈R ） 的大小关系是)4 3(-f )1(2+-a a f . 【例12】设≥++=++>>>c b a c b a c b a 111 ,1,0,0,0则若 【例13】函数()y f x =在（0，2）上是增函数，函数()2y f x =+是偶函数，则 ()1f ,()2.5f ,()3.5f 的大小关系是 . 【例14】已知 5,2==b a ρρ，向量b a ρρ与的 夹角为0 120，则a b a ρρρ．)2(-=
2010-2019年高考数学真题专项分类练习-集合
集合 1.(2019?全国1?理T1)已知集合M={x|-4
2020最新高考数学模拟测试卷含答案
第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）化简? --???-160cos 120cos 20cos 20sin 212 得 （ ） （A ） ?-40sin 1 （B ） ? -?20sin 20cos 1（C ）1 （D ）－1 （2）双曲线8822=-ky kx 的一个焦点是（0，－3），则k 的值是 （ ） （A ）1 （B ）－1 （C ）3 15 （D ）－3 15 （3）已知)(1 x f y -= 过点（3，5），g （x ）与f （x ）关于直线x =2对称， 则y =g （x ）必过 点 （ ） （A ）（－1，3） （B ）（5，3） （C ）（－1，1） （D ）（1，5） （4）已知复数3)1(i i z -?=，则=z arg （ ） （A ）4 π （B ）－4 π （C ）4 7π （D ）4 5π （5）（理）曲线r =ρ上有且仅有三点到直线8)4 cos(=+πθρ的距离为1，则r 属于集合 （ ） （A ）}97|{< 线的夹角 在)12 ,0(π内变动时，a 的取值范围是 （ ） （A ）（0，1） （B ）)3,3 3 ( （C ）)3,1( （D ） )3,1()1,3 3 ( Y 6．半径为2cm 的半圆纸片卷成圆锥放在桌面上，一阵风吹倒它，它的最高处距桌面（ ） （A ）4cm （B ）2cm （C ）cm 32 （D ）cm 3 7．（理）)4sin arccos(-的值等于 （ ） （A ）42-π （B ）2 34π- （C ）423-π （D ）4+π （文）函数2 3cos 3cos sin 2- + =x x x y 的最小正周期为 （ ） （A ）4 π （B ）2 π （C ）π （D ）2π 8．某校有6间电脑室，每晚至少开放2间，则不同安排方案的种数为 （ ） ①26C ②66 56 46 36 2C C C C +++③726- ④26P 其中正确的结论为 （ ） （A ）仅有① （B ）有②和③ （C ）仅有② （D ）仅有③ 9．正四棱锥P —ABCD 的底面积为3，体积为,2 2E 为侧棱PC 的中点， 则PA 与BE 所成 的角为 （ ） （A ）6 π （B ）4 π （C ）3 π （D ）2 π 第二十三讲 代数证明 代数证明主要是指证明代数中的一些相等关系或不等关系． 在初中阶段，要证的等式一般可分为恒等式的证明和条件等式的证明． 恒等式的证明常用的方法有： (1)由繁到简，从一边推向另一边； (2)从左右两边人手，相向推进； (3)作差或作商证明，即证明：左边一右边=0，)0(1≠=右边右边 左边． 条件等式的证明实质是有根据、有目的的代数式恒等变换，证明的关键是寻找条件与结论的联系，既要注意已知条件的变换，使之有利于应用；又要考虑求证的需求情况，使之有利于与已知条件的沟通． 代数证明不同于几何证明，几何证明有直观的图形为依托，而代数证明却取决于代数式化简求值变形技巧、方法和思想的熟练运用． 例题求解 【例1】(1)求证：a a z a y a x a az z a ay y a ax x 3111222+-+-+-=-+-+- （2）求证：)1)(1)(1(4)1()1()1(222ab ab b b a a ab ab b b a a ++++=+++++． 思路点拨 (1)从较复杂的等式左边推向等式右边，注意左边每个分式分子与分母的联系；(2)等式两边都较复杂，对左、右两边都作变形或作差比较． 注 如果一个等式的字母在条件允许范围内的任意一个值，使得等式总能成立，那么这个等式叫做恒等式．把一个式子变形为与原式恒等的另一种不同形式的式子，这种变形叫做恒等变形，形变值不变是恒等变形的特点． 代数式的化简求值、代数证明其实质都是作恒等变形，分解、换元、引参、配方、分组、拆分，取倒数等是恒等变形常用的技巧与方法． 【例2】 已知b a y x +=+，且2222b a y x +=+． 求证：2001200120012001b a y x +=+． (黄冈市竞赛题) 思路点拨 从完全平方公式入手，推出 x 、y 与a 、b 间关系，寻找证题的突破口． 【例3】 有18支足球队进行单循环赛，每个参赛队同其他各队进行一场比赛，假设比赛的结果没有平局，如果用i a 和i b ，分别表示第i(I=1，2，3…18)支球队在整个赛程中胜与负的局数． 求证：21822212182221b b b a a a +++=+++ ． 历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题46 推理与证明（学生版） 一．选择题（共9小题） 1．（2019?新课标Ⅱ）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为() A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙2．（2019?新课标Ⅰ）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的 长度之比是5151 (0.618 -- ≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此 外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51 - ．若某人满足上述两 个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是( ) A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm 3．（2017?新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则() A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩4．（2016?新课标Ⅲ）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15C ?，B点表示 四月的平均最低气温约为5C ?，下面叙述不正确的是( ) A ．各月的平均最低气温都在0C ?以上 B ．七月的平均温差比一月的平均温差大 C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D ．平均最高气温高于20C ?的月份有5个 5．（2016?北京）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每 次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( ) A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 6．（2014?北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不 合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有( ) A ．2人 B ．3人 C ．4人 D ．5人 7．（2013?广东）设整数4n ，集合{1X =，2，3，?，}n ．令集合{(S x =，y ，)|z x ，y ， z X ∈，且三条件x y z <<，y z x <<，z x y <<恰有一个成立}．若(x ，y ，)z 和(z ，w ，)x 都在S 中，则下列选项正确的是( ) 教学资料范本 【2020最新】人教版最新高考数学总复习(各种专题训练)W ord版 编辑：__________________ 时间：__________________ 一．课标要求： 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 二．命题走向 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn 图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。 预测20xx 年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为： （1）题型是1个选择题或1个填空题； （2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 三．要点精讲 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。 （1）集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作；若b 不是集合A 的元素，记作；A a ∈A b ? （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 证明题 1、设G 是群，a ∈G ，令C G （a ）= {x |x ∈G ，xa = ax }，证明：C G （a ）≤G 2、设G ~ G ，H ≤G ，H = {x | x ∈G ，f （x ）∈ H }。证明：H /Kerf ≌H . 3、证明：模m 的剩余类环Zm 的每一个理想都是主理想。 4、设R = ???? ??c o b a ，a ，b ，c ∈Z ，I = ???? ??o o x o x ∈Z 。 （1）验证R 是矩阵环Z 2×2的一个子环。 （2）证明I 是R 的一个理想。 5、设G 是群，u 是G 的一个固定元，定义“o ”：aob = a u 2 b （a ，b ∈G ），证明 （G ， o ）构成一个群. 6、设R 为主理想整环，I 是R 的一个理想，证明R /I 是域?I 是由R 的一个素元生成 的主理想. 7、证明：模m 的剩余类环Zm 的每个子环都是理想. 8、设G 是群，H ≤G 。令N G （H ） = {x | x ∈G ，xH = Hx }.C G （H ）= { x | x ∈G ，?h ∈ H ，hx = xh }.证明： （1）N G （H ）≤G （2）C G （H ）△N G （H ） 9、证明数域F = {a ＋b 7|a ，b ∈Q}的自同构群是一个2阶循环群. 10、设R 是主理想环，I = （a ）是R 的极大理想，ε是R 的单位，证明：εa 是R 的 一个素元. 11、设G 与G 是两个群，G ~ G ，K = Kerf ，H ≤G ，令H = {x |x ∈G ，f (x ) ∈ H }，证明：H ≤G 且H /K ≌H . 12、在多项式环Z [x ]中，证明： （1）（3，x ）= {3a 0＋a 1x ＋…＋a n x n |a i ∈Z }. （2）Z [x ]/(3，x )含3个元素. 13、设H 是群G 的子群,令N G (H )={x |x G , xH =Hx },证明N G (H)是G 的子群． 14、在整数环Z 中, a, b Z,证明(a, b )是Z 的极大理想的充要条件是a , b 的最大公 因数是一个素数。 f f 1 2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练 合情推理与演绎推理 题型一 归纳推理 1 与数字有关的等式的推理 【易错点】 例1观察下列等式： ????sin π3－2＋????sin 2π3－2＝43 ×1×2； ????sin π5－2＋????sin 2π5－2＋????sin 3π5－2＋????sin 4π5－2＝43×2×3； ????sin π7－2＋????sin 2π7－2＋????sin 3π7－2＋…＋????sin 6π7－2＝43×3×4； ????sin π9－2＋????sin 2π9－2＋????sin 3π9－2＋…＋????sin 8π9－2＝43 ×4×5； … 照此规律，????sin π2n ＋1－2＋????sin 2π2n ＋1－2＋????sin 3π2n ＋1－2＋…＋??? ?sin 2n π2n ＋1－ 2＝__________. 【答案】 4 3 ×n ×(n ＋1) 【解析】观察等式右边的规律：第1个数都是4 3，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1. 2 与不等式有关的推理 例2已知a i >0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式： a 1＋a 2 2≥a 1a 2； a 1＋a 2＋a 33≥3 a 1a 2a 3； a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4 a 1a 2a 3a 4； … 照此规律，当n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n n ≥______. 【答案】 n a 1a 2…a n 【解析】 根据题意得a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n (n ∈N *，n ≥2)． 3 与数列有关的推理 例3观察下列等式： 高考数学集合专项知识点总结为了帮助大家能够对自己多学的知识点有所巩固，下文整理了这篇数学集合专项知识点，希望可以帮助到大家! 一．知识归纳： 1.集合的有关概念。 1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素 注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。 ②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。 ③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件 2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法 3)集合的分类：有限集，无限集，空集。 4)常用数集：N，Z，Q，R，N* 2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。 1)子集：若对x∈A都有x∈B，则A B(或A B); 2)真子集：A B且存在x0∈B但x0 A;记为A B(或，且) 3)交集：A∩B={x| x∈A且x∈B} 4)并集：A∪B={x| x∈A或x∈B} 5)补集：CUA={x| x A但x∈U} 注意：①? A，若A≠?，则? A ; ②若，，则; ③若且，则A=B(等集) 3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1) 与、?的区别;(2) 与的区别;(3) 与的区别。 4.有关子集的几个等价关系 ①A∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB; ④A∩CuB = 空集CuA B;⑤CuA∪B=I A B。 5.交、并集运算的性质 ①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A; ③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB; 6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n 个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。 二．例题讲解： 【例1】已知集合 M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z}，则M,N,P满足关系 A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M 分析一：从判断元素的共性与区别入手。 高考模拟复习试卷试题模拟卷 【高频考点解读】 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义． 2.理解全称量词与存在量词的意义． 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 【热点题型】 题型一含有逻辑联结词的命题的真假判断 例1、(1)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为() A．(p)∨(q)B．p∨(q) C．(p)∧(q) D．p∨q (2)如果命题“非p或非q”是假命题，给出下列四个结论： ①命题“p且q”是真命题； ②命题“p且q”是假命题； ③命题“p或q”是真命题； ④命题“p或q”是假命题． 其中正确的结论是() A．①③ B．②④C．②③ D．①④ 【提分秘籍】 (1)“p∨q”、“p∧q”、“p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：①明确其构成形式；②判断其中命题p、q的真假；③确定“p∨q”、“p∧q”、“p”形式命题的真假． (2)p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，非p则是“与p的真假相反”． 【举一反三】 已知命题p：?x0∈R，使sin x0＝ 5 2；命题q：?x∈R，都有x2＋x＋1>0.给出下列结论： ①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∨q”是真命题；③命题“p∨q”是假命题；④命题“p∧q”是假命题．其中正确的是() A．②③B．②④ C．③④ D．①②③ 题型二全称命题、特称命题的真假判断 例2 下列命题中，真命题是() A ．?m0∈R ，使函数f(x)＝x2＋m0x(x ∈R)是偶函数 B ．?m0∈R ，使函数f(x)＝x2＋m0x(x ∈R)是奇函数 C ．?m ∈R ，函数f(x)＝x2＋mx(x ∈R)都是偶函数 D ．?m ∈R ，函数f(x)＝x2＋mx(x ∈R)都是奇函数 【提分秘籍】 (1)①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，证明p(x)成立．②要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个特殊值x ＝x0，使p(x0)不成立即可． (2)要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个x ＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题． 【举一反三】 下列命题中是假命题的是( ) A ．?x ∈? ?? ?0，π2，x>sin x B ．?x0∈R ，sin x0＋cos x0＝2 C ．?x ∈R,3x>0 D ．?x0∈R ，lg x0＝0 题型三含有一个量词的命题否定 例3、命题“对任意x ∈R ，都有x2≥0”的否定为( ) A ．对任意x ∈R ，都有x2<0 B ．不存在x ∈R ，使得x2<0 C ．存在x0∈R ，使得x20≥0 D ．存在x0∈R ，使得x20<0 【提分秘籍】 全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可． 【举一反三】 设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集，若命题p ：?x ∈A,2x ∈B ，则() A ．p ：?x ∈A,2x ?B B ．p ：?x ?A,2x ?B 11.10 设G是群, 则G中阶大于2的元素有偶数个. 证: 11.10 设G是群, 则G中阶大于2的元素有偶数个. 证: 首先由定理11.4 , 对?a ∈G, 有 a &su; = e ? |a| = 1 或|a|=2 (1) 其次来证明a &su;= e ? a = (2) 事实上, 若a &su;= e. 则 反之, 若 a = , 则 a &su; = a a = a = e. 故(2)式得证。由(1)和(2)可知: a = ? |a| = 1 或|a|=2. 因此, G中阶大于2的任何元素a, 必有 a ≠. 又因|a|=||, 故G中阶大于2的元素必定成对出现, 从而G中阶大于2的元素必有偶数个(若G中无阶大于2的元素,则为0个, 也是偶数). 11.设G是非交换群，则G中存在非单位元a和b，a=!b且ab=ba’ 证明：设存在|b|=k k>1 b^k=a^-1 b^k a =(a^-1 b a)^k 当k>2时|b^-1|=|b|=k 且b^-1 =!b (否则b^2=b b^-1=e，k=2，矛盾)，所以b^-1 b =b b^-1=e 否则所有k<=2，由例题可指G是交换群,矛盾，所以G中存在非单位元a和b，a=!b且ab=ba 由定理11.4 , 对?a ∈G, 有 a &su; = e ? |a| = 1 或|a|=2 (1) 其次来证明a &su;= e ? a = (2) 事实上, 若a &su;= e. 则 反之, 若 a = , 则 a &su; = a a = a = e. 故(2)式得证。由(1)和(2)可知: a = ? |a| = 1 或|a|=2. 因此, G中阶大于2的任何元素a, 必有 a ≠. 又因|a|=||, 故G中阶大于2的元素必定成对出现, 从而G中阶大于2的元素必有偶数个(若G中无阶大于2的元素,则为0个, 也是偶数). 11.设G是非交换群，则G中存在非单位元a和b，a=!b且ab=ba’ 证明：设存在|b|=k k>1 b^k=a^-1 b^k a =(a^-1 b a)^k 当k>2时|b^-1|=|b|=k 且b^-1 =!b (否则b^2=b b^-1=e，k=2，矛盾)，所以b^-1 b =b b^-1=e 否则所有k<=2，由例题可指G是交换群,矛盾，所以G中存在非单位元a和b，a=!b且ab=ba 1、函数与导数（1） 2、三角函数与解三角形 3、函数与导数（2） 4、立体几何 5、数列（1） 6、应用题 7、解析几何 8、数列（2） 9、矩阵与变换 10、坐标系与参数方程 11、空间向量与立体几何 12、曲线与方程、抛物线 13、计数原理与二项式分布 14、随机变量及其概率分布 15、数学归纳法 高考压轴大题突破练 (一)函数与导数(1) 1．已知函数f (x )＝a e x x ＋x . (1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线经过点(0，－1)，求a 的值； (2)是否存在负整数a ，使函数f (x )的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2 x 2， ∴f ′(1)＝1，f (1)＝a e ＋1. ∴函数f (x )在(1，f (1))处的切线方程为 y －(a e ＋1)＝x －1， 又直线过点(0，－1)，∴－1－(a e ＋1)＝－1， 解得a ＝－1 e . (2)若a <0，f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2 x 2 ， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(－∞，0)上无极值；当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(0,1)上无极值． 方法一 当x ∈(1，＋∞)时，若f (x )在x 0处取得符合条件的极大值f (x 0)， 则???? ? x 0>1，f (x 0)>0，f ′(x 0)＝0， 则0 0000 2 00 201,e 0,e (1)0,x x x a x x a x x x ? > +> -+ = ? ①②③ 由③得0 e x a ＝－x 20 x 0－1，代入②得－x 0x 0－1＋x 0 >0， 结合①可解得x 0>2，再由f (x 0)＝0 e x a x ＋x 0>0，得a >－02 0e x x ， 设h (x )＝－x 2 e x ，则h ′(x )＝x (x －2)e x ， 当x >2时，h ′(x )>0，即h (x )是增函数， ∴a >h (x 0)>h (2)＝－4 e 2. -南昌市高三测试卷数学（五） 命题人：南昌三中 张金生 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合{}{} M x x y y N M ∈==-=,cos ,1,0,1，则N M 是 （ ） A ．{}1,0,1- B. { }1 C. {}1,0 D.{}0 2．（文）在数列{n a }中，若12a =-，且对任意的n N *∈有1221n n a a +-=，则数列{}n a 前15项的和为（ ） A ． 105 4 B ．30 C ．5 D ． 452 (理) 若复数i i a 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为 ( ) A. 13 B.13 C. 3 2 D. -6 3．若0< B ．||||b a > C ．a b a 1 1>- D ．22b a > 4.设,,a b c 分别ABC △是的三个内角,,A B C 所对的边，若1,3060A a b ==则是B =的 （ ） A.充分不必要条件； B.必要不充分条件； C.充要条件； D.既不充分也不必要条件； 5.设a ，b ，c 是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是( ) A 当c α⊥时，若c β⊥，则α∥β B 当α?b 时，若b β⊥，则βα⊥ C 当α?b ，且c 是a 在α内的射影时，若b c ⊥，则a b ⊥ D 当α?b ，且α?c 时，若//c α，则//b c 6．设n x x )5(3 12 1-的展开式的各项系数之和为M ，而二项式系数之和为N ，且M －N=992。则展开式中x 2项的系数为（ ） A ．150 B ．－150 C ．250 D ．－250 7．将A 、B 、C 、D 四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且A 、B 两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有（ ） A ．15 B ．18 C ．30 D ．36 8．（文）已知=（2cos α，2sin α）， =（3cos β，3sin β），与的夹角为60°，则直线 x cos α－ysin α+2 1 =0与圆(x －cos β)2+(y+sin β)2=1的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不能确定 (理)统计表明，某省某年的高考数学成绩2(75,30)N ξ，现随机抽查100名考生的数学试卷，则 成绩超过120分的人数的期望是（ ） （已知(1.17)0.8790,(1.5)0.9332,(1.83)0.9664φφφ===） A. 9或10人 B. 6或7人 C. 3或4人 D. 1或2人 9．设}10,,2,1{ =A ，若“方程02=--c bx x 满足A c b ∈,，且方程至少有一根A a ∈”，就称 该方程为“漂亮方程”。则“漂亮方程”的个数为（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 10.已知12 1(0,0)m n m n +=>>,则当m+n 取得最小值时，椭圆22221x y m n +=的离心率为（ ） A. 1 2 B. C. D. 11.关于函数()cos(2)cos(2)36 f x x x ππ =- ++有下列命题： ①()y f x = ；②()y f x =是以π为最小正周期的周期函数； ③()y f x =在区间13[,]2424 ππ 上是减函数； ④将函数2y x = 的图象向左平移 24 π 个单位后，与已知函数的图象重合． 其中正确命题的序号是（ ） A ．①②③ B ．①② C ．②③④ D ．①②③④ 12. 以正方体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机地取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为 （ ） A ．367385 B ． 376385 C ．192385 D ．18 385 问答题： 1：八年级数学竞赛讲座代数证明附答案
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