高考数学典型例题讲解 学生 6.26
高考数学典型例题讲解
题型一:三角函数的恒等变化 一、常用公式:
1.和差角公式
=+)sin(b a =-)sin(b a =+)cos(b a =-)cos(b a =+)tan(b a =+)tan(b a
2.二倍角公式:(含万能公式)
=a 2sin =a 2sin
=a 2cos =a 2cos
=a 2tan
3.半角公式:(符号的选择由
2
θ
所在的象限确定) =2sin 2
a
=2cos 2
a
=
+a cos 1
2.三角函数的图像
例1.已知函数()4sin cos 3f x x x π??
=+
+ ??
?
(1)求函数()f x 的最小正周期及单调增区间; (2)求函数()f x 在区间,46ππ??
-???
?上的值域和取得最大值时相应的x 的值.
例2.已知函数22()cos sin cos f x x x x x =+- (1)求()f x 的最小正周期;(2)求()f x 的单调递减区间.
题型二:解任意三角形 一、常用公式
1.正、余弦定理:在△ABC 中,若角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,R 为△ABC 外接圆半径,则
2.S △ABC =12ab sin C =12bc sin A =12ac sin B =abc 4R =1
2(a +b +c )·r (r 是三角形内切圆的半径),并可由此计算R ,r .
3.在△ABC 中,已知a ,b 和A 时,解的情况如下:
4.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A +B )=sin C ;(2)cos(A +B )=-cos C ;(3)sin A +B 2=cos C 2;(4)cos A +B 2=sin C
2. 5.三角形中的射影定理
在△ABC 中,a =b cos C +c cos B ;b =a cos C +c cos A ;c =b cos A +a cos B . 6.利用正、余弦定理解三角形时,要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.
例1.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c 且sin 2sin 0A A -=.
(1)求角A 的大小;
(2)若2b =,且sin 2sin B C =,求a .
例2.在△ABC 中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c ,已知cos2A ﹣3cos (B+C )=1. (1)求角A 的大小; (2)若△ABC 的面积S=5,b=5,求sinBsinC 的值.
变式练习1.已知ABC ?的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ,设向量(,)m a b =,(sin ,n B =
sin )A ,(2,2)p b a =--.
(1)若//m n ,求证:ABC ?为等腰三角形; (2)若m p ⊥,边长2c =,角π
3
C =,求ABC ?的面积.
题型三:平面向量
[明晰考情] 1.命题角度:向量常与三角函数、不等式、解析几何等知识交汇命题,综合考查向量的有关知
识,一般以选择、填空题的形式考查.2.题目难度:中低档难度. 考点一 平面向量的线性运算
要点重组 (1)平面向量的线性运算:加法、减法、数乘. 1.平面向量的数量积
(1)若a ,b 为非零向量,夹角为θ,则a·b =|a||b |cos θ. (2)设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a·b =x 1x 2+y 1y 2. 2.两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则
(1)a ∥b ?a =λb (b ≠0)?x 1y 2-x 2y 1=0. (2)a ⊥b ?a·b =0?x 1x 2+y 1y 2=0. 3.利用数量积求长度
(1)若a =(x ,y ),则|a |=a·a =x 2+y 2.
(2)若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB →
|=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2. 4.利用数量积求夹角
若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ为a 与b 的夹角, 则cos θ=a·b
|a||b |=x 1x 2+y 1y 2x 21+y 21 x 22+y 22 .
5.三角形“四心”向量形式的充要条件
设O 为△ABC 所在平面上一点,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,则 (1)O 为△ABC 的外心?|OA →|=|OB →|=|OC →
|=a
2sin A
. (2)O 为△ABC 的重心?OA →+OB →+OC →
=0. (3)O 为△ABC 的垂心?OA →·OB →=OB →·OC →=OC →·OA →
. (4)O 为△ABC 的内心?aOA →+bOB →+cOC →
=0. (2)共线向量定理. (3)平面向量基本定理.
方法技巧 (1)向量加法的平行四边形法则:共起点;三角形法则:首尾相连;向量减法的三角形法则:共起点连终点,指向被减.
(2)已知O 为平面上任意一点,则A ,B ,C 三点共线的充要条件是存在s ,t ,使得OC →=sOA →+tOB →
,且s +t =1,s ,t ∈R .
(3)证明三点共线问题,可转化为向量共线解决. 例题讲解
1.(2018·全国Ⅰ)在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB →
等于( )
A.34AB →-14AC →
B.14AB →-34AC →
C.34AB →+14AC →
D.14AB →+34
AC → 2.如图,在△ABC 中,N 是AC 边上一点,且AN →=12NC →,P 是BN 上的一点,若AP →=mAB →+29AC →
,则实数m
的值为( )
A.1
9 B.13 C .1 D .3
3.如图,在正方形ABCD 中,M ,N 分别是BC ,CD 的中点,若AC →=λAM →+μBN →
,则λ+μ等于( )
A .2 B.83 C.65 D.8
5
4.已知AB ,DC 为梯形ABCD 的两腰,若AD →=(-1,3),BC →
=(1-x ,2x ),则x =_____.
5.在△ABC 中,点M 是线段BC 延长线上一点,且满足BM =3CM ,若AM →=xAB →+yAC →
,则x -y =________.
考点二 平面向量的数量积 要点重组 (1)a ·b =|a ||b |cos θ. (2)|a |2=a ·a ;cos θ=
a ·b
|a ||b |
. 方法技巧 (1)向量数量积的求法:定义法,几何法(利用数量积的几何意义),坐标法. (2)向量运算的两种基本方法:基向量法,坐标法.
6.已知向量a =(1,2),b =(1,0),c =(3,4),若λ为实数,(b +λa )⊥c ,则λ的值为( ) A .-311 B .-113 C.12 D.35
7.已知△ABC 是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则P A →·(PB →+PC →
)的最小值是( ) A .-2
B .-32
C .-43
D .-1
8.已知向量BA →=????12,32,BC →
=????32,12,则∠ABC 等于( )
A .30°
B .45°
C .60°
D .120°
9.已知向量a ,b ,|a |=1,|b |=2.若对任意单位向量e ,均有|a ·e |+|b ·e |≤6,则a ·b 的最大值是________.
10.在平面内,AB →·AC →=BA →·BC →=CA →·CB →=6,动点P ,M 满足|AP →|=2,PM →=MC →,则|BM →
|2的最大值是________.
考点三 平面向量的综合应用
方法技巧 (1)以向量为载体的综合问题,要准确使用平面向量知识进行转化,最后归结为不含向量的问题. (2)平面向量常与三角函数、平面几何、解析几何等相结合,利用向量共线或数量积的知识解题. 11.(2018·温州模拟)如图已知△ABC 的边BC 的垂直平分线交BC 于Q ,交AC 于P ,若|AB →|=1,|AC →
|=2,则AP →·BC →
的值为( )
A .3 B.32 C. 3 D.3
2
12.如图,半径为1的扇形AOB 中,∠AOB =120°,P 是弧AB 上的一点,且满足OP ⊥OB, M ,N 分别是线段OA ,OB 上的动点,则PM →·PN →
的最大值为( )
A.22
B.32
C .1 D.2
13.如图,在△ABC 中,点D ,E 是线段BC 上两个动点,且AD →+AE → =xAB →+yAC →
,则1x +4y
的最小值为( )
A.32 B .2 C.52
D.92
14.设数列{x n }的各项都为正数且x 1=1.△ABC 内的点P n (n ∈N *)均满足△P n AB 与△P n AC 的面积比为2∶1,若P n A →+12x n +1·P n B →+(2x n +1)P n C →
=0,则x 4的值为( )
A .15
B .17
C .29
D .31
15.在△ABC 中,∠ACB 为钝角,AC =BC =1, CO →=xCA →+yCB →且x +y =1,函数f (m )=|CA →-mCB →
|的最小值为
32
,则|CO →
|的最小值为________.
题型四:数列 一、常用知识点
1.等差数列及其前n 项和
1. 等差数列的定义
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差是同一个常数,我们称这样的数列为等差数列,这个常数叫作等差数列的公差,通常用字母d 表示. 2. 等差数列的通项公式
如果等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,那么它的通项公式是a n = 3. 等差中项
如果A =a +b
2,那么A 叫作a 与b 的等差中项.
4. 等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d ,(n ,m ∈N +).
(2)若{a n }为等差数列,且k +l =m +n ,(k ,l ,m ,n ∈N +),则 (3)若{a n }是等差数列,公差为d ,则{a 2n }也是等差数列,公差为2d . (4)若{a n },{b n }是等差数列,则{pa n +qb n }也是等差数列.
(5)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N +)是公差为md 的等差数列. 5. 等差数列的前n 项和公式
设等差数列{a n }的公差为d ,其前n 项和S n = = 6. 等差数列的前n 项和公式与函数的关系
S n =d
2
n 2+????a 1-d 2n . 数列{a n }是等差数列?S n =An 2+Bn (A 、B 为常数). 7. 等差数列的前n 项和的最值
在等差数列{a n }中,a 1>0,d <0,则S n 存在最大值;若a 1<0,d >0,则S n 存在最值.
二、等比数列及其前n 项和
1.等比数列的定义
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零),那么这个数列叫作等
比数列,这个常数叫作等比数列的公比,通常用字母q 表示(q ≠0). 2.等比数列的通项公式
设等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,则它的通项a n = 3.等比中项
若G 2=a ·b (ab ≠0),那么G 为a 与b 的等比中项. 4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:a n =a m ·q n
-m
,(n ,m ∈N +).
(2)若{a n }为等比数列,且k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N +),则
(3)若{a n },{b n }(项数相同)是等比数列,则{λa n }(λ≠0),????
??1a n ,{a 2n },{a n ·b n
},????
??
a n b
n 仍是等比数列. 5.等比数列的前n 项和公式
等比数列{a n }的公比为q (q ≠0),其前n 项和为S n= ,
6.等比数列前n 项和的性质
公比不为-1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 仍成等比数列, 其公比为q n .
7.常见的裂项公式: ①1n (n +1)= ; ②1
n (n +k )= ;
③1(2n -1)(2n +1)=12(12n -1-12n +1); ④1n +n +k =1
k
(n +k -n ).
例1.已知等差数列{}n a 满足:37a =,5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S . (△)求n a 及n S ;
(△)令21
1
n n b a =-(n N +∈),求数列{}n b 的前n 项和n T .
例2.设等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的公比为q .已知11b a =,
22b =,q d =,10100S =.
(1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (2)当1>d 时,记n
n n
a c
b =,求数列{}n
c 的前n 项和n T .
例3.等差数列{}n a 中,24a =,4715a a +=. △1△求数列{}n a 的通项公式; △2△设2
2
n a n b n -=+,求12310b b b b +++???+的值.
题型五:立体几何
例1.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.
(△)证明: BC 1//平面A 1CD;
(△)设AA 1= AC=CB=2,,求三棱锥C 一A 1DE 的体积.
例2.如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,AB AD ⊥,点E 在线段AD 上,且CE AB ∥.
(Ⅰ)求证:CE ⊥平面PAD ;
(Ⅱ)若1==PA AB ,3AD =,CD =,45CDA ∠=?,求四棱锥P ABCD -的体积.
例3.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形,//AD BC ,090ADC ∠=,平面PAD ⊥底面ABCD ,
为AD 中点,M 是棱PC 上的点,
.
(1)求证:平面POB ⊥平面PAD ; (2)若点M 是棱的中点,求证://PA 平面
.
例4.如图,在四棱锥P ABCD -中,//AB CD ,AB AD ⊥,2CD AB =,平面PAD ⊥底面ABCD ,
PA AD
⊥,E和F分别是CD和PC的中点.
求证:(1)PA⊥底面ABCD;
BE平面PAD;
(2)//
(3)平面BEF⊥平面PCD.
题型六:统计案例分析
例1.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg△, 其频率分布直方图如下:
△1)记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”,估计A 的概率;
△2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:
△3)根据箱产量的频率分布直方图,对两种养殖方法的优劣进行较。 附:
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
变式1.某快餐连锁店招聘外卖骑手,该快餐连锁店提供了两种日工资方案:方案①:规定每日底薪50元,
快递业务每完成一单提成3元;方案②:规定每日底薪100元,快递业务的前44单没有提成,从第45单开始,每完成一单提成5元.该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量.现随机抽取100天的数据,将样本数据分为[)25,35,[)35,45,[)45,55,[)55,65,[)65,75,[)75,85,[]85,95七组,整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)随机选取一天,估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率;
(2)若骑手甲、乙选择了日工资方案①,丙、丁选择了日工资方案②.现从上述4名骑手中随机选取2人,求至少有1名骑手选择方案①的概率;
(3)若从人均日收入的角度考虑,请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择,并说明理由.(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替)
2.回归直线方程与散点图
1. 求样本数据的线性回归方程,可按下列步骤进行: 第一步,计算平均数
第二步,求和
第三步,计算
第四步,写出回归方程
例1 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)标准煤的几组对
照数据.
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程=x +; (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)
例2.某企业上半年产品产量与单位成本资料如下: ;,y x ;
,∑∑==n
i i n
i i i x y x 1
2
1
;)()
)((1
2
2
1
1
2
1
x b y a x
n x y
x n y
x x x y y x x
b n i i n
i i
i n
i i n
i i i
-=--=
---=
∑∑∑∑====,.a bx y +=∧
y
?b ?a ?
《二次根式》典型例题和练习题
《二次根式》分类练习题 二次根式的定义: 【例1】下列各式 其中是二次根式的是_________(填序号). 举一反三: 1、下列各式中,一定是二次根式的是( ) A B C D 2______个 【例2 有意义,则x 的取值范围是 .[来源:学*科*网Z*X*X*K ] 举一反三: 1、使代数式 4 3 --x x 有意义的x 的取值范围是( ) A 、x >3 ??B 、x≥3 C 、 x>4 ??D 、x ≥3且x ≠4 有意义的x的取值范围是 3、如果代数式mn m 1+ -有意义,那么,直角坐标系中点P(m,n )的位置在( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y =5-x +x -5+2009,则x+y = 举一反三: 2 ()x y =+,则x -y的值为( )
A .-1 B .1 C.2 D .3 2、若x 、y 都是实数,且y=4x 233x 2+-+-,求x y的值 3、当a 1取值最小,并求出这个最小值。 已知a 1 2 a b + +的值。 若3的整数部分是a,小数部分是b,则=-b a 3 。 若17的整数部分为x ,小数部分为y,求y x 1 2+ 的值. 知识点二:二次根式的性质 【例4】若()2 240a c --=,则= +-c b a . 举一反三: 1、若0)1(32 =++-n m ,则m n +的值为 。 2、已知y x ,为实数,且()02312 =-+-y x ,则y x -的值为( ) A .3 ? B .– 3? C.1? D.– 1 3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足|x2-4|+652+-y y =0,则第三边长为______. 4、若 1 a b -+互为相反数,则() 2005 _____________ a b -=。 (公式)0((2 ≥=a a a 的运用) 【例5】 化简: 21a -+的结果为( ) A 、4—2a B 、0 C、2a —4 D 、4
人教版八年级数学下册二次根式典型例题讲解+练习及答案(提高).doc
【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功,文档内容齐全完整,请放心下载。】 二次根式(提高) 责编:常春芳 【学习目标】 1、理解二次根式的概念,了解被开方数是非负数的理由. 2、理解并掌握下列结论:,,,并利用它们进 行计算和化简. 【要点梳理】 要点一、二次根式及代数式的概念 1.二次根式:一般地,我们把形如(a ≥0)?的式子叫做二次根式,“”称为二次根号. 要点诠释: 二次根式的两个要素:①根指数为2;②被开方数为非负数. 2.代数式:形如5,a ,a+b ,ab ,,x 3,这些式子,用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1、 ; 2.; 3. . 要点诠释: 1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式, 即2()(0a a a =≥). 2.2a 与2()a 要注意区别与联系:1)a 的取值范围不同,2()a 中a ≥0,2a 中a 为任意值. 2)a ≥0时,2()a =2a =a ;a <0时,2()a 无意义,2a =a -. 【典型例题】 类型一、二次根式的概念 1.当x 是__________时, +在实数范围内有意义? 【答案】 x ≥- 且x ≠-1 【解析】依题意,得23010≥①≠②x x +??+?
由①得:x ≥- 由②得:x ≠-1 当x ≥-且x ≠-1时,+在实数范围内有意义. 【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念. 举一反三: 【变式】(2015?随州)若代数式11x x +-有意义,则实数x 的取值范围是( ) A .x≠1 B. x ≥0 C. x≠0 D. x ≥0且x≠1 【答案】D 提示:∵代数式 +有意义, ∴, 解得x ≥0且x ≠1. 类型二、二次根式的性质 2.根据下列条件,求字母x 的取值范围: (1) ; (2). 【答案与解析】(1) (2) 【总结升华】二次根式性质的运用. 举一反三: 【:二次根式及其乘除法(上)例1(1)(2)】 【变式】x 取何值时,下列函数在实数范围内有意义? (1)y=x --1 1+x ,___________________;(2)y=222+-x x ,______________________; 【答案】(1)01001x x x x -+≠∴≠-Q ≥,≤且 (2)22 22(1)10,x x x x -+=-+>∴Q 为任意实数. 3. (2016?潍坊)实数a ,b 在数轴上对应点的位置如图所示,化简|a |+ 的结果是( ) A .﹣2a +b B .2a ﹣b C .﹣b D .b 【思路点拨】直接利用数轴上a ,b 的位置,进而得出a <0,a ﹣b <0,再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案.
高考数学大题经典习题
1. 对于函数()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-。 (1)若()f x 在13x x ==和处取得极值,且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 22sin cos t t t -+t 的取值范围; (2)若()f x 为实数集R 上的单调函数,设点P 的坐标为(),a b ,试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. (1)由()3 2 1 (2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-,则()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值,所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02 (2)323(2)0a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立, 而()()2 '21f x x =--+,其最大值为1. 故2 2sin cos 1t t t -≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? (2)当2a =-时,由()f x 在R 上单调,知0b = 当2a ≠-时,由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立,或者()'0f x ≤恒成立. ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-, 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得224a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3 )((0>a )的图象关于原点对称,))(,(ααf A 、)) (,(ββf B 分别为函数)(x f 的极大值点和极小值点,且|AB|=2,αββα-=-)()(f f .
初三数学二次根式经典习题
二次根式分类经典 一. 利用二次根式的双重非负性来解题(0≥a (a ≥0),即一个非负数的算术平方根是一个非负数。) 1.下列各式中一定是二次根式的是( )。 A 、3-; B 、x ; C 、12+x ; D 、1-x 2.x 取何值时,下列各式在实数范围内有意义。 (1);2-x (2)121+-x (3)x x -++21 (4)45++x x (5)1 213-+-x x (6)若1)1(-=-x x x x ,则x 的取值范围是 (7)若 1 313++=++x x x x ,则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义,则m 能取的最小整数值是 4.若20m 是一个正整数,则正整数m 的最小值是________. 5..当x 为何整数时,1110+-x 有最小整数值,这个最小整数值为 。 6. 若20042005a a a -+-=,则22004a -=_____________. 7.若433+-+-=x x y ,则=+y x 8. 设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ,则mn = 。 9. 若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-=-+?--,求m 的值. 10.若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0,则第三边c 的取值范围是 11.方程0|84|=--+-m y x x ,当0>y 时,m 的取值范围是( ) A 、10< ?0 ③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2(x-1-e -x ) . 年 高 考 江 苏 卷 试 题 11 ) 已 知 函 数 f ( x ) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则 满 足 不 等 式 ) 剪成两块,其中一块是梯形,记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。 2 x 2 +1 xlnx+1 2x 2 x lnx x+1 其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (20XX 年 高 考 天 津 卷 理 科 16) 设 函 数 f ( x ) = x 2 - 1 , 对 任 意 3 x x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m ) 2 m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 。 34 .( 20XX ? 2 ?1, x < 0 f (1- x 2 )> f ( 2x 的 x 的范围是__▲___。 35.(20XX 年高考江苏卷试题 14)将边长为 1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线 (梯形的周长) 梯形的面积 36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 . (Ⅰ)若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)证明: ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 . 中考数学经典题例(一)及解答 1、(2010年北京市)24. 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y = - 4 1-m x 2+45m x +m 2-3m +2 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ,点B (2,n )在这条抛物线上。 (1) 求点B 的坐标; (2) 点P 在线段OA 上,从O 点出发向点运动,过P 点作x 轴的 垂线,与直线OB 交于点E 。延长PE 到点D 。使得ED =PE 。 以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD (当P 点运动 时,C 点、D 点也随之运动) 当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时,求 OP 的长; 若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动,速度为每秒1 点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动,速度为每秒 2个单位(当Q 点到达O 点时停止 运动,P 点也同时停止运动)。过Q 点作x 轴的垂线,与直线AB 交于点F 。延长QF 到点M ,使得FM =QF ,以QM 为斜边,在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN (当Q 点运动时,M 点,N 点也随之运动)。若P 点运动到t 秒时,两个等腰直角三角形分 别有一条直角边恰好落在同一条直线上,求此刻t 的值。 【解答】 24. 解:(1) ∵拋物线y = -4 1-m x 2+45m x +m 2-3m +2经过原点,∴m 2-3m +2=0,解得m 1=1,m 2=2, 由题意知m ≠1,∴m =2,∴拋物线的解析式为y = -41x 2+2 5 x ,∵点B (2,n )在拋物线 y = -41x 2+2 5 x 上,∴n =4,∴B 点的坐标为(2,4)。 (2) 设直线OB 的解析式为y =k 1x ,求得直线OB 的解析式为 y =2x ,∵A 点是拋物线与x 轴的一个交点,可求得A 点的 坐标为(10,0),设P 点的坐标为(a ,0),则E 点的坐标为 (a ,2a ),根据题意作等腰直角三角形PCD ,如图1。可求 得点C 的坐标为(3a ,2a ),由C 点在拋物线上,得 2a = -41?(3a )2+25?3a ,即49a 2-211a =0,解得a 1=9 22,a 2=0 (舍去),∴OP =9 22 。 依题意作等腰直角三角形QMN ,设直线AB 的解析式为y =k 2x +b ,由点A (10,0), 点B (2,4),求得直线AB 的解析式为y = -2 1 x +5,当P 点运动到t 秒时,两个等腰 直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,有以下三种情况: 第一种情况:CD 与NQ 在同一条直线上。如图2所示。可证△DPQ 为等腰直角三 角形。此时OP 、DP 、AQ 的长可依次表示为t 、4t 、2t 个单位。∴PQ =DP =4t , ∴t +4t +2t =10,∴t =7 10 。 第二种情况:PC 与MN 在同一条直线上。如图3所示。可证△PQM 为等腰直角三 角形。此时OP 、AQ 的长可依次表示为t 、2t 个单位。∴OQ =10-2t ,∵F 点在 第十六章 二次根式 知识点: 1、二次根式的概念:形如(a ≥0)的式子叫做二次根式。“”= “”,叫做二次根号,简称根号。根号下面的整体“a ”叫做被开方数。 2、二次根式有意义的条件:a ≥0; 二次根式没有意义的条件:a 小于0; 例1、 a +1表示二次根式的条件是______。 例2、已知y=2x -+2x -+5,求x y 的值。 例3、若1a ++1b -=0,求a 2004+b 2004的值。 例4、 当x ______时,12--x 有意义,当x ______时,3 1+x 有意义。 例5、若无意义2+x ,则x 的取值范围是______。 例6、(1)当x 是多少时,31x -在实数范围内有意义? (2)当x 是多少时, 2x 在实数范围内有意义?3x 呢? 3、二次根式的双重非负性: ≥0;a ≥0 。 例1、 已知+ =0,求x,y的值. 例2、 若实数a、b满足 +=0,则2b-a+1=___. 例3、 已知实a满足,求a-2010的值. 例4、 在实数范围内,求代数式 的值. 例5、 设等式=在实数范围内成立,其中a、x、y是两两不同的实数,求的值. 例6、已知9966 x x x x --=--,且x 为偶数,求(1+x )22541x x x -+-的值. 4、二次根式的性质: (3) 例1、(1) ()25.1=________ (2) ()252 =________ (3) ()2 2.0-=________ (4) 272??? ? ??=________ 例2、化简 (1)9=_____ (2)2(4)-=_____ (3)25=_____ (4)2 52??? ??--=_____ (4)2(3)- =_____ 例3.(1)若2a =a ,则a 可以是什么数? (2)若2a =-a ,则a 是什么数? (3)2a >a ,则a 是什么数? 例4.当x>2,化简2(2)x --2(12)x -. 5、积的算术平方根的性质 (a ≥0,b ≥0)即两个非负数的积的算术平方根,等于积中各因式的 算术平方根的积。 , 6、商的算术平方根的性质 (a ≥0,b >0) 商的算术平方根,等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 。 例1、计算 (1)57 (2139(3927 (412 6 例2、化简 (1916?(21681?(3229x y (4)54 人教版初中数学二次根式经典测试题及答案 一、选择题 1.下列各式中,不能化简的二次根式是( ) A B C D 【答案】C 【解析】 【分析】 A 、 B 选项的被开方数中含有分母或小数;D 选项的被开方数中含有能开得尽方的因数9;因此这三个选项都不是最简二次根式.所以只有 C 选项符合最简二次根式的要求. 【详解】 解:A =,被开方数含有分母,不是最简二次根式; B = ,被开方数含有小数,不是最简二次根式; D =,被开方数含有能开得尽方的因数,不是最简二次根式; 所以,这三个选项都不是最简二次根式. 故选:C . 【点睛】 在判断最简二次根式的过程中要注意: (1)在二次根式的被开方数中,只要含有分数或小数,就不是最简二次根式; (2)在二次根式的被开方数中的每一个因式(或因数),如果幂的指数大于或等于2,也不是最简二次根式. 2.下列各式计算正确的是( ) A 1082 ==-= B . ()() 236= =-?-= C 115236==+= D .54 ==- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质对A 、C 、D 进行判断;根据二次根式的乘法法则对B 进行判断. 【详解】 解:A 、原式,所以A 选项错误; B 、原式=49?=49?=2×3=6,所以B 选项错误; C 、原式=1336=136 ,所以C 选项错误; D 、原式255164=- =-,所以D 选项正确. 故选:D . 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算:先把二次根式化为最简二次根式,然后进行二次根式的乘除运算,再合并即可.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍. 3.实数a ,b 在数轴上对应点的位置如图所示,化简|a |+2(a b )-的结果是( ) A .2a+b B .-2a+b C .b D .2a-b 【答案】B 【解析】 【分析】 根据数轴得出0a <,0a b -<,然后利用绝对值的性质和二次根式的性质化简. 【详解】 解:由数轴可知:0a <,0b >, ∴0a b -<, ∴()()22a a b a b a a b -=-+-=-+, 故选:B . 【点睛】 本题考查了数轴、绝对值的性质和二次根式的性质,根据数轴得出0a <,0a b -<是解题的关键. 4.已知实数a 满足20062007a a a --=,那么22006a -的值是( ) A .2005 B .2006 C .2007 D .2008 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据二次根式有意义的条件求出a 的取值范围,然后去绝对值符号化简,再两边平方求出22006a -的值. 【详解】 ∵a-2007≥0, 《二次根式》培优专题之一 ——难点指导及典型例题 【难点指导】 1、如果a 是二次根式,则一定有a ≥0;当a ≥0时,必有a ≥0; 2、当a ≥0时,a 表示a 的算术平方根,因此有 ()a a =2;反过来,也可以将一个非负数写成 ()2a 的形式; 3、()2a 表示a 2的算术平方根,因此有a a =2,a 可以是任意实数; 4、区别()a a =2和a a =2 的不同: ( 2a 中的可以取任意实数,()2a 中的a 只能是一个非负数,否则a 无意义. 5、简化二次根式的被开方数,主要有两个途径: (1)因式的内移:因式内移时,若m <0,则将负号留在根号外.即: x m x m 2-=(m <0). (2)因式外移时,若被开数中字母取值范围未指明时,则要进行讨论.即: 6、二次根式的比较: (1)若,则有;(2)若,则有. 说明:一般情况下,可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小. < 【典型例题】 1、概念与性质 2、二次根式的化简与计算[高考数学]高考数学函数典型例题
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