线性代数(本)习题册行列式 - 习题详解(修改)(加批注)

||班级： 姓名： 学号： 成绩： 批改日期： ||

第 1 页 共 18 页

行列式的概念

一、选择题

1． 下列选项中错误的是( ) (A)

b a d

c

d c b a -= ； (B)a

c b

d d c b a =

； (C)d c b a d c d b c a =++33； (D)d

c b a

d c b a -----

=. 答案：D

2．行列式n D 不为零，利用行列式的性质对n D 进行变换后，行列式的值（ ）．

(A)保持不变； (B)可以变成任何值； (C)保持不为零； (D)保持相同的正负号． 答案：C

二、填空题

1.

a

b b

a log 1

1

log = . 解析：

0111log log log 11log =-=-=a

b a

b

b a b

a . 2.

6

cos

3

sin

6sin

3

cos

π

π

ππ

= . 解析：

02cos 6sin 3sin 6cos 3cos 6

cos 3

sin

6sin

3

cos

==-=πππππππ

π

π

3.函数x x x

x

x f 1213

1

2)(-=中，3x 的系数为 ； x

x x

x x

x g 2

11

1

2)(---=中，3x 的系数为 . 答案：-2；-2.

||班级： 姓名： 学号： 成绩： 批改日期： ||

第 2 页 共 18 页

4.n 阶行列式n D 中的n 最小值是 . 答案：1.

5. 三阶行列式1

13420

3

2

1-中第2行第1列元素的代数余子式 等于 . 答案：5.

6.若

02

1

8

2=x

，则x = . 答案：2.

7.在n 阶行列式ij a D =中，当i

8.设a ,b 为实数，则当a = ,b = 时，

01

0100

=---a b b a . 解析：0)()1(10100

22=+-=--=---b a a

b b

a a b

b

a

故0,0==b a .

三、解答题

1.用行列式的定义计算.

(1)

1

10000100

1011010

； 解：原式=1

000101

01)1(10100000

11)

1(1412

1++-?+-?

||班级： 姓名： 学号： 成绩： 批改日期： ||

第 3 页 共 18 页

11

0010100-=--=

(2)

000000h g f e d c b a . 原式=0

000

00

g

f e d b h

f e d

c a - =0

0000

g f bd h

f d

f e c a +???

? ?

?-

=bdfg adfh -

2. 设行列式λλλ

01010101-=D , 3

512321

132=D ,若21D D =,求λ的值.

解：由对角线法则，得()()0,1122

1=-+=D D λλ

若21D D =,则()()0112

=-+λλ

于是1-=λ或1.

四、证明题

1.（略）

行列式的性质

一、选择题

1．设行列式x x x

D 01

010

1

1-=, 1

133512

322=D ,若21D D =,

则x 的取值为 ( ).

(A)2，-1； (B)1，-1； (C)0，2； (D)0，1．

答案：B

2．若333

32

31

2322

21

13

1211

==a a a a a a a a a D ，

||班级： 姓名： 学号： 成绩： 批改日期： ||

第 4 页 共 18 页

则33

32

3331

23222321

13

121311

1525252a a a a a a a a a a a a D +++==（ ）． (A)30； (B) -30； (C)6； (D)-6． 答案：C

二、填空题

1．若三阶行列式D 的第一行元素分别是1,2,0,第三行元素的余子式分别是8，x ，19，则x = . 解析：1820190,4x x ?-+?==. 2．

2016

201420182016 = .

解析：

42

0222016

20142

22016

201420182016==

=

.

3.行列式c

b d

c a b

c

b a

D =，则312111A A A ++= . 解析：312111A A A ++0111==c

b c a

c

b .

4.行列式x

x x x x D 31213231232154-=的展开式中，4

x 的系数

为 ；3

x 的系数为 .

解析：x

x x x

x x x x x x D 3121

3123

23215312

132312

32154--

=-=

x

x x x 31

2

1

312512585

103215---

= 含4

x ，3

x 的项仅有主对角线上元素之积项，故4x ，3

x 的

||班级： 姓名： 学号： 成绩： 批改日期： ||

第 5 页 共 18 页

系数分别为15，-3.

三、解答题

1.计算下列行列式 .

(1)

3

21421431

4324321； 解：各行加到第一行，得

原式=3

214

21431432111110

32142143143210101010= =1604

00004001

210

1

11110

123012101210111110=---=------.

(2)4

4

4

4

33332222

5432154321543215432

111111；

解：原式=(5-4)(5-3)(5-2)(5-1)(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1) =288.

(3)

493625163625169251694169

41； 原式=

02

22

222229

7531694113

11

97

11975975316941==.

||班级： 姓名： 学号： 成绩： 批改日期： ||

第 6 页 共 18 页

(4)

000000x

y y x y x x y ； 原式=x

y x y

x x x

y

y y x

y 0000

000

-- =22222

)(y x x

y

y

x x x y y x y --=-. (5)xy z zx y yz x

11

1； 原式=)

(0

)(0

1

x z y x z x y z x y yz

x

------ =))()((11))((x z z y y x y

z

x z x y ---=---.

(6)2

00

01200000

0130

012000101--；

原式=310120101401312010142

000

0130

120

1012

---=--=-- =203

11

24

=---.

(7)

4

3

21

11

1

1

1111111111

1

1x x x x ++++；

||班级： 姓名： 学号： 成绩： 批改日期： ||

第 7 页 共 18 页

解：原式=

4

321111

1

0010011x x x x x x x ---+ =

4

3211141

312110

0000001x x x x x x x x x x x x x ---+++

+ =

3214214314324321x x x x x x x x x x x x x x x x ++++.

2.设4

32232114

31

13151-=

D ，计算44434241A A A A +++的值. 其中)4,3,2,1(4=j A j 是D 的代数余子式.

解：44434241A A A A +++61

11

132114

31

13151=-=

. 3. 已知1

14211311

0111253------=D ,求41312111M M M M +++.

解：41312111M M M M +++

=41312111)1(1)1(1M M M M --?+--?

=1

141113*********-------=0.

4.计算下列n 阶行列式.

||班级： 姓名： 学号： 成绩： 批改日期： ||

第 8 页 共 18 页

(1)

2

11

1

21112 ；

解：原式=

211

121

111 +++n n n =2

11

1

21

1

11)

1( +n

=11

00

10

111)

1(+=+n n .

(2)x

y y

y

y x y y

y y x y

y y y x

； 解：原式=[]x

y y y

y x y y

y y x y

y n x

1111)1(-+ =[]y

x y x y x y n x ----+

0000

0001111

)1(

=[]1

)

()1(---+n y x y n x .

(3)),,2,1,0(0

1

001

011110

21n i x x x x i n

=≠.

||班级： 姓名： 学号： 成绩： 批改日期： ||

第 9 页 共 18 页

解：原式=

n

n

i i

x x x x

00000011101211∑

=- =)1

(121∑=-n

i i

n x x x x .

四、证明题

1.设a ,b ,c 是互异的实数，证明01

11

3

3

3

=c b a c b a

的充分必要条件是a+b+c=0.

证明：3

33

33

33

3

001111

a c a

b a a

c a b a c b a

c b

a

----= =3

333

a c a

b a

c a

b ----

=2

222

1

1

))((a ac c a ab b a c a b ++++--

=))()((22ab ac b c a c a b -+--- =))()()((c b a b c a c a b ++---=0,

由于a ,b ,c 是互异的实数，故要上式成立，当且仅当a+b+c=0.

2.证明

4+2324323631063a b c d a a b a b c a b c d

a a a

b a b

c a b c

d a a b a b c a b c d +++++=++++++++++++ 证明：左边43

32

21

02320

363a b c d r r a a b a b c

r r a a b a b c r r a a b a b c

-+++-+++-+++

4332100

020

03a b c d r r a a b a b c

a a

b r r a a b

-++++-+4

43

00020

00a b c d a a b a b c

r r a a a b a

+++-=+

||班级： 姓名： 学号： 成绩： 批改日期： ||

第 10 页 共 18 页

=右边

克莱姆法则

一、选择题

1．方程组???

??=++=++=++1

,1,1321

321321x x x x x x x x x λλλ

, 有唯一解,则( ).

(A)1-≠λ且2-≠λ； (B) 1≠λ且2-≠λ；

(C) 1≠λ且2≠λ； (D) 1-≠λ且2≠λ．

解析：由克莱姆法则，当0)1)(2(1

111

1

12

≠-+=λλλ

λ

λ

，即

1≠λ且2-≠λ，选B .

2.当≠a （ ）时，方程组??

?

??=+-=++=+02,02,0z y ax z ax x z ax 只有零解.

(A) -1 ；(B) 0 ；(C) -2 ；(D) 2. 解析：由克莱姆法则，

当0)2(21

20121

001212

10≠-=--=-a a a a a a 即2≠a ，选D .

三、解答题

1.用克莱姆法则下列解方程组.

(1)??

?

??=+-=+-=-+;32,322,22z y x z y x z y x

解： 031

1

2221

1

21

≠=---=D ， 由克莱姆法则知，此方程组有唯一解，

31

1322

31

2

21=---=D ，

||班级： 姓名： 学号： 成绩： 批改日期： ||

第 11 页 共 18 页

613

223

11212=-=D ，93

323312

213==D ， 因此方程组的解为

11==D D x ,22==D D

y ，33==D

D z .

(2)..2

3342,223,3232,12432143214

3214321??????

?=-++=+++=+-+=-++x x x x x x x x x x x x x x x x 解：043

34212312

132

1121

≠=---=

D

由克莱姆法则知，此方程组有唯一解，

83342123221331121

1=---=

D ， 2332212212

13211112-=---=D ,

2324

2

1231233211213=--=

D ,22

3

4222313

1

321

1214=-=D . 因此方程组的解为

211==

D D x ,2122-==D D x ，2133==D D x ,2

1

44==D D x . 2.判断线性方程组???

??=-+=+-=-+0

285,042,

022321

321321x x x x x x x x x 是否有非零解？

解：因为系数行列式2

8

5

12

242

1285421

122

----=---=D

||班级： 姓名： 学号： 成绩： 批改日期： ||

第 12 页 共 18 页

=0305

9604

2

122180

960

42

1≠-=--=----, 所以，方程组只有零解.

3.已知齐次线性方程组???

??=+-=++=-+0

2,0,0321

321321x x x x x kx x kx x 有非零解，求k 的值.

解：因为齐次线性方程组有非零解，所以该方程组的系数行列式

必为零，即

3

2101101

111

211

112

k k k k

k k --+--=-- =)21)(1()1(32

k k k +++- =0)4)(1(=-+k k 解得，k =-1或k =4.

4.当μ取何值时，齐次线性方程组???

??=--+-=-+-=-++0

)1(02)3(0)1(42321

321321x x x x x x x x x μμμ有非

零解？

解：由齐次线性方程组有非零解的条件可知，

01

11

213

1

42=------μ

μμ,解得3,2,0=μ.

第一章综合练习

一、判断题

1. n 阶行列式n D 中的n 最小为

2.( ╳ )

2. 在n 阶行列式ij a D =中元素),2,1,(L =j i a ij 均为整数，则D 必为整数.( √ )

||班级： 姓名： 学号： 成绩： 批改日期： ||

第 13 页 共 18 页

3.413223144433221144

41

3332232214

110

000

000a a a a a a a a a a a a a a a a -=.( ╳ ) 二、选择题

1.若11131--+=x x x D ，2

11

122-+=x x D ，则1D 与2D 的大

小关系是( ).

(A)21D D <； (B)21D D >；(C)21D D =；(D)随x 值变化而变化. 答案：C

2.行列式

{})2,1,1,,,(-∈d c b a d

c b

a 的所有可能值中，最大

的是( ).

(A) 0； (B)2； (C)4； (D)6. 答案：D

三、填空题

1.?

???40cos 20sin 40sin 20cos = .

解析：

??-??=?

??

?40sin 20sin 40cos 20cos 40cos 20sin 40sin 20cos

2

160cos =

?=. 2.若y y x x y x -=

-1

12

2,则x+y = . 解析：由y y x x y x -=

-1

12

2，得xy y x 222-=+ 即0)(2

=+y x ，从而x+y =0. 3.已知

11

1,0112==y

x x ，则y = . 解析：由11

1,0112==y

x x ,得x =2,x -y =1,从而y =1

||班级： 姓名： 学号： 成绩： 批改日期： ||

第 14 页 共 18 页

4. 若222222222

6

4

2

5

31

C c B b A a c b a ++=,则2C 化简后的结果等于 . 解析：24

23

12=-

=C . 5.设x

x x x x x f 111123111212)(-=，则4x 的系数为 ；3

x 的

系数为 .

解析：当f (x )的主对角线的4个元素相乘才能得出4

x ，系数为2；含3

x 的项只能是44332112,,,a a a a 的乘积，系数为-1. 答案：2，-1.

6.设0

123411222641232

21115

4321=D ,

则(1)333231A A A ++= ； (2)3534A A + ； （3）5554535251A A A A A ++++ . 解析：0)(23534333231=++++A A A A A 0)()(23534333231=++++A A A A A 于是0333231=++A A A ，03534=+A A .

5554535251A A A A A ++++1

11

1111222641

23221

115

4321=

||班级： 姓名： 学号： 成绩： 批改日期： ||

第 15 页 共 18 页

01

111133333641232

211154321==. 即0555*******=++++A A A A A .

四、解答题

1.计算下列行列式.

(1)

4

43

4241

443332313423222124131211

1y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x ++++++++++++++++；

解：原式=

1

41

31

21

41413121

31

413121

21413121

1y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x ---+---+---+---+

=

00

000000001

41

31

21

41

31

21

1=------+x x x x x x y y y y y y y x .

(2)

43

2

1

1111

111111111111x x x x ++++；

解：原式=

4

321111

1

0010011x x x x x x x ---+

=

4

3211141

312110

0000001x x x x x x x x x x x x x ---+++

+ =

3214214314324321x x x x x x x x x x x x x x x x ++++.

||班级： 姓名： 学号： 成绩： 批改日期： ||

第 16 页 共 18 页

(3)

2007

000

00200600

02005000

200

01000

.

解：原式=!2006)1(20072

2005

2006?-?=!2007-

2.已知1

23452

2211

273

12451112243150

D ==, 求(1)434241A A A ++；(2)4544A A +. 解：27)(21114544434241=++?+?+?A A A A A

0)()(24544434241=++++A A A A A

得9434241-=++A A A ,184544=+A A . 3.计算下列n 阶行列式.

(1)n

n n n n n n D

22

2

3332221

11=；

解：（利用范德蒙行列式计算）

1

1221333

21

111!--==n n n T

n n n n n D D

[])1()2()24)(23)(1()13)(12(!--------=n n n n n !2)!2()!1(! --=n n n .

||班级： 姓名： 学号： 成绩： 批改日期： ||

第 17 页 共 18 页

(2)

2

11

1

21112 ；

解：原式=

211

121

111 +++n n n =2

11

1

21

1

11)

1( +n

=11

00

10

111)

1(+=+n n .

(3)m

x x x x m x x x x m

x D n n n n ---=

2

1

2121

解：将第2列，L ，第n 列分别加到第一列，并提取第一列的

公因子，得

m

x x m

x x x x m x m x x x x x m x x x D n n n n n n n --+++--+++-+++=

2

21221221

m

x x x m x x x m x x x n n n n ---+++=

2

22211

11

)

(

m

m m x x x n ---+++= 010

1001)(21

1

21))((---+++=n n m m x x x

||班级： 姓名： 学号： 成绩： 批改日期： ||

第 18 页 共 18 页

(4)n

n n n n a a a a a a b b b b b D 1

3221

13210

000

000-----=

（其中n i a i ,,2,1,0 =≠）

解： 1

221100

00000)1(-+----=n n

n

n a a a a b D

1

2

221

12210

000

00------+n n n n n a a a a a b b b b a

121-+?

=n n n

n

n D a a b a a a ???

?

??==∑=n i i i

n a b a a a 121 . 三、证明题

1.试证：如果n 次多项式n n x a x a a x f +++= 10)(对n+1个不同的x 值都是零，则此多项式恒等于零.

(提示：用范德蒙行列式证明)