解析几何又是难中之难

《解析几何》复习策略之我见

南县一中郭劲松

各位同仁:

大家上午好!

今年的三月,春意盎然,我们共同迎来了益阳市2010届高三数学学科会。我受南县一中备课组的委托,和大家一起交流一下关于《解析几何》的复习问题，我借此机会主要谈以下几个问题：解析几何的考纲解读、新旧教材的对比、复习策略、近几年命题的特点和新高考命题的趋势分析，望能收到抛砖引玉之效，不当之处请各位批评指正。

一、考纲解读

解析几何是高考的必考内容，它包括直线、圆、圆锥曲线和圆锥曲线综合应用、极坐标与参数方程等内容。高考常设置三个客观题和一个解答题，对解析几何知识和数学思想方法的应用进行考查，其分值约为27分，约占总分的16%，近年高考解析几何试题的考查特点，一是设置客观题，考查直线、两直线位置关系、点线距离、圆有关的概念、性质及其简单应用；考查圆锥曲线即椭圆、双曲线、抛物线的概念、性质及其简单应用等基础知识；二是以直线与圆的位置关系、直线与圆锥曲线的位置关系为载体，在代数、三角函数、向量等知识的交汇处设置解答题，考查圆锥曲线性质和向量有关公式、性质的应用，考查利用极坐标与参数方程等解决轨迹、不等式、参数范围、探索型等综合问题的思想方法，并且注重测试逻辑推理能力。

二、新旧教材的对比

1.内容上的总体对比

旧教材“圆锥曲线”包括曲线和方程、圆、椭圆、双曲线、抛物线和坐标变换六个单元十四小节，“教参”建议26课时。新教材“圆锥曲线方程”仅保留椭圆、双曲线、抛物线三个单元共6小节(也是原来的三个单元内容)，“教参”(大纲)建议18课时，旧教材中这三个单元建议12课时，从课时要求上可以看出该部分新教材的要求比旧教材高了。

2.考试要求上的对比

新教材在例题之后增加了不少方法性的注解或旁白，在要求上比旧教材更突出思想方法，更注重培养能力。新教材在旧教材例习题的基础上做的调整突出体现了怎样用定义，怎样用标准方程。旧教材基本上属于学好定义，学好标准方程。

旧教材这部分的考试要求是：掌握圆锥曲线的各种标准方程；通过圆锥曲线标准方程的讨论，掌握圆锥曲线的性质，会画出图形，并了解圆锥曲线的一些实际应用。

新教材的教学要求是：掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和几何性质。能够根据条件利用工具画出圆锥曲线的图形，并了解圆锥曲线的初步应用。

高考中，在考查圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质等知识的同时，还注重考查函数与方程、数型结合、特殊与一般、分类与整合等思想方法。与以往的考纲要求相比，新考纲中降低了对双曲线的定义与性质的考查要求，对椭圆与双曲线的准线不作要求，而且新教材新增了4-4参数方程与极坐标方程。

三．针对新的高考我们怎样复习的呢？

1．夯实基础，掌握通性通法

（1）熟练掌握以下知识点：①直线的斜率、方程、位置关系的判定、点到直线的距离公式；②线性规划；③圆的方程、几何性质；④圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质、弦长公式；⑥参数方程与极坐标方程。

（2）掌握通性通法：如直线与圆的位置关系问题通常转化为圆心到直线的距离问题；直线与圆锥曲线的位置关系问题，通常采用设而不求法及方程的思想，将问题转化为二次方程的有关问题来求解；求离心率问题转化为a、b、c的关系问题；利用直译法、定义法、转代法、参数法求轨迹方程等。

2．注重知识整合，加强综合训练

综合性强是解析几何试题的重要特点，解析几何试题的综合性可概括为两类：一、纵向联系，特别是直线与二次曲线的位置关系；近几年解几试题基本是纵向联系题。二、横向联系，解析几何可与集合、简易逻辑、函数、方程、数列、三角、平面几何、平面向量、不等式、导数等知识点融合；特别是与新增内容的综合，如线性规划与集合、平面几何的综合，圆锥曲线与向量、导数的综合问题，利用参数方程与极坐标解决圆锥曲线综合问题等，可能试今年湖南高考的热点，体现在知识交汇处命题的思想，能极好的考查学生的综合能力。3．强化运算，力求避繁就简

运算繁杂是解析几何最突出的特点。首先，解题中要指导学生克服只重视思路轻视动手运算的缺点。运算能力差是学生普遍存在的问题，不仅在解析几何问题中要加强训练，而且在其他板块中也要注意加强训练，只有把提高学生的运算能力贯彻于教学的过程之中，才能受到较好的效果。其次，要培养学生运算的求简意识，突出解析几何设而不求的运算本色，充分发挥圆锥曲线的定义和利用平面几何知识化难为易、化繁为简的作用。

4．注重学生心理指导

由于解析几何题综合性强，运算繁杂，学生极易产生畏惧心理，考试时采取放弃的策略，从而平时也不重视解析几何的复习，导致放弃了一些在能力范围内的题，实在可惜。建议复

习时把近年的高考题中适合学生的题目整理出来进行分析和训练，让学生感受到高考题中的解析几何题也并不可怕；同时，指导学生总结规律，明确解题步骤，并进行强化训练，使之熟练掌握，树立学生的信心。

四．前几年高考解析几何的命题特点：

（1）题型稳定：近几年来高考解析几何试题一直稳定在三（或二）个选择题，一个填空题，一个解答题上，分值约为27分左右，占总分值的16%左右。

（2）整体平衡，重点突出：《考试说明》中解析几何部分原有33个知识点，现缩为19个知识点，一般考查的知识点超过50％，其中对直线、圆、圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏，通过对知识的重新组合，考查时既注意全面，更注意突出重点，对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度。新教材高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型：

①求曲线方程（类型确定、类型未定）；

②直线与圆锥曲线的交点问题（含切线问题）；

③与曲线有关的最（极）值问题；

④与曲线有关的几何证明(对称性或求对称曲线、平行、垂直)；

⑤探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征；

（3）能力立意，渗透数学思想：

（4）题型新颖，位置不定：近几年解析几何试题的难度有所下降，选择题、填空题均属易中等题，且解答题未必处于压轴题的位置，计算量减少，思考量增大。加大与相关知识的联系（如向量、函数、方程、不等式等），凸现教材中研究性学习的能力要求。加大探索性题型的分量。

在近年高考中，对直线与圆即圆锥曲线内容的考查主要分两部分：

（1）以选择题题型考查本章的基本概念和性质，此类题一般难度不大，但每年必考，考查内容主要有以下几类：

①与本章概念（倾斜角、斜率、夹角、距离、平行与垂直、线性规划等）有关的问题；

②对称问题（包括关于点对称，关于直线对称）要熟记解法；

③与圆的位置有关的问题，其常规方法是研究圆心到直线的距离．以及其他“标准件”类型的基础题。

（2）以解答题考查直线与圆锥曲线的位置关系，此类题综合性比较强，难度也较大。从近几年课改省高考试题看大致有以下三类：

（1）考查圆锥曲线的概念与性质；

（2）求曲线方程和求轨迹；

（3）关于直线与圆及圆锥曲线的位置关系的问题.

五、新高考命题趋势分析

由以上特点，我们认为在未来的高考中，《解析几何》试题将有以下命题趋势：

(1)单一型的题目将被更多的综合型题目所取代.即使是选择或填空题，每道题考查的知识点也可能是两个、三个或更多个.

(2)直线与圆锥曲线的位置关系(含各种对称、圆的切线)的研究与讨论仍然是重中之重.

(3)抛物线、椭圆与双曲线之间关系的研究与讨论也将有所体现.

(4)由于导数的介入，抛物线的切线问题将有可能进一步“升温”.

(5)与平面向量的关系将进一步密切，许多问题会“披着”向量的“外衣”.

(6)《极坐标与参数方程》的知识在解决《解析几何》问题的作用不可忽视.

(7)三角函数的知识一直是解决《解析几何》问题的好“帮手”.

(8)函数、方程与不等式与《解析几何》问题的有机结合将继续成为数学高考的“重头戏”.

(9)数列与《解析几何》问题的携手是一种值得关注的动向.

(10)求曲线方程、求弦长、求角、求面积、求特征量、求最值、证明某种关系、证明定值、求轨迹、求参数的取值范围、探索型、存在性讨论等问题仍将是常见的题型.

其他省份命题情况：

注：加“（新）”表示此卷是新课程高考试卷

新的教材，新的探索，新的发现，新的命题，让我们共同摸索，打下新高考背景下的第一次战斗。

南县一中高三数学备课组

2010年2月28