损伤土力学-第一三章_完成版

第一章损伤土力学

1.1引言

损伤土力学是损伤理论和经典土力学有机结合而成到的一门刚刚成立的新学科，也是一种新的尝试。但是，一般来说，岩石土工程界对损伤理论接触较少，故有必要对损伤的基本理论作于简介。

1.2损伤理论的研究内容、意义和研究方法

材料内部有许多空隙和微裂缝，在一定外部载荷下，微裂缝会不断的扩展，是材料的强度和刚度等力学性能下降，这些导致材料和结构力学性能劣化的微观结构的变化称为损伤力学。损伤力学是研究材料或构件从原生缺陷到形成宏观裂纹直至断裂的全过程，也就是通常所指的微裂纹的萌生、扩展或演变，体积元的裂变，宏观裂纹的破裂，宏观裂纹的形成，裂纹的稳定扩展和失稳扩展的全过程。国内外许多学者将材料中存在的微裂纹理解为连续的变量场（损伤场），用连续介质学的概念和方法研究微裂纹的发展及其对材料力学性能的影响，从而形成连续介质损伤力学。

长期以来，人们对材料和构件宏观力学性能的劣化直至破坏全过程的机理、本够关系、力学模型和计算方法都非常重视，并且用这种理论和方法进行研究。材料和物理学家从微观角度研究微缺陷产生和扩展的机理，但是所得结果不易与宏观力学量相联系。

力学工作者则着眼于宏观分析，其中最常用的是断裂力学的理论和方法。断裂力学主要研究裂纹尖端附近的应力场和应变场、能连释放率等，以建立宏观裂纹的起裂、裂纹的稳定扩展和失稳扩展的判据。但是断裂力学无法分析宏观裂纹出现以前材料中的微缺陷或微裂纹的形成及其发展对材料力学性能的影响，而且微缺陷的存在并不能简化为宏观裂纹，这是断裂力学的局限性。经典的固定力学理论虽然完备地描述无损材料的力学性能（弹性、粘弹性、塑性、粘塑性等），然而，材料或构件的工作过程就是不断损伤的过程，用无损材料

的本构关系描述受损材料的力学性能显然是不合理的。损伤理论旨在建立受损材料的本构关系、解释材料的破坏机理、建立损伤的演变方程、计算构件的损伤程度，从而达到预估计其寿命的目的。

现今的结构计算方法可用图1.1所示的框图表达，它将损伤耦合到本构方程中进行分析和计算较为合理。严格的说，每一时刻损伤对材料的力学性能参数都有影响，因此，用损伤本构方程取代没有考虑损伤的本构方程，同时采用耦合计算方法，是使计算结果更加接近实际情况的有效途径。由于本构方程中将有关的力学参数和损伤进行耦合，所以分析和计算更复杂;即使对弹性材料，本构方程也是非线性方程。

损伤理论，是将固体物理学、材料强度理论和连续介质力学统一起来进行研究的。

因此，用损伤理论导的结果，既反映材料微观结构的变化，又能说明材料宏观力学性能的实际变化状况，而且计算的参数还应是宏观可测的，这在一定程度上弥补微观研究和断裂力学研究的不足，也为这些学科的发展和相互结合开拓新的前景。

物体内存在的损伤（微裂纹），可以理解为一种连续的变量场（损伤场），它和应力-应力场以及温度场的概念相类似。所以在分析是首先应在物体内部某点处选取“体积元”，并假定该体积元内的应力-应变以及损伤都是均匀分布的，这样，就能在连续介质力学的框架内对损伤及其对材料力学性能的影响做系统的处理，其过程可分为如下四个阶段：

1．选择合适的损伤变量

描述材料中损伤状态的变量场称为损伤变量，它属于本构理论中的内变量，从力

学意义上说，损伤变量的选取应考虑到如何与宏观力学量建立联系并易于测量。

不同的损伤过程，可以选取不同的损伤变量，即使同一损伤过程，也可以选取不

同的损伤变量。

2．建立损伤演变过程

材料内部的损伤是随外界因素（如载荷、温度变化及腐蚀等）作用的变化而变化，

为描述损伤的发展，需建立描述损伤发展的方程，即损伤演变过程。选取不同的

损伤变量，损伤演变方程就不同，但它们都必须反映材料真实的损伤状态3．建立考虑材料损伤的本构关系

这种包含损伤变量的本构关系或损伤本构方程在图1.1中起着关键作用。

4.求解材料个点的应力应变和损伤值

根据初始条件（包含初始条件）和边界条件求解材料各点的应力应变和损伤值，

由计算所得的损伤值，可以判断各点的损伤状态，在损伤达到临界值时，可以认

为改点（体积元）破裂，然后根据新的损伤分布状态和新的边界条件，在做类似

的反复计算，直至达到构建的破换准则而终止。

就损伤理论的研究方法而言，损伤理论可以分为能量损伤理论和几何损伤理论。由勒梅特（J.Lemaitre）等创立的能量损伤理论是以连续介质力学和热力学

为基础，将损伤过程视为能量转化过程，而且这种转换是不可逆的。由自由能和

耗散势导出损伤本构方程和损伤演变方程。能量损伤理论在金属和非金属的损

伤、断裂研究中已经得到广泛应用，由村上澄男（Sumio Murakami）等创立的几

何损伤理论认为材料的损伤也是有材料的微裂纹所造成的，但损伤变量的大小和

损伤演变与材料的微裂纹的尺寸、形状、密度及其分布有关。损伤的就和描述（张

量表示）和等价应力的概念结合，构成几何损伤理论的核心。几何损伤理论已经

有效地应用于岩石和混凝土的计算中。

1.3损伤能量理论的基本知识

1.3.1基本概念

1.损伤变量

用损伤理论分析材料受力后的力学状态时，首先要选择恰当的损伤变量以描述材料的损伤状态。由于材料的损伤引起材料微观结构和某些宏观物理性能的变化，因此，可以从宏观和微观两方面选择度量损伤的基准。从微观方面，可以选用孔隙的数目、长度、面积和体积；从宏观方面，可以选用弹性系数、屈服应力、拉伸强度、伸长率、密度、电阻、超声波和声辐射等。在这两类基准中，最常用的是：（1）孔隙的数目、长度、面积和体积；（2）由孔隙的形状、排列和取向决定的有效面积；（3）弹性系数（弹性模量和泊松比）；（4）密度等。

根据以上两类基准，可以用直接法和间接法测量材料的损伤。例如，对微观方面的基准，可采用直接测定的方法以判定材料的损伤程度；而对宏观方面的基准，可用机械法或后物理法测定，然后间接推算材料的损伤。至于实际采用哪种方法，应根据损伤变量如何定义以及损伤类型而定。

在不同的情况下，可将损伤变量定义为标量、矢量或张量。例如对于短小无规律的空隙分布或者各项分布相同的球形空洞，损伤变量可采用标量；对于微小的分布平面裂纹，可用与它垂直的矢量表示损伤，但矢量表示的损伤变量，不能简单的相加以表示不同方向平面裂纹的集合；而用张量表示损伤，，尽管其数学表达比较复杂，但有可能比较准确的表示微观空隙的排列状态及其力学特性，因此，在各向异性损伤理论中常用张量表示损伤。

从热力学的观点说，损伤变量是一种内部状态变量，它能反映物质结构的不可逆变化过程。

2．有效应力的概念

现用直杆受单轴拉伸的例子说明有效应力的概念。图1.2（a ）为一初始无损伤的杆，假设该杆受F 力到一定大小后产生均匀的损伤，见图1.2（b ）。若杆的初始横截面积为A ，受损后其损伤面积（包括微裂隙和孔隙）为*A ，则杆的净面积或有效面积为A A

- 。在均匀损伤状态下，损伤变量取为标量。卡钱诺夫(Kachanov)在研究金属的蠕变断裂时，第一次提出用连续性变量描述材料的损伤状态，定义ψ为

A A

ψ=

拉博诺夫(Rabotnov)在研究金属蠕变时引入一个与连续性相对应的变量D ，称为损伤变量

*

A

A A D A

A

-=

=

式中0D =，对应于无损伤状态；1D =，对应于完全损伤（断裂）状态；01D <<,

对应于不同程度的损伤状态。

令/F A σ=为横截面上的名义应力；/F A σ

= 为净截面或有效截面上的应力，称为静应力或有效应力，则利用式并由

A A σσ

= 得

1D

σσ=

-

当材料发生非均匀损伤时，可在物体内一点取一体元，用相似的方法仍可得到式（1.4）。

3.应变等价原理

在受损材料中，测定有效面积是比较困难的。为了能间接的测定损伤，勒梅特提出了应变等价原理。这一假设认为，应力σ作用在受损材料上引起的应变与有效应力作用在无损材料上引起的应变等价，如图1.3。根据这一原理，受损材料的本构关系可通过无损材料中的名义应力得到，即

(1)E E D E

σ

σσ

ε=

==

-

或

(1)E D σε=-

式（1.5）或（1.6）表示一维问题中受损材料的本构关系。(1)E

E D =- 为受损材料的弹性模量，称为有效弹性模量，由此可得

1E D E

=-

布罗伯格(Broberg)建议损伤变量为

ln(

)A D A

= 有应变等价原理得到

ln

E D E

= 由式（1.3）和式（1.8）得

D e σ

σ= 该定义是损伤具有可加性。 4.有效应力张力

在多轴应力作用下，如认为损失是各向同性的，则可将儋州作用下的有效应力推广表示

为张量，即

1D

σσ=

-

式中，σ为柯西(Cauchy)应力张量。

实际上，材料的损伤往往是各向异性的，在这种情况下，损伤变量就不能采用标量，而用张量表示。设在物体内取一体元，该体元在任一方向上的截面为A ，该截面的法向单位矢量为n ,则界面的面积矢量为

i i A An A e ==

式中, i e 为沿直线坐标系的单位矢量；i A 为面积A 在三个坐标平面内的投影面积。 必须注意：式（1.12）中A 以黑体字表示面积矢量，而A 以一般字体表示面积。在以后阐述中，也用黑体字表示矢量。

当材料损伤后，设有一虚构的体元，其法线为n

的面积矢量为 (1)i i i

A An D A e ==- 式中，i D 为面i A 法线反向的损伤变量。

现定义二姐对称张量()I D ψ=-,I 为单位张量，使

A

A ψ= 由式(1.13)和式(1.14)得

(1)i i i i i i e e D e e ψψ=?=-?

可见，ψ是一对称张量。

设有效应力张量为σ ，柯西应力张量为σ，则

()P A A A I D A σσσψσ

====- 因为上式对任意的A 都成立，故有

()I D σσψσ

==- 从而有

1()I D σσ-=-

在一般情况下，式（1.18）表示的有效应力张量是不对称张量，这给数值计算带来很大

不便。以下两式是常用的将有效应力张量对称化地方法：

111

()()2I D I D σ

σσ--??=-+-?

? 112

2

()()

I D I D σσ--

=--

有关张量的基本知识参阅本书末的附录。

1.3.2耗散功与损伤

连续介质的力学过程可以等价于一个热力学过程，损伤过程实质上是能量耗散过程或不可逆热力学过程。

今用单轴拉伸的力学过程作简明分析。在应变δε的过程中，作用在体元上的每单位质量的外力的功W δσδε=的耗散与贮存情况，如图1.4（a ）所示，外力的功转化为三部分：第一部分是可恢复的弹性应变能e W δ，第二部分是塑性功p W δ，有导致加工硬化的作用，这些能量以内能的形式存在于介质中，第三部分是不可恢复的损伤耗散能

D

W δ。图1.4(b)是余天庆等对勒梅特所提出的修正，表明弹性应变能、塑性流动和损伤

扩展的耗散分析。外力功可化为四部分：（1）以三角形DCF 表示的弹性应变能；（2）平行四边形OAHD 表示的塑性流动功；（3）半壶三角形AHB 表示的塑性变形导致加工硬化的耗散功，是在超过屈服极限后外力所做的功；（4）损伤耗散功。 1.3.3 应变类型

总应变增量{}ij d ε分为弹性应变{}e ij d ε、塑性应变{}p ij

d ε和损伤应变{}D ij

d ε三

部分：

{}{}{}{}e

p

D

ij

ij

ij

ij

d d d d εεεε=++

图1.5为考虑弹性应变、塑性应变和损伤应变三部分的三轴压缩试验曲线，表示当固结压力3σ为一定时，偏差应力13σσ-与最大主应力变的关系。弹性应变、塑性应变和损伤应变在加荷初期产生，应力-应变关系是非线性的，小应力水平时，弹性变形占主要的，随着应力增大，塑性应变和损伤应变占优势。

1.4结束语

本章只是对损伤基本理论作一概念性的简介，详细论述请参阅有关参考文献[1~8]，其中文献[1]和[8]堪称两本好书。

在本书中是以勒梅特等创立的能量损伤理论为基础，有机的结合古典土力学尝试建立“损伤土力学”新学科。

第三章 土的系列损伤模型

3.1 引言

现阶段微观结构及宏观结构研究均表明，软土一般具有结构性。软土在受载过程中， 内部结构发生不可逆的变化，这种微观机制的改变导致软土的整体力学性能发生劣化，例如，降低强度和刚度等，这种破坏前材料力学性能逐渐劣化的现象称为损伤。采用损伤理论研究软土的应力—应变关系式一个领域，需要进一步探讨与发展。

一般而言，材料单元中围观实体数目众多，表现形态各异，要精确地描述和分析各个损伤实体的确非常困难，而用连续损伤力学分析材料单元的整体响应，将含有把某一加载历史所导致的内部不可逆耗散机制单元仍看作是连续均匀的；基于不可逆热力学的基本原理及内变量理论，引进一些力学变量来模拟材料的损伤状态，建立这些变量的演变过程。简言之，就是将微裂缝等效应与材料的本构关系相结合，泳衣描述受损材料的宏观响应。这种唯象理论已开始广泛应用于金属、岩石、混凝土和复合材料中。

本章以热力学理论为基础，提出考虑各向异性损伤的应力空间和应变空间的能量指标στ ，τ 概念，构造损伤势函数，建立损伤的演化方程，建立考虑各向异性损伤的应力—应

变关系。作为验证，应用一系列损伤模型分析上海淤泥质粉质粘土的等压固结和0K 固结的三轴剪切试验，对理论分析与实验结果进行比较，表明能够较好地描述软土的应力—应变关系。

3.2 等效压力与等效弹性余能概念

3.2.1 等效应力概念

与土力学中的有效应力概念区别，损伤力学中的有效应力在本书中称为等效应力。 连续介质损伤力学理论，为分析材料劣化现象，引入一些损伤参数包括等效应力张量（effective stress tensor ）和损伤力张量D （damage tensor ）等，来反映荷载作用下的损伤状态。损伤张量的物理意义。六面体单元需要足够大。可包括多数微裂隙或微裂缝，同时它又充分小，可代表材料一点（见图3.1）。这样，便可引入连续介质力学范畴的损伤学概念。、

定义S 为加载前你的横截面面积，n 为平面的法向向量，加载后由于微裂隙，孔洞和微应力集中引起材料劣化，面积S 变为有效净面积S （the effective resistingarea ）。假定裂

隙和孔洞沿各方向分布式均匀，S 不再依赖于n ，各向同性损伤变量D 定义为

S S D S

-=

根据勒梅特（Lemaitre ）的等效应力变假设（hypothesis of strain equivalence ），即应力σ作用在受损材料上引起的应变与等效应力σ 作用在无损材料上引起的应变等价。所以作用在有效面积S

（effective area ）的等效柯西（Cauchy ）应力张量σ 与一般的柯西应力张量σ的关系为

1S D S

σ

σ

σ==- 从上述两式可得受损材料（土）一维状态的等效应力σ 和柯西应力σ的关系为

(1)

D σ

σ

=-

结构破坏是与材料各向异性损伤演化相关的，等效应力张量的一般形式可写为

():M D σ

σ= 式中符号（：）为张量的缩并符号, ()M D 为损伤有效张量（damage effect tensor ）,是四阶张量，有21个独立分量，当各向同性损伤时，课蜕变为标量形式，以

11D

-表示。

损伤有效张量()M D 有许多种形式，最简单形式是当材料在主方向损伤时，即只有主应力，主应变和主轴的损伤，损伤有效张量()M D 为

[]12

3100

11()0

01100

1D M D D D ??

?

?-???

?=??-????

??

-???

?

式中，1D ,2D ,3D 分别为主轴损伤变量。 等效应力张量可写为

1

1

12

22

333111D D D σσ

σσσσ??

?

?-??????????=????-???????

??

?-???

?

式（3.6）为主坐标系统上的主应力和主损伤变量的关系。

在一般受力情况下，有六个应力分量，对应有六个应变分量和六个损伤变量，用张量

σσ,ε,D 的分量符号表达式为

{}

x y z xy yz zx σσσστττ??????????=????????????或111222333412523631σσσσσσστστστ????????????????????=????????????????????????

111222333412523631222εεεεεεεγεγεγ????????????????????

=???????????????????????? 111222333412523631222D D D D D D D D D D D D ????????????????????

=???????

?????????????????

但是，选择能反应式（3.7）的损伤有效张量的求解分厂困难。对于岩土工程，宜选择实用合理的损伤有效张量因此，考虑矩阵的对称性，损伤有效张量()M D 可选为

[

]1

2

3

1

00000

110000110001()000

D

D D M D S

????-????

??

-????

??

-?

?=?

?

??

??????????

???

式中，1D ,2D ,3D 分别为x ，y ，z 方向的损伤变量，其含义与上式（3.5）有所不同，不

完全代表主方向的损伤。当1D =2D =3D 时，()M D 蜕化为标量。

在本书中，通过试验和计算分析表明，选用式（3.8）的损伤有效张量形式比较实用合理，见以后各章的阐述。

3.2.2 等效弹性愈能概念

个悲剧西多洛夫（Sidoroff ）的弹性能量等价假设 （hypothesis of elastic energy equivalence ），即应力作用在受损伤才来哦产生的弹性余能在形式上相同，同时参考勒梅特的等效参变假设，可得一下（3.10）表达式：

对于无损伤材料(土)，弹性余能为：

1

1(,0)::2

e

T

W C

σσ

σ-=

对于损伤材料（土），弹性余能为：

1

111(,)(,0)::::2

2

e e

T T

W D W C C

σσ

σ

σ

σ

σ--=== 式中，11()::()T C

M D C M D --= ，1,1()::()T C M D C M D --= 其中 1C -为无损伤土的弹性柔度张量或矩阵; 1C

- 为无损伤土的有效柔度张量或矩阵，C 为弹性刚度张量或矩阵（the elastic stiffness tensor ）； 为有效刚度张量或矩阵（the effective stiffness tensor ）。

从式（3.10）可得各向异性损伤材料（土）的弹性应力-应变关系的普通公式如下：

1

1(,)

(::)::e

e

T

W D M

C

M C

σεσσσ

--?=

==? 3.3 横观各向同性土的弹性损伤本构关系

3.3.1横观各向同性土的弹性损伤本构关系

根据土的成因过程，大多数土呈为层状，可认为层状土为横观各向同性的，那么，横观个性同性的无损土的弹性柔度矩阵[]1

C -可表示为

[]

1

2

21000100010002(1)

00101H H VH H H V VH H

V V

H H H

v v E E E v E E E C v E S

G G ---??

??????-??????????=??+????????????????

?

? 其中H E 和V E 分别为水平方向和垂直方形的弹性模量，

H H v 和V H v 分别为水平面内和垂直面内的泊松比，2G 为垂直面上的剪切模量。

把（3.8）式和（3.13）式代入（3.11）式得损伤土的有效柔度矩阵为

2

1

12132

2232

1

312232

3121000

(1)(1)(1)

(1)(1)

1000(1)

(1)(1)

1000(1)

2(1)00(1)(1)

1

0(1)(1)1

(1)(1)HH

VH

H H V VH

H V V HH H v v E D E D D E D D v E D E D D E D C v E D D S

D D G D D G ---?

?

??-----????

-??

---????

??

-????=???

?

+??

--????

??

--??????

--???

?

当1D =2D 时，式（3.14）为横观各向同性损伤土的有效柔度矩阵。 这样，式（3.12）和式（3.14）就是横观各向同性土的弹性损伤本构关系，

3.32 损伤变量的确定

简单起见，作常规三轴固结剪切试验，1σ为大主应力（相当式（3.7a ）的3σ ）， 3

σ为固结应力（相当式（3.7a ）的1σ和 2σ），1D 、2D 和3D 分别为x y 和z 方向的损伤变量。下标V 问哦垂直方向，下表H 为水平方向。根据式（3.12）和式（3.14）得应力-应变关系为

131312

3()()

(1)

V V

E D E

σσσσε--=

=

- 132313223()()(1)(1)VH V V

v v

E D D E

σσσσε----=

=

--

131313313()()(1)(1)

VH V V

v v

E D D E

σσσσε----=

=

--

式中，23

(1)V V E E D =- ，3131(1)(1)

VH D v v D -=- ，3232(1)(1)

VH D v

v D -=-

从式（3.15），可得损伤变量：

1

231V V E

D E ??=- ???

13131(1)VH v D D v

=-

-

23231(1)VH v D D v

=-

-

3.4横观各向同性土的弹性非线性损伤本构关系

首先指出：上述横观各向同性土的弹性非线性损伤本构关系的基本公式仍然适用。但是，现在研究横观各向同性土的弹性非线性损伤本构关系，类似一般土力学的弹性非线性地基模

型，要采用增量的形式求解；对于损伤模型，还要考虑损伤演化过程的非线性。 3.4.1 弹性非线性损伤本构关系

根据式（3.12），可得以增量形式表示的弹性非线性损伤本构关系为： 11ij ijkl kl ijkl kl

d C d dC εσσ--=+ (3.17) 式中，1C - 为损伤土的有效柔度矩阵，见式（3.14），1dC

- 为增量形式。 下面阐述求解损伤演化方程和1C

- 的增量形式1dC - 。 3.4.2 损伤演化方程

3.4.2.1 热力学方程基础——应力空间

注意：这里采用应力形式的热力学函数，但在3.5节求解弹塑性损伤模型的损伤演化方程，为计算方便起见，则采用应变形式的热力学函数进行推导求解。

考虑损伤过程，为简便起见，式（3.10）的弹性余能以ψ 表示：

11::2

T

C

ψσ

σ-=

式中，1C

- 为损伤土的有效柔度矩阵。 由式（3.18）得：

1

1()

2

C ψσσ-?=

?? (3.19) 从式（3.19）可见损伤土的有效柔度矩阵1

C - 为()σσ?的热力学函数，在1

C

- 中有

关变量为损伤有效张量M(D),见式（3.11），又见式（3.8）和式（3.14），这样，可令

()ij ijij D M D σ= ，则ij D σ 也为()σσ?的热力学函数。为便于表达，可称ij D σ 为类损

伤因子，用于应力空间。

3.4.2.2 损伤演化过程

损伤为不可逆的，现定义考虑各向异性损伤的应力张量形式的损伤能量指标στ （energy norm ）为

στ=

次指标可考虑各向异性损伤。它与西摩（Simo ）等提出的能量指标τ 不同。类似塑性力学，取损伤势函数为

(,)()()d d d G g L σσσσστβτβ=- （3.20）

式中，()g στ 为损伤面函数，d L σ 为损伤变量的硬化函数

，

d σβ=

，其中，2112

11(1)

D D σ=

-；2222

21(1)

D D σ=

-；

2

332

31(1)

D D σ=

-

损伤条件为： dG>0 后继损伤 dG=0 中性损伤

dG<0 未有损伤 （3.21）

后继损伤，即损伤扩大；中性损伤，意味着应力点在损伤面变化，并不引起损伤扩大，即任何沿着损伤面切线方向的应力增量不会改变当前损伤变量和材料系数值。

由此可见，关键在于根据不同的地质条件，构造一个合理的损伤势函数。当有一个合理的损伤势函数，可从式（3.21）判断材料（土）的损伤程度。有关弹性非线性土的损伤势函数的构造，见3.7.2的式（3.73）。

假定损伤流动方向与损伤势函数的梯度和外法线相同，损伤流动法则为 ij ij

G dD d σσστμ

τσ??=??

式中， d μ为类损伤因子的增量参数，ij dD σ 为类损伤因子的增量，它与d μ 有关，而ij D σ 或d μ 由στ 或σ的增量产生，所以，设 ij ij

G d LdG L

d σστμστσ??==?? （3.23）

式中，L 为算上系数，取决于当前的ij σ ，ij ε 和加载历史，与ij d σ 无关。上式说明d μ与

ij d σ线性相关。

把式（3.23）代入式（3.22）得 ij kl ij kl

G

G

dD L

d σσσσ??=??

对式（3.20）的硬化函数求微分得： d d ij ij

L dL dD D σσσσ?=

?

损伤面式（3.20）的相容性条件为： 0ij d ij

d

G G dG d dL L σσσσ??=

+

=??

把式（3.24）和式（3.25）代入式（3.26）得： 1d d ij ij

L G G L L D σσσσ???=-

???

再把式（3.27）代入式（3.23）得：

ij

kl

d d ij ij

G

d d L G G L D σσσσσμσ??=-

??????

最后，把式（3.28）代入式（3.22）可得损伤演化方程：

kl IJ kl

ij d

d m n m n

G

G d dD L G

G

L D σσσσσσσσ????=-

??????

根据式（3.19）可知，损伤土的有效柔度矩阵1C

- 为()σσ?热力学函数，应用损伤势函数的概念(,)d G σστβ ，则

11()()2c C

d G G dC d C σσμσσμσστσ

--???==??? 取C d μ 等于式（3.28）的d μ 值。

综上所述，由式（3.17），式（3.28）~式（3.30）知，弹性非线性损伤本构关系已经完

全确定，以增量形式求解。但是，求解过程相当复杂，需要通过程序实现。 3.5 小应变的图的弹塑性损伤本构关系 3.5.1 弹性损伤本构关系

为了阐述完整起见，简单引用上述有关公式的推导过程。 假设无损材料为各向同性，所以无损土的柔度矩阵1

C - 为

1000

1000

1000

2(1)002(1)02(1)E E E E

E E

E

S

E

E υυυυυυ--??

????-????????????+??

????+??

??

+??

???

?

式中，E 为弹性模量；υ为柏松比。

式（3.8）和（3.31）代入式（3.11）得各向同性土的有效柔度矩阵为

212122

122

1

1232311000

(1)(1)(1)

(1)(1)

1000(1)

(1)(1)

1000(1)

[]2(1)00(1)(1)

2(1)0(1)(1)

2(1)

(1)(1)E D E D D E D D E D E D D E D C

E D D E D D E D D υ

υ

υ

υυυ---?

?

??-----??-??

??

---????

??

-??=??

+??

--????

+??

--????+??

--?

?

当 123D D D == 时，式（3.32）蜕化为各向同性损伤后土的有效柔度矩阵， 当 12D D = 时，式（3.32）蜕化为横观各向同性损伤土的有效柔度矩阵 3.5.2 弹塑性损伤本构关系

假设损伤过程与塑性过程是两个独立过程，塑性本构关系与传统塑性关系类似。已知加载函数为f ，塑性势函数为F ，确定塑性增量大小的函数为 ，硬化参数为H 以及硬化参数H 的函数为A ，从塑性力学可得如下公式：

,()0ij f H σ= （3.33） ,()0ij F H σ= （3.34）

1kl kl

f d d A λσσ?=

? （3.35）

(1)

P

ij ij

f H

F

A H εσ???=-??? (3.36)

参考文献【5】，考虑损伤和塑性状态的自由能余函数? 为 1

1:(,)2P p

C

q ?σσσεε-=

+-≡ (3.37)

式中，(,)p

q ε≡ 为塑性耗散能相联系的势函数，其中，q 为有关的塑性内变量，p

ε 为塑

性应变张量；1

C

- 为损伤土的有效柔度矩阵。 由式（3.37）可得

1:p C ?εσεσ

-?==+? (3.38) 弹塑性损伤的应力——应变增量形式为 ()()p p ij ijkl kl kl ijkl kl kl

d C d d dC σεεεε=-+- (3.39)

式中，C

表示有效刚度矩阵。 根据流动规则，塑性应变增量和应力的关系为 p

ij ij

F d d ελ

σ?=?

根据式（3.33）的相容性条件为

0p

kl kl p

kl

kl

f f H df d d H σεσε???=

+

=???

把式（3.35）、式（3.36）、式（3.39）和式（3.40）代入上式得

()p ijkl kl ijkl kl kl

ij ij

m npq

m n

pq

f

f C d dC d f F A C εεεσσλσσ

??+-??=??+

??

再把式（3.40）和式（3.42）代入式（3.39），可得以增量形式表示的弹塑性损伤本构关

系为

()

()()()(ijab cdkl ijrs hkl p ij cd

rs gh kl kl p p p ij

ijkl

kl ijkl kl kl ijkl ijkl kl ijkl ijkl ijkl kl k m npq

m npq

m n pq

m n pq F f F f C C C dC d C d dC C C d dC dC dC f F f F A C A C σσσσεεσεεεεεεσσσσ????????????-??=--+-=-+---??????++???????

?

)()p ep ep p l ijkl kl ijkl kl kl

C d dC εεε=+- (3.43)

其中， 为有效弹性刚度张量或矩阵：

i j a b c d k l

e a

b

c d

i j k l

m

n p q

m

n

p q

F

f

C C C f

F

A C σσ

σσ

????=??+

?? 称为有效塑性刚度张量或矩阵；

e i j k l

e p p i j k l

i j k l

d C d C d C =- 称为有效弹塑性刚度张量或矩阵；

e i j k l i j k l

d C d C = 称为有效弹性刚度张量或矩阵的增量 i j r s g h k l

r s

g h

p i j k l

m

n p q

m

n

p q

F

f

C dC dC f F

A C σσ

σσ

????=??+

?? 为有效塑性刚度张量或矩阵的增量；

e i j k l

e p p i j k l

i j k l

d C d C d C =- 为有效有效弹塑性刚度张量或矩阵的增量。 下面阐述求解损伤演化方程和有效弹性刚度张量或矩阵C

的增量形式dC 等。 3.5.3 损伤演化方程

3.3.3.1 热力学基础——应变空间

参考文献【5】，采用应变形式表示的考虑损伤过程及塑性状态的自由能函数φ 为

1:::(,)2

p

p

C

q φεεσεσ=

-+≡ (3.44)

式中，p σ 为塑性耗散能相联系的势函数，其中C

为塑性应力张量；q 为有关的塑性内变量，C 为有效刚度张量或矩阵（the effective stiffness tensor ）。

由式（3.44）可得：

1()

2

C φεε?=??

从式（3.45）可见，损伤土的有效刚度矩阵C

是()εε?的热力学函数，在C 中的有关变量为1M (D )-) 见式（3.11），所以，损伤变量ij D 也是()εε?的热力学函数。 3.5.3.2 损伤演化过程

损伤未不可逆的，现定义考虑各向异性损伤的应变张量形式的损伤能量指标τ

（energy norm ）为

τ==

此指标可考虑各向异性损伤。它与西摩等提出的能量指标τ 不同，类似塑性力学。

取损伤势函数为

(,)()()d d d G g L τβτβ=- (3.46)

式中，()g τ 为损伤面函数，d L

为损伤变量的硬化函数，d β= （参

考文献【19】），其中11D D =，222D D = ，333D D = 。

损伤条件为dG>0

dG>0 后继损伤 dG=0 中性损伤

dG<0 未有损伤

后继损伤，即损伤扩大；中性损伤，意味着应力点在损伤面变化，并不引起损伤扩大，即任何沿着损伤面切线方向的应力增量不会改变当前损伤变量和材料系数值。

由此可见，和弹性非线性损伤情况一样，关键在于根据不同的地质条，构造一个

合理的损伤势函数。当有一个损伤势函数，可从式（3.47）判断材料（土）的损伤程度。有关弹塑性土的损伤势函数的构造，间3.7.3的式（3.74）。

假定损伤流动方向与损伤函数的梯度和外法线相同，损伤流动法则为

ij ij

G D d τμ

τε??=??

式中d μ为损伤标准因子，ij dD 为损伤变量的增量，它与d μ有关，与式（3.22）有区别，而ij dD 或d μ由τ 或ε的增量产生，所以，设

ij ij

G d LdG L

d τμετε??==??

式中，L 为损伤系数，取决于当前的ij σ，ij ε和加载历史，与ij d σ无关。上式说明d μ与ij d ε线性相关。

由式（3.48）和式（3.49）得

ij kl kl

G G dD L

d ετε??=??

对式（3.46）的硬化函数求微分得

ij ij

L d dL d dD D ?=

?

损伤面试（3.46）的相容性条件为

0ij ij

d

G G dG d dLd L εε??=

+

=??

把式（3.50）和式（3.51）代入式（3.52）得：

1d ij ij

G Ld G L L D ε???=-

???

再把式(3.53)代入式（3.49）得：

kl

kl

d m n m n

G

d d G Ld

G

L D εεμε??=-

??????

注意：式（3.54）与式（3.28）有区别。

最后，把式(3.54)代入式（3.48）可得损伤演化方程为

kl kl kl ij d m n m n

G G

d dD G Ld

G

L D εεεε????=

??????

根据损伤变量的演化方程式（3.55）和式（3.220，可推出C

的增量方程如下。 dC

??=??

()()()()()()()()()()()()11

12211331122122

23331331422211111333242112111333221133K G D dD K G

D dD D dD K G

D dD D dD K G D dD D dD K G D dD K G

D dD D dD K G D dD D dD K G

?

??

?

?

?

+---+---+-???? ? ? ???????????

???

??

?--+-+---+-???? ? ? ???

?????

??

?

-???

?

--+--?? ? ???

???

?

()()()233233

41121300000000

D dD D dD K G D dD ??

?

???

??

?-+-+-??? ????

??

??

?

??

()()()()()()1221322331130000000

00110

00110

11G D dD D dD G D dD D dD G D dD D dD ?

????-+-????

??-+-????

??-+-?????

式中，K 为体积模量，G 为剪切模量。 为化简起见，可以直接推出dC

值。 根据式（3.45）得知，C 是εε?的热力学函数，应用损伤势函数概念(),d G τβ ，则 ()

2c c

G d G dC d C μμεε

ττ

??==

???

取c d μ等于式（3.54）d μ值。

综上所述，根据式（3.43），式（3.55）和式(3.56)或式（3.57），弹塑性损伤本构关系已经完

全确定，已增量形式求解。但是，求解过程相当复杂，需要通过程序实现。

3.6 有限应变土的弹塑性损伤本构关系 3.6.1 有限应变土的弹塑性损伤本构关系

在本节中把上节小应变的土的弹塑性损伤本构关系推广为有限应变的本构关系。为便于阐述起见，分为五点：

1. 分析前提。质点X 的运动为(),x X t χ=，其中为 x 和t 为位置和时间；定义变形梯度为/Q x X =??，并且，假定Q 是光滑的，其性质为d e t 0J Q =>，那么，速率梯度为

1

L Q Q -=。

2.引入应力速度张量和应变速率张量。由于ij σ 在刚体旋转时是变化的，故引入不随材料刚体转动而变化的速率型应力张量，即佐曼（Jaumann ）应力速率张量为

?ij ij ij pi jp pi W W σ

σσσ=--

旋转张量为()12

T

W L L

=

-，其分量表示12j i j i v v W x x ????=

+

? ?????

，

j

i v x ??为速度梯度。其中，上标“.”表示关于时间的物质导数，再引入应变速率张量为()12

T

R L L =

+，其分量表示为

12j i

j i

v v R x x ??

??=+

? ????

?

。 3.耦合技巧。现在把小应变的土的弹塑性损伤本构关系式（3.43）与应变速率张量ij R 进行耦合，此时，有限应变条件下耦合损伤本构关系可表示为

()?ep ep p ij ijkl kl ijkl

kl kl

C R C σεε=+-

把式（3.54）、式(3.55)和式(3.57)与应变速率张量 进行耦合得损伤的演化方程为

kl

d

d m n m n x

R kl

d G L G

L D εμε??=-

??????

kl ij kl ij

d

d m n m n

G G

R D G L G

L D εεε????=-??????

()

2G d G C

d C μμεε

ττ??==

???

将耦合后的式（3.59）~（3.61）与耦合前的式（3.54）、式(3.55)和式(3.57)进行对比，不难看出两者不同之处。 根据式（3.43），（3.58）~（3.61）知，式（3.58）的第二项很小，可以忽略。这样，耦合损伤的应力—应变率关系式（3.58）可简化为

（3.62） 式中， 见式（3.32）， 见下式（3.64）。

4.模型的选择。目前建立许多弹性模型，如剑桥模型，拉德—邓肯（Lade-Duncan ）模型等，可根据具体条件选择较适宜的模型。本文采用太田—关口（Ohta-Sekiguchi ）模型 （见附录 2），该模型在日本和国外（包括作者在内）均得到论证。采用应力率和应变率表示应力关系。 该模型的屈服函数的表达式为

*

1p

v k p D f e p ηλε'

-=

+='+

式中，上标“.”表示关于时间的物质导数。

λ—与土力学中常规压缩指数c C 有关，λ=0.434c C ； κ—由回弹指数s C 定义，κ=0.434s C ；

0e —初始孔隙比；

p '—0K 固结完成时的p '值； v ε —总体积应变率，定义为()()/1v tr R e

e ε=-=-+ ，其中e 为当前孔隙比； D —剪胀系数，，0(1)

k

D M e λ-=

+；其中M 为临界状态参数，由下式确定：

6sin 3sin M φφ'=

'-，φ'为有效内摩擦角，或()00

612K M K -=

+，0K 为静止土压力系数。

*

η=

ij ij S p η=

'

，ij S 为偏应力张量，

0ij η为0K 固结状态时的 ；

5.式（3.64）的推导。根据是（3.43）和式（3.63）可推导出式（3.62）中的有效塑性刚度张量p ijkl

C 为 ij kl p ijkl

H H C K

G h =++

式中符号意义说明如下：

令()(1)i i D g -=,()

()(1)3i i i D D f ω--=,性质为()i g ,()i f ()()()

()

(),,1,2,30i i g f i j i j i j ?=?==?≠??

则，()()()()()()*

**0*

*

239

ij

ij

ij

ij ij ij i i i G G

H K g G f g g i g j γ

αβηηη

η

=+

-

+

-

()()()()()()*

**0*

*

239

kl

kl

kl

kl kl kl k k k G G

H K g G f g g k g l γ

αβηηη

η

=+

-

+

-

其中，*2

K

K α= ,**2***

*2****2***23929322273G G D βλγξβγωβξβηηηηηη??

Ω=-++-++ ??

?

*

p h D

β'=

,并且，1e K p k

+'=

，或者 ()

312E K v =

-，()()

31221v G K v -=

+

()1233D D D ω=-++,()1233D D D ω

=-++ ()0*

*

32M

ηηηβη

-=