18 19第1章阶段复习课第1课立体几何初步
第一课立体几何初步
［核心速填］
(建议用时：5分钟)
1. 直观图的画法
(1) 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
①画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点0,画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y'轴，两轴交于点0',且使/ x' O' y'= 45°或135°,它们确定的平面表示水平面.
②画线：已知图形中平行于或在x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于
或在x'轴、y'轴的线段.
③取长度：已知图形中在x轴上或平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，在
y轴上或平行于y轴的线段，长度为原来的一半.
(2) 立体图形直观图的画法
画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x' O' y'垂直的轴O' z 且平行于O' z'的线段长度不变.其他同平面图形的画法.
2. 表面积
(1) 多面体的表面积：多面体的各个面都是平面，表面积是各面面积之和.
(2) 旋转体的表面积：
①S 圆柱=2 n l + 2 n2;
②S圆锥=n l + n .
③5球=4 n R2.
3.体积
(1)柱体：V柱体=Sh(S为底面面积，h为咼).
⑵锥
体：
V锥体=3Sh(S为底面面积，h为咼).
(3)台体：V台体二如+ SS +
S' )h.其中S, S'分别表示台体的上、下底面面积.
4. 判定线线平行的方法
(1) 利用定义：证明线线共面且无公共点.
⑵利用平行性质：证明两条直线同时平行于第三条直线.
(3) 利用线面平行的性质定理：
a // a, a? B, aG b? a II b.
⑷球体:
(4) 利用面面平行的性质定理：
all p, aG Y= a,阳尸b? a II b.
(5) 利用线面垂直的判定定理的推论2: a丄a, b± a? a II b.
5. 判定线面平行的方法
(1) 利用定义：证明直线a与平面a没有公共点，往往借助反证法.
(2) 利用直线和平面平行的判定定理：
a? a, b? a, a I b? a // a
(3) 利用面面平行的性质的推广：
all B a? p? a //a
6. 判定面面平行的方法
(1) 利用面面平行的定义：两个平面没有公共点.
⑵利用面面平行的判定定理：
a? a, b? a, a G b = A, a I p , b I p? a// B
(3) 垂直于同一条直线的两个平面平行,即a丄a , a丄％a/p
(4) 平行于同一平面的两个平面平行，即all Y Y a// p
7. 证明直线与平面垂直的方法
(1) 利用线面垂直的定义：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面.
符号表示：？ a? a, I丄a? I丄a其中“ ？”表示“任意的”)
(2) 利用线面垂直的判定定理：若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.
符号表示：I丄m , I丄n , m? a n? a m G n = P? I丄a
(3) 若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
符号表示：a // b , a丄a? b丄a
(4) 利用面面垂直的性质定理：若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.
符号表示：alp, aG# I, m? a m l I ? m丄p
8. 证明平面与平面垂直的方法
利用平面与平面垂直的判定定理：若一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.
符号表示：I丄a I? p? a丄p
［体系构建］
通过前面的学习与核心知识的填写，请把本课的知识点以网络构建的形式展现出 来.
［题型探究］
空间几何体的表面积、体积
例 如图1-1,四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，/ BAD = 60° 已知 PB = PD = 2, PA = 6.
【导学号：90662121】 图1-1
(1) 证明：PC 丄BD ;
(2) 若E 为PA 的中点，求三棱锥P-BCE 的体积.
［思路探究］(1)连接AC ,与BD 交于点O ,由PB = PD 以及底面为菱形的条件， 由线面垂直的判定定理可证 BD 丄平面APC ，从而可证；(2)利用四面体的等积变 换，转化为以B 为顶点的三棱锥，进而判断三棱锥P-BCE 的体积是三棱锥B-APC 的体积的一半，代入公式计算.
［解］(1)证明 连接AC ，交BD 于点0,连接PO. 因为底面ABCD 是菱形，所以AC 丄BD , B0= DO.
由 PB = PD 知，P0丄 BD.
又因为PO P AC = 0,所以BD 丄平面APC ,
因此BD 丄PC.
⑵因为E 是PA 的中点,
由 PB — PD — AB — AD — 2 知，△ ABD ^A PBD.
因为/ BAD — 60°
所以 PO — A0— .3, AC — 2 .3, B0— 1. 又 PA — .6,所以 P02 + A02— PA 2,所以 P0丄AC ,
所以V 三棱锥P-BCE — V 三棱锥C-PEB — *V 三棱锥 C-FAB
-1V 三棱锥 B-APC
4 C
1 故 S SPC = @P° A C = 3.
由⑴知，BO 丄平面APC ,
1 11 1
因此V 三棱锥 P-BCE — 三棱锥 B-APC — 2 3 BO &APC — 2* ［规律方法］
1 ?几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算中 应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台， 要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用.
2 ?常见的计算方法
(1) 公式法：根据题意直接套用表面积或体积公式求解.
(2) 割补法：割补法的思想是通过分割或补形，将原几何体分割成或补成较易计 算体积的几何体，从而求出原几何体的体积.
(3) 等体积变换法：等积变换法的思想是从不同的角度看待原几何体，通过改变 顶点和底面，利用体积不变的原理，来求原几何体的体积.
［跟踪训练］
1 ?正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为2,侧棱长为.3, D 为BC 中点，则三棱 锥A-B 1DC 1的体积为(
) A . 3
C . 1
C ［在正△ ABC 中，
D 为BC 的中点,
则有 AD — ~2"AB — 3，
S A DB 1C 1— 2x 2X ,3— 3.
又???平面BB 1C 1C 丄平面ABC,AD 丄BC,AD?平面ABC ，二AD 丄
平面BB 1C 1C ,即AD 为三棱锥A-B 1DC 1底面上的高.
A A ??? V 三棱锥 A -
B 1D
C 1— 3S A DB 1C 1 A
D — 3X . 3x . 3— 1.]
空间中的平行关系
如图1-2所示，四边形ABCD 是平行四边形，PB 丄平面ABCD , MA //
PB ,卜例
s
Ci
PB= 2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC //平面PMD ?若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由.
【导学号：90662122】
图1-2
［思路探究］假设存在满足条件的点F，由于平面AFC //平面PMD，且平面AFPM 与平面AFC、平面PMD分别交于直线AF、PM，则必有AF // PM，又PB=
2MA，则点F是PB的中点.
［解］当点F是PB的中点时，平面AFC //平面PMD，证明如下：如图连接AC
1
和BD交于点O,连结FO,那么PF =尹B.
???四边形ABCD是平行四边形，
??? O 是BD 的中点.OF // PD.
又OF?平面PMD，PD?平面PMD，
1
???OF//平面PMD.又MA 綊2PB，??? PF 綊MA.
???四边形AFPM是平行四边形.? AF // PM.
又AF?平面PMD，PM?平面PMD.
? AF// 平面PMD.
又AF n OF = F，AF?平面AFC，OF?平面AFC.
?平面AFC//平面PMD.
［规律方法］在本章中，空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行，其中三种关系相互渗透?在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维” 的判定定理.特别注意，转化的方法由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规律.
［跟踪训练］
2?如图1-3,已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M 是PC
的中点，在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,求证：AP// GH.
图1-3
［证明］连接AC交BD于0,连接M0,
因为M , 0为PC、AC的中点，所以MO// AP,
又因为M0?平面BDM , FA?平面BDM ,
所以PA//平面BDM ,
又因为FA?平面PAHG,
平面PAHG n平面BDM = GH , 所以PA// GH.
空间中的垂直关系
例如图1-4所示，在斜三棱柱A i B i C i -ABC中，底面是等腰三角形，AB= AC,侧面BB i C i C丄底面ABC.
【导学号：90662i23】
图i-4
⑴若D是BC的中点，求证：AD丄CC i;
⑵过侧面BB i C i C的对角线BC i的平面交侧棱于点M，若AM= MA i，求证：截
面MBC i丄侧面BB i C i C.
［思路探究］(i)由面面垂直的性质可证.
⑵先证明C i N丄侧面BB i C i C，再证截面MBC i丄侧面BB i C i C.
［解］⑴证明：T AB = AC, D是BC的中点，
??? AD丄BC.
???底面ABC丄平面BB i C i C,
??? AD丄侧面BB i C i C.
??? AD 丄CC i.
(2)延长B i A i与BM的延长线交于点N,连接C i N.
T AM= MA i,二NA i = A1B1.
T A i C i = A i N = A1B1,
C i N 丄B i C i,
??? C i N 丄侧面BB i C i C.
?截面MBC i丄侧面BB i C i C.
［规律方法］在本章中，空间中的垂直关系包括线与线的垂直、线与面的垂直及面与面的垂直，三种垂直关系是本章学习的核心，学习时要突出三者间的互化意识.如在证明两平面垂直时一般从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线不存在，则可通过作辅助线来解决?如有面面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，进一步转化为线线垂直.
［跟踪训练］
3.如图i-5,四棱锥P-ABCD 中，/ ABC=Z BAD = 90°BC= 2AD ,△ PAB 和厶PAD 都是等边三角形.
证明：PB丄CD.
图i-5
［证明］如图，取BC的中点E,连接DE，则ABED为正方
形.
过P作P0丄平面ABCD，垂足为O.
连接OA，OB，0D，0E.
由厶FAB和厶PAD都是等边三角形知PA= PB= PD,所以0A= 0B = OD，即点
0为正方形ABED对角线的交点，故0E丄BD.
又0E丄0P, BD A 0P = 0,
所以0E丄平面PDB，从而PB丄0E.
因为0是BD的中点，E是BC的中点，
所以0E// CD.因此PB丄CD.